2019-2020年高中数学4.1三角函数的概念-教案新人教A版必修4

2019-2020年高中数学4.1三角函数的概念-教案新人教A版必修4
一、知识与能力目标
1、掌握角的概念的推广，终边相同的角的表示；
2、掌握弧度与角度的转化关系，扇形面积及弧长公式;
3、任意角的三角函数的定义，三角函数线及其应用。

、主要知识
1、角的概念的推广；
⑴角的分类：正角(逆转)负角(顺转)零角(不转)
(2) 直角坐标系中的象限角与坐标轴上的角象限角、轴线角；与角终边相同的角为；
2、特殊角的集合与弧度制：.
(1).①与(0°<< 360°)终边相同的角的集合(角与角的终边重合) ：
②终边在x轴上的角的集合：
③终边在y轴上的角的集合：
④终边在坐标轴上的角的集合：
⑤终边在y=x轴上的角的集合：
⑥终边在轴上的角的集合：
⑦若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：
⑧若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：
⑨若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：
⑩角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：
(2).角度与弧度的互换关系：360° =2 180 ° = 1 ° =0.01745 仁57.30 ° =57° 18' 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零
(3).弧度与角度互换公式：
1rad =°~ 57.30 ° =57° 18'. 1 °=~ 0.01745 (rad )
3、弧长公式：. 扇形面积公式：
4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取(异于原点
6、三角函数线
三、例题分析
题型一：终边相同角概念的问题 例1.已知角；
(1)在区间内找出所有与角有相同终边的角;
那么两集合的关系是什么?
解：(1 )所有与角有相同终边的角可表示为: 则令 -720 <45 k 360 < 0 , 得 解得 从而或 代回或
(2)因为M =；x|x =：(2k 1) 45 ,k ・Z ［表示的是终边落在四个象限的平分线上的角
的集合；而集合 N
=(k • 1) 45 ,k ・Z?表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上
的角的集合，从而: 跟踪练习1: 已知角；
(1)将它表示成二；2k 二(k Z, 0 ：：：:•：：： 2二)的形式;
(2)在区间上找出与它终边相同的角; 题型二：象限角的问题 例2.已知“是第三象限角，则是第几象限角
3
解法一： 因为是第三象限角，所以 2k 二•二：：：「：：： 2k 二•一二k Z
2
.2k 二： 2k
k 二 Z
3 3 3 3 2
•••当k=3m ( m € Z )时，为第一象限角； 当k= 3m + 1 (m E Z )时，为第三象限角，
当k= 3m + 2 ( m E Z )时，为第四象限角 故为第一、三、四象限角
解法二： 把各象限均分3等份，再从x 轴的正向的上 依次将各区域标上 I 、□、川、W ，并依次循环一周， 来是第川象限的符号所表示的区域即为的终边所在的区
由图可知，是第一、三、四象限角
正弦线：MP; 余弦线：0M; 正切线：AT.
(2)集合M
= ^x| ^1x18^45^ ^Z,>,
k
N = <x|x=_x18b+45：k€Z
4
16.几个重要结论:
跟踪练习2:
若角是第二象限角，则（1 ）是哪个象限角？ （ 2 ）是哪个象限角？
题型三：弧长公式与扇形公式的应用
例3. 一个半径为的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，则扇形的圆心角是多少弧 度？多少度？扇形的面积是多少？
解：设扇形的圆心角是，因为扇形的弧长， 所以扇形的周长是 依题意知： ，解得
转化为角度度制为
它的面积为： 跟踪练习3:
已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是 R ，
（1）
若求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积。

（2） 若扇形的周长是一定值 C （ C>0）,当为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 题型四：三角函数的定义
例4.已知角的终边上一点，且，求的值。

解：由题设知，，所以，得， 从而， 解得或。

当时，，cos ： = - = -1,tan ： = — = 0 ；
r x
x 后丄 y
打5
cos
,tan ：： r 4 x 3
题型五：三角函数式符号的判定
例5确定下列三角函数值的符号 （1） （2）
（ 3）
（4）
解：（1）因为是第三象限的角，所以
（2） 因为是第四象限的角，所以 （3） ,所以是第一象限的角，故 （4）
,所以是第四象限的角，所以
跟踪练习5： 1.
（xx 春季北京、安徽，8）若、是锐角的两个内角
当时，，
当时，，
x 6 y
COS ：:
,tan
r
4
x 3
跟踪练
习
4:
1..角 a 的终边过点
P (—
8m —6cos60
A.
B.—
2.设 cos a =t ，贝U
tan i ( n — a ）等于
A. B .
—
C. ±
)且cos a =—，贝U m 的值是 C. — D.
D. ±
则点 P(cosB -sin A,sin B - cos A)在
1在下列各组角中，终边不相同的一组是（ 与
）
直角不是任何象限角 三角形的内角一定是第一或第二象限角 ）的角；
第二象限或第三象限 第一象限或第四象限
4角的终边在第一象限和第三象限的平分线上的角的集合为（ A
B
C D
5若2弧度的圆心角所对的弦长为 2,则这个圆心角的所夹扇形的面积为（ A B C
6若，则它是（
A 第一象限角
B 7在不等的圆中，
A 弦长相等
8角化为爲-2^： （k • Z, 0 ：：：「：：： 2二）的形式是（ ） A B C D
9一个半径为R 的扇形，它的周长为，则这个扇形所含弓形的面积为（ ）
A B C
D
10 已知集合 M |2^^： ＜（2k 1p,k Z ,,
则（ ） A
B
暑 |0 一： 一 ■-或6 一： 一 2二匚
C D L I 0 _〉-或一6
-■ ■-:
11第三象限角的集合为： ____________
12在区间上且与角终边相同的角是： _____________
13在扇形中，圆心角所对弦长等于半径，则这个圆心角的角度数为
_____
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限 2. （xx 四川卷5）若0_「_2二,sinx »”3cos 「，则的取值范围是:
（A ）
（B ）
（C ）
（D ）
四、随堂练习
D.第四象限
（）
A 与
B 与
C 与
2下列各命题中，真命题是（ A 每一象限角是锐角
B C 第二象限角比第一象限角大 3若角是第三象角，则角是（ A 第一象限或第三象限 C 第二象限或第四象限 D ）
第二象限角 C 第三象限角
D 第四象限角 1弧度的圆心角所对的（
）
B
弧长相等
D
弧长等于所在圆的半径 C 弦长等于所在圆的半径
14若，则角的取值范围是 ___________
15对于角，若它的终边与角的终边相同，则求角的值； 16已知扇形的周长为 20,当扇形的圆心角为何值时，扇形的面积 S 最大，并求出S 的最大
值； 参考答案： 跟踪练习答案： 练习 1.
( 1)
( 2)
练习2. (1)是第一象限角或第三象限角；
⑵ 2k 360 180 :：: 2- ■:. 2k 360 360
可知角的终边应在第三象限或第四象限或
Y 轴的负半轴上；
练习3：解:(1)弧长为L ,弓形面积为S 弓，因为，所以
S 二 S 扇-S .」102 sin60 =50(
-)(cm 2)
2 3 2
3
2
• • ? • • 「•，,故选B 随堂练习答案：
1C 2B 3C 4B 5C 6C 7D 8B 9D 10D
3
二：：:::2k — , k Z
2
13 14 15 r 1 - 0或 或 v -—或 V -二或 v - 或
3
3 3
16当时面积最大，最大值为 25
1•了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题. 2 •会用数学归纳法证明贝努利不等式： (1 + x )n
> 1 + nx (x >— 1, x 丰 0, n 为正整数).
了解当n 为实数时贝努利不等式也成立.
(2)
因为扇形周长
C
C=
2R
，
2R
「R,所以「亍
所以
丄(旦)2
2 2 ■■■■■■
C 2 a 2
C 2
练习 4： (1. ) A (2).C 练习 5：
是锐角三角形的两个内角 11 < a | 2kn 12 、、
数学归纳法是重要的数学思想方法，同学们应通过对一些简单问题的分析，掌握这种思想方法.在利用数学归纳法解决问题时，常常需要进行一些代数恒等变换. 不要做那些代数恒等变换比较复杂或过于技巧化的问题或习题，以免冲淡了对数学归纳法思想的理解.
注意数学归纳法一般步骤的要求，严格按要求表达•两个步骤一个结论都要认真写好.
1•了解数学归纳法的原理及其使用范围.
2 •会用数学归纳法证明一些简单问题.
3 •掌握数学归纳法证明的两个步骤和一个结论.
1 •数学归纳法是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在________ 时成立，这是递推的基础；第二步是假设在_________ 时命题成立，再证明________ 时命题也成立，这是递推的依据•实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限•证明时，关键是k+ 1步的推证，要有目标意识.
答案：n = n o( n o€ N*) n= k( k> n o, k € N*) n= k + 1
2 •从试验、观察出发，用不完全归纳法作出 _________ ，再用数学归纳法进行 _________ 这是探索性问题的证法，数列中经常用到(试值T猜想T证明)•
答案：归纳猜想严格证明
8 • 1 8 • n
思考已知数列口2，…，(2n_〔厂.(2n+门2，….S为其前n项和，求S, S, 5
—旦练旦
5 $,推测S公式.
8 24 48 80 …，(2n+ 1) 2-1 *
解析：计算得s=9, 25，$=49，茁，推测s=―(n€N)•
1 •用数学归纳法证明n( n+ 1)(
2 n+ 1)能被6整除时，由归纳假设推证n= k+ 1时命题成立，需将n= k + 1时的原式表示成()
A. k (k + 1)(2 k + 1) + 6( k + 1)
B. 6k (k + 1)(2 k + 1)
2
C.
k (k + 1)(2 k + 1) + 6( k + 1)
D. 以上都不对 答案：C 2.
下列四个判断中，正确的是
( )
A. 式子 1 + k + / + •••+ k n
( n €N )当 n = 1 时恒为 1 2
n — 1
*
B. 式子 1+ k + k + — + k (n €N )当 n = 1 时恒为 1 + k
1 1 1 1 * 1 1
C •式子1+ 2 + 3+…+亦+1 (M N )当1时恒为1 + + 3 答案：B 1 1 1 4.
用数学归纳法证明：设 f (n ) = 1 + 2+ 3
+…+ n ，贝U n + f (1)
=nf (n )( n €N *，且n 》2)第一步要证明的式子是 __________________ .
答案：2 + f (1) = 2f (2)
二呈练旦 5.
在用数学归纳法证明多边形
内角和定理时，第一步应验证
( )
A. 当n = 1时成立
B. 当n = 2时成立
C. 当n = 3时成立
D. 当n = 4时成立
解析：多边形至少有三条边. 答案：C
6.
记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k + 1边形的内角和f (k +1) = f (k ) + (
)
n
3
A. — B . n C. n D . 2n
1 1 1 * D.
设 f (n ) =
正整数
正偶数
正奇数 大于1
)
n 成立 n 成立 n 成立
的自然数n 成立
1 + 1 + 1 3k +
2 + 3k +
3 +
3k + 4
Rn )对n = 2成立，则
+ f (2) +••• +
f (n — 1)
答案：B
n+ 2 7
7用数学归纳法证明“1+ a+ a2+…+ a n+1= ^—a—, a* 1, n€ N*”，在验证n= 1成
1 —a
立时，左边计算所得项是()
A. 1 B . 1+ a
2 2 3
C. 1 + a + a D . 1 + a + a + a
_ k+1
.
=2 ( k + 1)+ 1
所以当n= k + 1时等式也成立.
综合(1)、⑵知，对任何正整数n,等式成立.
答案：C
&某个命题与正整数 n 有关，若n = k ( k €N *)时该命题成立，那么可推得当 n = k + 1
时该命题也成立，现已知当 n = 5时该命题不成立，那么可推得
( )
A. 当n = 6时该命题不成立
B. 当n = 6时该命题成立
C. 当n = 4时该命题不成立
D.
当n = 4时该命题成立
答案：C 9.
已知 f (n )=召 + £ + …+ 3"^，贝U f (k + 1)等于(
n +1 n + 2 3n + 1
1
A f(
k )+ 3 ( k +1)+ 1 1 B. f (k ) +
3k + 2
1 1 , 1 , 1 + 3k +
2 + 3k
+ 3 + 3k + 4
1 1
D f(k)
+ 3k^ —芮
1 1 _ 1111
3k + 3+ 3k + 4，…f(k + 1) = f(k) + 3k + 2+ 3k + 3+
3k + 4 — k + 1
.
答案：C 10. 用数学归纳法证明：对任何正整数
n 有：
1111 1 n
3 15 35 63
4n 2
-1 2n + 1
1 1 1
证明：(1)当n = 1时，左边=3，右边=2x 1 +1 = 3，故左边=右边，等式成立. (2)假设当n = k (k > 1, k € N )时等式成立，即 1111
1 k
—+ ——+ + ——+•••+ ——2 --------- =
3 15 35 63
4k -1 2k + 1
那么当n = k + 1时，利用归纳假设有：
1111 1 1 k 1 k -+ - + — + -- + …+ --- 2 + ------------- 2 = ------- + ---------- 2 = -------- + 3 15 35 63 4k -1 4 (k + 1) -1 2k + 1 4 (k + 1) — 1 2k + 1
________ 1 ___________ k (2k + 3)+ 1 ___________ 2k 2
+ 3k + 1 _______ (2k + 1)( k + 1)
(2k + 1)( 2k + 3) = (2k +1)( 2k + 3) = (2k + 1)( 2k + 3) = ( 2k + 1)( 2k + 3)
C. f (k )
解析:
1 1 1
f(k) =
k + 1 + k + 2+…+
3k +
1，
1 1
f(k + 1)
= k + 2+
k + 3 +
…+
1 1
3k + 1+ 3k + 2 +
111 1
11. 设 f (n ) =
+
+
+•••+〒(n €N +)，那么 f ( n + 1) — f (n )等于( )
n + 1 n + 2 n + 3 2n
1 1
A. B.
2n + 1 2n + 2
1 1 1 1
C _____ I _____
D _____________ 2n + 12n +2 - 2n + 1 2n +2 "丄l
1
1
1
1
1
1 1 1
解析：.f (n ) = n + 1 +
n + 2+
…+
2n ，
f(n +1) =
n + 2+
n + 3 +
…+
2n +
2n + 1 +
2n + 2,
一 八 一、 1 1 1 1 1
…f(n + 1) — f(n) = 2n + 1+ 2n +2—n + 1 = 2n + 1 — 2n + 2.
答案：D
12. 观察下列等式： 18 9
= 1
8
2
2
n — 1 2
答案：1 — 2 + 3 —•••+ ( — 1) n =
13.
古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1, 3, 6, 10,…,
n (n + 1)
1 2 1
第n 个三角形数为 刁 =尹+2门・记第n 个k 边形数为 Nn, k )( k >3),以下列出了部 分k 边形数中第n 个数的表达式：
1 2 1
三角形数 N (n , 3) = g n +g n
_ 2
正方形数 N (n , 4) = n
9 2 1
五边形数 N (n , 5) = ^n — 2门
六边形数
N (n , 6) = 2n 2
— n
可以推测N (n , k )的表达式，由此计算 N (10 , 24) = ______ .
解析：先根据给出的几个结论，推测出当 k 为偶数时，Nn , k )的表达式，然后再将 n
=10 , k = 24代入，计算 N (10 , 24)的值.
由 N (n , 4) = n 2
, N (n , 6) = 2n 2
— n ,…，可以推测：当 k 为偶数时，N (n , k ) = £ — 1 jn 2
—2 h ,于是 N (n , 24) = 11n 2
— 10n ,故 N (10 , 24) = 11X 102
— 10X 10= 1 000.
答案：1 000
14.已知数列｛a n ｝与｛b n ｝的通项公式分别是 a n = 3n — 1、b n = 2n
, n € N ,记T n = a nb + a n — 1b 2+-+
a 1
b n , n € N ,用数学归纳法证明： T n + 12=— 2a n + 105( n €N *).
2 2
1 —
2 =—
3 12
— 22
+ 32
= 6
12
— 22
+ 32
— 42
=— 10
照此规律，第n 个等式可为
(2)假设当n = k 时等式成立，即 T k +12=- 2a k + 10b k ，则当n = k + 1时有：
T k +1 = a k +i b i + a k b 2+ a — i b 3+…+ a i b k +1 = a k + i b i + 2( a k b i + a<-i b 2+…+ a i b k ) = a k +i b i + 2T k =a k + i b i + 2( —
2a k + i0b k — i2) = 2a k +i — 4( a k +1 — 3) + i0b k +1 — 24 = — 2a k +1 + i0b k +1 — i2.
即 T k +i + i2= — 2a k +i + i0b k +i ，因此 n = k + i 时等式也成立. 由(i)和(2)，可知对任意 n €N *, T n +12=— 2a n + i0b n 成立.
方法
1 •学习完全归纳法与不完全归纳法，要注意他们的区别与联系：归纳法分为完全归纳 法和不完全归纳法，由完全归纳法得出的结论是正确的，
由不完全归纳法得出的结论有可能
是错误的，但是不完全归纳法是人类研究科学、探索真理、发现客观规律的一种重要手段.
2•数学中有很多涉及正整数的命题，由于正整数有无穷多个，因而不可能对所有的正 整数一一加以验证.如果只对部分正整数加以验证， 结论又不一定正确.数学归纳法的基本
思想是先验证使结论成立的最小正整数
n o ，如果当n = n o 时命题成立(这是基础，是出发
点)•再假设当n = k ( k > n o , k 为正整数)时命题正确，根据这个假设，如果能推出 n = k + 1
时命题也成立(这是递推的依据)，那么就可以推出对于所有不小于 n o 的正整数n o + 1, n o +
2,…，命题都正确了.
3•用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可.
(1) 证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性•在 这一步中，只需验证使命题结论成立的最小的正整数就可以了， 没有必要验证命题对几个正
整数成立.
(2) 证明了第二步，就获得了递推的依据.
第二步中，在推证之前， 命题对n = k 是否成
立是不清楚的，因此用“假设”两字，这一步的实质是证明命题对 n =k 的正确性可以传递
到n = k + 1的情况，有了这一步，再由第一步知命题对 n o 成立，就可以知道命题对于 n o + 1
也成立，进而再由第二步可知命题对于
n =(n o + 1) + 1 = n o + 2也成立，…，这样递推下去，
可以知道命题对于一切不小于 n o 的正整数都成立.在第二步中， n = k 命题成立，可以作为 条件加以运用，而n = k + 1时的情况则有待利用命题的已知条件、 公理、定理、定义加以证 明.
完成一、二两步后，最后要对命题做一个总的结论.
证明：(1)当 n = 1 时，T 1+ 12= ab + 12= 16,— 2a + 10b = 16,故等式成立；
(—1) 2
n + 1
—n( n + 1)。