上海市川沙中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题

上海市川沙中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．椭圆22
154
x y +=的焦距等于________ 2．双曲线22
1169
x y -=的两条渐近线的方程为________. 3．若线性方程组的增广矩阵是122301c c ⎛⎫
⎪⎝⎭，其解为11x y =⎧⎨=⎩，则12c c +=________ 4．已知复数22i z i
+=，则z 的虚部为________． 5．圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y +-=的距离等于________。

6
．若复数3z =（a ∈R ），若2||3
z =，则a =________ 7．已知向量()=1,2a ，()=2,2b -，()=1,c λ．若()2+c
a b ，则λ=________． 8．参数方程2cos 2sin x y θθ
=⎧⎨=+⎩（θ为参数，且R θ∈）化为普通方程是_____ 9．已知直线0ax by c 与圆22:1O x y +=相交于A 、B
两点，且||AB =OA OB ⋅=________
10．若椭圆22
142
x y +=上一动点(,)M x y 到定点(,0)N m （02m <<）的距离||MN 的最小值为1，则m =________
11．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB ⋅的最大值是 ．
12．在平面直角坐标系xOy 中,点O 是坐标原点,点A(2,1),B(0,2),点P 在圆
()2211x y -+=上运动,若OA xOB yOP =+，
则2x y +的最小值为________.
二、单选题
13．关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩
，其中行列式x D 为（ ） A ．0543- B ．1024
C ．0543
D ．0543- 14．已知复数113z i =+，23z i =+（i 为虚数单位），在复平面内，12z z -对应的点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
15．设点M 、N 均在双曲线22
:143
x y C -=上运动，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，则122MF MF MN +-的最小值为（ ）
A ．
B ．4
C ．
D ．以上都不对 16．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为
A ．2
212
x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154
x y +=
三、解答题
17．设z 为关于x 的方程20x mx n ++=（,m n ∈R ）的虚根，i 为虚数单位.
（1）当1i z =-+时，求m 、n 的值；
（2）若1n =，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数24i +所对应的点为Q ，试求||PQ 的取值范围.
18．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交地物线于点A ．B （其中点A 在第一象限），交其准线l 于点C ，同时点F 是AC 的中点
（1）求直线AB 的倾斜角；
（2）求线段AB 的长．
19．直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于不同的两点A,B .
（1）求实数k 的取值范围；
（2）若以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数k 的值.
20．已知两点1(2,0)F -、2(2,0)F ，动点P 在y 轴上的射影是H ，且21212
PF PF PH ⋅=. （1）求动点P 的轨迹方程；
（2）设直线1PF 、2PF 的两个斜率存在，分别记为1k 、2k ，若1212
k k =
，求点P 的坐标；
（3）若经过点(1,0)N -的直线l 与动点P 的轨迹有两个交点T 、Q ，当4||||||7
NT NQ -=时，求直线l 的方程.
21．已知两点1(F 、2F ，动点(,)M x y 满足12|||4|MF MF +=，记M 的轨迹为曲线C ，直线:l y kx =（0k ≠）交曲线C 于P 、Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交曲线C 于点G .
（1）求曲线C 的方程，并说明曲线C 是什么曲线；
（2）若2k =，求△PQG 的面积；
（3）证明：△PQG 为直角三角形.
参考答案1．2
【解析】
【分析】
根据椭圆方程，求出,a b，即可求解.
【详解】
设椭圆的焦距为2c，椭圆方程为
22
1 54
x y
+=，
22
5,4,1
a b c
∴==∴=.
故答案为:2.
【点睛】
本题考查椭圆标准方程及参数的几何意义，属于基础题.
2．
3
4 y x
【分析】
令
22
169
x y
-=解得结果
【详解】
令
22
169
x y
-=解得两条渐近线的方程为
3
4
y x
【点睛】
本题考查双曲线渐近线的方程，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．6
【解析】
【分析】
本题可先根据增广矩阵还原出相应的线性方程组，然后将解
1
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
代入线性方程组即可得
到1c、2c的值，最终可得出结果．
【详解】
解：由题意，可知：此增广矩阵对应的线性方程组为：
1223x y c y c +=⎧⎨=⎩
， 将解11
x y =⎧⎨=⎩代入上面方程组，可得： 12
51c c =⎧⎨=⎩． 126c c ∴+=．
故答案为：6．
【点睛】
本题主要考查线性方程组与增广矩阵的对应关系，以及根据线性方程组的解求参数．本题属基础题．
4．-1
【分析】
先根据复数的除法中的分母实数化计算出z 的结果，然后根据z 的结果直接确定虚部.
【详解】 因为()22242122242
i i i i z i i i i +⋅+-====-⋅-，所以z 虚部为1-. 故答案为1-.
【点睛】
（1）复数的除法运算，采用分母实数化的方法，根据“平方差公式”的形式完成分母实数化；
（2）复数z a bi =+，则z 的实部为a ，虚部为b ，注意实、虚部都是数值.
5．2
【分析】
先根据圆的一般方程确定圆的圆心，然后根据点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离.
【详解】
因为圆的方程为22240x y x y +-+=即()()22
125x y -++=，所以圆心为()1,2-，
则圆心到直线的距离2d =
=.
故答案为：2.
【点睛】
本题考查根据圆的一般方程确定圆心以及点到直线的距离公式的运用，难度较易.由圆的一般方程确定圆心可考虑先将圆的一般方程化为标准方程然后直接得到圆心坐标
6．【分析】
根据模长的性质，求出||z 且等于
23
，即可求解. 【详解】 3
3
222||||13
z a ====+,
解得a =
故答案为:.
【点睛】 本题考查复数的模长，注意模长性质的应用，属于基础题.
7．12
【分析】
由两向量共线的坐标关系计算即可．
【详解】
由题可得()24,2a b +=
()
//2,c a b + ()1,c λ= 4λ20∴-=,即1λ2=
故答案为
12
【点睛】 本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．
8．23x y +=
【解析】
【分析】
由题得222cos 2sin x y θθ⎧=⎨-=⎩
，再把两式相加即得参数方程的普通方程. 【详解】
由题得222cos 2sin x y θθ
⎧=⎨-=⎩，两式相加得2221,3x y x y +-=∴+=. 所以普通方程为23x y +=.
故答案为:2 3x y +=
【点睛】
(1)本题主要考查参数方程化普通方程，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 参数方程消参常用的方法有三种.①加减消参：直接把两个方程相加减即可消去参数.②代入消参：通过其中的一个方程求出参数的值，再代入另外一个方程化简.③恒等式消参：通过方程计算出sin cos αα、，再利用三角恒等式22sin cos 1a a +=消去参数. 9．12
- 【分析】
根据已知求出AOB ∠，用向量数量积公式，即可求解.
【详解】
直线0ax by c 与圆22:1O x y +=相交于A 、B 两点，
||||1,||OA OB AB ===AB 中点D ，则⊥OD AB ，
cos ,26
OAB OAB OAB ππ∠=<∠<∴∠=， 221,||||cos cos 332
AOB OA OB OA OB AOB ππ∴∠=⋅=∠==-. 故答案为:12
-. 【点睛】
本题考查直线与圆的关系，注意半弦长、圆心距与半径关系，考查向量的数量积，属于中档题.
10．1
【分析】
求出||MN ，结合椭圆方程将2
y 用x 表示，利用二次函数求出其最小值且等于1，即可求解. 【详解】
(,)M x y 在椭圆22142x y +=，2
22,222
x y x =--≤≤，
||MN ==
=，02m <<， 当01m <≤时，2x m =，
min ||1,1MN m ===，舍去负值；
当12m <<时，min 2,||21,1x MN m m ==-==，舍去.
故答案为:1.
【点睛】
本题考查椭圆上的动点到定点的距离，注意应用二次函数求最值以及分类讨论，属于中档题. 11．5
【解析】
试题分析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：22
30x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222
||||10PA PB AB +==，2
||52
AB PA PB ⨯≤=. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.
【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.
12．1
【分析】
由圆的参数方程可设1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩
（θ为参数），再结合向量相等的坐标表示可得
()2,1=()cos ,2sin y y x y θθ++，则2x y +=1sin 12
1cos θθ
-++，再结合三角函数的有界性即可得解.
【详解】 解：因为点P 在圆()22
11x y -+=上运动,设1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）， 又OA xOB yOP =+，则()()
2,1(0,2)cos ,sin x y y y θθ=++()cos ,2sin y y x y θθ=++，则21cos y θ=+ ，2sin 11cos x θθ
=-+， 所以2x y +=4sin 21cos θθ-+21cos θ++=1sin 121cos θθ
-++， 令1sin 1cos t θθ
-=+，则sin cos 1t t θθ+=-，
则 )1t θϕ+=-1t ≥-，
解得0t ≥， 故1sin 01cos θθ-≥+，即当1sin 01cos θθ
-=+时，2x y +的最小值为1201+⨯=， 故答案为：1.
【点睛】
本题考查了圆的参数方程、向量相等的坐标表示及三角函数的有界性，重点考查了运算能力，属中档题.
13．C
【分析】
根据行列式x D 定义，即可求解.
【详解】
关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩
， 其中行列式x D 为0543.
故选:C
【点睛】
本题考查二元一次方程组与行列式关系，属于基础题.
14．B
【分析】
利用复数的减法求出复数12z z -，即可得出复数12z z -对应的点所在的象限.
【详解】
复数113z i =+，23z i =+，()()1213322z z i i i ∴-=+-+=-+，
因此，复数12z z -在复平面内对应的点在第二象限.
故选B.
【点睛】
本题考查复数的几何意义，同时也考查了复数的减法运算，利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
15．B
【分析】 根据向量的运算，化简得1212222MF MF MN MO MN NO +-=-=，结合双曲线的性质，即可求解. 【详解】 由题意，设O 为12,F F 的中点，
根据向量的运算，可得122222MF MF MN MO MN NO +-=-=，
又由N 为双曲线22:143
x y C -=上的动点，可得NO a ≥， 所以122224MF MF MN NO a +-=≥=，
即122MF MF MN +-的最小值为4.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了向量的运算，以及双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中利用向量的运算，合理化简，结合双曲线的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问
题和解答问题的能力，属于中档试题.
16．B
【分析】 由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在
1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △
中，由余弦定理得n =，从而可求解. 【详解】 法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得
22214991cos 2233
n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，
解得2
n =．
22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22
132x y +=，故选B ． 法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n
⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，
解得2
n =
．22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22
132
x y +=，故选B ．
【点睛】
本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
17．（1）2m n ==；（2）1].
【分析】
（1）将1i z =-+代入方程，,m n ∈R ，利用复数相等，得出关于,m n 的方程组，即可求解；
（2）设(,)z a bi a b R =+∈代入方程210x mx ++=方程，求出复数z 所对应的点(,)P a b 的轨迹，根据∆<0，求出m 范围，利用几何法，即可求出结论.
【详解】
（1）1i z =-+为方程20x mx n ++=（,m n ∈R ）的虚根，
2(1)(1)(2)0i m i n m n m i -++-++=-++-=，
解得2m n ==；
（2）设(,z a bi a b R =+∈且0)b ≠是210x mx ++=的虚根，
240,22m m ∆=-<∴-<<，
2()()10a bi m a bi ++++=，
221(2)0a b ma ab mb -++++=，
2
22240,,,124
m m b a b a b -≠∴=-=+=， 复数z 所对应的点P 在单位圆上（去掉(1,0)±，
复数24i +所对应的点为||(2,4),Q OQ ==，
所以||PQ 的范围为1].
故答案为:1].
【点睛】
本题考查复数相等求参数及轨迹方程，以及复数几何意义，考查用几何法求定点到圆上点的距离，属于中档题.
18．（1）3π，（2）163
【分析】
（1）由点F 是AC 的中点，结合抛物线的定义可得点A 的坐标，由此可得直线的AB 斜率，从而可求出直线AB 的倾斜角；
（2）将直线方程和抛物线方程联立成方程组求出点B 的坐标，再抛物线的焦点弦公式可求得AB 的长.
【详解】
解：（1）由题可知(1,0)F ，准线l 的方程为1x =-，
设A ，B 在准线上的投影分别为,M N ，准线与x 轴交于点H ，则2FH =，
因为F 是AC 的中点，所以24AM FH ==,
所以点A 的横坐标为3，
当3x =时，212y =，由于点A 在第一象限，
所以点A 的坐标为(3,，
设直线AB 的倾斜角为α，则0tan 31α=
=- 因为[0,)απ∈，所以3π
α=，
（2）直线AB 的方程为1)y x =-，
由21)4y x y x
⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得231030x x -+=， 解得13,3
x x ==，
所以点B 的横坐标为
13
， 所以1163233AB =++=
【点睛】
此题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，过焦点的弦的弦长关系，考查数学转化思想，属于中档题.
19．（1）((k ∈⋃⋃
；（2）1k =±. 【分析】
（1）由直线1y kx =+与双曲线2231x y -=，消去y ，利用判别式大于零得不等式，解出即可；
（2）以线段AB 为直径的圆经过坐标原点转化为0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，整理后代入根与系数关系求解实数k 的值．
【详解】
解：（1）由直线1y kx =+与双曲线2231x y -=，
得()223220k x kx ---=，
所以2223048(3)0k k k ⎧-≠⎨∆=+->⎩
，
解得((k ∈⋃⋃； （2）以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，设()()1122,,,A x y B x y ，
则0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，
()()1212110x x kx kx ∴+++=，
即()
()21212110k x x k x x ++++=， ()22222k k 1k 033k k
-∴+⋅+⋅=--， 整理得21k =，符合条件，
∴1k =±．
【点睛】
本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，训练了利用直线斜率的关系判断两直线的垂直关系，是中档题．
20．（1）22
184
x y +=；（2）或1)-或(或(1)-；（3）1)y x =+或
1)y x =+.
【分析】
（1）设(,)P x y 得(0,)H y ，用坐标表示21212PF PF PH ⋅=，求出轨迹方程为22184
x y +=； （2）由1212
k k =，求出,x y 关系，与椭圆方程联立，即可求解； （3）设出直线l 方程，与椭圆方程联立，消去x ，得到关于y 的一元二次方程，由根与系数关系，得出,T Q 两点纵坐标关系，将||||||NT NQ -转化为,A B 纵坐标表示，即可求解.
【详解】
（1）设(,)P x y ，则12(0,),(2,),(2,)
H y PF x y PF x y =---=--， 22221211(,0),422
PH x PF PF x y PH x =-⋅=-+==， 22
184
x y +=∴，即为所求的轨迹方程； （2）直线1PF 、2PF 的两个斜率存在，2x ≠±
2221221,242242
y y y k k x y x x x =⋅===+-+-， 联立222218424x y x y ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
解得2261x y ⎧=⎨=⎩
，即1x y ⎧=⎪⎨=±⎪⎩ 所以P
坐标为
或1)-
或(
或(1)-；
（3）若直线l 斜率为0，||||||2NT NQ -=，不合题意，
设直线l 方程为1x my =-，
联立22128
x my x y =-⎧⎨+=⎩，消去x 得 222(2)270,32560m y my m +--=∆=+>， 设112212122227(,),(,),,22
m T x y Q x y y y y y m m +==-++，
1212||||||1||||
|NT NQ y y y y -=+-=+，
22||427
m m =
=+，整理得424533160m m +-=， 2221(3
1)(1516)0,,3m m m m -+=
=∴=， 所求的直线方程为1)y x =+或1)y x =+.
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，
要熟练掌握根与系数关系设而不求方法求相交弦问题，属于中档题.
21．（1）
22
142
x y +=，轨迹是以0)、(为焦点的椭圆；（2）4027；（3）证明见解析.
【分析】
（1）1212|||||4|MF MF F F +=>，根据椭圆定义，即可求出方程；
（2）设111(,),0,0P x kx x k >>，可得111(,),(,0)Q x kx E x --，求出QE 方程，与椭圆方程
联立求出G 点坐标，再将2y x =与椭圆方程联立，求出,,P Q G 坐标，即可求解； （2）根据（2）中G 点坐标求出PG 斜率，即可证明结论.
【详解】
（1）1212|||||4|MF MF F F +=>，
M
点轨迹就是以12(F F 为焦点的椭圆， 其方程为22
142
x y +=； （2）设111(,),0,0P x kx x k >>，则111(,),(,0)Q x kx E x --，
直线QE 方程为1()2
k y x x =-， 联立122()2
240
k y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪+-=⎩消去y 得， 2222211(2)280k x k x x k x +-+-=，①
设221(,),G x y x -为方程①的解，
222111121212222232,222
k x k x k x x x x x x k k k +-=∴=+=+++， 323111122122232(),(,)2222
k x k x x k x k y x x G k k k +=-=+++， 联立22224y x x y =⎧⎨+=⎩，解得2343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2343x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， 2424148(,),(,),(,)333399
P Q G --， 1414240()239327
PQG S ∆=⨯+=； （3）由（2）得231112232(,)22
k x x k x G k k +++，
3112122111122123222PG k x kx kx k k k x x k x k x k -+===-+--+， PQ PG ∴⊥，即△PQG 为直角三角形.
【点睛】
本题考查椭圆定义求标准方程，考查直线与椭圆位置关系，考查计算求解能力，属于中档题.。