基本不等式教学设计

基本不等式教学设计
“基本不等式”教学设计
一、教学内容解析
本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修（5）》（人教A版）第三章第四节。

解决最值问题提供了新的方法，为直接证明间接证明的作好，当且仅当时取“=”）的变形代换形成对基本不等式（且，当且仅当时取“=”）的初步认识，在此基础之上引导学生多角度探索基本不等式的证明方法及几何意义，并在解决简单的最值问题过程中体会基本不等式的重要作用。

教学重点：基本不等式的探究过程及多角度探索基本不等式的证明方法。

突出重点的手段：教师在教学过程中要善于捕捉学生情感的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想，积极探索，以，使他们知难而进。

另外，选择知识的切入点，从学生有的认知水平和知识入手，在学生主体下教师给以适当的导。

勾股定理、圆、，高中阶段学习了基本初等函数及其性质不等关系与不等式的性质，学生对不等式有了初步的了解和应用但的两端加上，看看不等式有什么变化？）。

教学难点：多角度探究基本不等式的证明方法
突破难点的策略：推理与证明是学生的薄弱方面。

教学过程中主要通过设置问题情境，把不等关系与相等关系的转化作为贯穿始终的线索，启发、引导学生开阔思维，促进学生在解决问题的过程中不断深化对基本不等式的理解。

四、教学策略分析
本节课采用引导探究式的课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主、合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“不同角度探索基本不等式的证明过程”为基本探究内容，为学生提供充分的自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。

为了充分发挥学生在教学活动中的主体作用，结合教学实际，本节课将具体落实如下环节：
（1）在利用赵爽弦图引入不等式的过程中，请学生课前完成根据弦图证明勾股定理的过程，自然引入面积间的相等关系，然后通过观察弦图的变化，让学生以自主探究的方式得出重要不等式及等号成立的条件，说明“当且仅当”的含义；
（2）通过代换变形认识基本不等式，进而引导学生多角度探索基本不等式的证明过程，体验不等式的证明思路与方法，培养学生严谨的逻辑推理能力和思维能力；
（3）在研究基本不等式几何背景的过程中，引导探究得出基本不等式的几何解释即“同圆中，半径不小于半弦”，深化理解基本不等式。

五、教学过程
（一）创设情境，提出问题
每四年一届的ICM（InternationalCongressof
Mathematicians）被誉为国际数学界的奥林匹克盛会。

第24届国际数学家大会于2002年8月在北京举行。

右图是以我国古代数学家赵爽的弦图（勾股圆方图）为背景设计的大会会标，弦图颜色明暗的区别使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

仔细观察，你能从这个图案中找出一些
相等关系或不等关系吗？
设计意图：简要介绍基本不等式产生的背景，让学生对本节内容有一个整体的认识，同时对这节课的学习起到有效性,启发性和铺垫性的作用。

通过实际的问题情境，激发学生的兴趣和好奇心。

（二）启发引导，形成结论
探究一：你能在这张“弦图”中能找出一些相等关系或不等关系吗？
设计意图：这个问题具有很强的开放性，期望学生借助几何背景获取重要不等式的直观认识，从而引入新课。

师生活动：学生可能提供以下多个答案，引导学生向重要不等式靠拢。

相等关系：
不等关系：①线段长度方面：；
②面积方面：.
问题1：等号成立的条件是什么?为什么？
问题2：上述不等式中的范围是什么？
设计意图：启发学生得到重要不等式等号成立的条件，渗透数形结合的思想，同时也能促进学生形成对学习过程进行反思的意识和习惯。

问题3：你能给出它的证明吗？（证明过程学生自己独立完成）
预设：学生容易想到作差比较法。

利用实物投影仪展示学生的成果，目的是训练学生严谨的数学思维，同时使学生有成就感。

“分析法”学生主要的问题是表达不规范，教师引导完善并强调逻辑推理的规范要求。

设计意图:从不同角度证明不等式，加深对重要不等式的理解。

结论1：一般地，对于任意实数，总有
当且仅当时，等号成立。

问题4：对两端加上，形式上有什么变化？
引导学生利用不等式的性质解决上述问题。

思考：当满足什么条件时，上述不等式两边可以开方？
师生活动：引导学生分类讨论
结论2：一般地，对于任意正实数，总有
当且仅当时，等号成立。

我们常把叫做两个正数的算术平均数，叫做两个正数的几何平均数.基本不等式（又称均值不等式）还可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
设计意图:设置这一问题，利用已有知识将重要不等式过渡到均值不等式。

引导学生在解决问题的过程中遇到了绝对值不等式，进行分类讨论，这样加深了学生对均值不等式的理解。

问题5：你能给出结论2的证明吗？
预设：①若学生想到了比较法证明，让学生独立完成。

其目的是培养学生运用转化的数学思想解决新问题；
②若学生想到了换元法，教师要引导学生注意的条件；
③若学生想到了分析法的证明思路，在这里不易做过高的要求，让学生能顺利的完成教材上的填空即可，也为选修2-2中直接证明和间接证明中的有关不等式证明的问题作好准备。

并且用实物投影仪展示他们的成果；
④若学生想到了用几何方法证明，教师利用几何画板现场模拟；
⑤若有学生没有思路，教师可引导学生回想前面重要不等式的证明过程。

（三）直观感受，讨论探究
探究二：如图，作线段，取线段的中点为，以为直径作圆，过点作的垂线，交圆于，连接.（几何画板演示操作过程）
你能结合图示，指出长度与及
对应的线段吗？
②在线段上拖动点的位置（几何画板演示），你有什么发现吗？
生1：在直角三角形中，斜边大于直角边；
生2：在直角三角形中，斜边上的中线不小于斜边的高；
生3：在圆中，半径不小于半弦.
学生比较容易找到与相对应的线段，但对在图中所表示的几何意
义理解存在困难。

教师可结合相似三角形的性质作适当的引导。

设计意图：该环节既是本节课的重点，也是难点。

由于学生数形结合的意识和能力不足，对所表示的线段理解有较大的困难。

为了化解这一难点，教学中将探究问题进行合理分解，结合动态演示，引导学生观察、归纳，得到基本不等式（均值不等式）的几何解释是:半径不小于半弦。

另外，通过动态演示（几何画板），直观体会与基本不等式有关的一类最值问题的主要特点是：和定积最大，积定和最小。

（四）自我尝试，运用定理
设计意图：初步学会利用基本不等式进行推理、证明，这有利于培养学生思维的严谨性和灵活性，同时为后续学习奠定基础。

例2.学校用篱笆围一个面积为36平方米的矩形花圃，问这个矩形花圃的长、宽分别为多少时，所用的篱笆最短，最短篱笆是多长？
变式：一段长为36米的篱笆围成一个矩形花圃，问这个矩形花圃的长、宽分别为多少时，花圃的面积最大，最大面积是多少？
设计意图：强化基本不等式的应用，培养学生解决实际问题的能力。

练习：已知，求函数的最小值.
变式：已知，求函数的最小值.
设计意图：对新知识的理解是一个不断深化完善的过程，设置一
组简单的最值问题，其意图是学以致用，并强调代数式的结构特点，让学生领会最值成立的条件。

（五）课堂小结
请同学们回顾一下本节课所学习的主要内容。

（学生发言，互相补充，并引导学生强调指出本节课所用到的数学思想与方法，如换元法、数形结合思想等）
设计意图：引导学生从知识内容和数学思想方法两个层面提炼概括对基本不等式的探究过程，使学生对本节内容有一个更加全面、深刻的认识。

（六）布置作业
1．课堂作业：P100A.1,2,3
2．课后探究：
探究1.“换元法”是推导均值不等式的基本方法之一，类比这一过程，你能写出与均值不等式有关的一些变形结论吗？
探究2.以“均值不等式的几何解释”为主题，查阅资料，相互交流。

设计意图：课堂作业以巩固为主，促进学生在理解的基础上应用基本不等式解决简单的应用问题。

探究作业的主要目的是拓展学生的
思维，培养学生多角度观察、思考问题的意识，体会转化与化归、数形结合等思想方法在解决数学问题中的作用。

（七）板书设计
3.4基本不等式
1.重要不等式例1.练习1.
当且仅当时，取“=”
2.基本不等式例2.练习2.
当且仅当时，取“=”。