广东省湛江师院附中高三第六次月考文科数学.5.21

试卷类型：A
广东省湛师附中高考第六次月考试卷
数 学（文科）
★祝同学们考试成功！★
本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共8页。

试题1至4页，答题卷5至8页。

满分150分。

考试用时120分钟。

参考公式：锥体的体积公式1
3
V Sh =
，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．
第一部分（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.复数i m m m z )1()32(2-+-+=为纯虚数,则实数m 的值为:
A.1
B.1-或3
C.3-或1
D.3- 2．若函数()1f x x =-A ，函数()lg(1)g x x =-,[2,11]x ∈的值域为B ，
则A B 为 A.(,1]-∞ B.(,1)-∞ C. [0,1] D.[0,1) 3.已知平面直角坐标系内的点A(1,1),B(2,4),C(-1,3),AC AB ⋅的值为: A.-4 B.4 C.-8 D.8
4.等比数列{}n a 中,2a =4,16
1
7=
a ,则5463a a a a +的值是: A.1 B.2 C.21 D.4
1
5.曲线32x x y -=在1-=x 的处的切线方程为 A.02=-+y x B.02=++y x C.
02=+-y x
D.02=--y x
6.如果实数y x ,满足:⎪⎩
⎪⎨⎧≥+≤-+≤+-01020
1x y x y x ，则目标函数y x z +=4的最大值为
A.2
B.3
C.
2
7
D.4
7．下列有关命题的说法正确的是
A ．“21x =”是“1=x ”的充分不必要条件
B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．
C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有210x x ++<”．
D ．．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题． 8.已知一个正三棱锥P-ABC 的主视图如图所示，则此正三棱 锥的侧面积为
A.399
B.54
C.527
D.336
9．椭圆22
221x y a b
+=（a >0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过2F 作倾斜角为120的
直线与椭圆的一个交点为M ，若1MF 垂直于x 轴，则椭圆的离心率为
A ．23
B ．2(23)
C 3
D ．1223- 10.已知函数1
(),()12
x x f x g x x +==+
，若()()f x g x >，则实数x 的取值范围是（ ）
A (,1)(0,1)-∞-
B 15
(,1)(0,2
-+-∞- C 15(1,0)(
)2-+-+∞ D 15
(1,0)(0,2
-+- 第二部分（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，
考生只能选做一题，二题全答的，只计算前一题得分． 11．已知α是第二象限角，21
sin =α，
则=+
)4
sin(π
α ．
12.已知流程图如右图所示,该程序运行后,为使输出的 b 值为16，则循环体的判断框内①处应填______. 13.已知数列{n a }的通项公式是22
++=kn n a n ,若对于n *∈N ，都有n a >+1n a 成立，则实数k 的取值范围是 ．
选做题:(14,15两题只需选答其中一题,两题都答者按第14题给分)
14.极坐标系中,曲线4sin ρθ=-和cos 1ρθ=相交于点A,B,
A
B C P
6
3 3 C
D
12题
开始
a=1,b=1 输出b
a=a+1
b=2
b
结束
是 否
a ≤①
则AB =______.
15.如图,已知:△ABC 内接于圆O ，点D 在OC 的延长线上， AD 是⊙O 的切线，若o 30=∠B ,2=AC ,则OD 的长为 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．（解答请写在答题卷上）
16.(12分)已知向量)2cos ,(cos ),1,sin 2(x x OQ x OP =-=,定义函数OQ OP x f ⋅=)(. (Ⅰ)求函数)(x f 的表达式,并指出其最大最小值;
(Ⅱ)在锐角△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为c b a ,,,且1)(=A f ,8=bc , 求△ABC 的面积S.
17．（本小题满分12分）a 、b 是常数，关于x 的一元二次方程
02
3)(2=++++ab
x b a x 有实数解记为事件A ．
⑴若a 、b 分别表示投掷两枚均匀骰子出现的点数，求)(A P ； ⑵若R a ∈、R b ∈，66≤+≤-b a 且66≤-≤-b a ，求)(A P ． 18.(14分)如图,在四棱锥ABCD P -中,ABCD PA 底面⊥,
o 120=∠BCD ,BC ⊥AB,CD ⊥AD,BC=CD=PA=a, (Ⅰ)求证:平面PBD ⊥平面PAC.
(Ⅱ)求四棱锥P-ABCD 的体积V;
19.(14分)已知常数a 、b 、c 都是实数，函数c bx x a x x f +++=2
32
3)(的导函数为)(x f '
(Ⅰ)设)0(),1(),2('='='=f c f b f a ，求函数f(x)的解析式；
(Ⅱ)设 ()()()f x x x γβ'=--，且12γβ<≤<,求(1)(2)f f '⋅'的取值范围；
P
B
A
C
D
20.(14分)已知圆O:222=+y x 交x 轴于A,B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,离心率为
2
2的椭圆,其左焦点为F,若P 是圆O 上一点,连结PF,过原点O 作直线PF 的垂线交直线x=-2于点Q.
(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；
(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切；
(Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由.
21.(14分)在数列{}n a 中，1111,30(2)n n n n a a a a a n --=+-=≥
(Ⅰ)证明:}1
{
n
a 是等差数列; (Ⅱ)求数列{}n a 的通项；
(Ⅲ)若1
1n n a a λλ++≥对任意2n ≥的整数恒成立，求实数λ的取值范围.
x
y O
P
F
Q
A B
湛师附中高考第六次月考数学（文科）
参考答案及评分意见
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．D 2．C 3． B 4． C 5．B 6． C 7． D 8．A 9．A 10．D 二、填空题： 11．
4
6
2-， 12．3 13． ),3(+∞- 14.23三、解答题：本大题共6小题，满分80分．
16.(Ⅰ))
4
2sin(22cos 2sin )2cos ,(cos )1,sin 2()(π-=-=⋅-=⋅=x x x x x x OQ OP x f ……4分 2,2:)(-∴的最大最小值分别是x f . ………6分 (Ⅱ)∵f(A)=1, ∴22
)4
2sin(=
-π
A ∴4
342442ππππ=-=-A A 或 ………8分 ∴2
4
π
π
=
=
A A 或,又△ABC 为锐角三角形,所以
4
π
………10分 ∵bc=8,∴△ABC 的面积222
2821sin 21=⋅⋅==
A bc S ………12分 17．⑴方程有实数解，0)2
3(4)(2
≥+
⨯-+ab
b a ，即1222≥+b a ……1分 依题意，1=a 、2、3、4、5、6，1=b 、2、3、4、5、6，所以，“投掷两枚均匀骰子出现的点数”共有3666=⨯种结果……2分
当且仅当“1=a 且1=b 、2、3”，或“2=a 且1=b 、2”，或“3=a 且1=b ”时， 1222≥+b a 不成立……5分，所以满足1222≥+b a 的结果有30)123(36=++-种……5分，
从而6
5
3630)(==A P ……6分．
⑵在平面直角坐标系aOb 中，直线6±=+b a 与6±=+b a 围成一个正方形……7分
正方形边长即直线6=+b a 与6-=+b a 之间的距离为262
6
6=+=d ……8分 正方形的面积722==d S ……10分，圆1222=+b a 的面积为π12/
=S ……10分
圆在正方形内部……12分，所以6
6721272)(/π
π-=-=-=S S S A P ……12分． 18. (Ⅰ)连结AC,∵BC=CD,AB=AD,∴AC ⊥BD, ………2分
又PA ⊥平面ABCD,且ABCD BD 平面⊂ ∴PA ⊥BD ………3分 又PA ∩AC=A, ∴BD ⊥平面PAC ………4分 又BDP BD 平面⊂ ∴平面PBD ⊥平面PAC ………6分
(Ⅱ)依题意得∠CBD=∠CDB=300,又BC ⊥AB,CD ⊥AD,所以∠DBA=∠BDA=600
又BC=CD=a ，∴a BD 3= ∴△ABD 是边长为3的正三角形 ……9分
∴PA S S V ABD BCD ⋅+=
∆∆)(31
a AB AD CD BC ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=)60sin 2
1120sin 21(310
P
B
A
C
E
3223
3)32323(61a a a a =⋅⨯+=
………14分 19.(Ⅰ)解：b ax x x f ++='2)(．
⎪⎩
⎪⎨⎧==++=++∴c
b b b a a
b a 124，解得：⎩⎨⎧-==-=31
c b a ．…5分 33213)(2
3---=∴x x x x f ．……7分
(2)()()()f x x x γβ'=--．
又 12,(1)(1)(1)0,(2)(2)(2)0f f γβγβγβ<≤<∴'=-->'=--> ………10分 [][])2)(1()2)(1()2)(2)(1)(1()2()1(ββγγβγβγ--⋅--=----='⋅'∴f f
2212121(
)(
)2
2
γγββ-+--+-≤⋅=
16
1)2()1(0≤
'⋅'<∴f f ………14分
20.(14分)解:(Ⅰ)因为22,a e =
=
,所以c=1,则b=1, 所以椭圆C 的标准方程为2212
x y += ………5分 (Ⅱ)∵P(1,1),∴1
2
PF k =
,∴2OQ k =-,∴直线OQ 的方程为y=-2x, ∴点Q(-2,4)…7分
∴1PQ k =-,又1OP k =,∴1k k PQ OP -=⊥,即OP ⊥PQ,故直线PQ 与圆O
相切 ……10分
(Ⅲ)当点P 在圆O 上运动时,直线PQ 与圆O 保持相切 ………11分
证明:设00(,)P x y (02x ≠±则22
00
2y x =-,所以001PF
y k x =+,00
1OQ x k y +=-, 所以直线OQ 的方程为00
1
x y x y +=-
所以点Q(-2,
00
22
x y +) ………12分 所以0022000000000000
22(22)22(2)(2)PQ
x y y y x x x x
k
x x y x y y +-
-+--=
===-+++,又0
OP
y k x =
……13分 所以1k k PQ OP -=⊥,即OP ⊥PQ,故直线PQ 始终与圆O 相切. ………14分 21.解:(Ⅰ)将1130(2)n n n n a a a a n --+-=≥整理得：1
113(2)n n n a a --=≥ ………3分
所以}1{n
a 是以1为首项,3为公差的等差数列. ………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得:113(1)32n n n a =+-=-，所以132n a n =- ………8分
(Ⅲ)若11n n a a λλ++
≥恒成立，即3132
n n λ
λ++≥-恒成立 ………9分
整理得：(31)(32)3(1)n n n λ+-≤- 令(31)(32)3(1)n n n c n +-=-
1(34)(31)(31)(32)(31)(34)
33(1)3(1)
n n n n n n n n c c n n n n ++++-+--=
-=
-- ………12分
因为2n ≥，所以上式0>，即{}n c 为单调递增数列，所以2c 最小，228
3
c =， 所以λ的取值范围为28(,
]3
-∞
x
y O P
F Q
A B
………14分。