八年级数学下册教学课件《二次根式的概念》
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a叫做被开方数.
二次根式 的两个必备特征
1.含有二次根号“ ” （根指数为 2）；
2.被开方数必须是非负数.
下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
3√ 3 8 m (m<0√) a2 √1 6 2 √2 x
分析：
是否含二 次根号
是
否
被开方数是 是 否为非负数
否
是二次根式
不是二次根式
练习
1.要画一个面积为18cm2的长方形，使它的长与宽之比为3∶2. 它的长、宽各应取多少？【选自教材第3页 练习 第1题】
解：设矩形的长宽分别是3xcm、2xcm，由题意得 2x×3x=18，解得x1= 3 ， x2= 3 (舍). 答：它的长取 3 3 cm，宽取 2 3 cm.
例1 当x是怎样的实数时， x 2 在实数范围内有意义？
二次根式 a有意义的条件是：被 开方数为非负数，即a≥0.
解：由x-2≥0，得 x≥2.
a2 4ab 4b2 a b =__-_3_b___.
b
a0
课堂小结
定义
带有二次根号 被开方数为非负数
二次根式
在有意义条件下求 字母的取值范围
被开方数≥0 分母≠0
双重非负性
a≥0
a ≥0
课后作业
1.从教材习题中选取；
3.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（2） x2 2x 3 .
解：根据题意可得-x2-2x-3≥0，
∴-(x2+2x+3)≥0. ∴x2+2x+3≤0. ∴(x+1)2+2≤0. ∵(x+1)2≥0，∴(x+1)2+2＞0.
被开方数是多项式时，需要对 组成多项式的项进行恰当分组 凑成含完全平方的形式，再进 行分析讨论.
16.1 二次根式
二次根式的概念
八年级数学下册
复习回顾
你能说出下列问题的结果吗？
（1）16的平方根是多少？算术平方根是多少？ （2）0的平方根是多少？算术平方根是多少？ （3）﹣2有没有平方根？有没有算术平方根？
平方根的性质： 1.正数有两个平方根且互为相反数； 2. 0的平方根是0； 3.负数没有平方根；
归纳小结
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方 根.对于任意一个二次根式 a ，必须满足以下两条：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） a 表示一个数或式的算术平方根，可知 a ≥0.
二次根式的被开方数非负 二次根式的双重非负性
二次根式的值非负
随堂练习
1.下列各式中一定是二次根式的是（ B ）.
4.非负数a的平方根表示为 a .
复习回顾
你能说出下列问题的结果吗？
（1）16的平方根是多少？算术平方根是多少？ （2）0的平方根是多少？算术平方根是多少？ （3）﹣2有没有平方根？有没有算术平方根？
算术平方根的性质：1.正数只有一个算数平方根； 2. 0的算术平方根是0； 3.负数没有算术平方根；
当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） x2
（2） x3
x可以为任意实数
x≥0
（4） 1 x
x＞0
（5） 1 x 1
x＞﹣1
（3） x2 1
x可以为任意实数
（6） 1 x x
x≤1且x≠0
要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式 求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为0.
5.已知|3x-y-1|和 2x y 4 互为相反数，求x+4y的平方根．
解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0． 解得x=1，y=2． ∴x+4y=1+2×4=9， ∴x+4y的平方根为±3.
拓展提升
1.若 (1 x)2 1 x ，则x的取值范围是__x_≤__1__. 2.实数a，b在数轴上的对应点如图所示，试化简：
∴无论x为何实数， x2 2x 3 在实数范围内都无意义.
4.若 a 3 +｜b-2｜+(c-1)2=0，求2a-b+3c的值.
提示：多个非负数的和为0，则可得每个非负数均为0.初中阶段学过的 非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
解：由题意可知a+3=0,b-2=0,c-1=0, 解得a=-3,b=2,c=1. 所以2a-b+3c=-3×2-2+3×1=-5.
A. x 1B. ( x Nhomakorabea)2 C. a2 1
1 D.
x
2 2.二次根式 3 x 6 中，字母x的取值范围是（ D ）.
A.a＜2
B.a≤2
C.a≥2
D.a＞2
3.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1） x2 2x 1 ； 解：根据题意可得-x2+2x-1≥0， ∴-(x2-2x+1)≥0. ∴x2-2x+1≤0. ∴(x-1)2≤0. ∵(x-1)2≥0， ∴当x=1时， x2 2x 1 在实数范围内有意义.
练习
2.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
【选自教材第3页 练习 第2题】
（1） a 1 ； a≥1
（2） 2a 3 ； a≥ 3 2
（3） a ； a≤0
（4） 5 a . a≤5
要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式 求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为0.
5
观察：上面问题的结果分别是 3， S ， 65 ， h . 5
（1）这些式子表示的意义是？ 分别表示3，S，65，h 的算术平方根． 5
（2）这些式子有什么共同特征？ ①根指数都为2；含有“ ”. ②被开方数为非负数.
二次根式的定义
一般地，我们把形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式， “ ”称为二次根号.
4.非负数a的算术平方根表示为 a .
探索新知
填一填：
（1）面积为3的正方形的边长为___3__，面积为S的正方形的 边长为___S__.
（ 2 ） 一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它 的宽为___6_5_m．
（ 3 ） 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t （ 单 位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如 果用含有h的式子表示t，那么t为____h_．
二次根式 的两个必备特征
1.含有二次根号“ ” （根指数为 2）；
2.被开方数必须是非负数.
下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
3√ 3 8 m (m<0√) a2 √1 6 2 √2 x
分析：
是否含二 次根号
是
否
被开方数是 是 否为非负数
否
是二次根式
不是二次根式
练习
1.要画一个面积为18cm2的长方形，使它的长与宽之比为3∶2. 它的长、宽各应取多少？【选自教材第3页 练习 第1题】
解：设矩形的长宽分别是3xcm、2xcm，由题意得 2x×3x=18，解得x1= 3 ， x2= 3 (舍). 答：它的长取 3 3 cm，宽取 2 3 cm.
例1 当x是怎样的实数时， x 2 在实数范围内有意义？
二次根式 a有意义的条件是：被 开方数为非负数，即a≥0.
解：由x-2≥0，得 x≥2.
a2 4ab 4b2 a b =__-_3_b___.
b
a0
课堂小结
定义
带有二次根号 被开方数为非负数
二次根式
在有意义条件下求 字母的取值范围
被开方数≥0 分母≠0
双重非负性
a≥0
a ≥0
课后作业
1.从教材习题中选取；
3.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（2） x2 2x 3 .
解：根据题意可得-x2-2x-3≥0，
∴-(x2+2x+3)≥0. ∴x2+2x+3≤0. ∴(x+1)2+2≤0. ∵(x+1)2≥0，∴(x+1)2+2＞0.
被开方数是多项式时，需要对 组成多项式的项进行恰当分组 凑成含完全平方的形式，再进 行分析讨论.
16.1 二次根式
二次根式的概念
八年级数学下册
复习回顾
你能说出下列问题的结果吗？
（1）16的平方根是多少？算术平方根是多少？ （2）0的平方根是多少？算术平方根是多少？ （3）﹣2有没有平方根？有没有算术平方根？
平方根的性质： 1.正数有两个平方根且互为相反数； 2. 0的平方根是0； 3.负数没有平方根；
归纳小结
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方 根.对于任意一个二次根式 a ，必须满足以下两条：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） a 表示一个数或式的算术平方根，可知 a ≥0.
二次根式的被开方数非负 二次根式的双重非负性
二次根式的值非负
随堂练习
1.下列各式中一定是二次根式的是（ B ）.
4.非负数a的平方根表示为 a .
复习回顾
你能说出下列问题的结果吗？
（1）16的平方根是多少？算术平方根是多少？ （2）0的平方根是多少？算术平方根是多少？ （3）﹣2有没有平方根？有没有算术平方根？
算术平方根的性质：1.正数只有一个算数平方根； 2. 0的算术平方根是0； 3.负数没有算术平方根；
当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） x2
（2） x3
x可以为任意实数
x≥0
（4） 1 x
x＞0
（5） 1 x 1
x＞﹣1
（3） x2 1
x可以为任意实数
（6） 1 x x
x≤1且x≠0
要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式 求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为0.
5.已知|3x-y-1|和 2x y 4 互为相反数，求x+4y的平方根．
解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0． 解得x=1，y=2． ∴x+4y=1+2×4=9， ∴x+4y的平方根为±3.
拓展提升
1.若 (1 x)2 1 x ，则x的取值范围是__x_≤__1__. 2.实数a，b在数轴上的对应点如图所示，试化简：
∴无论x为何实数， x2 2x 3 在实数范围内都无意义.
4.若 a 3 +｜b-2｜+(c-1)2=0，求2a-b+3c的值.
提示：多个非负数的和为0，则可得每个非负数均为0.初中阶段学过的 非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
解：由题意可知a+3=0,b-2=0,c-1=0, 解得a=-3,b=2,c=1. 所以2a-b+3c=-3×2-2+3×1=-5.
A. x 1B. ( x Nhomakorabea)2 C. a2 1
1 D.
x
2 2.二次根式 3 x 6 中，字母x的取值范围是（ D ）.
A.a＜2
B.a≤2
C.a≥2
D.a＞2
3.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1） x2 2x 1 ； 解：根据题意可得-x2+2x-1≥0， ∴-(x2-2x+1)≥0. ∴x2-2x+1≤0. ∴(x-1)2≤0. ∵(x-1)2≥0， ∴当x=1时， x2 2x 1 在实数范围内有意义.
练习
2.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
【选自教材第3页 练习 第2题】
（1） a 1 ； a≥1
（2） 2a 3 ； a≥ 3 2
（3） a ； a≤0
（4） 5 a . a≤5
要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式 求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为0.
5
观察：上面问题的结果分别是 3， S ， 65 ， h . 5
（1）这些式子表示的意义是？ 分别表示3，S，65，h 的算术平方根． 5
（2）这些式子有什么共同特征？ ①根指数都为2；含有“ ”. ②被开方数为非负数.
二次根式的定义
一般地，我们把形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式， “ ”称为二次根号.
4.非负数a的算术平方根表示为 a .
探索新知
填一填：
（1）面积为3的正方形的边长为___3__，面积为S的正方形的 边长为___S__.
（ 2 ） 一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它 的宽为___6_5_m．
（ 3 ） 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t （ 单 位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如 果用含有h的式子表示t，那么t为____h_．