双辽市二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

双辽市二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知圆过定点且圆心在抛物线上运动，若轴截圆所得的弦为，则弦长
M )1,0(M y x 22
=x M ||PQ 等于（ ）
||PQ A ．2 B ．3
C ．4
D ．与点位置有关的值
【命题意图】本题考查了抛物线的标准方程、圆的几何性质，对数形结合能力与逻辑推理运算能力要求较高，
难度较大.
2． 三个实数a 、b 、c 成等比数列，且a+b+c=6，则b 的取值范围是（ ）
A ．[﹣6，2]
B ．[﹣6，0）∪（ 0，2]
C ．[﹣2，0）∪（ 0，6]
D ．（0，2]
3． 函数f （x ）=有且只有一个零点时，a 的取值范围是（
）
A ．a ≤0
B ．0＜a ＜
C ．＜a ＜1
D ．a ≤0或a ＞1
4． 空间直角坐标系中，点A （﹣2，1，3）关于点B （1，﹣1，2）的对称点C 的坐标为（ ）
A ．（4，1，1）
B ．（﹣1，0，5）
C ．（4，﹣3，1）
D ．（﹣5，3，4）5． 经过点且在两轴上截距相等的直线是（ ）
()1,1M A ． B ．20x y +-=10
x y +-=C ．或 D ．或1x =1y =20x y +-=0
x y -=6． 数列﹣1，4，﹣7，10，…，（﹣1）n （3n ﹣2）的前n 项和为S n ，则S 11+S 20=（
）
A ．﹣16
B ．14
C ．28
D ．30
7． 已知幂函数y=f （x ）的图象过点（，），则f （2）的值为（
）
A ．
B ．﹣
C ．2
D ．﹣2
8． 方程（x 2﹣4）2+（y 2﹣4）2=0表示的图形是（ ）
A ．两个点
B ．四个点
C ．两条直线
D ．四条直线
　9． 在区域内任意取一点P （x ，y ），则x 2+y 2＜1的概率是（ ）
A ．0
B ．
C ．
D ．
10．在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于
，且获得一等奖
的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是（ ）
A ．最多可以购买4份一等奖奖品
B ．最多可以购买16份二等奖奖品
C ．购买奖品至少要花费100元
D ．共有20种不同的购买奖品方案
11．学校将5个参加知识竞赛的名额全部分配给高一年级的4个班级，其中甲班级至少分配2个名额，其它班级可以不分配或分配多个名额，则不同的分配方案共有（ ）
A ．20种
B ．24种
C ．26种
D ．30种
12．i 是虚数单位，计算i+i 2+i 3=（ ）
A ．﹣1
B ．1
C ．﹣i
D ．i 二、填空题
13．抛物线y 2=4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离|MF|=4，则点M 的横坐标x= ．14．的展开式中，常数项为___________．（用数字作答）8
1
(x x
-【命题意图】本题考查用二项式定理求指定项，基础题.
15．【南通中学2018届高三10月月考】已知函数，若曲线在点处的切线经
()3
2f x x x =-()f x ()()
1,1f 过圆的圆心，则实数的值为__________．
()2
2:2C x y a +-=a 16．已知，，与的夹角为
，则
．
||2=a ||1=b 2-a 13
b 3
π
|2|+=a b 17．一个圆柱和一个圆锥的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是 ．18．已知等差数列{a n }中，a 3=
，则cos （a 1+a 2+a 6）= ．
三、解答题
19．已知数列{a n }满足a 1=a ，a n+1=（n ∈N *）．
（1）求a 2，a 3，a 4；
（2）猜测数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明．
20．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=1，AA 1=2，E 为BB 1中点．（Ⅰ）证明：AC ⊥D 1E ；
（Ⅱ）求DE 与平面AD 1E 所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱AD 上是否存在一点P ，使得BP ∥平面AD 1E ？若存在，求DP 的长；若不存在，说明理由．
21．已知{a n }为等比数列，a 1=1，a 6=243．S n 为等差数列{b n }的前n 项和，b 1=3，S 5=35．（1）求{a n }和{B n }的通项公式；（2）设T n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ，求T n ．　
22．（本小题满分12分）
设函数()()2741201x x f x a a a --=->≠且.
（1）当a =
时，求不等式()0f x <的解集；（2）当[]01x ∈，
时，()0f x <恒成立，求实数的取值范围．
23．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=10，a2为整数，且S n≤S4。

（1）求{a n}的通项公式；
（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n。

24．如图，M、N是焦点为F的抛物线y2=2px（p＞0）上两个不同的点，且线段MN中点A的横坐标为
，
（1）求|MF|+|NF|的值；
（2）若p=2，直线MN与x轴交于点B点，求点B横坐标的取值范围．
双辽市二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】过作垂直于轴于，设，则，在中，，为M MN x N ),(00y x M )0,(0x N MNQ Rt ∆0||y MN =MQ 圆的半径，为的一半，因此
NQ PQ 22222222
00000||4||4(||||)4[(1)]4(21)
PQ NQ MQ MN x y y x y ==-=+--=-+又点在抛物线上，∴，∴，∴.
M 02
02y x =2
2
00||
4(21)4PQ x y =-+=2||=PQ
2． 【答案】B
【解析】解：设此等比数列的公比为q ，∵a+b+c=6，∴=6，
∴b=
．
当q ＞0时， =2，当且仅当q=1时取等号，此时b ∈（0，2]；
当q ＜0时，b
=﹣6，当且仅当q=﹣1时取等号，此时b ∈[﹣6，0）．
∴b 的取值范围是[﹣6，0）∪（ 0，2]．故选：B ．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式、基本不等式的性质、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3． 【答案】D
【解析】解：∵f（1）=lg1=0，
∴当x≤0时，函数f（x）没有零点，
故﹣2x+a＞0或﹣2x+a＜0在（﹣∞，0]上恒成立，
即a＞2x，或a＜2x在（﹣∞，0]上恒成立，
故a＞1或a≤0；
故选D．
【点评】本题考查了分段函数的应用，函数零点与方程的关系应用及恒成立问题，属于基础题．
4．【答案】C
【解析】解：设C（x，y，z），
∵点A（﹣2，1，3）关于点B（1，﹣1，2）的对称点C，
∴，解得x=4，y=﹣3，z=1，
∴C（4，﹣3，1）．
故选：C．
5．【答案】D
【解析】
考点：直线的方程.
6．【答案】B
【解析】解：∵a n=（﹣1）n（3n﹣2），
∴S11=（）+（a2+a4+a6+a8+a10）
=﹣（1+7+13+19+25+31）+（4+10+16+22+28）
=﹣16，
S20=（a1+a3+…+a19）+（a2+a4+…+a20）
=﹣（1+7+...+55）+（4+10+ (58)
=﹣+
=30，
∴S11+S20=﹣16+30=14．
故选：B．
【点评】本题考查数列求和，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法和等差数列的性质的合理运用．　
7．【答案】A
【解析】解：设幂函数y=f（x）=xα，把点（，）代入可得=α，
∴α=，即f（x）=，
故f（2）==，
故选：A．
8．【答案】B
【解析】解：方程（x2﹣4）2+（y2﹣4）2=0
则x2﹣4=0并且y2﹣4=0，
即，
解得：，，，，
得到4个点．
故选：B．
【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件，方程的应用，考查计算能力．
9．【答案】C
【解析】解：根据题意，如图，设O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），
分析可得区域表示的区域为以正方形OABC的内部及边界，其面积为1；
x2+y2＜1表示圆心在原点，半径为1的圆，在正方形OABC的内部的面积为=，
由几何概型的计算公式，可得点P（x，y）满足x2+y2＜1的概率是=；
故选C．
【点评】本题考查几何概型的计算，解题的关键是将不等式（组）转化为平面直角坐标系下的图形的面积，进而由其公式计算．
10．【答案】D
【解析】【知识点】线性规划
【试题解析】设购买一、二等奖奖品份数分别为x，y，
则根据题意有：，作可行域为：
A(2，6)，B(4，12)，C(2，16)．在可行域内的整数点有：（2，6），（2，7），……．（2，16），（3，9），（3，10），……．．(3，14)，(4，12)，共11+6+1=18个。

其中，x最大为4，y最大为16．
最少要购买2份一等奖奖品，6份二等奖奖品，所以最少要花费100元。

所以A、B、C正确，D错误。

故答案为：D
11．【答案】A
【解析】解：甲班级分配2个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有1+6+3=10种不同的分配方案；
甲班级分配3个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3+3=6种不同的分配方案；
甲班级分配4个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3种不同的分配方案；
甲班级分配5个名额，有1种不同的分配方案．
故共有10+6+3+1=20种不同的分配方案，
故选：A．
【点评】本题考查分类计数原理，注意分类时做到不重不漏，是一个中档题，解题时容易出错，本题应用分类讨论思想．
12．【答案】A
【解析】解：由复数性质知：i 2=﹣1故i+i 2+i 3=i+（﹣1）+（﹣i ）=﹣1故选A
【点评】本题考查复数幂的运算，是基础题．　
二、填空题
13．【答案】　3　．
【解析】解：∵抛物线y 2=4x=2px ，∴p=2，
由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|MF|=4=x+=4，∴x=3，故答案为：3．
【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．　
14．【答案】70
【解析】的展开式通项为，所以当时，常数项为
81
(x x -8821881((1)r r
r r r r r T C x C x x
--+=-=-4r =.
448(1)70C -=15．【答案】2
-【解析】结合函数的解析式可得：，
()3
11211f =-⨯=-对函数求导可得：，故切线的斜率为，
()2
'32f x x =-()2
'13121k f ==⨯-=则切线方程为：，即，
()111y x +=⨯-2y x =-圆：的圆心为，则：.C ()2
22x y a +-=()0,a 022a =-=-16．【答案】2
【解析】解析：本题考查向量夹角与向量数量积的应用．与的夹角为，，a b 23
π
1⋅=-a b
∴．
|2|+=
a b 2==17．【答案】　2：1　．
【解析】解：设圆锥、圆柱的母线为l ，底面半径为r ，
所以圆锥的侧面积为：=πrl
圆柱的侧面积为：2πrl
所以圆柱和圆锥的侧面积的比为：2：1
故答案为：2：1
18．【答案】 ．
【解析】解：∵数列{a n}为等差数列，且a3=，
∴a1+a2+a6=3a1+6d=3（a1+2d）=3a3=3×=，
∴cos（a1+a2+a6）=cos=．
故答案是：．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由a n+1=，可得a2==，a3==
=，
a4===．
（2）猜测a n=（n∈N*）．
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，左边=a1=a，
右边==a，猜测成立．
②假设当n=k（k∈N*）时猜测成立，
即a k=．
则当n=k+1时，a k+1==
==
．
故当n=k+1时，猜测也成立．
由①，②可知，对任意n∈N*都有a n=成立．
20．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：连接BD
∵ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，∴D1D⊥平面ABCD，
又AC⊂平面ABCD，∴D1D⊥AC…1分
在长方形ABCD中，AB=BC，∴BD⊥AC…2分
又BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BB1D1D，…3分
而D1E⊂平面BB1D1D，∴AC⊥D1E…4分
（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系Dxyz，则A（1，0，0），D1（0，0，2），E（1，1，1），B（1，1，0），
∴…5分
设平面AD1E的法向量为，则，即
令z=1，则…7分
∴…8分
∴DE与平面AD1E所成角的正弦值为…9分
（Ⅲ）解：假设在棱AD上存在一点P，使得BP∥平面AD1E．
设P的坐标为（t，0，0）（0≤t≤1），则
∵BP∥平面AD1E
∴，即，
∴2（t﹣1）+1=0，解得，…12分
∴在棱AD上存在一点P，使得BP∥平面AD1E，此时DP的长．…13分．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵{a n }为等比数列，a 1=1，a 6=243，∴1×q 5=243，解得q=3，∴
．
∵S n 为等差数列{b n }的前n 项和，b 1=3，S 5=35．
∴5×3+
d=35，解得d=2，
b n =3+（n ﹣1）×2=2n+1．（Ⅱ）∵T n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ，∴
①
②
①﹣②得：
，
整理得：．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n 项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法
的合理运用．　
22．【答案】（1）158⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭，；（2）()11128a ⎫∈⎪⎪⎭
，，．【解析】
试题分析：（1）由于1
2
2a -==⇒()141272
22x x ---<⇒()127412x x -<--⇒158
x <⇒原不等式的解集为
158⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
，；（2）由()()27
41442
27lg 241lg lg lg 0128x x a a x x a x a --<⇒-<-⇒+<A ．设()44lg lg 128a g x x a =+A ，
原命题转化为()()
10
12800g a g <⎧⎪⇒<⎨<⎪⎩⇒又0a >且1a ≠⇒()11128a ⎫∈⎪⎪⎭ ，，．考
点：1、函数与不等式；2、对数与指数运算.
【方法点晴】本题考查函数与不等式、对数与指数运算，涉及函数与不等式思想、数形结合思想和转化化高新，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力与能力，综合性较强，属于较难题型. 第一小题利用函数
与不等式思想和转化化归思想将原不等式转化为()127412x x -<--，解得15
8
x <；第二小题利用数学结合思
想和转化思想，将原命题转化为()()10
12800g a g <⎧⎪⇒<⎨<⎪⎩ ，进而求得：()11128a ⎫∈⎪⎪⎭ ，，．23．【答案】
【解析】（1）由a 1=10，a 2为整数，且S n ≤S 4得a 4≥0，a 5≤0，即10+3d ≥0，10+4d ≤0，解得﹣≤d ≤﹣，
∴d=﹣3，
∴{a n }的通项公式为a n =13﹣3n 。

（2）∵b n ==
，
∴T n=b1+b2+…+b n=（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）=。

24．【答案】
【解析】解：（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=8﹣p，|MF|=x1+，|NF|=x2+，
∴|MF|+|NF|=x1+x2+p=8；
（2）p=2时，y2=4x，
若直线MN斜率不存在，则B（3，0）；
若直线MN斜率存在，设A（3，t）（t≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），则
代入利用点差法，可得y12﹣y22=4（x1﹣x2）
∴k MN=，
∴直线MN的方程为y﹣t=（x﹣3），
∴B的横坐标为x=3﹣，
直线MN代入y2=4x，可得y2﹣2ty+2t2﹣12=0
△＞0可得0＜t2＜12，
∴x=3﹣∈（﹣3，3），
∴点B横坐标的取值范围是（﹣3，3）．
【点评】本题考查抛物线的定义，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。