初中数学组合 ()
初中数学教案：数组排列与组合
初中数学教案：数组排列与组合一、介绍和概念解释数组排列与组合是数学中的基本概念之一，它涉及到数学的组合数学和离散数学的知识点。
在初中数学教学中，数组排列与组合是一个重要的基础概念，它不仅可以帮助学生提高逻辑思维能力，而且可以应用于解决问题和推理。
本教案将通过清晰的目标描述、教学过程设计和教学方法选择来帮助学生理解和掌握数组排列与组合的知识。
二、教学目标1. 理解数组排列与组合的概念；2. 掌握求解数组排列与组合的方法；3. 能够应用数组排列与组合解决实际问题。
三、教学过程步骤一：引入在引入部分，教师可以通过给学生举例子的方式来引入数组排列与组合的概念。
例如，讲解不同颜色的球放入不同的盒子，观察球的排列和组合方式，从而引出数组排列与组合这个概念。
步骤二：概念讲解在概念讲解部分，教师可以以幻灯片或黑板为媒介，对数组排列与组合的定义进行详细解释。
并通过具体的例子来说明排列和组合的区别，以及它们在数学中的应用。
步骤三：数学公式的整理和讲解在这一步骤中，教师可以带领学生整理并复习数组排列和组合的相关公式。
并讲解如何根据不同的题目条件，选择合适的公式进行求解。
例如，讲解如何使用阶乘和组合公式来计算排列和组合的值。
步骤四：例题解析和实践练习在例题解析和实践练习中，教师可以选择一些典型的例题来进行解析。
讲解解题思路和方法，并指导学生独立完成相应的练习题。
通过训练，学生能够熟练应用排列和组合的知识解决问题。
步骤五：拓展应用和思考在这个环节中，教师可以引导学生思考如何将数组排列与组合的知识应用于实际问题。
例如，学生可以设计一个生日派对的座位安排方案，或者对班级同学的口袋里的硬币进行统计分析等。
通过实际应用，学生能够更好地理解和运用数组排列与组合的概念。
四、教学方法1. 探究式学习法：通过引导学生观察和发现，帮助他们理解排列与组合的概念。
2. 讲解与练习相结合：在讲解概念和方法的同时，安排相关的练习来巩固学生的理解和运用能力。
初中数学竞赛—奥数讲义计数专题：排列组合及答案
华杯赛计数专题：排列组合基础知识：1.排列：从n个对象中选出m（不超过n）个并进行排序，共有的方法数称为排列数，写成。
2.排列数的计算：约定：0!=1排列数是由乘法原理得到的，因此排列可以看成是乘法原理的一种应用。
3.组合：从n个对象中选出m（不超过n）个，不进行排序，共有的方法数称为组合数，写成。
4.排列与组合的关系：。
5.组合数的计算：6.排列数与组合数的一些性质：例题：例1.4名男生和3名女生站成一排:（1）一共有多少种不同的站法?（2）甲,乙二人必须站在两端的排法有多少种?（3）甲,乙二人不能站在两端的排法有多少种?（4）甲不排头,也不排尾,有多少种排法?（5）甲只能排头或排尾,有多少种排法?【答案】（1）5040；（2）240；（3）2400；（4）3600；（5）略【解答】例2.在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共多少种？【答案】4186种【解答】至少有3件是次品，分两种情况第一种情况：3件是次品的抽法：从4件次品中中抽出3件是种，其中，，然后，从46件正常品中抽2件，总共种。
其中，所以，3件是次品的抽法共种。
第二种情况：4件是次品的抽法共：种。
任意抽出5件产品，至少有3件是次品的抽法，是将上述两种情况加在一起，所以，总共是4×23×45+46=23×182=4186种。
总结：有序是排列，无序是组合。
例3.3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有多少种？【答案】540种【解答】可设三所学校为甲、乙、丙，三位医生去3所学校的分配方案：用排列数表示为=3×2×1=6。
用乘法原理表示为3！=6。
六名护士去学校甲有种选法，剩下4名护士去乙学校，有种选法，剩下两名自然去学校丙。
所以，不同的分配方法共有种。
例4.有多少个五位数，满足其数位上的每个数字均至少出现两次？【答案】819【解答】方法一：（1）出现一个数字的情况是9种；（2）出现两个数字，首位不能是0，共有9种情况，（i）首位确定之后，如果首位数总共出现3次，则从后面的4个数位中，选出两位，共种情况，剩下的两个数位，还需要选相同的数，因为可以是0，所以，有9种选择。
初中数学排列组合教案设计参考
初中数学排列组合教案设计参考第一章：排列组合基本概念1.1 排列教学目标：让学生理解排列的定义和排列数公式。
培养学生运用排列知识解决实际问题的能力。
教学内容：排列的定义：排列是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的顺序排列。
排列数公式：An = n! / (n-m)!，其中n!表示n的阶乘。
教学活动：引入实例，让学生感受排列的意义。
引导学生通过列举法得出排列数公式。
练习运用排列数公式解决实际问题。
1.2 组合教学目标：让学生理解组合的定义和组合数公式。
培养学生运用组合知识解决实际问题的能力。
教学内容：组合的定义：组合是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的组合。
组合数公式：Cn = n! / [m!(n-m)!]，其中n!表示n的阶乘。
教学活动：引入实例，让学生感受组合的意义。
引导学生通过列举法得出组合数公式。
练习运用组合数公式解决实际问题。
第二章：排列组合的应用2.1 排列组合的综合应用教学目标：让学生掌握排列组合的综合应用方法。
培养学生运用排列组合知识解决复杂问题的能力。
教学内容：排列组合的综合应用方法：根据问题的实际情况，选择合适的排列组合公式进行计算。
教学活动：练习运用排列组合的综合应用方法解决实际问题。
2.2 排列组合在实际问题中的应用教学目标：让学生学会运用排列组合知识解决实际问题。
培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教学内容：实际问题中的排列组合应用：如人员安排、活动组织等。
教学活动：引入实际问题，让学生感受排列组合在实际中的应用。
第三章：排列组合的扩展3.1 多重排列教学目标：让学生理解多重排列的定义和多重排列数公式。
培养学生运用多重排列知识解决实际问题的能力。
教学内容：多重排列的定义：多重排列是指在排列中允许元素重复的情况。
多重排列数公式：对于k个相同的元素，其排列数为k^m，其中m为元素个数。
教学活动：引入实例，让学生感受多重排列的意义。
引导学生通过列举法得出多重排列数公式。
数学初中二年级上册第六章排列与组合的认识与运算
数学初中二年级上册第六章排列与组合的认识与运算在初中二年级上学期的数学教材中，我们学习了许多有趣而又实用的数学知识。
而第六章的内容涵盖了排列与组合的认识与运算，这是我们在数学学习中非常重要的一部分。
下面，我们将详细介绍这一章节的相关知识。
一、排列的概念与计算在数学中，排列是指从一组元素中取出若干个进行排列，其中元素的顺序是重要的。
换句话说，排列是由给定的元素中按一定顺序选择不同元素的方法总数。
排列的计算需要用到阶乘的概念。
所谓阶乘，即把从1到该数的所有正整数相乘，例如n的阶乘用符号n!来表示。
利用阶乘的概念，我们可以很容易地计算出排列的个数。
例如，从5个元素中选取3个元素进行排列，计算方式如下：A(5,3) = 5!/(5-3)! = 5!/2! = 60这就意味着，从5个元素中选择3个元素进行排列的方法总数是60种。
二、组合的概念与计算不同于排列，组合是指从一组元素中取出若干个进行组合，其中元素的顺序不重要。
换句话说，组合是由给定的元素中按无序方式选择不同元素的方法总数。
组合的计算可以使用排列的概念进行推导。
通过考虑元素的顺序，我们可以将组合问题转化为排列问题进行计算。
具体方法是利用组合数的概念，用符号C(n,m)来表示从n个元素中选取m个元素进行组合的方法总数。
组合数可以通过排列数的计算公式进行求解：C(n,m) = A(n,m)/m! = n!/[m!(n-m)!]例如，从6个元素中选取4个元素进行组合，计算方式如下：C(6,4) = A(6,4)/4! = 6!/[4!2!] = 15这就意味着，从6个元素中选择4个元素进行组合的方法总数是15种。
三、排列与组合的应用排列与组合在生活中具有广泛的应用。
在实际问题中，我们经常需要考虑元素的顺序或者无序进行选择，从而使用到排列与组合的概念。
比如，考虑以下两个实际问题：问题1：某班有10个同学，老师要从中选出3个同学参加活动，同时指定一个同学负责领队。
初中奥数组合问题知识点归纳
初中奥数组合问题知识点归纳在初中数学中，奥数组合问题是一个重要的概念，也是解题技巧的一部分。
了解和掌握奥数组合问题的知识点可以帮助我们更好地解决各种组合问题。
本文将对初中奥数组合问题的知识点进行归纳和总结。
一、基本概念奥数组合问题主要涉及到从一组对象中选取若干个对象进行排列和组合。
在进行奥数组合问题的讨论之前，我们需要了解以下几个基本概念：1.1 排列排列是从一组对象中选取若干个对象进行排列的问题。
排列分为有放回排列和无放回排列。
有放回排列是指选取一个对象后将其放回，再选下一个对象；无放回排列是指选取一个对象后不放回，再选下一个对象。
1.2 组合组合是从一组对象中选取若干个对象进行组合的问题。
与排列不同的是，组合不考虑对象的顺序，只考虑对象的选择。
二、奥数组合问题的解决方法解决奥数组合问题时，我们可以采用以下几种常见的方法：2.1 实际操作法实际操作法是一种直观的解决奥数组合问题的方法。
通过实际操作，我们可以更好地理解问题的含义，并得出正确的答案。
例如，在一组物品中选取若干个物品，我们可以通过逐个操作的方式来进行排列和组合的计算。
2.2 写出所有可能的情况对于一些较小的问题，我们可以直接列举出所有可能的情况，然后进行计算。
这种方法适用于组合较少的情况，可以帮助我们更好地理解组合的含义，同时也可以培养我们的逻辑思维能力。
2.3 使用公式对于较大的组合问题，我们可以使用公式进行计算。
在数学中，有一些公式可以直接用来计算排列和组合的数量。
例如，n个物品中选取r个的组合数量可以使用组合公式C(n,r)来计算，其中C表示组合数。
三、常见的奥数组合问题在初中数学中，有一些常见的奥数组合问题，我们将对其中几个进行介绍：3.1 生日问题生日问题是指在一个有n个人的集合中，至少存在两人生日相同的概率是多少。
这个问题可以通过排列和组合的思想进行解答。
3.2 样本空间问题样本空间问题是指在一个试验中，所有可能结果的集合。
初中数学排列组合习题课教案指导
初中数学排列组合习题课教案指导第一章：排列组合基本概念1.1 排列与组合的定义引导学生回顾排列与组合的定义，理解排列是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的顺序，而组合是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的非顺序组合。
通过举例让学生区分排列和组合的概念。
1.2 排列数公式介绍排列数公式：A(n,m) = n! / (n-m)!，其中n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×(n-2)××2×1。
让学生通过计算一些简单的排列数来理解排列数公式的含义。
第二章：组合数公式2.1 组合数公式介绍组合数公式：C(n,m) = n! / (m!×(n-m)!)，其中n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×(n-2)××2×1。
让学生通过计算一些简单的组合数来理解组合数公式的含义。
2.2 组合数的性质引导学生探究组合数的性质，如C(n,m) = C(n,n-m)、C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)等。
通过举例让学生理解组合数的性质。
第三章：排列组合的应用3.1 排列组合在实际问题中的应用通过举例让学生了解排列组合在实际问题中的应用，如排列组合问题、概率问题等。
引导学生运用排列组合知识解决实际问题。
3.2 排列组合的综合练习提供一些综合性的排列组合练习题，让学生独立解答。
对学生的解答进行指导和讲解，帮助其理解和掌握排列组合的知识。
第四章：排列组合的拓展4.1 排列组合的拓展知识引导学生了解排列组合的一些拓展知识，如多重排列、排列组合的极限等。
通过举例让学生了解这些拓展知识的应用。
4.2 排列组合的综合练习提供一些综合性的排列组合练习题，让学生独立解答。
对学生的解答进行指导和讲解，帮助其理解和掌握排列组合的知识。
第五章：总结与复习5.1 排列组合的总结对排列组合的知识进行总结，包括排列与组合的定义、排列数公式、组合数公式、排列组合的性质和应用等。
初中数学知识归纳解组合数的问题
初中数学知识归纳解组合数的问题组合数是数学中一个非常重要的概念，它在组合数学、概率论、统计学等领域中都有广泛的应用。
本文将对初中阶段学习的数学知识进行归纳总结，重点解析组合数的相关问题。
一、组合数的定义与性质组合数是从n个不同元素中取出m个元素（不考虑元素的顺序）所组成的集合的个数，通常用C(n,m)或者(n, m)表示。
组合数的计算公式为：C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × ... × 3 × 2 × 1。
组合数的性质有：1. C(n,0) = C(n,n) = 1，即从n个元素中取出0个元素或者取出n个元素的组合数都等于1。
2. C(n,1) = C(n,n-1) = n，即从n个元素中取出1个元素或者取出n-1个元素的组合数都等于n。
3. C(n,m) = C(n,n-m)，即从n个元素中取出m个元素的组合数与取出n-m个元素的组合数相等。
二、组合数的计算方法1. 利用组合数的计算公式直接计算。
例如，计算C(5,2)的值，按照组合数的计算公式，可以得到：C(5,2) = 5! / (2!(5-2)!) = 5! / (2!3!) = (5×4×3×2×1) / ((2×1)×(3×2×1)) = 10。
2. 利用递推关系进行计算。
根据组合数的递推关系，可以通过前一行组合数的值计算出下一行的组合数。
具体方法是，利用C(n+1,m) = C(n,m) + C(n,m-1)的递推关系，逐次计算出所需要的组合数。
例如，计算C(5,3)的值，可以通过如下计算过程得到：C(5,3) = C(4,3) + C(4,2) = (C(3,3) + C(3,2)) + (C(3,2) + C(3,1)) = 1 + 3 + 3 + 3 + 1 = 10。
初中数学中的概率与统计中的事件的排列与组合
答案及解析
• 题目：某班有50名学生，从中选出5名代表参加数学竞赛，求选法的总数。 答案：1225 解析：这是一个组合问题，从50名学生中选出5名代表，可以使用组合公式C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中n是总人数，k是选出的人数。所以答案是C(50, 5) = 50! / (5!(50-5)!) = 1225。
(r!(n-r)!)
排列与组合的 关系：P(n, r) =
C(n, r) * r!
排列与组合的 区别：排列考 虑顺序，组合 不考虑顺序。
排列的应用
解决实际问题：如安排日程、分配任务等 数学竞赛：如解排列组合题、逻辑推理题等 计算机科学：如算法设计、程序编写等 统计学：如样本抽取、数据整理等
排列的注意事项
排列的定义
排列是指从n个不同元素中取出m个元素，按照一定的顺序进行排列，得到的结果称为排列。 排列数公式：P(n,m)=n!/(n-m)! 排列的特点：有序性、无序性、确定性 排列的应用：解决实际问题，如彩票中奖、密码设置等
排列的公式
排列数公式： P(n, r) = n! /
(n-r)!
组合数公式： C(n, r) = n! /
其次，总共有C(10, 3) = 120种取球的情况。所以概率是P(A) = 20/120 = 7/10。
• 题目：一个盒子里有10个球，其中6个黑球，4个白球，从中随机取出2个球，求取出的球中至少有一个黑球的概率。 答案：11/15 解析：同上题，首先，取出的球中至 少有一个黑球的情况有C(6, 1)*C(4, 1) + C(6, 2) = 6 + 15 = 21种。其次，总共有C(10, 2) = 45种取球的情况。所以概率是P(A) = 21/45 = 11/15。
初中数学中有哪些常见的组合问题及解决方法
初中数学中有哪些常见的组合问题及解决方法在初中数学的学习中，组合问题是一个重要的组成部分。
这些问题常常具有一定的挑战性，但通过掌握正确的方法和思路，我们能够有效地解决它们。
下面就让我们一起来探讨一下初中数学中常见的组合问题及相应的解决方法。
一、排列组合的基本概念在了解具体的组合问题之前，我们先来明确一下排列和组合的基本概念。
排列是指从给定的元素中取出若干个元素，按照一定的顺序进行排列。
例如，从三个不同的元素A、B、C 中取出两个进行排列，有AB、BA、AC、CA、BC、CB 六种情况。
组合则是指从给定的元素中取出若干个元素，不考虑其顺序。
比如，从三个不同的元素 A、B、C 中取出两个进行组合，只有 AB、AC、BC 三种情况。
二、常见的组合问题类型1、握手问题这是一个经典的组合问题。
假设有 n 个人参加聚会，每个人都要和其他所有人握手一次，那么总共握手的次数是多少？解决这个问题时，我们可以这样思考：第一个人要和 n 1 个人握手，第二个人要和 n 2 个人握手（因为已经和第一个人握过了），以此类推，最后两个人只需要握手一次。
将每个人握手的次数相加，得到总的握手次数为 n(n 1)／2 。
2、选书问题假设书架上有 m 本不同的数学书和 n 本不同的语文书，从中任选 k 本书（k ＜＝ m ＋ n），有多少种不同的选法？对于这种问题，我们可以分情况讨论。
如果 k 本书都是数学书，那么有 C(m, k) 种选法；如果 k 本书都是语文书，有 C(n, k) 种选法；如果 k 本书中既有数学书又有语文书，那么就需要用分类加法原理和分步乘法原理来计算。
3、比赛场次问题比如有 n 支球队参加比赛，每两支球队之间都要进行一场比赛，那么总共要进行多少场比赛？我们可以把每支球队都看作一个点，比赛场次就相当于两点之间的连线。
第一个球队要和其他 n 1 个球队比赛，第二个球队要和剩下的 n 2 个球队比赛，以此类推，总的比赛场次为 n(n 1)／2 。
初三数学排列组合应用题解题技巧
初三数学排列组合应用题解题技巧排列组合是初中数学中的一个重要知识点，广泛应用于各种实际问题的解决中。
在初三数学考试中，排列组合应用题常常出现，需要我们掌握解题的技巧和方法。
本文将介绍一些初三数学排列组合应用题解题技巧，帮助同学们更好地应对考试。
一、了解排列和组合的概念在解题之前，首先必须明确排列和组合的概念。
排列是从给定的事物中选出若干个进行排列，顺序是重要的；组合是从给定的事物中选出若干个进行组合，顺序不重要。
这两个概念是初步解题的基础。
二、理解题意，画出辅助图形在解题时，我们要充分理解题目的意思，并且结合实际情境画出辅助图形，有助于我们更直观地理解问题。
通过画图可以更好地分析问题，找到解题的思路。
三、确定问题的解题方法不同的问题需要采用不同的解题方法。
根据题目的要求，关键是确定问题需要使用排列还是组合来解决。
当问题要求考虑顺序时，我们需要使用排列；当问题不考虑顺序时，我们需要使用组合。
四、列举可能的情况在确定了问题的解题方法之后，我们要通过列举可能的情况来寻找解题的思路。
通过列举，可以帮助我们找到问题的规律和特点，从而找到解题的方法。
五、运用数学公式，推导解题步骤对于一些较复杂的排列组合问题，我们可以通过运用数学公式来进行推导，简化解题步骤。
在初三数学考试中，常用的排列组合公式有：阶乘公式、组合数公式等。
通过灵活运用这些公式，可以帮助我们更快地解题。
六、注意题目的附加条件在解题过程中，我们要特别注意题目的附加条件，有时这些条件可能会对答案产生影响。
对于包含附加条件的问题，我们要仔细分析，确保答案的准确性。
七、实践练习，不断提高在解题过程中，掌握技巧和方法是很重要的，但更重要的是进行实践练习，不断提高解题能力。
通过大量的练习题目，我们可以更加灵活地运用排列组合知识，提高解题的速度和准确性。
初三数学排列组合应用题解题技巧就介绍到这里，希望能给同学们带来帮助。
在考试中，我们要充分理解题意，画图辅助分析问题，确定解题方法，列举可能的情况，运用数学公式推导解题步骤，注意题目的附加条件，并进行大量的实践练习。
初中数学组合教案
初中数学组合教案
教学目标：
1. 理解组合的概念，掌握组合的计算公式。
2. 能够运用组合知识解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：
1. 组合的概念和计算公式。
2. 运用组合知识解决实际问题。
教学难点：
1. 理解组合的计算公式。
2. 灵活运用组合知识解决实际问题。
教学准备：
1. 教学课件或黑板。
2. 练习题。
教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 引入组合的概念，让学生举例说明生活中常见的组合现象。
2. 引导学生思考组合的计算方法。
二、新课讲解（15分钟）
1. 讲解组合的定义和计算公式。
2. 通过例题讲解组合的计算方法。
3. 引导学生总结组合的计算规律。
三、课堂练习（15分钟）
1. 让学生独立完成练习题，巩固组合的知识。
2. 讲解练习题的答案，解析解题思路。
四、应用拓展（10分钟）
1. 让学生运用组合的知识解决实际问题。
2. 引导学生思考组合知识在其他学科中的应用。
五、总结（5分钟）
1. 回顾本节课所学的内容，让学生总结组合的概念和计算方法。
2. 强调组合知识在实际生活中的重要性。
教学反思：
本节课通过讲解组合的概念和计算公式，让学生掌握了组合的计算方法，并能够运用组合知识解决实际问题。
在教学过程中，注意引导学生思考组合知识在其他学科中的应用，培养了学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
同时，通过课堂练习和应用拓展环节，巩固了组合的知识，提高了学生的学习效果。
初中数学教案排列与组合的基本原理
初中数学教案排列与组合的基本原理初中数学教案：排列与组合的基本原理教案一：引入与导入（约150字）为了培养学生对数学的兴趣和动力，本节课将以游戏化的方式引入排列与组合的基本原理。
首先，我将向学生展示一张由数字组成的扑克牌，要求他们思考所有可能的排列情况。
随后，我会向他们介绍排列与组合的概念，并解释它们在实际生活中的应用。
通过这样的导入方式，我希望激发学生的学习兴趣，并明确本节课的学习目标。
教案二：排列的基本原理（约400字）在这个教案中，我们将重点学习排列的基本原理。
首先，我会向学生解释排列是指从给定的元素中选取一部分元素并按照一定的顺序进行排列。
我会通过数学公式和实例来说明排列的计算方法。
接着，我会提供一些练习题让学生进行巩固和理解。
教案三：组合的基本原理（约400字）本节课的重点是学习组合的基本原理。
我将首先向学生介绍组合是指从给定的元素中选取一部分元素，但不考虑元素的顺序。
通过实际例子的讲解，我将帮助学生理解组合的概念。
随后，我会通过数学计算和练习题的方式帮助学生掌握组合的计算方法和技巧。
教案四：应用实例与综合练习（约400字）为了帮助学生将所学知识应用到实际问题中，本节课的重点是通过实例和综合练习来加深学生对排列与组合的理解。
我将准备一些具有挑战性的问题，让学生运用所学知识解决。
通过这样的活动，我希望培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
教案五：总结与反思（约150字）在本节课结束时，我将对学生进行一个简短的总结和反思。
我会回顾本节课的学习内容，强调排列与组合的基本原理，并与学生一起讨论实际应用场景。
最后，我会鼓励学生进一步探索和应用所学知识，并鼓励他们在解决实际问题时将排列与组合的思维应用到其中。
教案六：延伸拓展与作业布置（约150字）为了拓展学生的数学思维和应用能力，我将在本节课的最后进行延伸拓展并布置相关作业。
这些拓展内容将包括更复杂的排列与组合问题以及一些实际应用案例，例如生日悖论和扑克牌游戏中的概率计算等。
初中数学排列组合习题课教案指导
初中数学排列组合习题课教案指导第一章：排列组合基本概念1.1 排列的概念解释排列的定义举例说明排列的应用引导学生理解排列的计算方法1.2 组合的概念解释组合的定义举例说明组合的应用引导学生理解组合的计算方法第二章：排列的计算方法2.1 排列的公式介绍排列的计算公式通过例题讲解排列公式的应用引导学生练习使用排列公式解决问题2.2 排列的性质介绍排列的性质通过例题讲解排列性质的应用引导学生理解排列性质的重要性第三章：组合的计算方法3.1 组合的公式介绍组合的计算公式通过例题讲解组合公式的应用引导学生练习使用组合公式解决问题3.2 组合的性质介绍组合的性质通过例题讲解组合性质的应用引导学生理解组合性质的重要性第四章：排列组合的综合应用4.1 排列组合的混合问题解释排列组合混合问题的定义通过例题讲解排列组合混合问题的解决方法引导学生练习解决排列组合混合问题4.2 排列组合的实际应用举例说明排列组合在实际问题中的应用通过例题讲解排列组合在实际问题中的解决方法引导学生练习解决排列组合的实际问题第五章：排列组合的练习题解答5.1 排列组合的练习题类型介绍排列组合练习题的常见类型引导学生了解不同类型的练习题5.2 排列组合的练习题解答方法讲解排列组合练习题的解答方法通过例题演示解答过程引导学生练习解答排列组合练习题第六章：排列组合的综合练习6.1 综合练习题的设计解释综合练习题的设计原则举例说明如何设计综合练习题引导学生参与设计综合练习题6.2 综合练习题的解答讲解综合练习题的解答方法通过例题演示解答过程引导学生练习解答综合练习题第七章：排列组合的考试策略7.1 排列组合的考试题型介绍排列组合考试中出现的题型引导学生熟悉不同题型的特点7.2 排列组合的考试解题策略讲解排列组合考试题的解题策略通过例题演示解题过程引导学生掌握解题策略第八章：排列组合的拓展知识8.1 排列组合的拓展概念介绍排列组合的拓展概念举例说明拓展概念的应用引导学生理解拓展概念的重要性8.2 排列组合的拓展问题解释排列组合拓展问题的定义通过例题讲解拓展问题的解决方法引导学生练习解决排列组合拓展问题第九章：排列组合的学习资源9.1 排列组合的教材和参考书推荐排列组合学习的教材和参考书引导学生正确使用教材和参考书9.2 排列组合的网络资源介绍排列组合学习的网络资源引导学生利用网络资源进行学习和拓展10.1 排列组合的主要概念和公式回顾排列组合的主要概念和公式引导学生加深对排列组合知识的理解10.2 排列组合的学习方法和技巧引导学生运用方法和技巧进行有效学习10.3 排列组合的学习目标和评估明确排列组合的学习目标引导学生进行自我评估和反思重点和难点解析重点环节一：排列组合的实际应用重点关注原因：排列组合知识在实际生活中的应用广泛，理解实际应用有助于学生更好地理解排列组合的概念和计算方法。
初中数学组合
组合教学目标： 1、理解组合的概念,正确区分排列、组合问题；2、掌握组合数的计算公式；3、通过学习组合知识,让学生掌握类比的学习方法,并提高学生分析问题和解决问题的能力； 教学内容：组合的概念及组合数的计算方法 教学重点：组合的概念、组合数 教学难点：解组合的应用题 教学方法：排列与组合结合法 教学过程设计 一、知识回顾 1、排列的概念一般地,从n 个不同的元素中取出m ()m n ≤个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列; 2、排列数概念一般地,从n 个不同的元素中每次取出m ()m n ≤个元素的所有排列的个数,称为从n 个不同元素中取出m 个不同元素的排列数,记作mn A ;3、排列数计算公式：(1)(2)(1)()mnA n n n n m m n =---+≤!nn A n =()!!m n n A n m =-二、学习新课课题引入：通过上节课研究排列的问题出发,对比引出另一种与排列不同的计数方法,即组合;问题1从甲、乙、丙3名同学中选出1名班长,一名副班长,共有多少种不同的选法 若把问题改为从甲、乙、丙3名同学中选出2名担任班委,共有多少种不同的方法 该问题与原问题有何区别解：原问题是上节课学习的排列数的问题,排列数为23A ,对应的排列为：甲 乙 乙 甲 甲 丙 丙 甲丙 乙 乙 丙 变化后的问题对应的可能情况为： 甲 乙 甲 丙丙 乙分析：与排列不同的是,这个问题是从3个不同的元素中取出2个,而取出的这两个元素是一个组合,没有顺序;这就是本节课研究的另外一个计数问题,组合问题引出组合的概念 组合一般地,从n 个不同的元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合;分析：对比排列和组合的定义,同样是从n 个不同的元素中取出m ()m n ≤个元素,而排列是把取出的m 个元素按照一定的顺序排成一列,也就是说排列与元素的顺序有关,而组合单单是把取出的m 个元素并成一组,与元素的顺序无关; 组合数同样地类似于排列,我们研究从n 个不同的元素中取出m ()m n ≤个元素的组合共有多少个,这类计数问题叫做组合问题,相应的组合数记为mn C ;问题2从3个不同的元素,,a b c 中每次取出2个,共有多少种不同的排列 若改为从3个不同的元素,,a b c 中每次取出2个,共有多少种不同的组合解：原问题为从三个不同的元素中每次取出两个元素的排列问题,排列数为23A ,对应的排列为：ab ba ac ca bc cb变化后的问题为从三个不同的元素中取出两个元素的组合问题,组合数为23C ,对应的组合为：abac bc总结：通过问题1与问题2可以看出,给出一个问题,如果与顺序有关,则是排列问题,若果与顺序无关,则是组合问题;通过例题讲解区分排列与组合问题; 例1判断下面问题是排列问题,还是组合问题(1) 从6个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法(2) 从6个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法 解：1选出的2个风景点,不必明确游览顺序,这是一个组合问题,对应的组合数为26C 先标记在后面,一会再求解;2选出的2个风景点,必须明确游览顺序,这是一个排列问题,对应的排列数为26A 学生求解排列数26A ,复习巩固上节课排列数的计算公式; 课堂练习：书55页课后练习题318名同学聚会,每两人握手一次,共握手多少次解：与顺序无关,因此是组合问题,组合数为28C 先标记在后面,一会再求解; 26名同学约定元旦互送贺卡一张,共寄多少张解：甲→乙贺卡与乙→甲贺卡代表的意义不一样,因此有顺序性,是排列问题,排列数为26A 学生计算,使学生熟练掌握排列数的计算公式3某铁路沿线有5个站,需要准备多少种车票 有多少种不同的票价 解：第一个问题车票种数：南通→南京与南京→南通为两种不同的车票,有顺序性,是排列问题,排列数为25A 学生求解；第二个问题票价问题：南通→南京与南京→南通车票的票价是一样的,没有顺序性,是组合问题,组合数为25C 标记在后面,一会再求解;4平面内有10个点,以其中2个点为端点的线段有向线段共有多少条解：线段AB 与线段BA 为两条相同的线段,因此没有顺序性,是组合问题,组合数为210C 标记在后面,一会再求解；有向线段有方向的线段,即：有向线段AB 与有向线段BA 是两条不同的线段,因此有顺序性,是排列问题,排列数为210A 学生计算;组合数计算公式思考：排列数有相应的计算公式,那上面标记的组合数该如何计算呢回到问题2,从三个不同的元素,,a b c 中每次取出2个的排列与组合的关系如图：23A ：ab ba 22A ←ab 23Cac ca acbc cb bc从图中关系可以看出组合共有23C 个；将每一个组合中的元素进行全排列,均有22=2A 个排列；因此,从3个不同的元素中取出2个元素的排列数23A ,可以分成以下两个步骤来完成： 第一步：从3个不同的元素中取出2个元素的组合数为23C ；第二步：对每一个组合中的2个不同的元素进行全排列,其排列数为22A ; 根据分步乘法原理,得222332A C A =⨯从而有 223322=A C A从特殊回到一般一般地,从n 个不同的元素中取出m 个不同元素的排列数也可以按以上两个步骤来完成,即m m m n n m A C A =⨯由此得到组合数计算公式：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+==由于()!!mn n A n m =-,所以组合数公式还可以表示为!!()!mn n C m n m =-其中,,n m N *∈,m n ≤由于计算需要,规定 01n C =例2计算710C解：由组合公式得77101077109876541207654321A C A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯课堂练习通过组合公式的推导及例题2的讲解,请学生将之前标记过的组合数在练习本上求解并请4名同学上黑板演示求解过程,同时检查其他同学掌握程度1、226622651521A C A ⨯===⨯2、228822872821A C A ⨯===⨯3、225522541021A C A ⨯===⨯4、221010221094521A C A ⨯===⨯习题讲解,提出计算组合数需要注意3点： 1、 公式不要列错； 2、 项不要列错； 3、 计算不要马虎;例3一批产品20件,其中有2件次品,其余均为正品,从20件产品中任意抽取3件进行检验,问：分析：通过画图进行图形结合法,如图1共有多少种不同的抽法 分析：从20件产品中任意抽取3件,没有特殊要求,因此不用考虑特殊情况,不同的抽法等于组合数;解：332020332019181140321A C A ⨯⨯==⨯⨯2恰有一件次品的不同抽法有多少种分析：抽取的3件产品中恰有一件次品可以分两步来完成： 第一步：从2件次品中任意抽取1件,有12C 种不同的抽法； 第二步：从18件正品中任意抽取2件,有218C 种不同的抽法; 根据分步乘法原理,所有的抽法种数为解：2112182218121221817306121A A C C A A ⨯⨯=⨯=⨯=⨯3全是正品的不同抽法有多少种分析：抽取的3件产品全是正品,即从18件正品中任意抽取3件,不同的抽法为解：33181833181716816321A C A ⨯⨯===⨯⨯4至多有一件次品的不同抽法有多少种分析：抽取的3件产品至多有1件次品,包含几类情况 解释至多的概念,并与学生一起分析包含几类情况第一类：3件产品中没有次品,即从18件正品中任意抽取3件,不同的抽法为318C 第二类：3件产品有一件次品,问题回到第2题中,分两步来完成,不同的抽法有12218C C ⨯ 根据分类加法原理,不同的抽法总数为解：2311231818221818123123218171817168163061122121321A A A C C C A A A ⨯⨯⨯+=⨯+=⨯++=⨯⨯⨯5至少有一件次品的不同抽法有多少种分析：抽取的3件产品中至少有一件次品,包含几类情况 解释至少的概念,并与学生一起分析包含几类情况第一类：3件产品中有一件次品,回到第二题中,分两步来完成,不同的抽法有12218C C ⨯；第二类：3件产品中有两件次品,分两步来完成,不同的抽法有21218C C ⨯请同学思考,借鉴第二题给出根据分类加法原理,所有的抽法总数为解：21121221181822218218122112212181718306183241211A A A A C C C C A A A A ⨯+=⨯+⨯=⨯+=+=⨯三、课堂小结： 1、组合的概念； 2、组合数的概念； 3、组合数的计算公式；4、区分排列问题与组合问题；5、根据组合公式求解组合应用题; 四、课后作业书58页练习1、2、3；书60页习题A 组2。
初中数学“组合变式”的探究与实践
初中数学“组合变式”的探究与实践组合变式是初中数学中的一个重要内容，其在中考中占有相当重要的比重。
掌握了组合变式的解题方法，能够帮助我们快速解决相应的问题。
一、组合的基本概念组合是指从给定的个体集合中取出若干个元素（不考虑次序），形成一个集合的过程。
假设有n个元素，要取出k个元素，这个过程就称为从n个元素中取k个元素的组合，记作C(n,k) 或Cnk。
组合数的计算公式是：C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)。
二、组合的性质1.对称性：C(n,k)=C(n,n-k)组合的计数是与次序无关的，所以n个元素中取k个元素与取n-k个元素是一样的。
在n个元素中取k个元素，要么选择第n个元素，要么不选择第n个元素，所以可以得到以上递推关系。
三、组合变式的应用1.排列组合法通过排列组合法，可以解决一些具有特殊条件的问题，比如某些元素不能重复使用、某些元素必须连续等。
例如：用1，2，3，4，5这5个数字，能组成多少个无重复数字的三位数？解题思路：首先确定位置1的数字有5个选择，然后确定位置2的数字有4个选择（因为第一个数字已经确定），最后确定位置3的数字有3个选择，所以一共有5×4×3=60个数字。
2.简单选择与简单排序简单选择和简单排序都是一种特殊的组合问题。
简单选择是指从n个元素中选择k个元素并按照一定的顺序进行排列，例如：从1，2，3，4，5中选择3个数字，并按照从小到大的顺序排列。
解题思路：对于简单选择，我们可以利用组合数的计算公式，可以得到C(5,3)=5!/(3!(5-3)!)=10。
四、实例分析1.某小组有8名男生和6名女生，从中选择3名男生和2名女生组成一支足球队，共有多少种选择方法？解题思路：可以先计算男生的选择方法数，即C(8,3)=8!/(3!(8-3)!)=56。
然后计算女生的选择方法数，即C(6,2)=6!/(2!(6-2)!)=15。
最后将两者相乘，即56×15=840。
求解数字排列组合问题
求解数字排列组合问题数字排列组合问题是初中数学中的一个重要内容，也是学生们常常会遇到的问题。
解决这类问题需要运用一定的技巧和方法，下面我将为大家介绍几种常见的数字排列组合问题的解决方法。
一、全排列问题全排列问题是指在一组数字中，将这些数字进行排列，求出所有可能的排列方式。
例如，给定数字1、2、3，求出它们的全排列。
解决这类问题的方法是使用递归。
我们可以从第一个位置开始，将每个数字依次放入该位置，然后对剩下的数字进行全排列。
具体步骤如下：1. 将第一个位置依次放入每个数字；2. 对剩下的数字进行全排列，即将第二个位置依次放入每个数字；3. 重复上述步骤，直到最后一个位置；4. 输出所有的排列结果。
通过这种方法，我们可以得到数字1、2、3的全排列结果为：1 2 31 3 22 1 32 3 13 1 23 2 1二、组合问题组合问题是指在一组数字中，选择其中一部分数字进行组合，求出所有可能的组合方式。
例如，给定数字1、2、3，求出它们的所有组合。
解决这类问题的方法是使用递归和回溯。
具体步骤如下：1. 从第一个数字开始，选择该数字作为组合的一部分；2. 对剩下的数字进行组合，即从剩下的数字中选择一部分数字进行组合；3. 重复上述步骤，直到选择的数字个数达到要求；4. 输出所有的组合结果。
通过这种方法，我们可以得到数字1、2、3的所有组合结果为：1231 21 32 31 2 3三、排列问题排列问题是指在一组数字中，选择其中一部分数字进行排列，求出所有可能的排列方式。
例如，给定数字1、2、3，求出它们的所有排列。
解决这类问题的方法是使用递归和回溯。
具体步骤如下：1. 从第一个数字开始，选择该数字作为排列的第一个数字；2. 对剩下的数字进行排列，即从剩下的数字中选择一部分数字进行排列；3. 重复上述步骤，直到选择的数字个数达到要求；4. 输出所有的排列结果。
通过这种方法，我们可以得到数字1、2、3的所有排列结果为：1 2 31 3 22 1 32 3 13 1 23 2 1四、应用举例数字排列组合问题在生活中有着广泛的应用。
初中数学复习排列与组合的计算
初中数学复习排列与组合的计算在初中数学中，排列与组合是一个重要的主题。
它涉及到对对象的选择、排序和组合的不同方式进行计算。
通过深入学习排列与组合的计算方法，我们可以更好地理解和解决各种问题。
接下来，我们将对排列与组合的计算进行复习。
排列是指从给定的对象集合中选取若干个对象按照一定的顺序进行排列的方法。
在排列中，我们关心的是对象的顺序。
假设我们有$n$个对象，要从中选择$r$个对象进行排列，计算的公式是：$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$其中，$n!$表示$n$的阶乘，即$n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times...\times2\times1$。
$(n-r)!$表示$n-r$的阶乘。
例如，如果我们有5个不同的球，要从中选择3个进行排列，那么就有$P(5,3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 60$种不同的排列方式。
组合是指从给定的对象集合中选取若干个对象进行组合的方法。
在组合中，我们不考虑对象的顺序，只考虑对象的选择。
假设我们有$n$个对象，要从中选择$r$个对象进行组合，计算的公式是：$C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$其中，$n!$表示$n$的阶乘，$r!$表示$r$的阶乘，$(n-r)!$表示$n-r$的阶乘。
例如，如果我们有5个不同的球，要从中选择3个进行组合，那么就有$C(5,3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = 10$种不同的组合方式。
排列与组合的计算方法可以应用于各种实际问题。
下面举几个例子来说明：例子1：某班有8个学生，要从中选择3个学生组成一个小组，计算有多少种不同的选择方式。
解：这是一个组合问题，使用组合的计算公式$C(n,r) =\frac{n!}{r!(n-r)!}$来解决。
代入$n=8$，$r=3$，计算得到：$C(8,3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = 56$所以，有56种不同的选择方式。
初中数学常用数学思维
初中数学常用数学思维
一、公式思维：也叫计算规则思维。
即按运算规则进行计算就行。
（主要用于各种计算）
二、构造思维：即拆分、组合（重组）、转化、代换、变形思维。
即把一个式子拆分或者组合或者转换（化）成我们能够计算或者方便计算的形式。
（主要用来解复杂的等式或者因式分解和分式计算）
三、方程思维：即等量关系思维。
其中方程思维里可包含公式思维。
（主要用来解应用题。
）
四、数形结合思维：即代数和几何的结合，(多用于函数题目)
五、证明思维：讲究有理有据，逻辑清晰。
(主要运用于证明题）
六、待定系数思维：主要用来求函数解析式的系数。
初中数学排列组合
初中数学排列组合嘿，咱来说说初中数学的排列组合哈。
哎呀妈呀，这排列组合一开始可把我给整蒙了。
记得有一次上数学课，老师就开始讲排列组合。
我那时候心里就想：“这啥玩意儿啊？听都听不懂。
”老师在讲台上讲得眉飞色舞的，我在下面听得云里雾里的。
老师举了个例子，说从三个不同的球里面选两个球，有几种选法。
我就开始掰着手指头数，一个一个地想。
结果数得乱七八糟的，也没数明白。
老师看我们都很迷茫，就又换了个例子。
说从三个人里面选两个人去参加比赛，有几种选法。
我还是不太明白，就开始瞎想。
我想啊，如果是我和我的两个好朋友去参加比赛，那会有几种情况呢？我就开始在脑子里幻想，我和甲去，我和乙去，甲和乙去。
哎呀，好像是三种情况呢。
这时候我有点明白了。
后来老师又讲了排列和组合的区别。
说排列是有顺序的，组合是没有顺序的。
我就更糊涂了。
啥叫有顺序，啥叫没顺序啊？老师又举了个例子，说从三个人里面选两个人排成一排，有几种排法。
我又开始想了，我和甲站一起，甲和我站一起，这是两种情况吧。
然后我和乙站一起，乙和我站一起，又是两种情况。
甲和乙站一起，乙和甲站一起，还是两种情况。
一共六种情况。
哦，我明白了，这就是有顺序的排列。
那如果只是从三个人里面选两个人，不考虑顺序，那就只有三种情况了，这就是组合。
经过老师这么一讲，我好像有点明白了。
但是做题的时候还是会出错。
有一次考试，就有一道排列组合的题。
我想了半天，还是做错了。
哎呀，可把我郁闷坏了。
不过呢，后来我就多做了一些题，慢慢就掌握了排列组合的方法。
现在再看到排列组合的题，我也不害怕了。
嘿嘿，这就是我和初中数学排列组合的故事。
虽然一开始很头疼，但是最后还是战胜了它。
初中数学排列组合教学设计
初中数学排列组合教学设计引言：排列组合是数学中的重要概念，也是初中数学课程中的一部分。
排列组合既能培养学生的逻辑思维和分析能力，又能帮助他们发展解决实际问题的能力。
本文将介绍一个初中数学排列组合的教学设计，旨在帮助学生更好地理解和掌握该概念。
第一部分：教学目标1. 知识目标：- 理解排列和组合的概念；- 掌握排列组合的计算方法；- 能够应用排列组合解决实际问题。
2. 能力目标：- 培养学生的逻辑思维和分析能力；- 提高学生的问题解决能力；- 培养学生的合作与创新精神。
第二部分：教学准备1. 教具准备：- 教材：包括排列组合的相关知识点和例题；- 课件：包含排列组合的演示和练习题目；- 活动材料：用于课堂小组合作活动的工具。
2. 教学环境：- 教室内部有表格和画板，方便学生在课堂上进行合作和讨论。
第三部分：教学过程本教学设计分为三个阶段：导入阶段、知识讲解阶段和练习巩固阶段。
阶段一：导入1. 教师通过一个有趣的问题或实际例子导入，激发学生的兴趣并引起思考。
例如：有8个不同的球，每次从中选择3个进行排列，共有多少种不同的排列方式？2. 学生进行小组讨论，思考问题并提出他们的想法和思路。
3. 教师引导学生进行讨论，总结学生的回答，引出排列和组合的概念。
阶段二：知识讲解1. 教师通过课件演示，对排列和组合的概念进行详细解释，引导学生理解。
2. 教师结合课本中的例题进行讲解，通过解题过程培养学生的逻辑思维能力。
3. 教师引导学生思考和讨论，总结排列和组合的计算方法。
阶段三：练习巩固1. 学生进行小组合作活动，解决一些基础的排列组合问题。
教师提供一些实际情境，并引导学生将其转化为排列组合问题来解决。
2. 学生通过合作讨论，尝试不同的解题方法，培养其解决问题的能力。
3. 教师布置课后作业，巩固学生对排列组合的理解和应用能力。
第四部分：评价与反思1. 教师通过课堂观察和学生互评方式进行评价，了解学生对排列组合的掌握程度。
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组合教学目标： 1、理解组合的概念，正确区分排列、组合问题；2、掌握组合数的计算公式；3、通过学习组合知识，让学生掌握类比的学习方法，并提高学生分析问题和解决问题的能力；教学内容：组合的概念及组合数的计算方法 教学重点：组合的概念、组合数 教学难点：解组合的应用题 教学方法：排列与组合结合法 教学过程设计 一、知识回顾 1、排列的概念一般地，从n 个不同的元素中取出m ()m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
2、排列数概念一般地，从n 个不同的元素中每次取出m ()m n ≤个元素的所有排列的个数，称为从n 个不同元素中取出m 个不同元素的排列数，记作mn A 。
3、排列数计算公式：(1)(2)(1)()mn A n n n n m m n =---+≤!nn A n =()!!m n n A n m =-二、学习新课课题引入：通过上节课研究排列的问题出发，对比引出另一种与排列不同的计数方法，即组合。
【问题1】从甲、乙、丙3名同学中选出1名班长，一名副班长，共有多少种不同的选法？(若把问题改为从甲、乙、丙3名同学中选出2名担任班委，共有多少种不同的方法？该问题与原问题有何区别？)解：原问题是上节课学习的排列数的问题，排列数为23A ，对应的排列为： 甲 乙 乙 甲 甲 丙 丙 甲丙 乙 乙 丙 变化后的问题对应的可能情况为： 甲 乙 甲 丙丙 乙分析：与排列不同的是，这个问题是从3个不同的元素中取出2个，而取出的这两个元素是一个组合，没有顺序。
这就是本节课研究的另外一个计数问题，组合问题（引出组合的概念） 组合一般地，从n 个不同的元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
分析：对比排列和组合的定义，同样是从n 个不同的元素中取出m ()m n ≤个元素，而排列是把取出的m 个元素按照一定的顺序排成一列，也就是说排列与元素的顺序有关，而组合单单是把取出的m 个元素并成一组，与元素的顺序无关。
组合数同样地类似于排列，我们研究从n 个不同的元素中取出m ()m n ≤个元素的组合共有多少个，这类计数问题叫做组合问题，相应的组合数记为mn C 。
【问题2】从3个不同的元素,,a b c 中每次取出2个，共有多少种不同的排列？（若改为从3个不同的元素,,a b c 中每次取出2个，共有多少种不同的组合？）解：原问题为从三个不同的元素中每次取出两个元素的排列问题，排列数为23A ，对应的排列为：ab ba ac ca bc cb变化后的问题为从三个不同的元素中取出两个元素的组合问题，组合数为23C ，对应的组合为：abac bc总结：通过问题1与问题2可以看出，给出一个问题，如果与顺序有关，则是排列问题，若果与顺序无关，则是组合问题。
通过例题讲解区分排列与组合问题。
【例1】判断下面问题是排列问题，还是组合问题？(1) 从6个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？(2) 从6个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？ 解：(1)选出的2个风景点，不必明确游览顺序，这是一个组合问题，对应的组合数为26C （先标记在后面，一会再求解）。
(2)选出的2个风景点，必须明确游览顺序，这是一个排列问题，对应的排列数为26A （学生求解排列数26A ，复习巩固上节课排列数的计算公式）。
课堂练习：书55页课后练习题3(1)8名同学聚会，每两人握手一次，共握手多少次？解：与顺序无关，因此是组合问题，组合数为28C （先标记在后面，一会再求解）。
(2)6名同学约定元旦互送贺卡一张，共寄多少张?解：甲→乙贺卡与乙→甲贺卡代表的意义不一样，因此有顺序性，是排列问题，排列数为26A （学生计算，使学生熟练掌握排列数的计算公式）(3)某铁路沿线有5个站，需要准备多少种车票？有多少种不同的票价？解：第一个问题车票种数：南通→南京与南京→南通为两种不同的车票，有顺序性，是排列问题，排列数为25A （学生求解）；第二个问题票价问题：南通→南京与南京→南通车票的票价是一样的，没有顺序性，是组合问题，组合数为25C （标记在后面，一会再求解）。
(4)平面内有10个点，以其中2个点为端点的线段(有向线段)共有多少条？解：线段AB 与线段BA 为两条相同的线段，因此没有顺序性，是组合问题，组合数为210C （标记在后面，一会再求解）；有向线段（有方向的线段，即：有向线段AB 与有向线段BA 是两条不同的线段），因此有顺序性，是排列问题，排列数为210A （学生计算）。
组合数计算公式思考：排列数有相应的计算公式，那上面标记的组合数该如何计算呢？回到问题2，从三个不同的元素,,a b c 中每次取出2个的排列与组合的关系如图：23A ：ab ba 22Aab 23Cac ca acbc cb bc从图中关系可以看出组合共有23C 个；将每一个组合中的元素进行全排列，均有22=2A 个排列；因此，从3个不同的元素中取出2个元素的排列数23A ，可以分成以下两个步骤来完成： 第一步：从3个不同的元素中取出2个元素的组合数为23C ；第二步：对每一个组合中的2个不同的元素进行全排列，其排列数为22A 。
根据分步乘法原理，得222332A C A =⨯从而有 223322=A C A（从特殊回到一般）一般地，从n 个不同的元素中取出m 个不同元素的排列数也可以按以上两个步骤来完成，即m m m n n m A C A =⨯由此得到组合数计算公式：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+==由于()!!mn n A n m =-，所以组合数公式还可以表示为!!()!mn n C m n m =-（其中，,n m N *∈，m n ≤）由于计算需要，规定 01n C =【例2】计算710C解：由组合公式得77101077109876541207654321A C A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯课堂练习通过组合公式的推导及例题2的讲解，请学生将之前标记过的组合数在练习本上求解（并请4名同学上黑板演示求解过程，同时检查其他同学掌握程度）1、226622651521A C A ⨯===⨯2、228822872821A C A ⨯===⨯3、225522541021A C A ⨯===⨯4、221010221094521A C A ⨯===⨯习题讲解，提出计算组合数需要注意3点： 1、 公式不要列错； 2、 项不要列错；3、 计算不要马虎。
【例3】一批产品20件，其中有2件次品，其余均为正品，从20件产品中任意抽取3件进行检验，问：分析：通过画图进行图形结合法，如图(1)共有多少种不同的抽法？分析：从20件产品中任意抽取3件，没有特殊要求，因此不用考虑特殊情况，不同的抽法等于组合数。
解：332020332019181140321A C A ⨯⨯==⨯⨯(2)恰有一件次品的不同抽法有多少种？分析：抽取的3件产品中恰有一件次品可以分两步来完成： 第一步：从2件次品中任意抽取1件，有12C 种不同的抽法； 第二步：从18件正品中任意抽取2件，有218C 种不同的抽法。
根据分步乘法原理，所有的抽法种数为解：2112182218121221817306121A A C C A A ⨯⨯=⨯=⨯=⨯(3)全是正品的不同抽法有多少种？分析：抽取的3件产品全是正品，即从18件正品中任意抽取3件，不同的抽法为解：33181833181716816321A C A ⨯⨯===⨯⨯(4)至多有一件次品的不同抽法有多少种?分析：抽取的3件产品至多有1件次品，包含几类情况？（解释至多的概念，并与学生一起分析包含几类情况）第一类：3件产品中没有次品，即从18件正品中任意抽取3件，不同的抽法为318C 第二类：3件产品有一件次品，问题回到第2题中，分两步来完成，不同的抽法有12218C C ⨯ 根据分类加法原理，不同的抽法总数为解：2311231818221818123123218171817168163061122121321A A A C C C A A A ⨯⨯⨯+=⨯+=⨯++=⨯⨯⨯(5)至少有一件次品的不同抽法有多少种？分析：抽取的3件产品中至少有一件次品，包含几类情况？（解释至少的概念，并与学生一起分析包含几类情况）第一类：3件产品中有一件次品，回到第二题中，分两步来完成，不同的抽法有12218C C ⨯；第二类：3件产品中有两件次品，分两步来完成，不同的抽法有21218C C ⨯（请同学思考，借鉴第二题给出）根据分类加法原理，所有的抽法总数为解：21121221181822218218122112212181718306183241211A A A A C C C C A A A A ⨯+=⨯+⨯=⨯+=+=⨯三、课堂小结： 1、组合的概念； 2、组合数的概念； 3、组合数的计算公式；4、区分排列问题与组合问题；5、根据组合公式求解组合应用题。
四、课后作业书58页练习1、2、3；书60页习题A 组2。