洪山区第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

洪山区第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．已知等差数列{a n}中，a6+a8=16，a4=1，则a10的值是（）
A．15 B．30 C．31 D．64
2．给出定义：若（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m 在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x﹣{x}|的四个命题：
①；②f（3.4）=﹣0.4；
③；④y=f（x）的定义域为R，值域是；
则其中真命题的序号是（）
A．①②B．①③C．②④D．③④
3．已知某运动物体的位移随时间变化的函数关系为，设物体第n秒内的位移为a n，则数列{a n}是（）
A．公差为a的等差数列B．公差为﹣a的等差数列
C．公比为a的等比数列D．公比为的等比数列
4．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，=（2，4），=（1，3），则等于（）A．（2，4） B．（3，5） C．（﹣3，﹣5） D．（﹣2，﹣4）
5．设函数y=的定义域为M，集合N={y|y=x2，x∈R}，则M∩N=（）
A．∅B．N C．[1，+∞）D．M
6．抛物线y=﹣8x2的准线方程是（）
A．y=B．y=2 C．x=D．y=﹣2
7．曲线y=在点（1，﹣1）处的切线方程为（）
A．y=x﹣2 B．y=﹣3x+2 C．y=2x﹣3 D．y=﹣2x+1
8．O为坐标原点，F为抛物线的焦点，P是抛物线C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（）
A．1 B．C．D．2
9． 某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N （105，102），已知P （95≤ξ≤105）=0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7
10．命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是（ ） A ．对任意实数x ，都有x ＞1 B ．不存在实数x ，使x ≤1 C ．对任意实数x ，都有x ≤1 D ．存在实数x ，使x ≤1
11．若，则等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．若椭圆+=1的离心率e=
，则m 的值为（ ）
A ．1
B ．
或
C ．
D ．3或
二、填空题
13．已知函数
，则
__________；
的最小值为__________．
14．已知x 、y 之间的一组数据如下：
x 0 1 2
3 y 8 2 6
4
则线性回归方程
所表示的直线必经过点 ．
15．在△ABC 中，若a=9，b=10，c=12，则△ABC 的形状是 ．
16．若数列{}n a 满足212332n a a a a n n =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则数列{}n a 的通项公式为 .
17．在矩形ABCD 中，
=（1，﹣3），
，则实数k= ．
18．如图，是一回形图，其回形通道的宽和OB 1的长均为1，回形线与射线OA 交于A 1，A 2，A 3，…，若从点O 到点A 3的回形线为第1圈（长为7），从点A 3到点A 2的回形线为第2圈，从点A 2到点A 3的回形线为第3圈…依此类推，第8圈的长为 ．
三、解答题
19．某单位组织职工开展构建绿色家园活动，在今年3月份参加义务植树活动的职工中，随机抽取M名职工为样本，得到这些职工植树的株数，根据此数据作出了频数与频率统计表和频率分布直方图如图：
（1）求出表中M，p及图中a的值；
（2）单位决定对参加植树的职工进行表彰，对植树株数在[25，30）区间的职工发放价值800元的奖品，对植树株数在[20，25）区间的职工发放价值600元的奖品，对植树株数在[15，20）区间的职工发放价值400元的奖品，对植树株数在[10，15）区间的职工发放价值200元的奖品，在所取样本中，任意取出2人，并设X为
X E X
合计
20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2=a2+bc．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）如果cosB=，b=2，求a的值．
21．解不等式|3x﹣1|＜x+2．
22．已知﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2，点P的坐标为（x，y）
（1）求当x，y∈Z时，点P满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的概率；
（2）求当x，y∈R时，点P满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的概率．
23．设函数f（x）=lg（a x﹣b x），且f（1）=lg2，f（2）=lg12
（1）求a，b的值．
（2）当x∈[1，2]时，求f（x）的最大值．
（3）m为何值时，函数g（x）=a x的图象与h（x）=b x﹣m的图象恒有两个交点．
24．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面三角形ABC为正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=2，AA1=4，E为AA1的中点，F为BC的中点
（1）求证：直线AF∥平面BEC1
（2）求A到平面BEC1的距离．
洪山区第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：∵等差数列{a n}，
∴a6+a8=a4+a10，即16=1+a10，
∴a10=15，
故选：A．
2．【答案】B
【解析】解：①∵﹣1﹣＜﹣≤﹣1+
∴{﹣}=﹣1
∴f（﹣）=|﹣﹣{﹣}|=|﹣+1|=
∴①正确；
②∵3﹣＜3.4≤3+
∴{3.4}=3
∴f（3.4）=|3.4﹣{3.4}|=|3.4﹣3|=0.4
∴②错误；
③∵0﹣＜﹣≤0+
∴{﹣}=0
∴f（﹣）=|﹣﹣0|=，
∵0﹣＜≤0+
∴{}=0
∴f（）=|﹣0|=，
∴f（﹣）=f（）
∴③正确；
④y=f（x）的定义域为R，值域是[0，]
∴④错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查对于新定义的理解与运用，是对学生能力的考查．
3．【答案】A
【解析】解：∵，
∴a n=S（n）﹣s（n﹣1）=
=
∴a n﹣a n﹣1==a
∴数列{a n}是以a为公差的等差数列
故选A
【点评】本题主要考察了数列的递推公式求解数列的通项公式，等差数列的定义的应用，属于数列知识的简单应用
4．【答案】C
【解析】解：∵，
∴==（﹣3，﹣5）．
故选：C．
【点评】本题考查向量的基本运算，向量的坐标求法，考查计算能力．
5．【答案】B
【解析】解：根据题意得：x+1≥0，解得x≥﹣1，
∴函数的定义域M={x|x≥﹣1}；
∵集合N中的函数y=x2≥0，
∴集合N={y|y≥0}，
则M∩N={y|y≥0}=N．
故选B
6．【答案】A
【解析】解：整理抛物线方程得x2=﹣y，∴p=
∵抛物线方程开口向下，
∴准线方程是y=，
故选：A．
【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．
7．【答案】D
【解析】解：y′=（）′=，
∴k=y′|x=1=﹣2．
l：y+1=﹣2（x﹣1），则y=﹣2x+1．
故选：D
8．【答案】C
【解析】解：由抛物线方程得准线方程为：y=﹣1，焦点F（0，1），
又P为C上一点，|PF|=4，
可得y P=3，
代入抛物线方程得：|x
|=2，
P
∴S△POF=|0F|•|x P|=．
故选：C．
9．【答案】B
【解析】解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N（105，102）．
∴考试的成绩ξ关于ξ=105对称，
∵P（95≤ξ≤105）=0.32，
∴P（ξ≥115）=（1﹣0.64）=0.18，
∴该班数学成绩在115分以上的人数为0.18×50=9
故选：B．
【点评】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩ξ关于ξ=105对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．
10．【答案】C
【解析】解：∵命题“存在实数x，使x＞1”的否定是
“对任意实数x，都有x≤1”
故选C
11．【答案】B
【解析】解：∵，
∴，
∴（﹣1，2）=m（1，1）+n（1，﹣1）=（m+n，m﹣n）
∴m+n=﹣1，m﹣n=2，
∴m=，n=﹣，
∴
故选B．
【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题等．
12．【答案】D
【解析】解：当椭圆+=1的焦点在x轴上时，a=，b=，c=
由e=，得=，即m=3
当椭圆+=1的焦点在y轴上时，a=，b=，c=
由e=，得=，
即m=．
故选D
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．解题时要对椭圆的焦点在x轴和y轴进行分类讨论．
二、填空题
13．【答案】
【解析】【知识点】分段函数，抽象函数与复合函数
【试题解析】
当时，
当时，
故
的最小值为
故答案为：
14．【答案】
（，5） ．
【解析】解：
∵
，
=5 ∴线性回归方程y=a+bx 所表示的直线必经过点（1.5，5）
故选C
【点评】解决线性回归直线的方程，利用最小二乘法求出直线的截距和斜率，注意由公式判断出回归直线一定过样本中心点．
15．【答案】锐角三角形
【解析】解：∵c=12是最大边，∴角C 是最大角 根据余弦定理，得
cosC=
=
＞0
∵C ∈（0，π），∴角C 是锐角，
由此可得A 、B 也是锐角，所以△ABC 是锐角三角形 故答案为：锐角三角形
【点评】本题给出三角形的三条边长，判断三角形的形状，着重考查了用余弦定理解三角形和知识，属于基础题．
16．【答案】 6,12
,2,n n a n n n n *
=⎧⎪
=+⎨≥∈⎪⎩N
【解析】【解析】()()12312n a a a a n n =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
11:6n a ==；
()()()
123112312:12 1n n n n a a a a a n n a a a a n n --≥⋅=++=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
故22:n n n a n
+≥=
17．【答案】4．
【解析】解：如图所示，
在矩形ABCD中，=（1，﹣3），，
∴=﹣=（k﹣1，﹣2+3）=（k﹣1，1），
∴•=1×（k﹣1）+（﹣3）×1=0，
解得k=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了利用平面向量的数量积表示向量垂直的应用问题，是基础题目．
18．【答案】63．
【解析】解：∵第一圈长为：1+1+2+2+1=7
第二圈长为：2+3+4+4+2=15
第三圈长为：3+5+6+6+3=23
…
第n圈长为：n+（2n﹣1）+2n+2n+n=8n﹣1
故n=8时，第8圈的长为63，
故答案为：63．
【点评】本题主要考查了归纳推理，解答的一般步骤是：先通过观察第1，2，3，…圈的长的情况发现某些相同性质，再从相同性质中推出一个明确表达的一般性结论，最后将一般性结论再用于特殊情形．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由题可知，，，
又5+12+m+1=M，解得M=20，n=0.6，m=2，p=0.1，
则[15，20）组的频率与组距之比a为0.12．…
（2）所取出两所获品价值之差的绝对值可能为0元、200元、400元、600元，则
，
P（x=200）=，
P（x=400）=，
P（x=600）=…
0 200 400 600
EX==…
【点评】本题考查的是频率分布直方图和离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题，高考常考题型．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵b2+c2=a2+bc，即b2+c2﹣a2=bc，
∴cosA==，
又∵A∈（0，π），
∴A=；
（Ⅱ）∵cosB=，B∈（0，π），
∴sinB==，
由正弦定理=，得a===3．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．21．【答案】
【解析】解：∵|3x﹣1|＜x+2，
∴，
解得﹣．
∴原不等式的解集为{x|﹣＜x＜}．
22．【答案】
【解析】解：如图，点P所在的区域为长方形ABCD的内部（含边界），
满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的点的区域为以（2，2）为圆心，2为半径的圆面（含边界）．
（1）当x，y∈Z时，满足﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2的点有25个，
满足x，y∈Z，且（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的点有6个，
依次为（2，0）、（2，1）、（2，2）、（1，1）、（1，2）、（0，2）；
∴所求的概率P=．
（2）当x，y∈R时，
满足﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2的面积为：4×4=16，
满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4，且﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2的面积为：=π，
∴所求的概率P==．
【点评】本题考查的知识点是几何概型概率计算公式，计算出满足条件和所有基本事件对应的几何量，是解答的关键，难度中档．
23．【答案】
【解析】解：（1）∵f（x）=lg（a x﹣b x），且f（1）=lg2，f（2）=lg12，
∴a﹣b=2，a2﹣b2=12，
解得：a=4，b=2；
（2）由（1）得：函数f（x）=lg（4x﹣2x），
当x∈[1，2]时，4x﹣2x∈[2，12]，
故当x=2时，函数f（x）取最大值lg12，
（3）若函数g（x）=a x的图象与h（x）=b x﹣m的图象恒有两个交点．
则4x﹣2x=m有两个解，令t=2x，则t＞0，
则t2﹣t=m有两个正解；
则，
解得：m∈（﹣，0）
【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．
24．【答案】
【解析】解：（1）取BC1的中点H，连接HE、HF，
则△BCC1中，HF∥CC1且HF=CC1
又∵平行四边形AA1C1C中，AE∥CC1且AE=CC1
∴AE∥HF且AE=HF，可得四边形AFHE为平行四边形，
∴AF∥HE，
∵AF⊄平面REC1，HE⊂平面REC1
∴AF∥平面REC1．…
（2）等边△ABC中，高AF==，所以EH=AF=
由三棱柱ABC﹣A
B1C1是正三棱柱，得C1到平面AA1B1B的距离等于
1
∵Rt△A1C1E≌Rt△ABE，∴EC1=EB，得EH⊥BC1
可得S
△=BC1•EH=××=，
而S△ABE=AB×BE=2
由等体积法得V A﹣BEC1=V C1﹣BEC，
∴S△×d=S△ABE×，（d为点A到平面BEC1的距离）
即××d=×2×，解之得d=
∴点A到平面BEC1的距离等于．…
【点评】本题在正三棱柱中求证线面平行，并求点到平面的距离．着重考查了正三棱柱的性质、线面平行判定定理和等体积法求点到平面的距离等知识，属于中档题．。