2019数学高考单元测试导数的概念与运算

2019数学高考单元测试导数的概念与运算
注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！
无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。

在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。

考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。

只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。

导数的概念及运算测试卷
【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一
项为哪一项符合题目要求的。

〕
1、关于函数切线的描述，以下说法正确的选项是 〔 〕
A 、函数的切线与函数图象有且只有一个交点。

B 、函数)(x f 过),(00y x P 的切线方程为))((00'0x x x f y y -=-。

C 、函数)(x f 在图象上一点),(00y x P 的导数不存在，那么在该点处切线不存在。

D 、函数)(x f 在图象上一点),(00y x P 的切线不存在，那么在该点处导数不存在。

2、某产品的成本函数为12)(24+-=x x x C ，那么该产品在1=x 处的边际成本为 〔 〕
A 、3
B 、2
C 、1
D 、0
3、函数1)(3++=x x x f ，那么=∆-∆+∞→∆x
x f x 3)1(lim 〔 〕 A 、1 B 、4 C 、5 D 、0
4、函数12)(2-=x x f 图象上一点)1,1(及邻近一点)1,1(y x ∆+∆+，那么函数在1到x ∆+1间的函数平均变化率为〔 〕
A 、4
B 、x 4
C 、x ∆+24
D 、224x ∆+ 5、与直线013=+-y x 平行且与曲线3x y =相切的直线方程为 〔 〕
A 、023=--y x
B 、023=+-y x
C 、023=--y x 或023=+-y x
D 、043=-+y x
6、设函数)(x f 在0x 处可导，那么=--+→h
h x f h x f h )()(lim 000 〔 〕
A 、)(0'x f
B 、0
C 、)(20'x f
D 、)(20'x f -
7、函数)1(2)('3xf x x f +=，那么=)0('
f 〔 〕
A 、6-
B 、6
C 、4-
D 、4
8、),(00y x P ，函数)(x f 在0x x =处的导数)(0'x f 的几何意义为 〔 〕 A 、过),(00y x P 的曲线)(x f 的切线斜率。

B 、),(00y x P 与原点连线的斜率。

C 、 曲线)(x f 在点))(,(00x f x 的切线的斜率。

D 、曲线)(x f 在点))(,(00x f x 的切线与x 轴夹角正切值。

9、曲线13-=x y 与曲线22
13x y -=在0x x =处的切线互相垂直，那么0x 的值为〔 〕 A 、3
3 B 、333 C 、3 D 、393
10、在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4
π的点中，坐标为整数的点的个数为〔 〕 A 、3 B 、2 C 、1 D 、0
11、物体运动的图象如图〔时间为x ，位移为y 〕如右图所示，
那么其导函数的图象为〔 〕
A B
C D
那么x x x x f ++=23)(；②0=y 是函数3)(x x f =的一条切线；③||x y =在0=x 处的切线为x 轴；④函数31)(x x f =在原点处的切线是0=x ；()
A.①②③
B.②④
C.①②
D.③④
【二】填空题〔本大题共4小题，每题4分，共计16分，请指导答案填在答题卡上〕
13、函数)2()1()(2+-=x x x f 在1=x 处的导数等于.
14、函数b a ax y +=的导数2'6x y =，那么=a ______，=b ______、 15、设P 点是曲线3
233+
-=x x y 上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，那么角α的取值范围是______________。

16、c bx x x x f ++-=232
1)(的图象存在与x 轴平行的切线，那么b 的范围是____________.
【三】解答题〔本大题共6小题，共计74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤〕
17、〔本小题总分值12分〕曲线x x y 42+-=上有两点)0,4(A ，)4,2(B 〔1〕求割线AB 斜率及直线AB 方程。

〔2〕在曲线AB 上是否存在点C ，使曲线在C 点的切线与直线AB 平行，假设存在，求出C 点坐标；假设不存在，说明理由。

18、〔本小题总分值12分〕求抛物线2x y =上一点到直线02=--y x 的最短距离，并求该点坐标。

19、〔本小题总分值12分〕直线1l 为曲线22-+=x x y 在点)0,1(P 处的切线，2l 为曲线的另一条切线，且12l l ⊥。

〔1〕求直线2l 的方程。

〔2〕求直线1l ，2l 与x 轴所围成的三角形面积。

20、〔本小题总分值12分〕函数)()(2a x x x f -=，其中a 为正常数。

〔1〕当)1,0(∈x 时函数)(x f 的图象上任意一点P 处的切线斜率为k ，假设1-≥k ，求a 的范围。

〔2〕假设2-=a ，求曲线过点))1(,1(--f Q 的切线方程。

21、〔本小题总分值12分〕求满足以下条件的函数)(x f ：〔1〕)(x f 是三次函数，且3)0(=f ，0)0('=f ，
3)1('-=f ，0)2('=f ；
〔2〕)('x f 是一次函数，且1)()12()('2=--x f x x f x 。

22、〔本小题总分值14分〕函数),()(2
3R b a b ax x x f ∈++-= 〔1〕假设函数)(x f y =的图象上任意两个不同的点连线斜率小于1，求证：33<<-a 。

〔2〕假设]1,0[∈x ，且函数)(x f y =的图象上任一点的斜率为k ，试讨论1||≤k 的充要条件。

参考答案
一、 选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有
一项为哪一项符合题目要求的。

〕
1、D.排除法，A 选项错，有可能多个交点，B 错，因为P 点不一定是切点，C 错，当切线与y 轴平行时候，斜率不存在，导数也不存在，应选D
2、D 、边际成本即成本函数对产量的导数，0|44)1(13'=-==x x x C ，应选D 。

3、B 、发现3)1(=f 变形为4|13)1()1()1(lim 12'=+==∆-∆+=∞→∆x x x f x
f x f ，应选B 。

4、C 、函数平均变化率x x
x x f x f x y ∆+=∆⋅-∆+=∆-∆+=∆∆2412)1(2)1()1(2
2，应选C 5、C 、332
'==x y ，解得1±=x ，故切线方程有两组解，切点分别为），，（11)1,1(--由点斜式得到切线方程为023=--y x 或023=+-y x ，应选C 6、C 、h
h x f x f h x f h x f h h x f h x f h h h )()(lim )()(lim )()(lim 000000000--+-+=--+→→→，由导数定义式及变形式，可知即为)(20'x f ，应选C
7、A 、)1(23)('2'f x x f +=代入1=x ，解德3)1('-=f ，代回原式得63)(2'-=x x f ，故6)0('-=f
8、C ，由定义可知导数的几何意义为在切点))(,(00x f x 处切线的斜率，题中),(00y x P 不一定是切点。

9、D ，1)(302
0-=-⋅x x 解得3130
=x 即3931330==x ，应选D 10、D 、18302'<-=≤x y 解得33
82<≤x ，故这样的整数x 不存在，此题须注意0'≥y 的限制。

11、D 、根据定义曲线在某点的导数既为在该点的切线斜率，可知在OA 段切线斜率为常数且最大，AB 段切线斜率为常数稍小，在BC 段切线斜率为常数且为负数，应选D
12、B ，①错，c x x x x f +++=2
3)(也符合；②对，有切线的定义可得出；③错，从原点左右两边按照切线定义发现割线不存在这样一个极限位置，故在该点无切线；④对，与②相同，有切线的极限定义可得出。

【二】填空题〔本大题共4小题，每题4分，共计16分，请指导答案填在答题卡上〕
13、0。

23)2()1()(32+-=+-=x x x x x f ，故0|33)1(12'=-==x x f 14、1,2==b a 。

21'6)(x x b a a y b a =+⋅=-+，得到21,6)(=-+=+b a b a a 且，得到
1,2==b a
15、),3
2[
]2,0[πππ ，3332'-≥-=x y ，结合倾斜角范围3tan -≥θ得到),3
2[]2,0[πππθ ∈。

16、121≤b ，即存在x 使03)('2=+-=b x x x f ，故0121≥-=∆b ，得到121≤b
【三】解答题〔本大题共6小题，共计74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤〕
17、解：〔1〕24
204-=--=AB k ，AB 方程为)4(2--=x y 化简得到082=-+y x 〔2〕设存在),(00y x C ，使2420'-=+-=x y ，解得30=x ，代入曲线方程得到30=y
故存在)3,3(C
18、解：设在2
x y =图象上一点),(00y x P 且与
直线02=--y x 平行的切线方程为0=--c y x
如右图可知，切点P 到直线02=--y x 距离最短
由导数可得到12|2|'000=====x x y x x x x 得到切点)41,21(P ，此时距离82724711|24121|
==+--=d 〔考察利用数形结合求距离最小值〕
19、解：〔1〕1l ：3|12|'11=+====x x x y k ，故1l 直线方程为33-=x y ，有由于21l l ⊥，
可知直线2l 斜率为3
1-
，设2l 与曲线相切于点),(00y x P ，那么得到31|12|'002-=+====x x x x x y k ，解得320-=x ，代入曲线方程解得9
200-=y ，直线2l 方程为)3
2(31920+-=+x y ，化简得到02293=++y x 〔2〕直线21,l l 与x 轴交点坐标分别为)0,322(),0,1(-B A ， 联立⎩⎨⎧=++=--0
2293033y x y x 解得两直线交点坐标为)25,61(-C 故所求三角形面积12
125|25||)1322(|21=-⋅--⋅=s 20、解：〔1〕23)(ax x x f -=得到ax x x f 23)('2-=由题意可知1232-≥-ax x 在
)1,0(∈x 时恒成立，即，分离参数法，得到x
x x x a 21232132+=+≤恒成立 由于3212322123=⋅≥+x x x x 当且仅当)1,0(3
3∈=x 取等号 故30≤
<a 〔考察恒成立求参数范围〕
〔2〕易知232)(x x x f +=，x x x f 43)('2
+=，)1,1(-Q 在曲线上。

1、假设)1,1(-Q 为切点，那么斜率1)1('-=-=f k ，此时切线方程为0=+y x
2、假设)1,1(-Q 不是切点，那么设切点),(00y x P ，那么10-≠x
112)1(143)('020300002
0+-+=---=+==x x x x y x x x f k 变形得到12)1)(43(20300020-+=++x x x x x
得到0145202030=+++x x x ，分解因式0)12()1(020=++x x 解得210-=x 故)83,21(-P ，代入解得4
5-=k 切线方程为：0145=++y x 〔此题涉及较简单高次方程的解法，需要先看出一个根，再因式分解〕〔考察过某点的切线求法与在某点切线求法的区别及解简单高次方程〕
21、解：〔1〕设d cx bx ax x f +++=23)(，那么c bx ax x f ++=23)('2
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-=+=====0
412)2('323)1('0)0('3)0(b a f b a f c f d f 解得：.3,0,3,1==-==d c b a 33)(23+-=x x x f
〔2〕设c bx ax x f ++=2
)(，那么b ax x f +=2)('
由题意1))(12()2(22=+++-+c bx x x b ax x 化简1)2()(2=+-+-c x c b x b a 对任意x 都成立，所以⎪⎩
⎪⎨⎧===12c c b b a 得到.1,2,2===c b a
122)(2++=x x x f
〔此题考察待定系数法〕
22、解：〔1〕设函数)(x f y =上任意不同的两点),(11y x P ，),(22y x Q ，且21x x ≠
1)(1212221212
1223221312121<+++--⇔<--++-=--x x a x x x x x x ax x ax x x x y y
01)(2221221<-+--+-⇔ax x x x a x ∵R x ∈1
∴0)1(4)(22222<-+-+-=∆ax x x a 配方得到0)3(44)3(3222<-+-
-a a x 于是必有032<-a 得到33<<-a 〔考察变换主元〕
〔2〕.当]1,0[∈x 时,ax x x f k 23)('2+-==,由题意12312≤+-≤-ax x 恒成立,得到
1321322+≤≤-x ax x ,于是x
x a x x 21232123+≤≤-在]1,0[∈x 恒成立. x x y 2123-=在]1,0[∈x 为增函数,12123≤-x
x ,而34322123=≥+x x 故31≤≤a 是11≤≤-k 的必要条件;
接下来证明充分性,当31≤
≤a 时,ax x x f k 23)('2+-==,]1,0[∈x 对称轴]1,0[]33,31[3⊂∈=a x ,k 的最大值为13
323)3('2
22≤=+-==a a a a f k 而k 的最小值为)0('f 或)1('f ,计算得到10)0('-≥=f ,123)1('-≥+-=a f 故11≤≤-k 成立,充分性得证.〔考察充要条件证明步骤〕。