天津市南开区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题

天津市南开区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．二次根式√x+3有意义的条件是（）
A．x≥3B．x≤−3C．x≥−3D．x<−3
【答案】C
【分析】根据二次根式的被开方数的非负性即可得．
【详解】解：由题意得：x+3≥0，
解得x≥−3，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．
2．下列各曲线中表示y是x的函数的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：根据函数的定义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，
故D正确．
故选D．
3．如图，已知▱ABCD的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为(－2，3)，则点C的坐标为()
A．(－3，2)B．(－2，－3)C．(3，－2)D．(2，－3)
【答案】D
【详解】解：在平行四边形ABCD中，点A与点C关于原点对称，
∴点C的坐标是(2,−3).
故选D.
4．已知一次函数y=x+b的图像经过一、二，三象限，则b的值可以是（）
A．-2B．-1C．0D．2
【答案】D
【分析】根据一次函数图象与系数的关系得到k＞0，b＞0，然后对选项进行判断．【详解】解：∵一次函数y＝x＋b的图象经过一、二、三象限，
∵k＞0，b＞0．
故选D．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象必经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象必经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．5．如图，直线l上有三个正方形，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）
A．55B．16C．6D．4
【答案】B
【分析】根据正方形的性质，易证∵BAC∵∵ECD（AAS），可得AB＝CE，BC＝DE，根据a，c的面积以及勾股定理即可求出b的面积．
【详解】解：根据题意，得
AC＝CD，∵ABC＝∵CED＝∵ACD＝90°，
∵∵BAC+∵BCA＝90°，∵BCA+∵ECD＝90°，
∵∵BAC＝∵ECD，
在∵BAC和∵ECD中，
{
∠BAC=∠ECD
∠ABC=90°=∠CED
AC=CD
，
∵∵BAC∵∵ECD（AAS），
∵AB＝CE，BC＝DE，
∵a，c的面积分别为5和11，
∵AB2=5，DE2=11，
∵BC2=DE2=11，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
AC2=AB2+BC2=5+11=16，
∵b的面积为16，
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，涉及正方形的性质，勾股定理等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
6．将直线y=2x向右平移2个单位所得的直线的解析式是（）
A．y=2x−2B．y=2x+2C．y=2x−4D．y=2x+4【答案】C
【分析】根据一次函数图象的平移规律即可得．
【详解】解：将直线y=2x向右平移2个单位所得的直线的解析式为y=2(x−2)，即为y=2x−4，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题关键．
7．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（）
A．三个角的比是2:3:5
B．三条边a，b，c满足关系a2=b2−c2
C．三条边的比是2:4:5
D．三边长分别为1，2，√3
【答案】C
【分析】根据三角形的内角和定理、勾股定理的逆定理逐项判断即可得．
【详解】解：A、设这个三角形的三个角分别为2x,3x,5x，
由三角形的内角和定理得：2x+3x+5x=180°，
解得x=18°，
则5x=90°，
所以这个三角形是直角三角形，此项不符题意；
B、由a2=b2−c2得：a2+c2=b2，所以这个三角形是直角三角形，此项不符题意；
C、设这个三角形的三条边分别为2a,4a,5a(a>0)，
因为(2a)2+(4a)2=20a2≠(5a)2，
所以这个三角形不是直角三角形，此项符合题意；
D、因为12+(√3)2=4=22，所以这个三角形是直角三角形，此项不符题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
8．2022年北京-张家口举办了冬季奥运会，很多学校也开设了相关的课程．下表记录了某校4名同学短道速滑选拔赛成绩的平均数x̅与方差s2
据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）A．队员1B．队员2C．队员3D．队员4
【答案】A
【分析】找出成绩的方差较小，且平均数较大的队员即可．
【详解】解：因为方差越小，表明发挥越稳定，且3.5<14.5，
所以应该选择队员1或队员2，
又因为队员1的成绩的平均数为51大于队员2的成绩的平均数，
所以应该选择队员1，
故选：A．
【点睛】本题考查了利用平均数和方差进行决策，熟练掌握平均数好方差的意义是解题关键．
9．如图，在菱形ABCD中，AC=12，BD=16，则菱形AB边上的高CE的长是（）
A．2.4B．4.8C．10D．9.6
【答案】D
【分析】设AC与BD的交点为点O，先根据菱形的性质可得OA=6,OB=8,AC⊥BD，再利用勾股定理可得AB=10，然后利用菱形的面积公式即可得．
【详解】解：如图，设AC与BD的交点为点O，
∵在菱形ABCD中，AC=12，BD=16，
∴OA=1
2AC=6,OB=1
2
BD=8,AC⊥BD，
∴AB=√OA2+OB2=10，又∵CE⊥AB，
∴S
菱形ABCD =AB⋅CE=1
2
AC⋅BD，即10CE=1
2
×12×16，
解得CE=9.6，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键．10．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论：∵k<0；∵a>0；∵当x<3时，y1<y2，其中正确的结论有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】根据一次函数y1=kx+b的增减性可得k<0，再根据一次函数y2=x+a与y 轴的交点位于y轴负半轴可得a<0，然后根据当x<3时，一次函数y1=kx+b的图象位于一次函数y2=x+a的图象的上方可得y1>y2，由此即可得出答案．
【详解】解：∵对于一次函数y1=kx+b而言，y1随x的增大而减小，
∴k<0，结论∵正确；
∵一次函数y2=x+a与y轴的交点位于y轴负半轴，
∴a<0，结论∵错误；
由函数图象可知，当x<3时，一次函数y1=kx+b的图象位于一次函数y2=x+a的图象的上方，
则y 1>y 2，结论∵错误；
综上，正确的结论有1个，
故选：B ．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
11．如图，在矩形ABCD 中，AB =2,AD =3，点E 是BC 边上靠近点B 的三等分点，动点P 从点A 出发，沿路径A →D →C →E 运动，则ΔAPE 的面积y 与点P 经过的路径长x 之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】A 【分析】求出C
E 的长，然后分∵点P 在AD 上时，利用三角形的面积公式列式得到y 与x 的函数关系；∵点P 在CD 上时，根据S △APE ＝S 梯形AECD −S △ADP −S △CEP 列式整理得到y 与x 的关系式；∵点P 在CE 上时，利用三角形的面积公式列式得到y 与x 的关系式，然后选择答案即可．
【详解】∵在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，
∵CD ＝AB ＝2，BC ＝AD ＝3，
∵点E 是BC 边上靠近点B 的三等分点，
∵CE ＝2
3×3＝2，
∵点P 在AD 上时，∵APE 的面积y ＝12x•2＝x （0≤x≤3），
∵点P 在CD 上时，S △APE ＝S 梯形AECD −S △ADP −S △CEP ，
＝12（2＋3）×2−12×3×（x−3）−12×2×（3＋2−x ），
12．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为(0,8)，(−6,0)，P为线段AO上的一动点，以PB，PA为边构造平行四边形APBQ，则使对角线PQ值最小的点Q的坐标为（）
A．(−3,4)B．(−4,3)C．(−6,4)D．(−6,3)
【答案】C
【分析】由端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短，当QP∵OC时，PQ最短，易证PQ∵BO，由平行四边形的性质得出，PO∵BQ，由∵BOP=90°，则四边形POBQ是矩形，即可得出结果，
【详解】解：由端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短，
∵当QP∵AO时，PQ最短，
∵QP∵AO，∵AOB=90°，
∵∵APQ=∵AOB=90°，
∵PQ∵BO，
∵四边形APBQ是平行四边形，
∵AP∵BQ，
∵PO∵BQ，
∵PO∵BQ，PQ∵BO，∵BOP=90°，
∵四边形POBQ是矩形，
∵PQ=BO=6，
∵Q（−6，4）．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线之间的距离、垂线段最短、平行四边形的性质、平行线的判定、矩形的判定与性质等知识；正确判断出当QP∵AO时，PQ最短是解题的关键．
二、填空题
13．化简：√32=_________．
14．为监测某河道水质，进行了6次水质检测，绘制了如图的氨氮含量的折线统计图．若这6次水质检测氨氮含量平均数为1．5 mg/L，则第3次检测得到的氨氮含量是________ mg/L．
【答案】1．
【详解】解：设第3次检测得到的氨氮含量是xmg//L,
由题意得1.6+2+x+1.5+1.4+1.5=1.5×6，解得x=1．
故答案为1．
15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．在《九章算术》中的勾股卷中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵底，去本三尺．问折者高几何？意思为：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处B离远处竹子C的距离BC为3尺，则原处还有竹子AC=________尺．（请直接写出答案，注：1丈=10尺．）
【答案】91
20
【分析】设AC=x尺，则AB=(10−x)尺，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得．【详解】解：设AC=x尺，则AB=(10−x)尺，
由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，即x2+32=(10−x)2，
，
解得x=91
20
，
即AC=91
20
故答案为：91
．
20
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理正确建立方程是解题关键．16．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C落在AB边上的点G处，点D落在点H处．若∵1＝62°，则图中∵BEG的度数为_____．
【答案】56°
【分析】根据矩形的性质可得AD//BC，继而可得∵FEC=∵1=62°，由折叠的性质可得∵GEF=∵FEC=62°，再根据平角的定义进行求解即可得.
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∵AD//BC，
∵∵FEC=∵1=62°，
∵将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C落在AB边上的点G处，
∵∵GEF=∵FEC=62°，
∵∵BEG=180°-∵GEF-∵FEC=56°，
故答案为：56°.
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质是解题的关键.
17．若函数y=（m+3）x2m+1+4x﹣2（x≠0）是关于x的一次函数，m_______．
．
【答案】-3，0，−1
2
【分析】根据一次函数的定义，令x的系数不为零，且x的次数为1解题即可.
【详解】根据一次函数的定义可得：2m+1=1，m+3+4≠0或m+3=0或2m+1=0，
，
解得：m=0或m=-3或m=-1
2
.
故答案为0，-3或-1
2
【点睛】本题考查一次函数的定义.合并同类项令x的系数不为零，次数为1是解题的关键.
18．如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E，F分别在AD，CD上，AE=DF=2，BE 与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为________．
【答案】5
【分析】根据正方形四条边相等四个角都是直角的性质，可得AB=AD，∵D=∵BAE，进而得到∵ABE和∵ADF全等．通过全等三角形对应角相等和直角三角形等的两个锐角互
BF．余，得到∵AGE=90°，则∵BFG是直角三角形，H是BF中点，即可得到GH=1
2
【详解】∵ 四边形ABCD是正方形
∵AB=AD，∵D=∵BAE
∵AE=DF=2
∵∵ABE∵∵ADF（SAS）
∵∵DAF=∵EBA
∵∵EBA+∵AEG=90°
∵∵DAF+∵AEG=90°
则∵AGE=∵BGF=90°
∵H是BF中点
BF
∵GH=1
2
∵BF=√BC2+CF2=√82+62=10
BF=5
∵GH=1
2
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，以及直角三角形两个锐角互余和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．熟练的掌握正方形和直角三角形的性质和判定是解题的关键．
三、解答题
19．计算
（1）2
3√27−4√12+3√1
3
（2）(√6−2√3)2−(√2+2√5)(2√5−√2)
20．某高校学生会向全校2900名学生发起了“爱心一日捐”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图∵和图∵，请根据相关信息，解答下列问题：
(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为___，图∵中m的值是___；
(2)求本次你调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
(3)根据样本数据,估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
【答案】（1）50，32；（2）平均数为16，众数是10，中位数是15；（3）928人
【分析】（1）根据捐款数是5元的，所占的百分比是8%，即可求得总人数，然后根据百分比的意义求得m的值；
（2）根据平均数、众数、中位数的定义即可求解；
（3）利用总人数2900乘以对应的百分比即可求解．
【详解】解：（1）调查的学生数是：4÷8%=50（人），
m=16
×100=32．
50
故答案是：50，32；
=16（元），
（2）平均数是：4×5+16×10+12×15+10×20+8×30
50
众数是：10元，中位数是：15元；
（3）该校本次活动捐款金额为10元的学生人数是：2900×32%=928（人）．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
BC，21．如图，等边△ABC的边长是2，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=1
2
连接CD和FE．
(1)求证：四边形CDEF为平行四边形；
(2)求EF的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)√3
BC,DE∥BC，从而可得DE=CF，【分析】（1）先根据三角形中位线定理可得DE=1
2
再根据平行四边形的判定即可得证；
（2）先根据等边三角形的性质可得BC=2,BD=1,CD⊥AB，再利用勾股定理可得
CD=√3，然后根据平行四边形的性质即可得．
（1）
证明：∵D,E分别为AB，AC的中点，
∴DE=1
BC,DE∥BC，
2
BC，
∵CF=1
2
∴DE=CF，
∴四边形CDEF为平行四边形．
（2）
解：∵等边△ABC的边长是2，D为AB的中点，
AB=1,CD⊥AB，
∴BC=2,BD=1
2
∴CD=√BC2−BD2=√3，
由（1）已证：四边形CDEF为平行四边形，
∴EF=CD=√3．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
22．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD,EB∥AC，连接OE．
(1)求证：OE=CB；
(2)如果DB=24，AD=13，求四边形OBEC的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)34
【分析】（1）先根据平行四边形的判定可得四边形OBEC是平行四边形，再根据菱形的性质可得AC⊥BD，然后根据矩形的判定可得平行四边形OBEC是矩形，最后根据矩形的性质即可得证；
DB=12,OA=OC，再利用勾股（2）先根据菱形的性质可得AC⊥BD，OB=OD=1
2
定理可得OA=5，从而可得OC=5，然后利用矩形的周长公式即可得．
(1)
证明：∵CE∥BD,EB∥AC，
∴四边形OBEC是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵∵COB=90°
∴平行四边形OBEC是矩形，
∴OE=CB．
(2)
解：∵四边形ABCD是菱形，DB=24，
∴AC⊥BD，OB=OD=1
2
DB=12,OA=OC，
∵AD=13，
∴OA=√AD2−OD2=5，
∴OC=5，
由（1）已证：四边形OBEC是矩形，
则四边形OBEC的周长为2(OB+OC)=2×(12+5)=34．
【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题关键．
23．工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工
时间为t（小时），甲组加工零件的数量为y
甲（个），乙组加工零件的数量为y
乙
（个），
其函数图象如图所示：
(1)填空：
∵a=________；
∵甲组工人每小时加工零件________个；
∵乙组工人每小时加工零件________个；
∵甲组加工________小时的时候，甲、乙两组加工零件的总数为480个．
(2)直接写出y
甲，y
乙
与t之间的函数关系式．
【答案】(1)∵280；∵40；∵120；∵7
(2)y
甲={
40t(0≤t<3)
120(3≤t<4)
40t−40(4≤t≤8)
，y
乙
=120t−600(5≤t≤8)
【分析】（1）∵先求出甲组工人的工作效率，再根据题意和函数图象建立方程，解方程即可得；
∵利用120除以3即可得；
∵利用360除以3（即8小时与5小时之差）即可得；
∵先根据甲组工人在前5小时内生产的零件个数判断出5<t<8，再根据甲、乙两组加工零件的总数为480个建立方程，解方程即可得；
（2）分0≤t<3、3≤t<4和4≤t≤8三部分，根据甲组工人的工作效率和待定系数
法可求出y
甲与t之间的函数关系式；在5≤t≤8内，利用待定系数法可求出y
乙
与t之间
的函数关系式．
(1)
解：∵甲组工人的工作效率为120÷3=40（个/小时），
则a−120=40×(8−4)，
解得a=280，
故答案为：280；
∵甲组工人每小时加工零件的个数为120÷3=40（个），
故答案为：40；
∵乙组工人每小时加工零件的个数为360÷(8−5)=120（个），
故答案为：120；
∵因为在乙组工人加入之前，甲组工人加工的零件个数为120+40×(5−4)=160< 480，
所以当甲、乙两组加工零件的总数为480个时，5<t<8，
则40(t−1)+120(t−5)=480，
解得t=7，
即甲组加工7小时的时候，甲、乙两组加工零件的总数为480个，
故答案为：7．
(2)
解：当0≤t<3时，y
甲
=40t，
当3≤t<4时，y
甲
=120，
当4≤t≤8时，设y
甲
=40t+b，
将点(4,120)代入得：40×4+b=120，解得b=−40，
则此时y
甲
=40t−40，
综上，y
甲={
40t(0≤t<3)
120(3≤t<4)
40t−40(4≤t≤8)
；
当5≤t≤8时，设y
乙
=kt+m，
将点(5,0),(8,360)代入得：{5k+m=0
8k+m=360，解得{k=120
m=−600，
则y
乙
=120t−600(5≤t≤8)．
【点睛】本题考查了求一次函数的解析式、一元一次方程等知识点，熟练掌握待定系数法，灵活运用数形结合思想是解题的关键．
24．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC的顶点A(12,0)，C(0,9)，将矩形OABC的一个角沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与x轴交于点D．
(1)线段OB的长度为________；
(2)求线段DE的长，以及直线BD所对应的函数表达式；
(3)若点N为该平面内一点，且使得∠DBN=45°，直接写出满足条件的直线BN的解析式．【答案】(1)15
(2)DE=9
2
，y=2x−15
(3)y=−3x+45或y=1
3
x+5
【分析】（1）先根据点坐标、矩形的性质可得OA=12，AB=OC=9,∠OAB=90°，再利用勾股定理即可得；
（2）先根据折叠的性质可得DE=AD,BE=AB=9,∠DEB=∠OAB=90°，从而可得OE=6，设DE=AD=a，则OD=12−a，在Rt△DOE中，利用勾股定理可得DE的长，从而可得点D的坐标，然后利用待定系数法可得直线BD的解析式；
（3）如图（见解析），分∵直线BN与x轴的交点在点A的右侧和∵直线BN与y轴的交点在
点C的下方两种情况，第∵种情况利用三角形的面积公式建立方程、利用平方根解方程求出与x轴的交点F坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可；第∵种情况，在第∵种情况的基础上，利用全等三角形的判定与性质求出点Q的坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可．
(1)
解：∵A(12,0),C(0,9)，
∴OA=12,OC=9，
∵四边形OABC是矩形，
∴AB=OC=9,∠OAB=∠ABC=90°，
∴OB=√OA2+AB2=15，
故答案为：15．
(2)
解：由折叠的性质得：DE=AD,BE=AB=9,∠DEB=∠OAB=90°，
∴OE=OB−BE=6，
设DE=AD=a，则OD=OA−AD=12−a，
在Rt△DOE中，OE2+DE2=OD2，即62+a2=(12−a)2，
解得a=9
2
，
∴DE=9
2,OD=12−a=15
2
，
∴D(15
2
,0)，
∵OA=12,AB=9,AB⊥OA，
∴B(12,9)，
设直线BD所对应的函数表达式为y=kx+b，
将点B(12,9),D(15
2,0)代入得：{
12k+b=9
15
2
k+b=0，解得{
k=2
b=−15，
则直线BD所对应的函数表达式为y=2x−15．
(3)
解：由题意，分以下两种情况：
∵如图，直线BN与x轴的交点在点A的右侧，设交点为点F，则∠DBF=45°，过点D作DM⊥BF于点M，
∵∠HBQ +∠ABQ =90°=∠ABF +∠ABQ ， ∴∠HBQ =∠ABF ，
在△HBQ 和△ABF 中，{∠BHQ =∠BAF =90°
∠HBQ =∠ABF BQ =BF ，
∴△HBQ ≅△ABF(AAS)， ∴BH =AB =9,HQ =AF =3，
∴点Q 的坐标为Q(12−9,9−3)，即为Q(3,6)， 设直线BN 的解析式为y =k 1x +b 1，
将点B(12,9),Q(3,6)代入得：{12k 1+b 1=93k 1+b 1=6 ，解得{k 1=
1
3b 1
=5
，
则此时直线BN 的解析式为y =1
3x +5，
综上，满足条件的直线BN 的解析式为y =−3x +45或y =1
3x +5．
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理、求一次函数的解析式、三角形全等的判定与性质等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键．。