人教课标版《等差数列》ppt完美课件2

解1)：由题意
S12
=
a1
+a12 2
S13
=
a1
+a13 2
g12=6a6+a7 >0
g13=13a7 <0
a a7 6+ <a 07>0 a 2a 3+ 3+ 4d 7d <> 00 d d> <--3 2 7 4 -2 7 4<d<-3
2)由于a7<0,a6>0,所以S6最大。
f(x)f(1x)L 2 2
设S=f(-5)+f(-4)+Lf(5)+f(6)
则S=f(6)+f(5)+Lf(4)f(5)
2SLL6 2S3 2
倒 序 相 加 法 的 应 用
补充
1、 在 数 列 {an}中 ， a11， sn2sn s n1 1 1 （ n2） ，
求 ： an
an （ 2n1 ） （ 22n3 ） （ n2 ）
a1a2 a2a3 a3a4
anan+ 1 a1an+ 1
其中ana1n+1
1 1 =dan
1 -
an+1
求 和 S n=1 1 g 3+3 1 g 5+5 1 g 7+ L+2n -11 2n + 1
S n=1 2 1 -1 3+1 3-1 5+1 5-7 1+ L+2 n 1 -1-2 n 1 + 1 =121-2n1+1=2nn+1
bn 0 bn1 0
29 2
n
31,Q 2
n
N
n 15,bn的前15项为负，S15最小
且S15 L 225
例 10 ： 设 f(x)= 1 ,则 2x2
f(-5)+f(-4)+L+f(0)+L+f(5)+f(6)=____________.
解 ： Qf(1x) 1 2x
12x 2
21 x2 222x 22x
解 ： （ 1 ） 当 n = 1 时 ， a 1 = p a 1 , 若 p = 1 时 ， a 1 + a 2 = 2 p a 2 = 2 a 2 a 1 = a 2 , 与 已 知 矛 盾 , p 1 , 则 a 1 0 .
当 n 2 时 ， a 1 a 2 2 p a 2 (2 p 1 )a 2 0 , Q a 1 a 2, p 1 /2 ( 2 ) . n 叠 乘 2 ， 得 a ： n aa n2S n n S n 2 1 ( 注1 2 意 n a nn 21 2 )( n 1 a) na n 1 ( na 1a n )n a1 2 n n 1 2
1 1)2
1
1, 又 an
0
an1 an 数 列a n L
例7：已知an数列满足a1=4,an=4-a4n-1，令bn
1 .
an2
(1)求证数列bn是等差数列。
(2解)求 ：数 （列 1）bna的 n+1通 项 2 公2式 。 a4n
2(an an
2)
1 a n+1
2
an 2(an 2)
10、在小于100的正整数中，能被3除余2的这 些数的和是__1_5_6_0__
11、等差数列{an}中，首项a1>0,公差d<0,Sn为 其前n项和，则点(n,Sn)可能在下列哪条曲线上。
Y
Y
C
O
X
A
Y
O
X
B
Y
O
X
C
O
X
D
补例 例1、已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若 S5=5,S10=20，求S15. 解：∵S5，S10-S5，S15-S10成等差数列
若等差数列{an}共有2n项，则S偶-S奇=nd, S奇 = an S 偶 a n+1 如{an}为等差数列，项数为奇数，奇数项和为44， 偶数项和为33，求数列的中间项和项数。
a中=11，n=7
性质5、{an}为等差数列，求Sn的最值。 若a1>0,d<0且aann+100，则Sn最大。 若a1<0,d>0且aann+100，则Sn最小。
A、S4<S5 B、S4=S5 C、S6<S5 D、S6=S5
4、设{an}是递增等差数列，前三项的和为12， 前三项的积为48，则它的首项是 B
A、1 B，2 C、4 D、6
5、数列{an}中，an=26-2n,当前n项和Sn最大时， n=_1__2_或__1_3____ 6、在等差数列{an}中,已知前4项和是1，前8项 和是4，则a17+a18+a19+a20等于__9____ 7、已知在等差数列{an}中，a1<0,S25=S45,若Sn最 小，则n为 B
2 、 前 4 项 和 为 2 1 ， 末 4 项 和 为 6 7 ， 且 各 项 和 为 2 8 6 ， 求 项 数 。
3、数列{an}中，a1 8，a4 2，且满足an22an1an 0
26
（ 1）求数列{an}的通项公式。
（2）设bnn （ 121an） ，snb1b2bn是否存在最大的整数m
1、求和公式的性质：
性质1、若数列{an}的前n项和为Sn=an2+bn (a,b为常数)，则数列{an}是等差数列。
{an}是等差数列 Sn=an2+bn(a,b为常数)
性质2、等差数列{an}的前n项和为Sn,则
n ga n + 1
S
n
=
n 2
2
an
2
+
a
n +1 2
(n为奇数) (n为偶数)
解：由S10=S15得a11+a12+a13+a14+a15=0 所以a13=0 因为a1>0,a13=0,所以d<0
即n≤12时，an>0而n≥14时an<0
所以S12和S13最大
最大值为130
例6：设f(x)=log2x-logx2(0<x<1)，数列an满足
f(2an)2n(n1,2,3L)
an an1 a2
数列an是以a2为公差a1为首项的等差数列。
例9：已知数列an,anN,Sn 18(an 2)2. (1)求证an是等差数列. (2)若bn=12an-30，求数列bn的前n项和的最小值
解：a n+1
Sn1
Sn
18(an+1
2)2
18(an
2)2
(an1an)(an1an 4)0,QanN
，使得对任意的n均有sn
m总成立?若存在,求出m,不存在,说明理由. 32
(1)an 10 2n
(2)m 7
5、 方 程 f（ x） =x的 根 称 为 函 数 f（ x） 的 不 动 点 ， 若 函 数 f（ x） =
a（ x x+2） 有 唯 一 不 动 点 ， 且 x11000， xn1f（ 11） xn
an1an 4数列an是等差数列。
例9：已知数列an,anN,Sn 18(an 2)2. (1)求证an是等差数列. (2)若bn=12an-30，求数列bn的前n项和的最小值
解 ： （ 2 ） 由 知 a 1 S 1 1 8 (a 1 2 )2 a 1 2
an 4n 2 bn 2n 31
A、25 B、35 C、36 D、45
8、在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项的 和为165，所有偶数项的和为150，则n等于 B
A、9 B、10 C、11 D、12
9、等差数列{an}中，a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78, 则此数列前20项和等于 B
A、160
B、180 C、200 D、220
等差数列前n(2)
教学目标： 求和公式的性质及应用，Sn与an的关系以及
数列求和的方法。 教学重点：求和公式的性质应用。
难点：求和公式的性质运用以及数列求和的方法
引入 Sn=na1+nn 2-1d=d 2n2+ a1-d 2 n
可见d≠0时，Sn是关于n的缺常数项的 二次函数，其二次项系数是公差的一半。
S m, S 2 m -S m, S 3 m -S 2 m仍 为 等 差 数 列 .
2、常用数列的求和方法：
1 1 2+ 2 2+ 3 2+ L+ n 2= 1n n + 1 2 n + 1
6
213+23+33+L+n3=nn2+12
(3)裂项法：设{an}是等差数列，公差d≠0
111
1 nd
+ + +L+ =
(4)倒序相加法：用于与首末两端等距离的和 相等。
随堂练习 1、在等差数列{an}中,已知S15=90,那么a8等于 C
A、3 B、4 C、6 D、12 2、等差数列{an}的前m项的和为30，前2m项的和 为100，则它的前3m项的和为 C A、130 B、170 C、210 D，260
3、设数列{an}是等差数列，且a2=-6,a8=6,Sn 是数列{an}的前n项和，则 B
如 ： S 1 7= a 1 + 2 a 1 7g 1 7 = 1 7 a 9 ;S 1 8= 9a 9+ a 1 0
如：两个等差数列{an},{bn}的前n项和为Sn,Tn
若 S11 = 23 , 则 a 6 = 2 3
T11 3 7
b6 37
反之呢？
性质3、等差数列平均分组，各组之和仍为
等差数列
解 （ 2）Q
1
an
2
是
等
差
数
列
1 1 （ n 1) 1 n
an 2 a1 2
22
an
2
2. n
例 8 ： 数 列 a n 的 前 项 和 为 S n = n p a n ( n n + ) ， 且 a 1 a 2 , ( 1 ) 求 常 数 p 的 值 。 （ 2 ） 证 明 数 列 a n 是 等 差 数 列 .
即Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等差数列
如：{an}是等差数列， (1)a1+a2+a3=5，a4+a5+a6=10,则a7+a8+a9=_15
a19+a20+a21=_3__5__
(2)Sn=25,S2n=100,则S3n=_2_2_5_
性质4、若等差数列{an}共有2n-1项，
S奇S偶a中an,S S奇 偶=nn-1
an
2sn2 2sn1
（ 1）求证：数列 {s1n}是等差数列；（ 2）求数列 {an}的通项公式。
1 2
1 an 2
2
.
bn1
bn
1. 2
数 列 bn是 等 差 数 列
例 7： 已 知 an数 列 满 足 a1=4,an=4-a4n-1， 令 bn
1. an2
(1)求 证 数 列 bn是 等 差 数 列 。
(2)求 数 列 an的 通 项 公 式 。
求 x2005 2002
6 、 1 1 1 1 1 2 n 1 21 2 31 2 3 41 2 nn 1
7 、 s n 1 2 2 3 3 4 2 5 （ 2 n （ 1 ） 2 n （ ） 2 2 n 1 ） n 2 nn 1
8、数列 {an}的首项a11，前n项的和sn与an之间满足
注 意 ： S S1 12 3 0 0 a a6 7 a 070 L
例4、有若干台型号相同的联合收割机，收割一片土
地上的小麦，若同时投入工作至收割完毕需要24小时，但 它们是每隔相同的时间顺序投入工作的，每一台投入工作 后都一直工作到小麦割完，如果第一台收割时间是最后一 台的5倍，求用这种方法收割完这片土地上的小麦需用多
∴2(S10-S5)=S5+S15-S10,
即30=5+S15-20 S15=45
例2、一个等差数列的前12项的和为354,前12项 中,偶数项和与奇数项和之比为32:27,求公差d
解：由题意，列方程组得：S奇=162，S偶=192
S偶-S奇=6d=30
∴d=5
例3、设等差数列的前n项和为Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0.1)求公差d的取值范围 2)指出 S1,S2,…Sn,…中哪一个值最大，并说明理由 。
少时间？
解：设有n台收割机，第k台所用时间为ak,则a1=5an
它们每台每小时的收割量为 1
24n
Sn=24n
a1+ 2ang n = 24n a1+a 5 1= 48 a1= 40
所以用这种方法收割完小麦需要40小时。
例5、在等差数列{an}中，已知a1=20,前n项和为Sn,且 S10=S15，求当n取何值时，Sn有最大值，并求出它的最大 值。
或利用二次函数求最值。
性 质 6 ：
( 1 ) .在 等 求 差 数 列 的 五 个 量 a n , a 1 , d , n , S n 中 ， 知 三 求 二 .
（ 2 ） 等 差 数 列 前 n 项 和 可 写 为 S n n ( a m 2 a m n 1 )
(3 ).若 数 列 an为 等 差 数 列 ， 则
(1)求数列an的通项公式.
(2)判断数列an的单调性.
解 ： 有 log22an
1 log22an
2nan22nan10
ann n21
Q0x1,02an 1an0
ann n2 1(n1,2,3L)
解 （2）Q an1 (n 1) (n 1)2 1
an
n n2 1
n
(n 1)
n2 (n