函数与不等式中的恒成立问题 通用精品课件
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人，活着其实很累，在公司，上有可能需要讨好领导，下还需要和同事打好关系，回家需要处理好家庭的关系，交际需要维护好朋友自己的友谊，一不小心就有可能会各种质疑的话语，让我们心里、身体上背负着更重的压力。
也许经常有这样的场景，喧嚣的闹市，聚会上，热闹非凡，尽情的喝着酒，各种嘈杂，殊不知在心里巴不得这聚会早点结束就好，想着明天还要早起上班，想着家里的妻儿还在幽幽的盼着，而你自己也根本就不喜欢这样的场合，偶尔还可以，时间长了，你已经不知该怎样去选择。年纪越大，时间越来越少，身体越来越没以前那么能抗，而自己明白的事情却越来越迷茫，入夜时分，站在这个城市的中央，越来越觉得生活的选择已经不由的我们自己来做主，只剩下了莫名的伤感。
2
2
B. 0 a 2
D. 3 a 1
2
2
[解析] 由( x a)(1 x a) 1得 :
a2 a 1 x2 x.
(x2
x)min
1 4
,
故a2 a 1 1 ,即 1 a 3 ,
42
2
故选C.
恒成立问题处理方法
1、应用函数思想 ，变为a<f(X)的问题形式， 并转而求f(X)最值
[答案] C
恒成立问题处理方法
2、应用不等式思想 ，通过构造不等式来解决
[链接高考]
[例1] (2005年辽宁高考题)在R上定义 运算 : x y x(1 y), 若不等式( x a) ( x a) 1对任意实数x成立, 则 ( )
A. 1 a 1
C. 1 a 3
(1) 求f ( x)的单调区间和极大值； (2) 证明对任意x1, x2 (1,1), 不等 式 f ( x1 ) f ( x2 ) 4恒成立.
[解析] (1)由奇函数的定义, 应有 f ( x) f ( x), x R.
即 ax3 cx d ax3 cx d ,d 0. 因此f ( x) ax3 cx, f '( x) 3ax2 c. 由条件f (1) 2为f ( x)的极值,
必有f '( x) 0,故a3acc02, 解得：a 1, c 3, 因此f ( x) x3 3x.
f '( x) 3x2 3 3( x 1)( x 1), f '(1) f '(1) 0 当x (,1)时, f '( x) 0, 故f ( x)在单调区间(,1)上递增; 当x (1,1)时, f '( x) 0,故 f ( x)在单调区间(1,1)上递减； 当x (1,)时, f '( x) 0,故 f ( x)在单调区间(1,)上递增.
小心翼翼珍藏着，和母亲在一起的美好时光。母亲身体一直不好，最后的几年光景几乎 长大后，才发现生活不像我们想象的那样的简单，我们时刻面临着不同的选择，学习、工作、家庭……我们总是小心翼翼，在每一条路上，我们总是想追求最好的，努力付出过后，结局如何，只有我们自己慢慢去体会。
当我们渐渐步入社会，为了生活，我们不得不努力工作，严格遵守公司的规章制度，不敢有一丝懈怠，甚至为了一份微薄的薪水，我们几乎耗尽了所有的时间和精力去做好，不是在上班，就是在去上班的路上，几乎没有自己所谓的自由时间，我想在当今社会，应该有很大一部分人是这样，没有时间交际，也没有时间旅游，更没有时间去陪伴家人……或许这就是所谓的生活的选择，到最后只能自己在心里安慰自己：有失有得，只是这个得真是我们自己所想要的吗？
对任意实数a [1,1]恒成立的m的解 集等于不等式m2 5m 3 3的解集,
由此不等式得: m2 5m 3 3或 m2 5m 3 3. 解得m 1或0 m 5或m 6时, p是正确的.
点拔：求出 x1-x2 的最大值是本题的关键。
[例3] (2004年天津高考题)已知函数 f ( x) ax3 cx d(a 0)是R上的奇函 数,当x 1时, f ( x)取得极值 2.
[法一] 设g(t) m2 tm 2
g(1) m2 m 2 0
2
g(1)
m
2
m
2
0
m 2或m 2.存在实数m, 使
不等式m2 tm 1 x1 x2 对任意 a A及t [1,1]恒成立,其取值范围
是{m | m 2或m 2}.
2010年高考第二轮专题复习
函数与不等式中的恒成立问题
函数与不等式中的恒成立问题
[课前引导]
1. 对一切实数x, f ( x) x 4 x 2 a恒成立, 则实数a的取值范围是 ( )
A. (,6] C. (6,)
B. (,6) D.[6,)
[解析] 在数轴上x、 2、4的对应点 分别为P、A、B, 则 f (x) x 4 x 2
的两个非零实数根为x1、x2 , 试问：是
否存在实数m, 使得不等式m 2 tm 1
x1 x2 对任意a A及t [1,1]也成立？ 若存在, 求m的取值范围, 若不存在, 请说 明 理 由.
[解析] (1) f '( x) 4 2ax 2x2 f ( x)在[1,1]上是增函数, f '( x) 0对x [1,1]恒成立. 即x2 ax 2 0对x [1,1]恒成立 1
风景在路上，我们需要去寻找，才能找到真正的自己，谁都有无奈，谁都有生活的压力，只是你们的选择不一样，当你走上自己的路，或许你会觉得轻松，或许你会觉得很难，但那终归是属于自己的路，因为生活，始终在你手中。是在医院渡过，然而和母亲在一起的毎一刻都是温暖美好的。四年前，母亲还是离开了这个世界，离开了我。生命就是如此脆弱，逝去和別离，陈旧的情绪某年某月的那一刻如水泻闸。水在流，云在走，聚散终有时，不贪恋一生，有你的这一程就是幸运。那是地久天长的在我的血液中渗透，永远在我的心中，在我的生命里。
对x [1,1], 只有当a 1时, f '(1) 0
以及当a 1时, f '(1) 0,
A {a | 1 a 1}.
(2)由4x ax2 2 x3 2x 1 x3 ,
3
3
得 : x 0或x2 ax 2 0.
a2 8 0, x1 , x2是方程 x2 ax 2 0的两个非零实根.
PA PB AB 6, a的 取 值 范 围 是( ,6).
[答案] B
恒成立问题处理方法
1、应用函数思想 ，转化为求函数f(X)的最值
2. 对于满足0 p 4的所有实数p, 使不等式x2 px 4x p 3都成立的 x的取值范围是 ( )
[法二] 当m 0时, 2 显然不成立；
当m 0时,
m 0
2
g(1)
m
2
m
2
0
或m 0 g( 1)
m
2
m
2
0
m 2或m 2,下同法一.
点拔：求出 x1-x2 的最大值是本题的关键。 视不等式左边为t的一次函数也是解决本题 的另一关键。
A. (3,) C. (,1) (3,) D. (,1][3,)
B. (,1)
[解析] 由已知有( x 1) p x2 4x 3 0 令f ( p) ( x 1) p x2 4x 3,由已知有 f (0) x2 4x 3 0 f (4) 4( x 1) x2 4x 3 0 解之得：x 1或x 3.
Hale Waihona Puke x1 x2 对任意实数a [1,1]恒成立,求 使p正确的m的取值范围.
[解析] 由题意x1和x2是方程 x2 ax 2 0的两个实根得:
x1 x2 a且x1 x2 2, x1 x2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2
a2 8. 当a [1,1]时, a2 8的最大值为9, 即 x1 x2 3. 由题意,不等式 m2 5m 3 x1 x2
x1 x1
x2
x2
a ,
2
从而
x1
x2
a2 8 3.
要使不等式m2 tm 1 x1 x2 对任意
a A及t [1,1]恒成立,当且仅当m2
tm 1 3对任意t [1,1]恒成立. 即
m2 tm 2 0对任意t [1,1]恒成立 2
点拔：求出 f(x1)-f(x2) 的最大值是本题的关键。
[例4] (2004年福建高考题)已知f ( x)
4 x ax 2 2 x 3 ( x R)在区间[1,1] 3
上 是 增 函 数. (1) 求实数a的值组成的集合A;
(2) 设关于x的方程f ( x) 2 x 1 x 3 3
大自然给予了我们很多美好的东西，只是我们自己却不知道去好好珍惜，只有当我们在失去后或者犯错了，我们才会去说后悔没有珍惜，希望能给一次机会重新来过，只是这样的重来真的还能重来吗？我们谁都不能去肯定，路，自己选择，自己走下去，也许有人给你使绊，也许有人会拉你一把，但终归还是需要自己去选择，自己亲自去走。人生经历太多，失败了、跌倒了，可以站起来继续走，如果走错了，可以选择正确的路，但我们如果放弃了，就有可能一直停留在那，多年以后，或许你已经被遗忘。
设(x) x2 ax 2
1
a
2
0
(1) 1 a 2 0
a 或 2
0
(1) 1 a 2 0
即0 a 1或 1 a 0 1 a 1.
对x [1,1], 只有当a 1时, f '(1) 0 以及当a 1时, f '(1) 0, A {a | 1 a 1}.
f ( x)在x 1时f ( x)取得极大值 为f (1) 2. (2)由(1)知f ( x) x3 3x( x [1,1]) 是减函数, 且f ( x)在[1,1]上的最大值M f (1) 2, f ( x)在[1,1]上的最小值m f (1) 2. 对任意的x1、x2 (1,1) 恒有 f ( x1 ) f ( x2 ) M m 2 (2) 4.
[例2] (2005年天津市高考题)已知 m R, 设命题p : x1和x2是方程x2 ax 2 0的两个实根,不等式m2 5m 3
x1 x2 对任意实数a [1,1]恒成立,求 使p正确的m的取值范围.
[例2] (2005年天津市高考题)已知 m R, 设命题p : x1和x2是方程x2 ax 2 0的两个实根,不等式m2 5m 3
时光在飞逝，父母容颜渐渐沧桑，望着父母佝偻的背影，心里一阵阵莫名的心酸。年轻时不努力拼搏，老了就自己受苦，这是现在年轻人经常激励自己的话，为了所谓的以后，我们牺牲了自己最美好的年华，却没有谁知道以后的样子又会是如何，也许这就是所谓的选择。
我们每个人都有很多在选择，学业、事业、爱情……我们都有各种各样的选择，可以说生活中我们时刻面临着选择，选择不一样，结局也会不一样，只是你的选择是否真正发自内心还是出自于生活的无奈，已经无人理会。人生路需要走很久，我们总会遇到各种各样的人，各种各样的事，正如我们工作平台选择不一样，起点也会不一样，领导选择不一样，或许你的结局也会不一样，我们不能选择自己的出生，所以不要怨天尤人，更不要去指责，生活对谁都一样，选择永远在你手中，跟着心走，或许你就能找到一个真正的自己。
也许经常有这样的场景，喧嚣的闹市，聚会上，热闹非凡，尽情的喝着酒，各种嘈杂，殊不知在心里巴不得这聚会早点结束就好，想着明天还要早起上班，想着家里的妻儿还在幽幽的盼着，而你自己也根本就不喜欢这样的场合，偶尔还可以，时间长了，你已经不知该怎样去选择。年纪越大，时间越来越少，身体越来越没以前那么能抗，而自己明白的事情却越来越迷茫，入夜时分，站在这个城市的中央，越来越觉得生活的选择已经不由的我们自己来做主，只剩下了莫名的伤感。
2
2
B. 0 a 2
D. 3 a 1
2
2
[解析] 由( x a)(1 x a) 1得 :
a2 a 1 x2 x.
(x2
x)min
1 4
,
故a2 a 1 1 ,即 1 a 3 ,
42
2
故选C.
恒成立问题处理方法
1、应用函数思想 ，变为a<f(X)的问题形式， 并转而求f(X)最值
[答案] C
恒成立问题处理方法
2、应用不等式思想 ，通过构造不等式来解决
[链接高考]
[例1] (2005年辽宁高考题)在R上定义 运算 : x y x(1 y), 若不等式( x a) ( x a) 1对任意实数x成立, 则 ( )
A. 1 a 1
C. 1 a 3
(1) 求f ( x)的单调区间和极大值； (2) 证明对任意x1, x2 (1,1), 不等 式 f ( x1 ) f ( x2 ) 4恒成立.
[解析] (1)由奇函数的定义, 应有 f ( x) f ( x), x R.
即 ax3 cx d ax3 cx d ,d 0. 因此f ( x) ax3 cx, f '( x) 3ax2 c. 由条件f (1) 2为f ( x)的极值,
必有f '( x) 0,故a3acc02, 解得：a 1, c 3, 因此f ( x) x3 3x.
f '( x) 3x2 3 3( x 1)( x 1), f '(1) f '(1) 0 当x (,1)时, f '( x) 0, 故f ( x)在单调区间(,1)上递增; 当x (1,1)时, f '( x) 0,故 f ( x)在单调区间(1,1)上递减； 当x (1,)时, f '( x) 0,故 f ( x)在单调区间(1,)上递增.
小心翼翼珍藏着，和母亲在一起的美好时光。母亲身体一直不好，最后的几年光景几乎 长大后，才发现生活不像我们想象的那样的简单，我们时刻面临着不同的选择，学习、工作、家庭……我们总是小心翼翼，在每一条路上，我们总是想追求最好的，努力付出过后，结局如何，只有我们自己慢慢去体会。
当我们渐渐步入社会，为了生活，我们不得不努力工作，严格遵守公司的规章制度，不敢有一丝懈怠，甚至为了一份微薄的薪水，我们几乎耗尽了所有的时间和精力去做好，不是在上班，就是在去上班的路上，几乎没有自己所谓的自由时间，我想在当今社会，应该有很大一部分人是这样，没有时间交际，也没有时间旅游，更没有时间去陪伴家人……或许这就是所谓的生活的选择，到最后只能自己在心里安慰自己：有失有得，只是这个得真是我们自己所想要的吗？
对任意实数a [1,1]恒成立的m的解 集等于不等式m2 5m 3 3的解集,
由此不等式得: m2 5m 3 3或 m2 5m 3 3. 解得m 1或0 m 5或m 6时, p是正确的.
点拔：求出 x1-x2 的最大值是本题的关键。
[例3] (2004年天津高考题)已知函数 f ( x) ax3 cx d(a 0)是R上的奇函 数,当x 1时, f ( x)取得极值 2.
[法一] 设g(t) m2 tm 2
g(1) m2 m 2 0
2
g(1)
m
2
m
2
0
m 2或m 2.存在实数m, 使
不等式m2 tm 1 x1 x2 对任意 a A及t [1,1]恒成立,其取值范围
是{m | m 2或m 2}.
2010年高考第二轮专题复习
函数与不等式中的恒成立问题
函数与不等式中的恒成立问题
[课前引导]
1. 对一切实数x, f ( x) x 4 x 2 a恒成立, 则实数a的取值范围是 ( )
A. (,6] C. (6,)
B. (,6) D.[6,)
[解析] 在数轴上x、 2、4的对应点 分别为P、A、B, 则 f (x) x 4 x 2
的两个非零实数根为x1、x2 , 试问：是
否存在实数m, 使得不等式m 2 tm 1
x1 x2 对任意a A及t [1,1]也成立？ 若存在, 求m的取值范围, 若不存在, 请说 明 理 由.
[解析] (1) f '( x) 4 2ax 2x2 f ( x)在[1,1]上是增函数, f '( x) 0对x [1,1]恒成立. 即x2 ax 2 0对x [1,1]恒成立 1
风景在路上，我们需要去寻找，才能找到真正的自己，谁都有无奈，谁都有生活的压力，只是你们的选择不一样，当你走上自己的路，或许你会觉得轻松，或许你会觉得很难，但那终归是属于自己的路，因为生活，始终在你手中。是在医院渡过，然而和母亲在一起的毎一刻都是温暖美好的。四年前，母亲还是离开了这个世界，离开了我。生命就是如此脆弱，逝去和別离，陈旧的情绪某年某月的那一刻如水泻闸。水在流，云在走，聚散终有时，不贪恋一生，有你的这一程就是幸运。那是地久天长的在我的血液中渗透，永远在我的心中，在我的生命里。
对x [1,1], 只有当a 1时, f '(1) 0
以及当a 1时, f '(1) 0,
A {a | 1 a 1}.
(2)由4x ax2 2 x3 2x 1 x3 ,
3
3
得 : x 0或x2 ax 2 0.
a2 8 0, x1 , x2是方程 x2 ax 2 0的两个非零实根.
PA PB AB 6, a的 取 值 范 围 是( ,6).
[答案] B
恒成立问题处理方法
1、应用函数思想 ，转化为求函数f(X)的最值
2. 对于满足0 p 4的所有实数p, 使不等式x2 px 4x p 3都成立的 x的取值范围是 ( )
[法二] 当m 0时, 2 显然不成立；
当m 0时,
m 0
2
g(1)
m
2
m
2
0
或m 0 g( 1)
m
2
m
2
0
m 2或m 2,下同法一.
点拔：求出 x1-x2 的最大值是本题的关键。 视不等式左边为t的一次函数也是解决本题 的另一关键。
A. (3,) C. (,1) (3,) D. (,1][3,)
B. (,1)
[解析] 由已知有( x 1) p x2 4x 3 0 令f ( p) ( x 1) p x2 4x 3,由已知有 f (0) x2 4x 3 0 f (4) 4( x 1) x2 4x 3 0 解之得：x 1或x 3.
Hale Waihona Puke x1 x2 对任意实数a [1,1]恒成立,求 使p正确的m的取值范围.
[解析] 由题意x1和x2是方程 x2 ax 2 0的两个实根得:
x1 x2 a且x1 x2 2, x1 x2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2
a2 8. 当a [1,1]时, a2 8的最大值为9, 即 x1 x2 3. 由题意,不等式 m2 5m 3 x1 x2
x1 x1
x2
x2
a ,
2
从而
x1
x2
a2 8 3.
要使不等式m2 tm 1 x1 x2 对任意
a A及t [1,1]恒成立,当且仅当m2
tm 1 3对任意t [1,1]恒成立. 即
m2 tm 2 0对任意t [1,1]恒成立 2
点拔：求出 f(x1)-f(x2) 的最大值是本题的关键。
[例4] (2004年福建高考题)已知f ( x)
4 x ax 2 2 x 3 ( x R)在区间[1,1] 3
上 是 增 函 数. (1) 求实数a的值组成的集合A;
(2) 设关于x的方程f ( x) 2 x 1 x 3 3
大自然给予了我们很多美好的东西，只是我们自己却不知道去好好珍惜，只有当我们在失去后或者犯错了，我们才会去说后悔没有珍惜，希望能给一次机会重新来过，只是这样的重来真的还能重来吗？我们谁都不能去肯定，路，自己选择，自己走下去，也许有人给你使绊，也许有人会拉你一把，但终归还是需要自己去选择，自己亲自去走。人生经历太多，失败了、跌倒了，可以站起来继续走，如果走错了，可以选择正确的路，但我们如果放弃了，就有可能一直停留在那，多年以后，或许你已经被遗忘。
设(x) x2 ax 2
1
a
2
0
(1) 1 a 2 0
a 或 2
0
(1) 1 a 2 0
即0 a 1或 1 a 0 1 a 1.
对x [1,1], 只有当a 1时, f '(1) 0 以及当a 1时, f '(1) 0, A {a | 1 a 1}.
f ( x)在x 1时f ( x)取得极大值 为f (1) 2. (2)由(1)知f ( x) x3 3x( x [1,1]) 是减函数, 且f ( x)在[1,1]上的最大值M f (1) 2, f ( x)在[1,1]上的最小值m f (1) 2. 对任意的x1、x2 (1,1) 恒有 f ( x1 ) f ( x2 ) M m 2 (2) 4.
[例2] (2005年天津市高考题)已知 m R, 设命题p : x1和x2是方程x2 ax 2 0的两个实根,不等式m2 5m 3
x1 x2 对任意实数a [1,1]恒成立,求 使p正确的m的取值范围.
[例2] (2005年天津市高考题)已知 m R, 设命题p : x1和x2是方程x2 ax 2 0的两个实根,不等式m2 5m 3
时光在飞逝，父母容颜渐渐沧桑，望着父母佝偻的背影，心里一阵阵莫名的心酸。年轻时不努力拼搏，老了就自己受苦，这是现在年轻人经常激励自己的话，为了所谓的以后，我们牺牲了自己最美好的年华，却没有谁知道以后的样子又会是如何，也许这就是所谓的选择。
我们每个人都有很多在选择，学业、事业、爱情……我们都有各种各样的选择，可以说生活中我们时刻面临着选择，选择不一样，结局也会不一样，只是你的选择是否真正发自内心还是出自于生活的无奈，已经无人理会。人生路需要走很久，我们总会遇到各种各样的人，各种各样的事，正如我们工作平台选择不一样，起点也会不一样，领导选择不一样，或许你的结局也会不一样，我们不能选择自己的出生，所以不要怨天尤人，更不要去指责，生活对谁都一样，选择永远在你手中，跟着心走，或许你就能找到一个真正的自己。