广东省揭东一中高三文科数学测试题(集合)

广东省揭东一中2010届高三文科数学测试题（集合）
一、选择题
1．设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B 等于
（ ）
A ．R
B ．{},0x x R x ∈≠
C ．{}0
D ．∅ 解：[0,2]A =，[4,0]B =-，所以(){0}R R C A B C =，故选B 。

2． “3x >”是24x >“的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解：条件集是结论集的子集，所以选B 。

3.有限集合S 中元素的个数记做()card S ，设,A B 都为有限集合，给出下列命题： ①A B =∅的充要条件是()()()card A B card A card B =+；
②A B ⊆的充份条件是()()card A card B ≤；
③A B Ú的充要条件是()()card A card B ≤；
④A B =的必要条件是()()card A card B =；
其中真命题的序号是
A ．③④
B ．①②
C ．①④
D ．②③
答案：C
4.“a=1”是“函数()||f x x a =-在区间[1, +∞)上为增函数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解：若“1=a ”，则函数||)(a x x f -==|1|x -在区间),1[+∞上为增函数；而若||)(a x x f -=在区间),1[+∞上为增函数，则0≤a ≤1，所以“1=a ”是“函数||)(a x x f -=在区间),1[+∞上为增函数”的充分不必要条件，选A.
5.设函数()1
x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P, 则实数a 的取值范围是 ( )
A.(-∞,1)
B.(0,1)
C.(1,+∞)
D. [1,+∞) 解：设函数1
)(--=x a x x f , 集合{|()0}M x f x =<，若a >1时，M={x | 1<x <a }；若a <1时M={x | a <x <1}，a =1时，M=∅；{|()0}P x f x '=>，∴'()f x =2
(1)()(1)x x a x ---->0，∴ a >1
时，P=R ，a <1时，P=∅； 已知P M ⊂,所以选C.
6.设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是
(A)1 (B)3 (C)4 (D)8
【解析】{1,2}A =，{1,2,3}A B ⋃=，则集合B 中必含有元素3，即此题可转化为求集合{1,2}A =的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 共有224=个。

故选择答案C 。

7 （2004年湖北，10）设集合P ={m |－1＜m ≤0}，Q ={m ∈R |mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是
A.P Q
B.Q P
C.P =Q
D.P ∩Q =Q
剖析：Q ={m ∈R |mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，
对m 分类：①m =0时，－4＜0恒成立；
②m ＜0时，需Δ=（4m ）2－4×m ×（－4）＜0，解得m ＜0.
综合①②知m ≤0，∴Q ={m ∈R |m ≤0}. 答案：A
8. 下列命题中，真命题是（ ）
A.,0x R x ∀∈> ；
B. 如果2x >，那么1x <；
C.2,1x R x ∃∈≤- ；
D. ,x R ∀∈使210x +≠
答案：D
9.（2005年春季上海，15）设函数f （x ）的定义域为R ，有下列三个命题：
①若存在常数M ，使得对任意x ∈R ，有f （x ）≤M ，则M 是函数f （x ）的最大值； ②若存在x 0∈R ，使得对任意x ∈R ，且x ≠x 0，有f （x ）＜f （x 0），则f （x 0）是函数f （x ）的最大值；
③若存在x 0∈R ，使得对任意x ∈R ，有f （x ）≤f （x 0），则f （x 0）是函数f （x ）的最大值.
这些命题中，真命题的个数是
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：①错.原因：可能“=”不能取到.②③都正确. 答案：C
10.（2005年春季上海，16）若a 、b 、c 是常数，则“a ＞0且b 2－4ac ＜0”是“对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：若a ＞0且b 2－4ac ＜0，则对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0，反之，则不一定成立.如a =0，b =0且c ＞0时，也有对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0.因此应选A.
答案：A
二、填空题
11．已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，2
m }．若B ⊆A ，则实数m ＝ ． 解：由2211m m m =-⇒=，经检验，1m =为所求；
12.（2005年海淀区第一学期期末练习）在△ABC 中，“A ＞B ”是“cos A ＜cos B ”的__________条件
答案：充要
13.命题“若m ＞0，则关于x 的方程x 2+x －m =0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆
否命题中，真命题的个数为___________________.
答案：2
14.下列四个命题中，真命题的序号有 （写出所有真命题的序号）.
①将函数y =1+x 的图象按向量v =(－1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y =x
②圆x 2+y 2+4x +2y +1=0与直线y =
x 2
1相交，所得弦长为2 ③若sin(α+β)=21 ,sin(α－β)=31,则tan αcot β=5 ④如图，已知正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1，P 为底面ABCD 内一动点，
P 到平面AA 1D 1D 的距离与到直线CC 1的距离相等，则P 点的轨迹是抛物线的一部分. 解：①错误，得到的图象对应的函数表达式应为y ＝|x －2|
②错误，圆心坐标为（－2，1），到直线y =
x 21半径2，故圆与直线相离， ③正确，sin(α+β)=2
1＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝31，两式相加，得2 sin αcos β＝56，两式相减，得2 cos αsin β＝16
，故将上两式相除，
即得tan αcot β=5
④正确，点P 到平面AD 1的距离就是点P 到直线AD 的距离，
点P 到直线CC 1就是点P 到点C 的距离，由抛物线的定义
可知点P 的轨迹是抛物线。

三、解答题
15.设a R ∈，函数2()22.f x a x x a =--若()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x A B φ=<<≠，求实数a 的取值范围。

解：由f （x ）为二次函数知0a ≠，令f （x ）＝0解得其两根为1211x x a a =
=+由此可知120,0x x <>
（i ）当0a >时，12{|}{|}A x x x x x x =<⋃>
A B φ⋂≠的充要条件是23x <，即13a +解得67
a > （ii ）当0a <时，12{|}A x x x x =<<
A B φ⋂≠的充要条件是21x >，即11a >解得2a <-
16.已知P ={（x ，y ）|（x +2）2+（y －3）2≤4}，Q ={（x ，y ）|（x +1）2+（y －m ）2＜41}，且P ∩Q =Q ，求m 的取值范围.
解：点集P 表示平面上以O 1（－2，3）为圆心，2为半径的圆所围成的区域（包
括圆周）；点集Q 表示平面上以O 2（－1，m ）为圆心，2
1为半径的圆的内部.要使P ∩Q ＝Q ，应使⊙O 2内含或内切于⊙O 1.故有｜O 1O 2｜2≤（R 1－R 2）2，即（－1＋2）2＋
（m －3）2≤（2－2
1）2.解得3－25≤m ≤3＋25. 评述：本题选题目的是：熟悉用集合语言表述几何问题，利用数形结合方法解题.
17.已知数列{a n }的前n 项和S n =p n +q （p ≠0且p ≠1），求数列{a n }成等比数列的充要条件.
分析：先根据前n 项和公式，导出使{a n }为等比数列的必要条件，再证明其充分条件.
解：当n =1时，a 1=S 1=p +q ；
当n ≥2时，a n =S n －S n －1=（p －1）·p n －1.
由于p ≠0，p ≠1，∴当n ≥2时，{a n }是等比数列.要使{a n }（n ∈N *）是等比数列，则1
2a a =p ，即（p －1）·p =p （p +q ），∴q =－1，即{a n }是等比数列的必要条件是p ≠0且p ≠1且q =－1.
再证充分性：
当p ≠0且p ≠1且q =－1时，S n =p n －1，
a n =（p －1）·p n －1，1
n n a a =p （n ≥2）， ∴{a n }是等比数列.
18.若x 、y 、z 均为实数，且a =x 2－2y +2π，b =y 2－2z +3π，c =z 2－2x +6
π，则a 、b 、c 中是否至少有一个大于零？请说明理由.
解：假设a 、b 、c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a +b +c ≤0.
而a +b +c =x 2－2y +2π+y 2－2z +3π+z 2－2x +6
π=（x －1）2+（y －1）2+（z －1）2+π－3， ∵π－3＞0，且无论x 、y 、z 为何实数，
（x －1）2+（y －1）2+（z －1）2≥0，
∴a +b +c ＞0.这与a +b +c ≤0矛盾.因此，a 、b 、c 中至少有一个大于0.。