北师大版高中数学必修二单元测试一简单几何体、直观图与三视图.docx

单元测试一简单几何体、直观图与三视图
班级____姓名____考号____分数____
本试卷满分100分，考试时间90分钟．
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．集合A＝{斜棱柱}，B＝{直棱柱}，C＝{正棱柱}，D＝{正方体}．下面命题中正确的是()
A．C B D B．A∪C＝{棱柱}
C．C∪D＝{正棱柱} D．B D
答案：C
解析：简单的概念题，由概念入手就可以得到答案．
2．一空间几何体的三视图如图所示，主视图和左视图都是一样的图形，则该几何体为()
A．圆锥和四棱柱的组合体
B．正方体和四棱锥的组合体
C．圆柱和四棱锥的组合体
D．圆柱和正方体的组合体
答案：C
解析：根据题中的三视图可知，该几何体是圆柱和四棱锥的组合体．
3．下列说法中不正确的是()
A．圆柱的侧面展开图是一个矩形
B．圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形
C．直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
D．圆台中平行于底面的截面是圆面
答案：C
解析：本题考查了对基本概念的理解，根据圆柱、圆锥、圆台的定义和性质知，应选C.
4．若正方体所有棱长和为24，则正方体的对角线长为()
A．4 B．4 2 C. 6 D．2 3
答案：D
解析：∵正方体有12条棱，所有棱长都相等，所以正方体的棱长为2，对角线长为2 3，故选D.
5．一个棱柱是正四棱柱的条件是()
A．底面是正方形，有两个侧面是矩形
B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面
C．底面是平行四边形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直
D．每个侧面都是全等矩形且底面两条对角线相等的四棱柱
答案：D
解析：由正四棱柱的定义知，D正确；A、B可能是斜棱柱；C的底面不是正方形．6．若一个正三棱锥的主视图的轮廓是一个等腰三角形，其虚线恰好是等腰三角形底边上的中线，则其左视图大致是()
答案：D
解析：由主视图的虚线可确定底面正三角形的摆放位置如图所示，因为正三棱锥顶点到底面的投影是底面的中心，而从左视看正三角形的中心在底边靠近右边的一个三等分点，故答案选D.
7．一个简单几何体的主视图、左视图如图所示，则其俯视图不可能为()
A．长方形和三角形
B．圆和正方形
C．椭圆和三角形
D．椭圆和长方形
答案：B
解析：根据三视图画法规则“长对正，高平齐，宽相等”，俯视图应与主视图同长为2，与左视图同宽为1，故不可能是圆和正方形．
8．A、B为球面上相异两点，则通过A、B可作的大圆个数为()
A．1个B．无数个
C．一个也没有D．1个或无数个
答案：D
解析：当A、B是球的直径的两个端点时，过A、B的大圆有无数个，否则只有一个，故选D.
9．如图所示，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1 cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是( )
A ．8 cm
B ．6 cm
C ．2(1＋3) cm
D ．2(1＋2) cm 答案：A
解析：根据直观图的画法，原几何图形如图所示，四边形OABC 为平行四边形，OB ＝22，OA ＝1，AB ＝3，从而原图周长为8 cm .
10．如图，在一个侧置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )
答案：B
解析：截面所截得的圆不与侧棱相切，与底面和侧面的高相切．
二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在题中横线上． 11．已知三棱锥的底面是边长为a 的正三角形，则过各侧棱中点的截面的面积为________．
答案：3
16
a 2
解析：如图所示，△A ′B ′C ′即为所求的截面图形．由三角形中位线性质定理，得
△A ′B ′C ′∽△ABC ，且对应边长之比为1 2.故S △A ′B ′C ′S △ABC ＝(12)2＝14.又因为S △ABC ＝
1
2×a ×
32a ＝34a 2，所以S △A ′B ′C ′＝14S △ABC ＝3
16
a 2.
12．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则圆锥的高是__________． 答案：2 2
解析：设圆锥的高是x ，底面半径是r ，则1
2
·2r·x ＝8，即rx ＝8.因为r ＝42－x 2，代入
上式，得16－x 2·x ＝8，所以x ＝2 2.
13．某水平放置的四边形OABC 的直观图是四边形O ′A ′B ′C ′，其中在斜二测画法的坐标系中，A ′(2,0)，B ′(1,1)，C ′(0,1)，O ′(0,0)，则四边形OABC 的面积是________．
答案：3
解析：该四边形是直角梯形，它的面积S ＝12×(1＋2)×2＝3
2
×2＝3.
三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．若两个长方体的长、宽、高分别为5 cm 、4 cm 、3 cm ，把它们两个全等的面重合在一起组成大长方体，求大长方体的对角线最长为多少？
解：两个长方体拼在一起有三种情况 (5＋5)2＋42＋32＝
5 5① 52＋(4＋4)2＋32＝7 2② 52＋42＋
(3＋3)2＝77③
显然第一种最长，所以最长的对角线为5 5cm .
15．如图是棱长为3的正方体截下来的一个四棱锥．
(1)请作出它的三视图；
(2)用几个这样的几何体可拼成边长为3的一个正方体？ 解：(1)三视图如下：
(2)用三个，下图中三个四棱锥分别是A －BCGF ，A －DCGH ，A －EFGH.
16．有一个半径为72的扇形，剪去一个小扇形OCD 后剩下的扇环ABDC ，如图，设扇环ABDC 的面积为648π，如果把这个扇环卷成一个圆台的侧面，则圆台的下底半径与上底半径之差是6，求圆台侧面展开图的中心角和圆台的高．
解：设圆台上底半径为r ，下底半径为R ，高和母线分别为h 、l ，展开图的中心角为θ.则
⎩⎪⎨⎪⎧
R ＝r ＋6
648π＝π(r ＋R )l h 2
＝l 2
－(R －r )2
72－l 72＝r R
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
648＝(2r ＋6)l ，
h 2
＝l 2
－36，72－l 72＝r
r ＋6.
∴r ＝6，l ＝36.
∴h ＝635，θ＝2πR 72＝12π72＝π
6
＝30°.
∴中心角为30°，高为635.
17．如图所示，一个正三棱锥A －BCD 中，底面边长为a ，侧棱长为2a ，过B 点作与侧棱AC 、AD 相交的截面BEF.在这个截面三角形中，求：
(1)周长的最小值；
(2)周长最小时截面的面积．
解：(1)将三棱锥的侧面展开，如图(1)所示要使周长最小，则三边BE ，EF ，FB ′共线，又△ABB ′为等腰三角形，△ABE ≌△AB ′F.
∴△AEF 为等腰三角形，∴EF ∥CD ，∠1＝∠2＝∠3＝∠4， ∴△ABC ∽△BCE ∽△AEF ， ∴AE AB ＝EF BC ，AE BC ＝EF
CE
，又AB ＝2a ，BC ＝a ， CE ＝AB －AE ＝2a －AE ，代入上述比例式中得
AE ＝32a ，EF ＝3
4
a ，又∠3＝∠4，
∴BC ＝BE ＝a ，B ′F ＝B ′D ＝BC ＝a.
∴BB ′＝BE ＋EF ＋FB ′＝11
4
a.
即最小周长为11
4
a.
(2)由(1)知：BE ＝B ′F ＝a.
∴截面△BEF 为等腰三角形，如图(2)所示．
过B 作BG ⊥EF 于G. 则BG ＝BE 2－EG 2＝
a 2－(38a )2＝558a ，∴S △BEF ＝12BG·EF ＝3 5564
a 2
.
即截面三角形周长最小时截面的面积为3 5564
a 2
.
18．桌面上有三个半径均为r 的小球，它们两两相切，现有第四个半径为r 的小球放在三个小球上面，且与这三个小球都相切，求第四个小球的球心离桌面的距离．
解：如图所示，设桌面上三个小球的球心分别为O 1，O 2，O 3，第四个小球的球心为O 4.因每两个小球都相切，所以O 1，O 2，O 3，O 4构成一个棱长都为2r 且各面都全等的正三角形的三棱锥．
设O 4在平面O 1O 2O 3的正投影为O ，则O 4到桌面的距离为O 4O ＋r. 连接O 3O ，由于O 为正三角形△O 1O 2O 3的中心，
∴OO 3＝23×32×2r ＝2 3
3r.
∴O 4O ＝
(2r )2－⎝⎛
⎭
⎫2 33r 2＝2 6
3r.
因此，第四个小球的球心离桌面的距离为⎝⎛⎭
⎫
2 63＋1 r.。