(易错题精选)初中数学向量的线性运算难题汇编及答案解析

（易错题精选）初中数学向量的线性运算难题汇编及答案解析
一、选择题
1．下列结论正确的是（ ）．
A ．2004cm 长的有向线段不可以表示单位向量
B ．若AB u u u r 是单位向量，则BA u u u r
不是单位向量 C ．若O 是直线l 上一点，单位长度已选定，则l 上只有两点A 、B ，使得OA u u u r 、OB uuu r
是单
位向量
D ．计算向量的模与单位长度无关 【答案】C 【解析】 【分析】
根据单位向量的定义及意义判断即可. 【详解】
A.1个单位长度取作2004cm 时，2004cm 长的有向线段才刚好表示单位向量，故选项A 不正确；
B. AB u u u r
是单位向量时，1AB =uu u r ，而此时1AB BA ==u u u r u u u r ，即BA u u u r 也是单位向量，故选项B
不正确；
C.单位长度选定以后，在l 上点O 的两侧各取一点A 、B ，使得OA u u u r 、OB u u u r
都等于这个单位
长度，这时OA u u u r 、OB uuu r
都是单位向量，故选项C 正确；
D.没有单位长度就等于没有度量标准，故选项D 不正确. 故选C. 【点睛】
本题考查单位向量，掌握单位向量的定义及意义是解题的关键.
2．已知233m a b =-r r r ，1124
n b a =+r r r ，那么4m n -r r
等于（ ）
A ．823a b -r r
B ．443a b r r -
C ．423
a b -r r
D ．843
a b -r r
【答案】A 【解析】
根据向量的混合运算法则求解即可求得答案，注意解题需细心．
解：∵233m a b =-r r r ，1124
n b a =+r r r
，
∴4m n -r r =2112834()32232433
a b b a a b b a a b --+=---=-r
r r r r r r r r r ．
故选A ．
3．若AB u u u r
是非零向量，则下列等式正确的是（ ）
A ．A
B BA =u u u r u u u r ；
B ．AB BA u u u v u u u v =；
C ．0AB BA +=u u u r u u u r
；
D ．0AB BA +=u u u r u u u r
.
【答案】B 【解析】 【分析】
长度不为0的向量叫做非零向量,本题根据向量的长度及方向易得结果 【详解】 ∵AB u u u r
是非零向量, ∴AB BA =u u u v u u u v 故选B 【点睛】
此题考查平面向量，难度不大
4．下列判断不正确的是（ ）
A ．如果A
B CD =u u u r u u u r
，那么AB CD =u u u r u u u r
B ．+＝+
C ．如果非零向量a b(0)k k
=坠r r
，那么a r 与b r
平行或共线
D ．AB BA 0+=u u u r u u u r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据模的定义，可判断A 正确；根据平面向量的交换律，可判断B 正确；根据非零向量的知识，可确定C 正确；又由0AB BA +=u u u r u u u r r
可判断D 错误 【详解】
A 、如果A
B CD =u u u r u u u r
，那么AB CD =u u u v u u u v ，故此选项正确；
B 、a b b a +=+r r r r
，故本选项正确；
C 、如果非零向量a b(0)k k =坠r r ，那么a r 与b r
平行或共线，故此选项正确；
D 、0AB BA +=u u u r u u u r r
，故此选项错误；
故选：D ． 【点睛】
此题考查的是平面向量的知识，掌握平面向量相关定义是关键
5．若0a r
、0b r
都是单位向量，则有（ ）．
A ．00a b =r r
B ．00a b =-r r
C ．00a b =r r
D ．00a b =±r r
【答案】C 【解析】 【分析】
由0a r 、0b r 都是单位向量，可得00a b =r r
．注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】
解：∵0a r 、0b r 都是单位向量 ∴00a b =r r
故选C. 【点睛】
本题考查了平面向量的知识．注意掌握单位向量的定义．
6．若向量a r
与b r
均为单位向量，则下列结论中正确的是（ ）．
A ．a b =r r
B ．1a =r
C ．1b =r
D ．a b =r r
【答案】D 【解析】 【分析】
由向量a r
与b r
均为单位向量，可得向量a r
与b r
的模相等，但方向不确定． 【详解】
解：∵向量a r 与b r
均为单位向量，
∴向量a r 与b r
的模相等，
∴a b =r r
.
故答案是：D. 【点睛】
此题考查了单位向量的定义．注意单位向量的模等于1，但方向不确定．
7．已知5AB a b =+u u u r r r ，28BC a b =-+u u u r r r ，()
3CD a b =-u u u r r r ，则（ ）．
A ．A 、
B 、D 三点共线 B ．A 、B 、
C 三点共线 C ．B 、C 、
D 三点共线 D ．A 、C 、D 三点共线
【答案】A 【解析】 【分析】
根据共线向量定理逐一判断即可. 【详解】
解：∵28BC a b =-+u u u r r r ，()
3CD a b =-u u u r r r ，5AB a b =+u u u r r r
∴()
2835BD BC CD a b a b a b =+=-++-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r r
， ∴AB u u u r 、BD u u u r
是共线向量
∴A 、B 、D 三点共线，故A 正确；
∵5AB a b =+u u u r r r ，28BC a b =-+u u u r r r
∴不存在实数λ，使AB BC λ=u u u r u u u r ，即AB u u u r 、BC uuu
r 不是共线向量
∴A 、B 、C 三点共线，故B 错误；
∵28BC a b =-+u u u r r r ，()
3CD a b =-u u u r r r
∴不存在实数λ，使BC CD λ=u u u r u u u r ，即BC uuu r 、CD uuu
r 不是共线向量
∴B 、C 、D 三点共线，故C 错误；
∵5AB a b =+u u u r r r ，28BC a b =-+u u u r r r ，()
3CD a b =-u u u r r r ，
∴()
52813AC AB BC a b a b a b =+=++-+=-+u u u r u u u r u u u r r r r r r r
∴不存在实数λ，使AC CD λ=u u u r u u u r ，即AC u u u r 、CD uuu
r 不是共线向量
∴A 、C 、D 三点共线，故D 错误； 故选A. 【点睛】
此题考查的是共线向量的判定，掌握共线向量的定理是解决此题的关键.
8．已知AM 是ABC △的边BC 上的中线，AB a =u u u r r
，AC b =u u u r r ，则AM u u u u r 等于（ ）．
A ．()
12
a b -r r
B ．()
12
b a -r r
C ．()
12
a b +r r
D ．()
12
a b -+r r
【答案】C 【解析】 【分析】
根据向量加法的三角形法则求出：CB a b =-u u u r r
r ，然后根据中线的定义可得：()
12
CM a b =-u u u u r r r ，再根据向量加法的三角形法则即可求出AM u u u u r .
【详解】
解：∵AB a =u u u r r
，AC b =u u u r r ∴CB AB AC a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r
∵AM 是ABC △的边BC 上的中线 ∴
()
1122
CM CB a b ==-u u u u r u u u r r r ∴()()
1122
AM AC CM b b b a a -=+=+=+u u u u r u u u r u u u r r r u r r r
故选C.
【点睛】
此题考查的是向量加法和减法，掌握向量加法的三角形法则是解决此题的关键.
9．在四边形ABCD 中，，
，
，其中与不共线，
则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．矩形
C ．梯形
D ．菱形
【答案】C 【解析】 【分析】
利用向量的运算法则求出，利用向量共线的充要条件判断出
，得到
边AD ∥BC ，AD=2BC ，据梯形的定义得到选项.
【详解】 解：∵
，
∴
，
∴AD ∥BC ，AD=2BC. ∴四边形ABCD 为梯形. 【点睛】
本题考查向量的运算法则向量共线的充要条件、利用向量共线得到直线的关系、梯形的定义.
10．下列式子中错误的是（ ）．
A ．2a a a +=r r r
B ．()0a a +-=r r r
C ．()
a b a b -+=--r r r r
D ．a b b a -=-r r r r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量的定义是既有大小又有方向的量，及向量的运算法则即可分析求解． 【详解】
A. a r 与a r 大小、方向都相同，∴2a a a +=r r r
，故本选项正确；
B. a r
与a -r 大小相同，方向相反，∴()0a a +-=r r r ，故本选项正确；
C.根据实数对于向量的分配律，可知()
a b a b -+=--r r r r
，故本选项正确；
D.根据向量的交换律，可知a b b a -=-+r r r r
，故本选项错误. 故选D. 【点睛】
本题考查向量的运算，掌握运算法则及运算律是解题的关键.
11．如图，在ABC V 中，点D 是在边BC 上，且2BD CD =，AB a =u u u v v ,BC b =u u u
v v ，那么AD uuu v
等于（ ）
A ．a b +v v
B ．2233a b +v v
C ．23a b -v v
D ．23
a b +v v
【答案】D 【解析】 【分析】 根据2BD CD =，即可求出BD uuu v
，然后根据平面向量的三角形法则即可求出结论．
【详解】 解：∵2BD CD =
∴2233BD BC b ==u u u v u u u v v
∴23
AD AB BD a b =+=+u u u v u u u v u u u v v v
故选D ． 【点睛】
此题考查的是平面向量的加法，掌握平面向量的三角形法则是解决此题的关键．
12．下列关于向量的运算中，正确的是 A ．a b b a -=-r r r r
； B ．2()22a b a b --=-+r r r r
； C ．()0a a +-=r r
； D ．0a a +=r r
．
【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量的运算法则进行计算. 【详解】
A. ()
,a b b a A ---v
v v v ＝所以错误；
B. ()
222a b a b B ---v v
v v ＝＋，所以正确； C. ()0a a -r
v v ＋＝，C 所以错误;
D.向量与数字不能相加，所以D 错误． 故选B. 【点睛】
本题考查的是向量，熟练掌握向量是解题的关键.
13．如果||＝2，＝-，那么下列说法正确的是（ ）
A ．||＝2||
B ．是与方向相同的单位向量
C ．2-＝
D ．∥
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平面向量的模和向量平行的定义解答． 【详解】 A 、由＝-得到||＝||＝1，故本选项说法错误． B 、由＝-得到是与的方向相反，故本选项说法错误． C 、由＝-得到2+＝，故本选项说法错误． D 、由＝-得到∥，故本选项说法正确．
故选D ． 【点睛】
考查了平面向量，需要掌握平面向量的模的定义，向量的方向与大小以及向量平行的定义等知识点，难度不大．
14．对于非零向量a r 、b r ，如果2|a r |＝3|b r |，且它们的方向相同，那么用向量a r
表示向
量b r
正确的是（ ）
A ．b r ＝32a r
B ．b r ＝23a r
C ．b r ＝﹣32a r
D ．b r ＝-23
a r
【答案】B 【解析】 【分析】
根据已知条件得到非零向量a r 、b r
的模间的数量关系，再结合它们的方向相同解题．
【详解】
∵2|a r
|=3|b r |，∴|b r |23
=|a r |．
又∵非零向量a r 与b r
的方向相同，∴23
b a =r r ．
故选B ． 【点睛】
本题考查了平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向．
15．若2a b c +=r r ，3a b c -=r r ，而且c r ≠0，a r 与r b 是（ ）
A ．a r 与r b 是相等向量
B ．a r 与r b 是平行向量
C ．a r 与r b 方向相同，长度不等
D ．a r 与r b 方向相反，长度相等
【答案】B 【解析】 【分析】
根据已知条件求得52a c =r r ，1b 2
c =-r r
，由此确定a r 与b r 位置和数量关系．
【详解】
解：由2a b c +=r r ，3a b c -=r r ，而且c r ≠0，得到：52a c =r r ，1b 2
c =-r r ，
所以a r 与b r 方向相反，且|a r
|＝5|b r |．
观察选项，只有选项B 符合题意． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意对平面向量这一基础概念的熟练掌握．
16．如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么a b +r
r 等于（ ）
A ．BD u u u r
B ．A
C u u u r
C ．DB u u u r
D ．CA u u u r
【答案】B 【解析】 【分析】
由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD=BC ，AD ∥BC ，则可得BC b =u u u r r
，然后由三角形法则，即可求得答案． 【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC ，AD ∥BC ， ∵AD b =u u u r r ，
∴BC b =u u u r r ， ∵AB a =u u u r r ，
∴a b +r r =AB u u u
r +BC uuu r =AC u u u r ．
故选B ．
17．已知c r 为非零向量， 3a c =r r ， 2b c =-r r
，那么下列结论中错误的是（ ）
A ．//a b r r
B ．3||||2
a b =r r
C ．a r 与b r
方向相同 D ．a r 与b r
方向相反
【答案】C 【解析】 【分析】
根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】
∵ 3a c =r r ， 2b c =-r r
∴3a b 2
=-r r ，
∴a r ∥b r ，32
a b =-r r
a r 与
b r
方向相反，
∴A ，B ，D 正确，C 错误； 故选：C ． 【点睛】
本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．如图，向量OA u u u r 与OB uuu r 均为单位向量，且OA ⊥OB ，令n r =OA u u u r +OB uuu r ，则||n v
=（ ）
A ．1
B 2
C 3
D ．2
【答案】B 【解析】
根据向量的运算法则可得: n v =故选B.
19．如果2a b =r r （a r ，b r
均为非零向量），那么下列结论错误的是（ ）
A ．a r //b r
B ．a r -2b r =0
C ．b r =12
a r
D ．2a b =r r
【答案】B 【解析】
试题解析：向量最后的差应该还是向量.20.a b v v v -= 故错误.
故选B.
20．已知m 、n 是实数，则在下列命题中正确命题的个数是（ ）．
①0m <，0a ≠r r 时，ma r 与a r 的方向一定相反；
②0m ≠，0a ≠r r 时，ma r 与a r 是平行向量； ③0mn >，0a ≠r r 时，ma r 与na r 的方向一定相同；
④0mn <，0a ≠r r 时，ma r 与na r 的方向一定相反．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量关系的条件逐一判断即可. 【详解】
解：①因为0m <，1＞0，0a ≠r
r
，所以ma r 与a r
的方向一定相反，故①正确； ②因为0m ≠，1≠0，0a ≠r
r
，所以ma r 与a r
是平行向量，故②正确；
③因为0mn >，0a ≠r
r
，所以m 和n 同号，所以ma r 与na r
的方向一定相同，故③正确； ④因为0mn <，0a ≠r
r
，所以m 和n 异号，所以ma r 与na r
的方向一定相反，故④正确． 故选D. 【点睛】
此题考查的是共线向量，掌握共线向量定理是解决此题的关键.。