2014-2015年湖北省襄阳市枣阳市白水高中高二(下)期中数学试卷(文科)和答案

2014-2015学年湖北省襄阳市枣阳市白水高中高二（下）期中数
学试卷（文科）
一、选择题（每题5分，共60分）
1．（5分）“a＞0”是“|a|＞0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（5分）椭圆的离心率是（）
A．B．C．D．
3．（5分）已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c＝3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是（）
A．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3
B．若a+b+c＝3，则a2+b2+c2＜3
C．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2≥3
D．若a+b+c＝3，则a2+b2+c2≥3
4．（5分）命题“若x2＞1，则x＞1”，则它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
5．（5分）若曲线y＝x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程x﹣y+1＝0，则（）A．a＝1，b＝1B．a＝﹣1，b＝1C．a＝1，b＝﹣1D．a＝﹣1，b＝﹣1
6．（5分）已知F为抛物线y2＝8x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于AB两点，则||F A|﹣|FB||＝（）
A．4B．8C．8D．16
7．（5分）若将一条长16米的绳子，分成2段做成两个正方形，现要求两个正方形的面积和最小，则两个正方形的边长分别是（）
A．2.5，1.5B．1.8，2.2C．1，3D．2，2
8．（5分）设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
（）
A．B．C．D．
9．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率为k的直线l 与该抛物线分别交于A、B两点（点A在第一象限），若，则k＝（）
A．B．C．1D．2
10．（5分）函数f（x）＝（x﹣3）e x的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（1，4）C．（0，3）D．（2，+∞）
11．（5分）函数y＝（0＜φ＜）的图象如图，则（）
A．k＝，ω＝，φ＝B．k＝，ω＝，φ＝
C．k＝﹣，ω＝2，φ＝D．k＝﹣2，ω＝2，φ＝
12．（5分）当曲线y＝1﹣与直线kx﹣y﹣3k+3＝0有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（）
A．（0，）B．（，2]C．（0，]D．[2，）
二、填空题（每题5分，共20分）
13．（5分）以C：的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程为．
14．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降2米后水面宽米．
15．（5分）“x＞1”是“x2＞x”的条件．
16．（5分）下列五个命题：
①命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；
③命题“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题．
④椭圆的两个焦点为F1、F2，P为椭圆上的动点，△PF1F2的面积的
最大值2，则m的值为4．
其中是真命题的是（填上你认为正确的命题的序号）．
三、解答题（6小题，共70分）
17．（10分）已知函数f（x）＝﹣x3+3x2+9x+a．
（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．18．（12分）已知命题p：实数x满足x2﹣2x﹣8≤0；命题q：实数x满足|x﹣2|≤m（m＞0）．
（1）当m＝3时，若“p且q”为真，求实数x的取值范围；
（2）若“非p”是“非q”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．19．（12分）设函数f（x）＝x2+lnx﹣ax．
（Ⅰ）当a＝0时，求函数y＝f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数y＝f（x）在定义域内为增函数，求实数a的取值范围．20．（12分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km的A、B两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（如图）．考察范围到A、B 两点的距离之和不超过10km的区域．
（1）求考察区域边界曲线的方程：
（2）如图所示，设线段P1P2是冰川的部分边界线（不考虑其他边界）．求考察基地A点距冰川边界线P1P2的垂直距离．
21．（12分）已知抛物线C1：y2＝2px的焦点F在圆O：x2+y2＝1上，
（1）求抛物线C1的标准方程；
（2）过点F的直线交抛物线C1于A，B两不同点，交y轴于点N，已知＝λ1，
＝λ2，求λ1+λ2的值．
22．（12分）（选修4﹣1：几何证明选讲）
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．
（Ⅰ）证明：DB＝DC；
（Ⅱ）设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
2014-2015学年湖北省襄阳市枣阳市白水高中高二（下）
期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题5分，共60分）
1．（5分）“a＞0”是“|a|＞0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：∵a＞0⇒|a|＞0，|a|＞0⇒a＞0或a＜0即|a|＞0不能推出a＞0，
∴a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件
故选：A．
2．（5分）椭圆的离心率是（）
A．B．C．D．
【解答】解：椭圆的长半轴长a＝2，短半轴长b＝1
∴椭圆的半焦距c＝＝＝
∴椭圆的离心率e＝＝
故选：A．
3．（5分）已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c＝3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是（）
A．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3
B．若a+b+c＝3，则a2+b2+c2＜3
C．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2≥3
D．若a+b+c＝3，则a2+b2+c2≥3
【解答】解：已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c＝3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是：若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3．
故选：A．
4．（5分）命题“若x2＞1，则x＞1”，则它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：原命题“若x2＞1，则x＞1”，
则它的逆命题：若x＞1，则x2＞1，为真命题．
否命题：若x2≤1，则x≤1，为真命题．
逆否命题：若x≤1，则x2≤1，为假命题．
其中真命题的个数是：2．
故选：C．
5．（5分）若曲线y＝x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程x﹣y+1＝0，则（）A．a＝1，b＝1B．a＝﹣1，b＝1C．a＝1，b＝﹣1D．a＝﹣1，b＝﹣1
【解答】解：y＝x2+ax+b的导数为y′＝2x+a，
可得在点（0，b）处的切线斜率为a，
由点（0，b）处的切线方程为x﹣y+1＝0，
可得a＝1，b＝1，
故选：A．
6．（5分）已知F为抛物线y2＝8x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于AB两点，则||F A|﹣|FB||＝（）
A．4B．8C．8D．16
【解答】解：抛物线y2＝8x的焦点F（2，0），准线为x＝﹣2．
设A（x1，y1），B（x2，y2）
由，可得x2﹣12x+4＝0，解得x1＝6+4，x2＝6﹣4，
由抛物线的定义可得|F A|＝x1+2＝8+4，|FB|＝x2+2＝8﹣4，
则||F A|﹣|FB||＝8，
故选：C．
7．（5分）若将一条长16米的绳子，分成2段做成两个正方形，现要求两个正方形的面积和最小，则两个正方形的边长分别是（）
A．2.5，1.5B．1.8，2.2C．1，3D．2，2
【解答】解：设其中一个正方形的边长为x，则另一个正方形的边长为（4﹣x）．
两个正方形的面积和为：S＝x2+（4﹣x）2＝2x2﹣8x+16＝2（x﹣2）2+8，
∴x＝2时，两个正方形的面积和最小为8，
此时4﹣2＝2，所以两段铁丝的长度分别2，2，
故选：D．
8．（5分）设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）
A．B．C．D．
【解答】解：设椭圆的方程为（a＞b＞0），设点P（c，h），则
＝1，
h2＝b2﹣＝，∴|h|＝，由题意得∠F1PF2＝90°，∠PF1F2＝45°，Rt△PF1F2 中，tan45°＝1＝＝＝＝＝，
∴a2﹣c2＝2ac，+2•﹣1＝0，∴＝﹣1，
故选：A．
9．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率为k的直线l 与该抛物线分别交于A、B两点（点A在第一象限），若，则k＝（）
A．B．C．1D．2
【解答】解：过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为M，N，作BC⊥AM，垂足为C，
设||＝m，||＝3m，则
由抛物线的定义得|AM|＝3m，|BN|＝m，
∴||＝4m，||＝2m，
∴∠BAC＝60°，于是直线l的倾斜角为60°，斜率k＝
故选：A．
10．（5分）函数f（x）＝（x﹣3）e x的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（1，4）C．（0，3）D．（2，+∞）【解答】解：∵函数f（x）＝（x﹣3）e x，
∴f′（x）＝e x+（x﹣3）e x＝（x﹣2）e x，
令f′（x）＞0，
即（x﹣2）e x＞0，
∴x﹣2＞0，
解得x＞2，
∴函数f（x）的单调递增区间是（2，+∞）．
故选：D．
11．（5分）函数y＝（0＜φ＜）的图象如图，则（）
A．k＝，ω＝，φ＝B．k＝，ω＝，φ＝
C．k＝﹣，ω＝2，φ＝D．k＝﹣2，ω＝2，φ＝
【解答】解：把（﹣2，0）代入y＝kx+1，求得k＝．
再根据•＝﹣＝π，可得ω＝．
再根据五点法作图可得×+φ＝π，求得φ＝，
故选：A．
12．（5分）当曲线y＝1﹣与直线kx﹣y﹣3k+3＝0有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（）
A．（0，）B．（，2]C．（0，]D．[2，）
【解答】解：∵曲线y＝1﹣，直线kx﹣y﹣3k+3＝0，
∴x2+（y﹣1）2＝4，y≤1，y＝k（x﹣3）+3，
圆心O（0，1），直线过定点（3，3），
直线过（2，1）时，有两个交点，此时1＝﹣k+3，k＝2
直线与下半圆相切时，，k＝，
∴2
故选：D．
二、填空题（每题5分，共20分）
13．（5分）以C：的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程为
．
【解答】解：C：的焦点为（±3，0），顶点为（±2，0）
∴椭圆的顶点为（±3，0），焦点为（±2，0）
∴b2＝a2﹣c2＝5
∴椭圆的方程为
故答案为：
14．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4
米，水位下降2米后水面宽米．
【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，
将A（2，﹣2）代入x2＝my，
得m＝﹣2
∴x2＝﹣2y，代入B（x0，﹣4）得x0＝2 ，
故水面宽为m．
故答案为：．
15．（5分）“x＞1”是“x2＞x”的充分不必要条件．
【解答】解：∵x2＞x，
∴x＞1或x＜0，
∴x＞1⇒x2＞x，
∴x＞1是x2＞x充分不必要，
故答案为充分不必要．
16．（5分）下列五个命题：
①命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；
③命题“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题．
④椭圆的两个焦点为F1、F2，P为椭圆上的动点，△PF1F2的面积的
最大值2，则m的值为4．
其中是真命题的是①②④（填上你认为正确的命题的序号）．
【解答】解：①∵命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题为：“若x，y 互为倒数，则xy＝1”，显然正确；
②∵命题“面积相等的三角形全等”的否命题为“命题“面积不相等的三角形
不全等”，正确；
③命题“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题是“若x≠0或y≠0，则xy≠0”
错误，例如x＝2，y＝0，但2×0＝0；
④依题意，c2＝a2﹣b2＝（m+1）﹣m＝1，
∴c＝1，2c＝2，即|F1F2|＝2；
∵＝|F 1F2|||＝×2×＝2，
∴m＝4．
故④正确．
∴是真命题的是①②④．
故答案为：①②④．
三、解答题（6小题，共70分）
17．（10分）已知函数f（x）＝﹣x3+3x2+9x+a．
（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．【解答】解：（I）f′（x）＝﹣3x2+6x+9．
令f′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞3，
所以函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．
（II）因为f（﹣2）＝8+12﹣18+a＝2+a，f（2）＝﹣8+12+18+a＝22+a，
所以f（2）＞f（﹣2）．
因为在（﹣1，3）上f′（x）＞0，所以f（x）在[﹣1，2]上单调递增，
又由于f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递减，
因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a＝20，解得a＝﹣2．
故f（x）＝﹣x3+3x2+9x﹣2，因此f（﹣1）＝1+3﹣9﹣2＝﹣7，
即函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣7．
18．（12分）已知命题p：实数x满足x2﹣2x﹣8≤0；命题q：实数x满足|x﹣2|≤m（m＞0）．
（1）当m＝3时，若“p且q”为真，求实数x的取值范围；
（2）若“非p”是“非q”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）若p真：﹣2≤x≤4；当m＝3时，若q真：﹣1≤x≤5…（3分）
∵p且q为真，∴，∴实数x的取值范围为：[﹣1，4]…（7分）（2）∵¬p是¬q的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件…（10分）
∵若q真：2﹣m≤x≤2+m
∴且等号不同时取得（不写“且等号不同时取得”，写检验也可）∴m≥4．…（14分）19．（12分）设函数f（x）＝x2+lnx﹣ax．
（Ⅰ）当a＝0时，求函数y＝f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数y＝f（x）在定义域内为增函数，求实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝x2+lnx，f′（x）＝2x+，f′（1）＝3，∴切线的斜率为3，
又f（1）＝1，∴切点为（1，1），
故所求的切线方程为：y﹣1＝3（x﹣1），即3x﹣y﹣2＝0；
（Ⅱ）f′（x）＝2x+﹣a，由题意知：f'（x）≥0在x∈（0，+∞）上恒成立，即：，
∵x＞0，∴，当且仅当时等号成立，
故，∴．
20．（12分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km的A、B两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（如图）．考察范围到A、B
两点的距离之和不超过10km的区域．
（1）求考察区域边界曲线的方程：
（2）如图所示，设线段P1P2是冰川的部分边界线（不考虑其他边界）．求考察基地A点距冰川边界线P1P2的垂直距离．
【解答】解：（1）设边界曲线上点P的坐标为（x，y），
由|P A|+|PB|＝10知，点P在以A、B为焦点、
长轴长为2a＝10的椭圆上．
此时b＝＝3，
∴考察区域边界曲线的方程为+＝1；
（2）由题意知过点P1，P2的直线的斜率为k＝＝，
方程为y﹣9＝（x+5），
即为4x﹣3y+47＝0．
因此点A到直线P1P2的距离为d＝＝（km）．
21．（12分）已知抛物线C1：y2＝2px的焦点F在圆O：x2+y2＝1上，
（1）求抛物线C1的标准方程；
（2）过点F的直线交抛物线C1于A，B两不同点，交y轴于点N，已知＝λ1，
＝λ2，求λ1+λ2的值．
【解答】解：（1）由抛物线C1：y2＝2px的焦点F（，0）在圆O：x2+y2＝1上，得＝1，解得p＝2，
∴抛物线C1：y2＝4x；
（2）设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），
则N（0，﹣k）．
联立方程组，即
消去y得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
△＝（4+2k2）2﹣4k4＝16k2+16＞0，
x1+x2＝，x1x2＝1，
由＝λ1，＝λ2，
得：x1＝λ1（1﹣x1），x2＝λ2（1﹣x2），
整理得：λ1＝，λ2＝，
则λ1+λ2＝
＝＝﹣1．
22．（12分）（选修4﹣1：几何证明选讲）
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．
（Ⅰ）证明：DB＝DC；
（Ⅱ）设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．
由弦切角定理可得∠ABE＝∠BCE，而∠ABE＝∠CBE，
∴∠CBE＝∠BCE，BE＝CE．
又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE＝90°．
∴△DBE≌△DCE，∴DC＝DB．
（II）由（I）可知：∠CDE＝∠BDE，DB＝DC．
故DG是BC的垂直平分线，∴BG＝．
设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG＝60°．
从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°．
∴CF⊥BF．
∴Rt△BCF的外接圆的半径＝．。