福建省泉州市南安年高二数学下学期期中试卷文(含解析)

2014-2015学年福建省泉州市南安一中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1．函数的定义域是（）
A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（0，+∞） D．（1，+∞）
2．已知集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，则集合B可能是（）
A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{﹣1，0，1} D．R
3．下列各组表示同一函数的是（）
A．y=与y=（）2B．y=lgx2与y=2lgx
C．y=1+与y=1+D．y=x2﹣1（x∈R）与y=x2﹣1（x∈N）
4．已知函数f（x）=，则f（f（﹣1））=（）
A．B．C．﹣D．2
5．全称命题：∀x∈R，x2＞0的否定是（）
A．∀x∈R，x2≤0 B．∃x∈R，x2＞0 C．∃x∈R，x2＜0 D．∃x∈R，x2≤0
6．若a＞b，则下列不等式正确的是（）
A．B．a3＞b3C．a2＞b2D．a＞|b|
7．函数y=﹣lnx（1≤x≤e2）的值域是（）
A．[0，2] B．[﹣2，0] C．[﹣，0] D．[0，]
8．设函数，则有（）
A．f（x）是奇函数，B．f（x）是奇函数， y=b x
C．f（x）是偶函数D．f（x）是偶函数，
9．已知函数f（x）的定义域为[a，b]，函数y=f（x）的图象如下图所示，则函数f（|x|）的图象是（）
A．B．C．
D．
10．若函数f（x）=﹣a（x﹣x3）的递减区间为（，），则a的取值范围是（）
A．a＞0 B．﹣1＜a＜0 C．a＞1 D．0＜a＜1
11．若函数则“a=1”是“函数y=f（x）在R上单调递减”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
12．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）
A．1 B．C．D．
二、填空题：每小题4分，共16分，请将答案填在横线上.
13．不等式的解为．
14．函数f（x）=log a（x﹣1）+2（a＞0且a≠1）过定点A，则点A的坐标为．
15．函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣2，则f（1）+f′（1）= ．
16．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图示．
①函数f（x）的极大值点为0，4；
②函数f（x）在[0，2]上是减函数；
③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；
⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．
其中正确命题的序号是．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，B={x|x＜4}，C={x|x≥a}．
（Ⅰ）求A∩（∁U B）；（Ⅱ）若A⊆C，求a的取值范围．
18．已知函数f（x）=log a（1+x）﹣log a（1﹣x）（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）判断f（x）奇偶性，并证明；
（Ⅱ）当0＜a＜1时，解不等式f（x）＞0．
19．已知奇函数f（x）=（c∈R）．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）当x∈[2，+∞）时，求f（x）的最小值．
20．已知函数f（x）=x3﹣x2+cx+d有极值．
（Ⅰ）求c的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极值，且当x＜0时，f（x）＜d2+2d恒成立，求d的取值范围．21．2008年奥运会在中国举行，某商场预计2008年从1日起前x个月，顾客对某种奥运商品的需求总量
p（x）件与月份x的近似关系是且x≤12），该商品的进价q（x）元与月份x的近似关系是q（x）=150+2x，（x∈N*且x≤12）．
（1）写出今年第x月的需求量f（x）件与月份x的函数关系式；
（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？
22．已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）．
（1）当a=时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g（x）为f1（x），f2（x）的“活动函数”．已知函数
+2ax．若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围．
2014-2015学年福建省泉州市南安一中高二（下）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1．函数的定义域是（）
A．[0，+∞） B．[1，+∞）C．（0，+∞） D．（1，+∞）
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】计算题．
【分析】根据负数没有平方根得到2x﹣1大于等于0，然后根据指数函数的增减性得到x的范围即可．
【解答】解：由题意得：2x﹣1≥0，即2x≥1=20，
因为2＞1，所以指数函数y=2x为增函数，则x≥0．
所以函数的定义域为[0，+∞）
故选A
【点评】本题为一道基础题，要求学生会根据二次根式的定义及指数函数的增减性求函数的定义域．
2．已知集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，则集合B可能是（）
A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{﹣1，0，1} D．R
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】集合．
【分析】由题意可知B⊆A，然后化简四个选项中的集合，逐一核对后即可得到答案．
【解答】解：由A={x|x≥0}，且A∩B=B，所以B⊆A．
A、{x|x≥0}={x|x≥0}=A，故本选项正确；
B、{x|x≤1，x∈R}=（﹣∞，1]⊊[0，+∞），故本选项错误；
C、若B={﹣1，0，1}，则A∩B={0，1}≠B，故本选项错误；
D、给出的集合是R，不合题意，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了基本初等函数值域的求法，是基础题．
3．下列各组表示同一函数的是（）
A．y=与y=（）2B．y=lgx2与y=2lgx
C．y=1+与y=1+D．y=x2﹣1（x∈R）与y=x2﹣1（x∈N）
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．
【解答】解：A．y=|x|，定义域为R，y=（）2=x，定义域为{x|x≥0}，定义域不同，不能表示同一函数．
B．y=lgx2，的定义域为{x|x≠0}，y=2lgx的定义域为{x|x＞0}，所以两个函数的定义域不同，所以不能表示同一函数．
C．两个函数的定义域都为{x|x≠0}，对应法则相同，能表示同一函数．
D．两个函数的定义域不同，不能表示同一函数．
故选：C．
【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．
4．已知函数f（x）=，则f（f（﹣1））=（）
A．B．C．﹣D．2
【考点】函数的值．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】运用分段函数，可得f（﹣1）=1，再求f（f（﹣1））=f（1）=2．
【解答】解：函数f（x）=，
则f（﹣1）=（﹣1）2=1，
f（f（﹣1））=f（1）=21=2．
故选D．
【点评】本题考查分段函数和运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题．
5．全称命题：∀x∈R，x2＞0的否定是（）
A．∀x∈R，x2≤0 B．∃x∈R，x2＞0 C．∃x∈R，x2＜0 D．∃x∈R，x2≤0
【考点】命题的否定．
【专题】阅读型．
【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．
【解答】解：命题：∀x∈R，x2＞0的否定是：
∃x∈R，x2≤0．
故选D．
【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．
6．若a＞b，则下列不等式正确的是（）
A．B．a3＞b3C．a2＞b2D．a＞|b|
【考点】不等关系与不等式．
【专题】证明题．
【分析】用特殊值法，令a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项检验可得即可得答案．
【解答】解：∵a＞b，令 a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项检验可得：
=﹣1， =﹣，显然A不正确．
a3=﹣1，b3=﹣6，显然 B正确．
a2 =1，b2=4，显然C不正确．
a=﹣1，|b|=2，显然D 不正确．
故选 B．
【点评】通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．
7．函数y=﹣lnx（1≤x≤e2）的值域是（）
A．[0，2] B．[﹣2，0] C．[﹣，0] D．[0，]
【考点】对数函数的值域与最值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由已知中函数的解析式，分析出函数的单调性，进而分析出函数的最值，可得函数的值域．
【解答】解：∵函数y=lnx在（0，+∞）上为增函数，
故函数y=﹣lnx在（0，+∞）上为减函数，
当1≤x≤e2时，
若x=1，函数取最大值0，
x=e2，函数取最小值﹣2，
故函数y=﹣lnx（1≤x≤e2）的值域是[﹣2，0]，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是对数函数的值域与最值，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．
8．设函数，则有（）
A．f（x）是奇函数，B．f（x）是奇函数， y=b x
C．f（x）是偶函数D．f（x）是偶函数，
【考点】函数奇偶性的判断．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】先用定义判断函数的奇偶性，再求f（），找出其与f（x）的关系即可得到答案．
【解答】解：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称．
又f（﹣x）===f（x），所以f（x）为偶函数．
而f（）===﹣=﹣f（x），
故选C．
【点评】本题考查函数的奇偶性，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．
9．已知函数f（x）的定义域为[a，b]，函数y=f（x）的图象如下图所示，则函数f（|x|）的图象是（）
A．B．C．
D．
【考点】函数的图象与图象变化．
【专题】作图题；压轴题；数形结合；运动思想．
【分析】由函数y=f（x）的图象和函数f（|x|）的图象之间的关系，y=f（|x|）的图象是由y=f（x）把x＞0的图象保留，x＜0部分的图象关于y轴对称而得到的．
【解答】解：∵y=f（|x|）是偶函数，
∴y=f（|x|）的图象是由y=f（x）把x＞0的图象保留，
x＜0部分的图象关于y轴对称而得到的．
故选B．
【点评】考查函数图象的对称变换和识图能力，注意区别函数y=f（x）的图象和函数f（|x|）的图象之间的关系，函数y=f（x）的图象和函数|f（x）|的图象之间的关系；体现了数形结合和运动变化的思想，属基础题．
10．若函数f（x）=﹣a（x﹣x3）的递减区间为（，），则a的取值范围是（）
A．a＞0 B．﹣1＜a＜0 C．a＞1 D．0＜a＜1
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【专题】计算题．
【分析】由“函数f（x）=﹣a（x﹣x3）的递减区间为（，）”，则有“f′（x）≤0，x∈（，
）恒成立”求解即可．
【解答】解：∵函数f（x）=﹣a（x﹣x3）的递减区间为（，）
∴f′（x）≤0，x∈（，）恒成立
即：﹣a（1﹣3x2）≤0，，x∈（，）恒成立
∵1﹣3x2≥0成立
∴a＞0
故选A
【点评】本题主要考查函数单调性的应用，一般来讲已知单调性，则往往转化为恒成立问题去解决．
11．若函数则“a=1”是“函数y=f（x）在R上单调递减”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】计算题．
【分析】若a=1时，y=﹣x+a单调递减，且h（x）＜h（0）=1，符合函数y=f（x）在R上单调递减；若函数y=f（x）在R上单调递减，则g（0）≤h（0）可求a的范围
【解答】解：设g（x）=，h（x）=﹣x+a，则g（x），h（x）都是单调递减
∵y=在（﹣∞，0]上单调递减且h（x）≥h（0）=1
若a=1时，y=﹣x+a单调递减，且h（x）＜h（0）=1
∴，即函数y=f（x）在R上单调递减
若函数y=f（x）在R上单调递减，则g（0）≤h（0）
∴a≤1
则“a=1”是“函数y=f（x）在R上单调递减”的充分不必要条件
故选A
【点评】本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了分段函数的单调性的判断，解题中要注意分段函数的端点处的函数值的处理
12．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）
A．1 B．C．D．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．
【专题】计算题；压轴题；转化思想．
【分析】将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．
【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx，求导数得
=
当时，y′＜0，函数在上为单调减函数，
当时，y′＞0，函数在上为单调增函数
所以当时，所设函数的最小值为
所求t的值为
故选D
【点评】可以结合两个函数的草图，发现在（0，+∞）上x2＞lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值．
二、填空题：每小题4分，共16分，请将答案填在横线上.
13．不等式的解为{x|x＞1或x＜0} ．
【考点】其他不等式的解法．
【专题】计算题．
【分析】通过移项、通分；利用两个数的商小于0等价于它们的积小于0；转化为二次不等式，通过解二次不等式求出解集．
【解答】解：
即
即x（x﹣1）＞0
解得x＞1或x＜0
故答案为{x|x＞1或x＜0}
【点评】本题考查将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式、考查二次不等式的解法．注意不等式的解以解集形式写出
14．函数f（x）=log a（x﹣1）+2（a＞0且a≠1）过定点A，则点A的坐标为（2，2）．
【考点】对数函数的图象与性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由log a1=0得x﹣1=1，求出x的值以及y的值，即求出定点的坐标．
【解答】解：∵log a1=0，
∴当x﹣1=1，即x=2时，y=2，
则函数y=log a（x﹣1）+2的图象恒过定点（2，2）．
故答案为：（2，2）．
【点评】本题考查对数函数的性质和特殊点，主要利用log a1=0，属于基础题．
15．函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣2，则f（1）+f′（1）= 4 ．
【考点】导数的几何意义．
【专题】计算题．
【分析】由导数的几何意义知，函数y=f（x）的图象在x=a处的切线斜率是f′（a）；并且点P（a，f （a））是切点，该点既在函数y=f（x）的图象上，又在切线上，f（a）是当x=a时的函数值，依此问题易于解决．
【解答】解：由题意得f′（1）=3，且f（1）=3×1﹣2=1
所以f（1）+f′（1）=3+1=4．
故答案为4．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，要注意分清f（a）与f′（a）．
16．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图示．
①函数f（x）的极大值点为0，4；
②函数f（x）在[0，2]上是减函数；
③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；
⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．
其中正确命题的序号是①②⑤．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．
【专题】综合题；压轴题；导数的综合应用．
【分析】由导数图象可知，函数的单调性，从而可得函数的极值，故可得①，②正确；因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，要使当x∈[﹣1，t]函数f（x）的最大值是4，当2≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f （x）﹣a有几个零点，所以④不正确，根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，即可求得结论．
【解答】解：由导数图象可知，当﹣1＜x＜0或2＜x＜4时，f'（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2
或4＜x＜5，f'（x）＜0，函数单调递减，当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，当x=2时，函数取得极小值f（2），所以①正确；②正确；
因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，要使当x∈[﹣1，t]函数f（x）的最大值是4，当2≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；
由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）﹣a有几个零点，所以④不正确，
根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，（线段只代表单调性），根据题意函数的极小值不确定，分f（2）＜1或1≤f（2）＜2两种情况，由图象知，函数y=f（x）和y=a的交点个数有0，1，2，3，4等不同情形，所以⑤正确，
综上正确的命题序号为①②⑤．
故答案为：①②⑤．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查导函数与原函数图象之间的关系，正确运用导函数图象是关键．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，B={x|x＜4}，C={x|x≥a}．
（Ⅰ）求A∩（∁U B）；（Ⅱ）若A⊆C，求a的取值范围．
【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用．
【专题】集合．
【分析】（Ⅰ）求出A中不等式的解集确定出A，由全集U=R，及B求出B的补集，求出A与B补集的交集即可；
（Ⅱ）根据A，C，以及A为C的子集，确定出a的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵全集U=R，B={x|x＜4}，
∴∁U B={x|x≥4}，
又∵A={x|x2﹣4x﹣5≤0}={x|﹣1≤x≤5}，
∴A∩（∁U B）={x|4≤x≤5}；
（Ⅱ）∵A={x|﹣1≤x≤5}，C={x|x≥a}，且A⊆C，
∴a的范围为a≤﹣1．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
18．已知函数f（x）=log a（1+x）﹣log a（1﹣x）（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）判断f（x）奇偶性，并证明；
（Ⅱ）当0＜a＜1时，解不等式f（x）＞0．
【考点】函数奇偶性的判断；其他不等式的解法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（Ⅰ）求函数的定义域，根据函数奇偶性的定义即可判断f（x）奇偶性；
（Ⅱ）当0＜a＜1时，根据对数函数的单调性即可解不等式f（x）＞0．
【解答】解：（Ⅰ）由，得，
即﹣1＜x＜1，即定义域为（﹣1，1），
则f（﹣x）=log a（1﹣x）﹣log a（1+x）=﹣[log a（1+x）﹣log a（1﹣x）]=﹣f（x），
则f（x）为奇函数．
（Ⅱ）当0＜a＜1时，由f（x）＞0，
即log a（1+x）﹣log a（1﹣x）＞0，
即log a（1+x）＞log a（1﹣x），
则1+x＜1﹣x，
解得﹣1＜x＜0，
则不等式解集为：（﹣1，0）．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断以及对数不等式的求解，利用定义法以及对数函数的单调性是解决本题的关键．
19．已知奇函数f（x）=（c∈R）．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）当x∈[2，+∞）时，求f（x）的最小值．
【考点】函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（Ⅰ）根据函数的奇偶性，得到=﹣=，比较系数求出c的值即可；（Ⅱ）先求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），
∴=﹣=，
比较系数得：c=﹣c，∴c=0，
∴f（x）==x+；
（Ⅱ）∵f（x）=x+，∴f′（x）=1﹣，
当x∈[2，+∞）时，1﹣＞0，
∴函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，
∴f（x）min=f（2）=．
【点评】本题考查了函数的奇偶性问题，考查了函数的单调性、最值问题，是一道中档题．
20．已知函数f （x ）=x 3﹣x 2+cx+d 有极值．
（Ⅰ）求c 的取值范围；
（Ⅱ）若f （x ）在x=2处取得极值，且当x ＜0时，f （x ）＜d 2
+2d 恒成立，求d 的取值范围．
【考点】函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．
【专题】计算题．
【分析】（I ）由已知中函数解析式f （x ）=x 3﹣x 2+cx+d ，我们易求出导函数f ′（x ）的解析式，然
后根据函数f （x ）=x 3﹣x 2+cx+d 有极值，方程f ′（x ）=x 2﹣x+c=0有两个实数解，构造关于c 的不等式，解不等式即可得到c 的取值范围；
（Ⅱ）若f （x ）在x=2处取得极值，则f ′（2）=0，求出满足条件的c 值后，可以分析出函数f （x ）=x
3
﹣x 2+cx+d 的单调性，进而分析出当x ＜0时，函数的最大值，又由当x ＜0时，f （x ）＜d 2+2d 恒成立，可以构造出一个关于d 的不等式，解不等式即可得到d 的取值范围．
【解答】解（Ⅰ）∵f （x ）=x 3﹣x 2+cx+d ，
∴f ′（x ）=x 2﹣x+c ，要使f （x ）有极值，则方程f ′（x ）=x 2﹣x+c=0有两个实数解，
从而△=1﹣4c ＞0，
∴c ＜．
（Ⅱ）∵f （x ）在x=2处取得极值， ∴f ′（2）=4﹣2+c=0，
∴c=﹣2．
∴f （x ）=x 3
﹣x 2
﹣2x+d ，
∵f ′（x ）=x 2﹣x ﹣2=（x ﹣2）（x+1），
∴当x ∈（﹣∞，﹣1]时，f ′（x ）＞0，函数单调递增，当x ∈（﹣1，2]时，f ′（x ）＜0，函数单调递减．
∴x ＜0时，f （x ）在x=﹣1处取得最大值，
∵x ＜0时，f （x ）＜恒成立，
∴
＜
，即（d+7）（d ﹣1）＞0，
∴d ＜﹣7或d ＞1，
即d 的取值范围是（﹣∞，﹣7）∪（1，+∞）．
【点评】本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最大值，最小值问题中的应用，其中根据已知中函数的解析式，求出函数的导函数的解析式，是解答本题的关键．
21．2008年奥运会在中国举行，某商场预计2008年从1日起前x个月，顾客对某种奥运商品的需求总量
p（x）件与月份x的近似关系是且x≤12），该商品的进价q（x）元与月份x的近似关系是q（x）=150+2x，（x∈N*且x≤12）．
（1）写出今年第x月的需求量f（x）件与月份x的函数关系式；
（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】应用题．
【分析】（1）由题意可得，第x个月的需求量等于第x个月的需求总量减去第x﹣1个月的需求总量，故当x=1时，f（1）=p（1），当2≤x≤12时，f（x）=p（x）﹣P（x﹣1）；
（2）根据月利润=该商品每件的利润×月销售量，列出关系式，再利用导数求最值求解即可．
【解答】解：（1）当x=1时，f（1）=p（1）=37．（2分）
当2≤x≤12时，
且x≤12）（5分）
验证x=1符合f（x）=﹣3x2+40x，∴f（x）=﹣3x2+40x（x∈N*且x≤12）．该商场预计销售该商品的月利润为g（x）=（﹣3x2+40x）（185﹣150﹣2x）=6x3﹣185x2+1400x，（x∈N*且x≤12），
令h（x）=6x3﹣185x2+1400x（1≤x≤12），h'（x）=18x2﹣370x+1400，令h'（x）=0，解得
（舍去）．＞0；当5＜x≤12时，h'（x）＜0．
∴当x=5时，h（x）取最大值h（5）=3125．max=g（5）=3125（元）．
综上，5月份的月利润最大是3125元．（14分）
【点评】本题考查利用函数知识解决应用题的有关知识．新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中，如何建模是解决这类问题的关键．同时要熟练地利用导数的知识解决函数的求最值问题．
22．已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）．
（1）当a=时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g（x）为f1（x），f2（x）的“活动函数”．已知函数
+2ax．若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】（1）由题意得，＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，即可求出函数的最值．
（2）由题意得：令＜0，对x∈（1，+∞）恒成
立，且h（x）=f1（x）﹣f（x）=＜0对x∈（1，+∞）恒成立，
分类讨论当或时两种情况求函数的最大值，可得到
a的范围．又因为h′（x）=﹣x+2a﹣=＜0，h（x）在（1，+∞）上为减函数，可得到a的另一个范围，综合可得a的范围．
【解答】解：（1）当时，，；
对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，
∴，．
（2）在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，则f1（x）＜f（x）＜f2（x）
令＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，
且h（x）=f1（x）﹣f（x）=＜0对x∈（1，+∞）恒成立，
∵
1）若，令p′（x）=0，得极值点x1=1，，
当x2＞x1=1，即时，在（x2，+∞）上有p′（x）＞0，
此时p（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x2），+∞），不合题意；
当x2＜x1=1，即a≥1时，同理可知，p（x）在区间（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意；
2）若，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p′（x）＜0，
从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足，
所以≤a≤．
又因为h′（x）=﹣x+2a﹣=＜0，h（x）在（1，+∞）上为减函数，
h（x）＜h（1）=+2a≤0，所以a≤
综合可知a的范围是[，]．
【点评】本题考查的知识点是利用导数求函数的最值，利用最值解决恒成立问题，二对于新定义题型关键是弄清新概念与旧知识点之间的联系即可，结合着我们已学的知识解决问题，这是高考考查的热点之一．。