输送带的二维动态特性

输送带的二维动态特性
伊. 基. 劳德维加克斯，代尔夫特科技大学，荷兰
1 概要
本文将介绍一种新的皮带输送系统的有限元模型。

该模型被开发成能用于模拟皮带在启动和停止时的纵向和横向动态响应。

使工程师能在长距离陆路皮带输送系统的设计时期应用该模型，例如，设计适当的皮带输送机曲线检测元件过早解除皮带张紧轮。

这也能使张紧轮间距和凹槽轮廓的设计最优化，以确保无带运动的共振和确信纵向和横向带振动。

应用反馈操纵技术实现了启动和停止程序的优化设计，因而计算皮带的动态特性时能够选择最理想的皮带。

2 导言
荷兰一直以来被以为是一个运输和转运行业在经济中扮演重要角色的国家。

专门是被称为欧洲的门户的鹿特丹口岸，宣称拥有世界上最大的海港系统。

除数量庞大的集装箱，大量的散装货物也都是要通过那个口岸的。

并非所有这些物品的目的地都是在荷兰市场，许多要通往其他目的地的货物转运点都是在鹿特丹口岸。

有个专门好的例子，典型的散装货物的转运--煤炭和铁矿石，专门大一部份，其目的地是在德国市场。

为了处置大量材料不同地址大范围的转运，利用了机械运输机，其中就包括带式输送机。

长度最长带式输送系统架设在相对较小的国家--荷兰，因为它们是要紧用于大量原材料的流动运输。

最长的带式输送系统，其长度约为2千米长，它位于鹿特丹口岸的一部份--马斯弗拉克特，它是用来从批发油库运输大量的煤炭到电力站。

除国内的工程项目，愈来愈多的荷兰工程顾问参与到国际中来开发大型陆路皮带输送系统。

代尔夫特科技大学是荷兰其中的一个科技大学，而机械工程学院的交通技术系确实是研究在开发这些系统进程中碰到典型的难点。

输送带与散装固体物质之间的彼此作用性能，带式输送机结构和外界环境都会阻碍到该输送系统其预定要求达到的适合标准。

有些彼此作用造成了一些令人棘手的现象，因此便开始进入研究这些现象造成的实际问题[ 1 ] 。

这些问题
的分类方式之一是，将其全然缘故明显涉及到带式输送机的这些问题分为一类。

非平稳移动皮带的瞬态应力减少和设计皮带输送机时规定空载运作引发的共振，是描述带式输送机的两个最重要的动态因素[ 2 ] 。

本文提出了一种能模拟程序启动和停止时皮带的纵向和横向响应和稳固运行时的运动的新的皮带输送系统有限元模型。

模拟皮带输送系统的启动程序，这超出了本文讨论的结果范围，因此咱们将展现一个比较有可行性的模式的例子。

3 皮带输送系统的有限元模型
若是用来驱动皮带输送系统的总电源，是用德国工业标准22101来计算设计的，然后带假设成一个不可拓展的机构。

这意味在带启动和停止时施加在带上的压力，可从牛顿刚体动力学的理论中推导出来。

带最大的延长能够用带应力计算出来的。

这种通过确信皮带弹性反映的方式被称为准静态（设计）的方式。

关于小型皮带输送系统，这就使得了一个带的设计和运行状态合格。

但是，关于长距离皮带输送系统，这可能变成一个有缺点的设计，致使维修费用高，缩短运输机零件的寿命和众所周知的工作问题，如：
•机械的重量牵引位移过大
•带的过早崩裂，最主腹地引发绞接头的破损
•破坏托辊和造成皮带张紧轮的重大损害
•使皮带离开皮带张紧轮，这可能致使散装原材料的溢出
•造成（液压动力的）驱动系统的损坏和失灵
在许多研究人员开发出的模型中，皮带的弹性反映是被用来计算以确信这种现象引发的问题。

在大多数模型中，包括皮带输送机的有限元模型，也是为了用来计算在皮带上阻力和压力的转变。

皮带的全局弹性反映是由所有零件的弹性响应组成。

这种有限元模型已经应用在运算机软件，它能够用在长距离皮带输送系统的设计时期。

这确实是所谓的动态（设计）的方式。

模拟结果验证说明，基于这种带模型的软件程序，预测（系统）启动和停止时带的弹性反映是相当做功，例如见[ 3 ] 和[ 4 ] 。

上述的有限元模型确信的只是皮带的纵向弹性反映。

因此，他们不能准确地确信出：
•托辊和张紧轮上皮带的运动
•动力驱动的状态
•带的阻力弯曲
•（震动）应力波的演变
•带凹陷与应力波的纵向传播之间的彼此作用
•皮带和托辊之间的彼此作用
•皮带稳固运动时带速的阻碍
•通过托辊（驱动）的皮带上的动态应力。

•皮带共振的参数关于提升物品时候或由托辊的偏心率引发的振动和皮带的横向位移的彼此关系的阻碍
•竖直横向波的进展
•由大量散装材料和在皮带横截面面积的变形所引发的阻力的阻碍
•离开托辊的带产生的凸.凹曲线
皮带的横向弹性反映往往是致使长距离皮带输送系统故障的缘故，因此应当加以考虑。

需要有[5][6]中提到的特殊模型，才能确信带的横向响应，可是若是考虑到特殊因素的（横向）响应，就能够更方便地扩展现存的有限元模型。

皮带
一个典型的皮带输送机结构组成包括驱动滚筒，尾部托辊，一个垂直向上提升的带轮，一些托辊和一底盘如图1所示。

那个结构为例来讲明如何有限元模型的输送带被开发只有带的纵向弹性响应成为主体。

由于驱动滚筒和提升带轮之间部份皮带的长度Ls，与皮带的总长度L相较是可忽略不计的，只要考虑到提升系统中带轮的质量惯性，这些带轮能够数理性地看成为一个带轮。

由于带从一点到另一点的运动转变中所碰到的阻力，依照本地精准（保护）的条件和带式输送机的结构，沿着带的长度散布。

为了能够确信带运动中散布应力的阻碍，皮带被划分为多个不同的有限元素，带上应力被具体地分派到相对应的元素。

若是关切的只是皮带的纵向弹性反映，由带轮无力量驱动的运动（有滑移的可能），带就会这些地址起不了作用。

设计的最后一步，该模型能够由两股带有驱动特点和张力特性的力量取代带的驱动系统和张力系统。

确切的说，有限元取决于哪些阻力和在带和其支撑结构之间的彼此作用阻碍，考虑到这些问题可能与数学描述皮带材料的大体特性有关系。

依照这一说明，其要素能够由一个系统块代表，如图1[9]所示的是弹簧和阻尼，如此的系统给出了一个有限元与节点C和C + 1 。

弹簧K和阻尼H代表带拉伸的粘弹性状，G 代表皮带的可变纵向的结构刚度，是由作用在两个带轮交织的横截面上垂直的力的所产生，V代表皮带速度取决于阻力的。

图1 ：五限元综合模型[ 9 ] 。

3.1.1非线性梁架（构架）元
若是只有带的纵向变形是要紧素，那么梁架元就可用于模型的皮带弹性反映。

梁架元组成部份有如图2所示的两个结点， P和Q ，四个位移参数确信部份载体X：
xT = [up vp uq vq] (1)
对平面运动的梁架元有三个独立的刚体运动，因此（这公式）仍然是描述一个变形的参数。

图2 ：梁架元的精准位移
梁架元轴的长度转变， [ 7 ] ：
ε1 = D1(x) = ∫¹ o ds² - ds²o
dξ (2) 2ds²o
DSO是限元未变形的长度，DS是限元变形的长度，ξ是沿着有限元轴的无量纲长度。

图3 ：张带的静态凹陷
尽管带呈弯曲状态，但梁架元并无变形，这可能考虑到带小数值凹陷的静态阻碍。

静态带凹陷的比率是有概念的（见图3 ）：
K1 = δ/1 = q1/8T (3)
其中q是暴露在外面带和散装物料的重量在竖直方向上散布的荷载， 1是带轮间距，而T是带的张力。

，带凹陷的纵向变形阻碍取决于[ 7 ] ：
εs = 8/3 K²s (4)
产生了非线性梁架元总的纵向变形。

3.1.2梁架元
图4 ：节点的精准位移和旋转的梁架元。

若是带的横向位移是要紧因素，那么梁架元就可以用来模拟皮带。

一样关于拥有六个位移参数的梁架元的平面运动来讲，相当于三个独立的刚体运动。

因此就剩下三个变形参数是：纵向变形参数ε1 ，两个弯曲变形参数ε2和ε3 。

图5 ：梁架元的弯曲变形的
梁架元弯曲变形的参数能够概念为梁架元的组成载体（见图4 ） ：
xT = [up vp µp uq vq µq] (5)
和如图5的变形结构
ε2 = D2(x) = e2p1pq
(6) 1o
ε3 = D3(x) =
-eq21pq
1o
绕过托辊及带轮的带运动
当绕过托辊或带轮的时候，带运动是受到约束的。

为了说明（弄清楚）这些制约因素，阻碍制约因素（边界）的条件都必需添加到用来代模拟带的有限元中来。

这能够通过利用多体动力学进行描述。

多体机置动力学的经典描述，成立起由假设干约束条件连接起来的刚体或刚性链接。

在（变形）输送带的有限元描述里，带被分离成多个有限元，有限元之间的联系是可变形的。

有限元是由节点连接的，因此分派了位移参数。

要确信带的运动，排除刚体模型的变形模式。

若是一个带绕过托辊，，决定托辊上带的位置（如见图6）的带长度为ξ，被添加到组件矢量，如：式（6） ，因此产生了7个位移矢量参数。

图6 ：由托辊支撑的带
梁架元有两个独立的刚体运动，因此仍然有五个变形参数存在。

其中已经在中给出了ε1 , ε2和ε3 ，确信了带的变形。

剩下ε4和ε5 ，确信带和托辊之间的彼此作用，见图7 。

图7 ：两个约束条件的梁架元有限元。

这些变形参数能够假设成无穷刚度的弹性。

这意味着：
ε4 = D4(x) = (rξ + u ξ)e2 - = 0
ε5 = D5(x) = (r ξ + uξ)e1 - = 0 (7)
若是模拟的是ε4 > 0的时候，那么带将离开托辊，而描述带的有限元上的约束条件也将去除。

转动阻力
为了使一种模型能应用于带式输送机有限元模型的转动阻力，已经制定了一种计算转动阻力的近似公式， [ 8 ] 。

带运动中，暴露在带外面的总转动阻力的组成部份，这三部份是耗能的要紧部份，能够区分为包括：压痕转动阻力，托辊的惯性（加速转动阻力）和轴承转动阻力（轴承阻力）。

确信转动阻力因素的参数包括直径和托辊的材料，和各类带参数，如速度，宽度，材料，紧张状态，环境温度，带横向负荷，托辊间距和槽角。

总转动阻力的因素，能够表示成总转动阻力和带垂直负荷之间的比例，概念为：
ft = fi + fa + fb (8)
Fi是压痕转动阻力的系数，FA是加速阻力系数，而FB是轴承阻力系数。

这些组成系数由下面的[9]确信：
Fi = CFznzh nhD-nD VbnvK-nk NTnT
(9)
fa =Mred ∂²u
Fzb ∂t²
fb = Mf Fzbri
FZ是带垂直方向上散布的负载和散装物料的负载的总和， H是带的覆盖厚度，D 是托辊的直径，Vb是带速，KN是带负荷的名义百分之比，T是环境温度，Mred 是托辊的折算质量，B是带的宽度， U是带的纵向位移，MF是总的轴承阻力矩和RI是轴承内部半径。

在计算转动阻力中，皮带的动力性能及机械性能和皮带上覆盖的材料发挥着重要作用。

这使得带的选择和带上覆盖材料，尽可能减少由动力阻力引发的能源消耗。

带驱动系统
在稳固性的带运动情形下，为了能够测定带式输送机驱动系统的旋转组件的阻碍，那个带式输送机的总模型必需是含有驱动系统模型。

驱动系统的旋转元件，就像一个减速箱，参照了节中所述的约束条件。

带有减速比的减速箱，能够用带两个位移参数的减速元件来代替，μp和μq ，像一个刚体的（旋转）运动，因此就剩下一个变形参数：
εred = Dred(x) = iµp + µq = 0 (10)
要确信电式扭矩感应式电机，是不是适应所谓的两轴式电动机。

该相电压的矢量v可从（11）取得：
v = Ri + ωsGi + L ∂i/∂t (11)
在（11）式中I是相电流矢量，R是模型的相电阻， c是模型的相电感抗，L是模型的相感系数而ωs是电机转子的角速度。

电磁转矩等于：
Tc = iTGi (12)
电机模型和驱动系统机械组件是由驱动系统的运动方程联系着的：
Ti = Iij ∂²øj
+ Cik
∂øk
Kilø (13)∂t²∂t
其中T是扭矩矢量，I是模型的惯量，C是模型的阻尼，K是矩阵刚度和ø是电机旋转轴的角速度。

模拟启动或停止程序操纵反馈的程序能够添加到带式驱动系统模型中，用来操纵驱动扭矩。

运动方程
整个带式输送机模型的运动方程能够得出潜在功率的原那么， [ 7 ] ：
fk - Mkl ∂²x1 / ∂t² = σ1Dik (14)
其中F是阻力矢量，M是模型的质量而σ是拉格朗日乘数的矢量，可能说明为双重压力矢量to张力矢量ε。

为了解决带有X这一组方程，方程一体化是必要的。

可是一体化的结果，必需确保知足约束条件。

若是(8)式中应变成零，那么必需纠正一体化结果，如见[ 7 ] 。

能够利用模型的反馈选择，例如限制提升物质垂直方向上的运动。

这种违逆动力学的问题能够用下面公式表示。

鉴于带模型及其驱动系统的提升运动众所周知，依照系统自由度和它的比例（速度）能够确信其他元件的运动。

它超出了本文所讨论关于此项的所有细节范围。

实例
为了在长距离带式输送机系统设计时期能够正确设计，应用了有限元法。

例如带强度的选择，能够减少的尽可能减少，利用模型模拟的结果确信传送带的最大张力。

以有限元模型的功能作为例子，应该考虑到在两个托辊位置范围之间稳固移动带的横向振动。

在运输机的设计时期这必需被确信，才得以确保空带的共振。

关于皮带输送机的设计来讲，托辊和移动带间彼此作用阻碍是很重要的。

托辊的及带轮的几何不完善性，致使带离开托辊和带轮能支撑的位置，在带和支撑带轮之间产生一种横向振动。

这对带施加了一部份的交互轴向应力。

若是这部份力是比皮带的预应力小，那么带将在它的固有频率中振动，不然带将被迫振动。

皮带是会受迫振动的，例如受托辊的偏心率阻碍。

在输送带返程中，这种振动专门值得注意。

由于受迫振动的频率取决于带轮和托辊的角速度，因此关于带的速度，确信在带轮和托辊之间，带在自然频率状况下，横向振动中带速阻碍，那个是很重要的。

若是受迫振动的频率接近于皮带横向振动的固有频率，将发生共振现象。

有限元模型的模拟结果可用于确信稳固移动的带的横向振动频率范围。

该频率是利用快速傅立叶技术从时域范围到频域范围，带横向位移变换后取得的结果。

除利用有限元模型外也能够运用近似分析法。

皮带能够模拟成一个预应力梁。

若是皮带的弯曲硬度能够被忽略，横向位移比托辊间距还小，Ks << 1 ，而且带增加的长度相关于横向位移的原始长度来讲是微乎其微，带的横向振动可近似为以下线性微分方程，如见图15 ：
∂²v
= (c²2 - C²b)∂²v
- 2Vb
∂²v
(15)
∂t²∂x²∂x∂t
其中V是皮带的横向位移和C2是横向波的波速度，由（16）式概念：
c2 = √g1/8Ks (16)
第一，图5中带的横向固有频率范围可从公式（16）取得，若是假定v(O,t)=v(l,t)=0：
fb = 1
c2 (1 - ß²) (17) 21
ß是无量纲的速比，由（18）式确信：
ß = Vb / c2 (18)
FB是不同带的各自独立的频率范围，由于输送带长度方向上带张力转变。

托辊的受迫振动频率，使托辊产生了一个偏心率等于：
fi = Vb / πD (19)
其中D是托辊的直径。

为了设计一个在托辊间距中无支撑的共振，这受到以下条件限制：
L ≠πD
(1-ß²) (20) 2ß
由线性微分方程（16）所取得的功效只是是只适用于小数值的速比ß。

关于大数值的速比ß来讲，如高速运输机或低的带张力，在（16）式中所有非线性条件就显得重要的。

因此，数值模拟的运用，有限元模型的开发，都是为了确信带横向振动线性和非线性频率之间的比例范围。

这些关系已被确信适合不同的数值的ß，例如说一个功能凹陷的比率Ks。

利用快速傅里叶技术将横向位移结果的转化为频谱。

从这些频谱中取得的频率与公式（18）取得的频率相较，其产生了图8所显示的曲线。

从这一数字可见，对小于的ß来讲，计算误差很小。

关于大数值的ß来讲，运用线性近似值法产生的计算误差达到10 ％以上。

运用了皮带采纳非线性梁架元的有限元模型，因此能够准确地确信大数值ß的横向振动。

关于小数值ß的横向振动的频率也能够用公式（18）准确地预测。

但是，它不能分析，例如带凹陷和纵向波的传播之间的彼此作用，或一样能够看成有限元模型的离开托辊的皮带。

这决定带应力和横向振动频率之间的关系能够用于皮带张力监测系统。

图8 ：由两个托辊支撑的带的横向振动线性和非线性频率之间的比例。

4 实验验证
为了使模拟的结果能够取得验证，实验中利用了动态实验设备，如图9所示。

图9 ：动态实验设施
利用这实验设施能够确信的两个托辊的间距和卸荷扁带的横向振动，例如返程部份的。

声音装置是用来测量皮带的位移。

另外，还有在实验中为咱们所知的张紧力，带速，电机转矩，托辊转子与托辊的距离。

5 为例
由于最具有本钱效益带式输送机的操作条件中显现了宽度范围为0.6m- 1.2m[ 2 ] 的各类皮带，可通过变换不同的带速改变带的输送能力，。

但是在带速度被改变之前，应确信带和托辊之间的彼此作用，以确保无支撑的带的共振。

为了说明稳固移动的带的横向位移这一点，测量了两个托辊的距离。

带的总长度L是52.7m，托辊间距I是3.66m，静态凹陷的比例常数是％，ß为而带速Vb 为 3.57m/ s。

那个信号的后期转化由如图5所示的快速傅里叶技术频谱取得。

在图5中显现了3个频率。

第一频率是由带结合处所引发的：
fs = Vb/L = Hz
第二个频率，出此刻赫兹，是由皮带的横向振动所造成的。

图10 ：带稳固移动时横向振动频率
第三个频率出此刻，是由托辊的旋转所造成的，从图11所示的数值模拟取得。

图11 ：计算共振区的不同托辊的直径D.
贯穿实验说明皮带速度和托辊间距。

图11显示的是拖过带与托辊互动引发的共振区能够预测三个托辊的直径。

该带式输送机的托辊直径为0.108M，从而能够预测皮带速度临近0.64M/S的共振现象。

为了验证结果，在启动运输机的时候测量了带的最大横向位移跨度。

图12 ：测量横向振动和带静态凹陷幅度的标准差的比例。

在图12中，能够看出横向振动的最大振幅发生在带速为0.64M/S处，正如有限元模型模拟预测的结果一样。

因此，带速度不该选择临近0.64米/ s的。

尽管是用扁带进行实验和理论的验证的，可是这种应用技术也可运用于槽型带中。

6．结论
带式输送机有限元模型中梁架元的应用，带横向位移的模拟，从而使能够设计出带无支撑的共振。

关于小数值的ß来讲，采纳梁架元朝替线性微分方程预测共振现象的优势是一样能够预测到皮带纵向和横向位移的之间的彼此作用和从模拟中预见皮带离开托辊。

7．参考文献
1. Lodewijks, G. (1995), "Present Research at Delft University of
Technology, The Netherlands", 1995 5th International Conference on Bulk Material Storage, Handling and transportation, Newcastle,
Australia, 10-12 July 1995, The Institution of Engineers, Australia Preprints pp. 381-394.
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7.Lodewijks, G. (1995), "The Rolling Resistance of Belt Conveyors",
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8.Nordell, . and Ciozda, . (1984), "Transient belt stresses during
starting and stopping: Elastic response simulated by finite
element methods", Bulk Solid Handling 11, pp. 99-104.
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