湖南省湘潭市高三下学期第四次模拟考试数学(文)试题

湖南省湘潭市高三下学期第四次模拟考试
数学（文）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}|13A x x =-≤，{}13B x =-<≤，则A B = （ ）
A ．[2,)-+∞
B ．[]2,3-
C ．(1,)-+∞
D ．(,2](1,3]-∞--
2.在如图所示的复平面内，复数23i z i
+=对应的点为（ ）
A ．点A
B ．点B
C ．点C
D ．点D
3.食物相克是指事物之间存在着相互拮抗、制约的关系，若搭配不当，会引起中毒反应．已知蜂蜜与生葱相克，鲤鱼与南瓜相克，螃蟹与南瓜相克．现从蜂蜜、生葱、南瓜、鲤鱼、螃蟹五种食物中任意选取两种，则它们相克的概率为（ ）
A ．13
B ．23
C ．310
D ．710
4.已知等比数列{}n a 的公比为2-，且n S 为其前n 项和，则42
S S =（ ） A ．5- B ．3- C ．5 D ．3
5.若双曲线22
219
y x a -=（0a >）的一条渐近线与直线13y x =垂直，则此双曲线的实轴长为（ ） A ．2 B ．4 C ．18 D ．36
6.执行如图所示的程序框图，则输出的x =（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
7.设有下面四个命题：
1p ：若1x <-，则212
log (1)1x +>-；
2p ：若2sin()3sin()1αβαβ-=+=，则5sin cos 12
αβ=； 3p ：若1x <-，则212
log (1)1x +<-；
4p ：若2sin()3sin()1αβαβ-=+=，则5sin cos 6
αβ=
． 其中的真命题为（ ） A ．1p ，2p B ．1p ，4p C ．2p ，3p D ．3p ，4p
8.函数4
()44x x
x f x -=-的大致图象为（ ）
9.某几何体的三视图如图示，则该几何体的体积为（ ）
A ．56
B ．1763
C ．88
3 D ．88
10.已知F 是椭圆C ：22
195x y +=的左焦点，P 为C 上一点，4
(1,)3A ，则||||PA PF +的最小值为（
）
A ．10
3 B ．11
3 C ．
4 D ．13
3
11.关于函数7sin(4)
3()2sin(2)
3x f x x π
π
+=+，下列判断正确的是（ ）
A ．()f x 有最大值和最小值
B ．()f x 的图象的对称中心为(,0)212k π
π
-（k Z ∈）
C ．()f x 在(,)38π
π
-上存在单调递减区间
D ．()f x 的图象可由2sin 2y x =的图象向左平移12π
个单位而得
12.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足2()'()0f x xf x ->（0x >），则（ ）
A ．6(1)3(2)2(3)f f f ->->-
B ．2(3)3(2)6(1)f f f ->->-
C ．6(1)2(3)3(2)f f f ->->-
D ．3(2)2(3)6(1)f f f ->->-
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若x ，y 满足约束条件1,1,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩
则2z x y =-的最小值为 ．
14.在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，2AB =，E 为CD 的中点，则BA AE ⋅= ．
15.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体（记为1111ABCD A BC D -）的粮仓，宽3丈（即3AD =丈），长4丈5尺，可装粟一万斛，问该粮仓的高是多少？”已知1斛粟的体积为2.7立方尺，一丈为10尺，则下列判断正确的是 ．（填写所有正确结论的编号）
①该粮仓的高是2丈；
②异面直线AD 与1BC 所成角的正弦值为31313
； ③长方体1111ABCD A BC D -的外接球的表面积为
1334π平方丈． 16.已知数列{}
1n n a a +-是公差为2的等差数列，且11a =，39a =，则n a = ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()(sin sin )(sin )sin a b A B c b A C +-=-．
（1）求tan A ；
（2）若2a =，3C π=
，求c ．
18.如图，三棱锥B ACD -的三条侧棱两两垂直，2BC BD ==，E ，F 分别是棱CD ，AD 的中点．
（1）证明：平面ABE ⊥平面ACD ；
（2）若四面体ABEF 的体积为
12
，求线段AE 的长．
19.某公司近年来特别注重创新产品的研发，为了研究年研发经费x （单位：万元）对年创新产品销售额y （单位：十万元）的影响，对近10年的研发经费i x 与年创新产品销售额i y （1,2,i =…，10）的数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量的值．
其中10165i i x
==∑，10175i i y ==∑，1021(3)205i i x =-=∑，1041(3)8773i i x =-=∑，10
21(3)2016i i i x y =-=∑． 现拟定y 关于x 的回归方程为 2(3)y a
x b =-+ ． （1）求 a ，b 的值（结果精确到0.1）；
（2）根据拟定的回归方程，预测当研发经费为13万元时，年创新产品销售额是多少？
附：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ，…，(,)n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估
计分别为 1122
211()()()n n
i i i i
i i n n i i i i u u v v u v nuv u u u nu β====---==--∑∑∑∑， v u α
β=-．
20.已知点01(,)2A y -是抛物线C ：212()2x py p =>上一点，且A 到C 的焦点的距离为58
． （1）求抛物线C 的方程；
（2）若P 是C 上一动点，且P 不在直线l ：029y x x =+上，l 交C 于E ，F 两点，过P 作直线垂直于x
轴且交l 于点M ，过P 作l 的垂线，垂足为N ．证明：2
||||||
AM EF AN =．
21.已知函数22()ln f x a x ax x a =+-+．
（1）讨论()f x 在(1,)+∞上的单调性；
（2）若0(0,)x ∃∈+∞，01()2f x a e
>-，求正数a 的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为221,21x t y t ⎧=-⎨=-⎩
（t 为参数）．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为(2sin cos )m ρθθ-=．
（1）求曲线C 的普通方程；
（2）若l 与曲线C 相切，且l 与坐标轴交于A ，B 两点，求以AB 为直径的圆的直角坐标方程．
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数()|31||21|f x x x a =--++.
（1）求不等式()f x a >的解集；
（2）若恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n <，求a 的取值范围．
数学试卷（文科）答案
一、选择题
1-5:ADCCC 6-10:BCABD 11、12：BB
二、填空题
13.2- 14.4- 15.①③ 16.22(33)n n -+
三、解答题
17.解：（1）由正弦定理可得()()(sin )a b a b c b A c +-=-，
整理得222sin a b c bc A =+-，
又由余弦定理可知2222cos a b c bc A =+-，
所以2cos sin A A =，tan 2A =．
（2）因为tan 2A =，所以2
sin 5A =， 由正弦定理得5sin sin a
c
A C ==， 所以15
5sin 2c C ==．
18.（1）证明：因为BC BD =，E 是棱CD 的中点，所以BE CD ⊥． 又三棱锥B ACD -的三条侧棱两两垂直，且BCBD B =，
所以AB ⊥平面BCD ，则AB CD ⊥．
因为AB BE B = ，所以CD ⊥平面ABE ，
又CD ⊂平面ACD ，所以平面ABE ⊥平面ACD ．
（2）解：取BD 的中点G ，连接EG ，
则//EG BC ．
易证BC ⊥平面ABD ，
从而EG ⊥平面ABD ，
所以四面体ABEF 的体积为1
1
11
32262AB AB BD EG ⨯⨯⨯⨯==，
则3AB =，
在Rt ABE ∆中，2BE =，23211AE =+=．
19.解：（1）令2(3)t x =-，则 y a
t b =+ ， 10211(3)10i i t x ==-∑20.5=，10117.510i i y y ===∑，1010211
(3)2016i i i i i i t y x y ===-=∑∑，101024
11(3)8773i i i i t x ===-=∑∑， 10
1102211020162057.50.1877320520.5
10i i i i i t y t y a t t
==-⋅-⨯==≈-⨯-∑∑， 7.50.1020.5 5.45 5.5b
y at =-=-⨯=≈ ． （2）由（1）知，y 关于x 的回归方程为 20.1(3) 5.5y x =-+，
当13x =时， 20.1(133) 5.5y =⨯-+15.5=（十万元）155=万元，
故可预测当研发经费为13万元时，年创新产品销售额是155万元．
20.（1）解：依题意得0012,45,28py p y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
∴15828
p p +=， ∵12p >
，∴1p =，故C 的方程为22x y =．
（2）证明：由（1）知018y =，联立22,92,8x y y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩
得241690x x --=， 解得112x =-，292
x =， ∴291||12|()|5522EF =+--=． 设2
(,)2
m P m （12m ≠-，且92m ≠），则M 的横坐标为m ，易知A 在l 上，则1||5||2AM m =+． 由题可知PN ：21()22
m y x m -=--，与928y x =+联立可得219()54N x m m =+-， 所以2219151||5|()||()|54252
AN m m m =+-+=+， 则2||55||AM AN =，故2
||||||
AM EF AN =． 21.解：（1）2(2)()'()2(0)a x a x a f x a x x x x
+-=+-=->， 当20a -≤≤时，'()0f x <，()f x 在(1,)+∞上单调递减；
当2a <-时，若2a x >-
，'()0f x <；若12
a x <<-，'()0f x >． ∴()f x 在(,)2a -+∞上单调递减，在(1,)2a -上单调递增． 当01a <≤时，'()0f x <，()f x 在(1,)+∞上单调递减；
当1a >时，若x a >，'()0f x <；若1x a <<，'()0f x >，
∴()f x 在(,)a +∞上单调递减，在(1,)a 上单调递增．
综上可知，当21a -≤≤时，()f x 在(1,)+∞上单调递减；
当2a <-时，()f x 在(,)2a -+∞上单调递减，在(1,)2
a -上单调递增； 当1a >时，()f x 在(,)a +∞上单调递减，在(1,)a 上单调递增．
（2）∵0a >，∴当x a >时，'()0f x <；当0x a <<时，'()0f x >．
∴2
max ()()ln f x f a a a a ==+．
∵0(0,)x ∃∈+∞，01()2f x a e >-，∴21ln 2a a a a e +>-，即21ln 02a a e +>， 设21()ln 2g x x x e =+
，'()2ln (2ln 1)g x x x x x x =+=+， 当1
2x e ->时，'()0g x >；当1
20x e
-<<时，'()0g x <， ∴1
2min ()()0g x g e -==， ∴1122(0,)(,)a e e --∈+∞ ．
22.解：（1）由21y t =-，得12
y t +=， 221212()12
y x t +=-=-，即2(1)2(1)y x +=+， 故曲线C 的普通方程为2(1)2(1)y x +=+．
（2）由(2sin cos )m ρθθ-=，当2y x m -=，
联立2(1)2(1),2,
y x y x m ⎧+=+⎨-=⎩得22210y y m -+-=，
因为l 与曲线C 相切，所以44(21)0m ∆=--=，1m =，
所以l 的方程为21y x -=，不妨假设1
(0,)2A ，则(1,0)B -，线段AB 的中点为11(,)24
-． 所以5||2
AB =，又OA OB ⊥， 故以AB 为直径的圆的直角坐标方程为2221
15()()(
)244
x y ++-=． 23.解：（1）由()f x a >，得|31||21|x x ->+，
不等式两边同时平方，得22961441x x x x -+>++，
即2510x x >，解得0x <或2x >，
所以不等式()f x a >的解集为(,0)(2,)-∞+∞ ．
（2）设12,,211()|31||21|5,,2312,.3x x g x x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=--+=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩
作出()g x 的图象，如图所示，
因为(0)(2)0g g ==，(3)(4)2(1)3g g g <=<-=， 又恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n <， 所以(3)0,(4)0,f f <⎧⎨≥⎩即10,20,
a a +<⎧⎨+≥⎩
故a 的取值范围为[2,1)--．。