最值问题(例题解析)

最值问题
➢例题解析
1.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD边的中点．若P，Q为BC
边上的两动点，且PQ=2，则当BP=_________时，四边形APQE的周长最小．
Q P E D C
B
A
①思路分析
特征：“四边形APQE的周长最小”属于最值问题；所求目标为BP长．
转化：点A，E为定点，点P，Q为动点，且PQ=2，则AE，PQ长固定，“周长最小”转化为“AP+QE最小”，属于天桥模型．
分析：天桥问题要先平移再对称．点A在AD上，容易平移，可先平移AP到Q，再作点A关于BC对称点A′，连接A′E，交点即为所求Q点．
②操作示范
2.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM，ON上，当点B
Q P
A'D
C
B A 在ON 上运动时，点A 随之在OM 上运动，且矩形ABCD 的形状和大小保持不变．若AB =2，B
C =1，则在运动过程中，点
D 到点O 的最大距离为（ ） A ．2+1
B ．5
C ．
145
5
D ．
52
D
C
A
B
O
N
M
D
C
A
B O
N
M
① 思路分析 特征：“点D 到点O 的最大距离”属于最值问题；目标为OD 长．
分析：点O 为定点，点D 为动点，且是矩形的顶点，考虑图形运动过程中的不变特征，∠AOB =∠DAB =90°，且AB =2，BC =1，线段长是已知的．因此需要将线段长，90°，OD 结合起来考虑，取线段AB 中点E ，连接OE ，DE ，这样OD 放在三角形ODE 中，借助三角形三边关系可求解OD 的最大值． ② 操作示范
3. 动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5．如图所示，折叠纸片，使
点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P ，Q 也随之移动．若限定点P ，Q 分别在AB ，AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为__________．
① 思路分析 特征：“可移动的最大距离”属于最值问题，问题背景是矩形中的折叠，条件要求限定点P ，Q 分别在AB ，AD 边上移动；
转化：点A′在BC边上可移动的最大距离，可以转化为求解BA′的最大值与最小值的差；此问题转化为线段BA′最大值、最小值问题．
分析：点B为定点，点A′为动点，且是点A折叠后所得．根据折叠，AP=A′P、AQ=A′Q，此时BA′在△BA′P中，根据三边关系得BA′＜PB+P A′，当三边不构成三角形时，点P与点B重合，可求得BA′最大值，即为BA长．
对BA′最小值，可转化为CA′最大值，再转化为DA′最大值，DA′在△A′QD 中，利用三边关系，可求得DA′最大值，进而得CA′最大值，再得BA′最小值．②操作示范。