投影变换探研

投影变换探研
朱云鹤;葛桂华
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】2014(000)006
【总页数】2页(P52-53)
【作者】朱云鹤;葛桂华
【作者单位】江苏省苏州大学附属中学 215006;江苏省苏州大学附属中学 215006【正文语种】中文
普通高中课程标准实验教科书选修4－2矩阵与变换中，在其第二节介绍了六种常见的平面变换，其中五种变换包括恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换和切变变换的原象集与象集中的元素都具有一一对应关系，而只有投影变换不是一一映射，对应的变换矩阵的形式和特点也不明朗，需要对其加强认识与理解.
教科书以实例——树木的影子投到各自的树根引入投影变换，对应的变换矩阵是，又用例题来认识变换矩阵，给出投影变换的定义如下：像这类将平面内图形投影到某条直线（或某个点）上的矩阵，我们称之为投影变换矩阵，相应的变换称做投影变换.同时，在教科书中还出现以下的三个投影变换矩阵
那么，什么样的矩阵是投影变换矩阵？投影变换矩阵有什么特点？有没有一般的结构特征？对于所有这些都是未知数，有必要对此进行探索与思考.
1 投影变换的特点
要认识和理解投影变换矩阵，首先让我们来认识与理解投影变换有什么特点.教科
书对投影变换并没有给出一个严格的定义，由教材中的描述和事例可以归纳出以下三个特点：
（1）投影位置是一条过原点的直线.教材中明确指出，投影变换将平面内图形投影到某条直线，而原点则是任何矩阵变换中的不动点.如在矩阵变换下平面上的点都投影到x轴上，矩阵变换下投影到直线y＝x上.
（2）固定的投影方向.换句话说，沿着投影方向所在直线上的所有点都投影到共同的一点，如在矩阵变换下，垂直于x轴的直线上的每一点都投影到x轴上的同一点上，而矩阵变换则把垂直于x轴的直线上的每一点都投影到直线y＝x上的同一点.
（3）投影到脚下.这个特点非常鲜明，却容易使人忽略，我们可以通过对矩阵变换和的比较来更好地认识这个特点，矩阵变换是把平面上的点沿垂直于x轴的方向投影到x轴上，直线x＝1上所有点都投影到点（1，0），而矩阵变换同样也是把平面上的点沿垂直于x轴的方向投影到x轴上，但直线x＝1上所有点却都投影到点（2，0）——不在脚下.
例点A（1，2）在投影矩阵M作用下变换为点A′（1.5，1.5），求变换对应的矩阵M.
解设矩阵，则所以根据题意可得x′＝y′，即ax＋by＝cx＋dy，故a＝c，b＝d.点A（1，2）变换为点A′（1.5，1.5），故1.5＝a＋2b.同时，直线AA′方程为x＋y ＝3，其上的所有点都变换为A′点，可以取一点（3，0），则1.5＝3a.所以有
学生在学习的过程中，往往对投影变换的第三个特点认识不足，在求投影变换矩阵时感到困难.
2 投影变换矩阵的通式及其特点
认识和了解了投影变换，我们很容易认识到投影变换矩阵有以下三个鲜明的特点：（1）投影变换把一条平行于投影方向的直线都投影到同一点，也就是说，投影变
换虽然是映射，但不是一一映射.因此，投影变换矩阵不具有逆矩阵，也可以说，
投影变换矩阵的行列式的值为0；
（2）与投影方向共线的向量在投影变换下为零向量，而与投影直线共线的向量则在投影变换下不变，由此可以知道，投影变换矩阵的特征值固定为0和1；
（3）由于平面上所有的点都投影变换到投影直线，而投影直线上的点则在投影变换下不改变，故投影变换矩阵M满足Mn＝M.
下面我们来研究投影变换矩阵的一般性结构.
记投影变换下其投影直线l的方程为y＝kx.当投影方向是直线l1时，方程为y＝
k1x（k≠k1）.设投影变换矩阵由kx′＝y′，得kax＋kby＝cx＋dy，故ka＝c，kb
＝d.由于直线l1任一点都将投影变换为原点，即0＝ax＋by，得a＋k1b＝0.由“投影到脚下”的特点，则平行于直线l1的直线l2：y＝k1x＋h（h≠0）上的点
投影变换为直线l与直线l2的交点由x′＝ax＋by，得
因为直线不一定存在斜率，故所得到的投影变换矩阵不能表示投影直线或投影方向垂直于x轴的情况.
若记直线l，l1的倾斜角分别为α，β（α≠β），则k＝tanα，k1＝tanβ，代入矩
阵M 并整理可得
通过验证，我们可以知道，这个矩阵对于或同样可以适用.
对于投影变换矩阵，通过对投影变换矩阵通式的研究，除了有性质det（M）＝0
及a＋d＝1外，还可以有以下一些认识：（1）当abcd＝0时，倾斜角α，β有
一个为0或；（2）k ＝tan.因此，前面例题中，有k＝tanα＝1，k1＝tanβ＝－1，即表示沿着垂直于直线y＝x的方向投影到该直线上.。