一种基于Mellin变换的水声宽带相关模糊函数的快速算法

文章编号:1009-3486(2000)06-0006-05一种基于Mellin 变换的水声宽带相关模糊函数的快速算法*许 稼,蒋兴舟,张静远(海军工程大学兵器工程系,湖北武汉430033)摘 要:提出了一种基于Mellin 变换的快速算法,其特点是在给定的某一时刻得到不同尺度下的变换结果,算法的运算量与待分析的时延成正比,而在固定时刻下的运算量为两个2M 点的FF T 和一次2M 点复数乘法(M 为待分析的尺度的个数).该算法的优点是实时性好,且适合于水声信号领域尺度跨度小、尺度分析较细的特点,并给出了与直接法、CZ T 法的比较结果.关键词:宽带相关模糊函数;M ellin 变换;几何采样中图分类号:TN912.16 文献标识码:A1 问题的提出20世纪下半叶以来,在North 提出的匹配滤波理论的基础上,传统的雷达、声纳信号处理领域建立起了一套完善的基于窄带假设的信号处理的方法和理论,并在实际的系统中得到成功的应用.然而,当信号的相对带宽可以与信号的载频可比拟,或目标在信号的持续时间内,移动的距离超过了一个距离分辨单元等情形下,原来的窄带假设vT C 2B(其中C 、T 、B 、v 分别是声速、发射信号的持续时间、带宽和目标与载体间的相对径向速度)显然不能成立.在更广泛的意义下,可以将目标回波模型建立如下:g (t)=K k=1g k (t)= K k=11s k f (t -b k s k )(1)式中: g k (t)是目标第k 个散射点产生的回波;s k =c + k c - k是目标第k 个散射点回波的尺度因子;b k =2r k c - k是目标第k 个散射点回波的时移分量.以上的模型是将目标看成是由离散分布的 多亮点 组成,这种模型在水声目标的建模中有很好的运用[1],且笔者在分析了一定的宽带实际回波波形的基础上认为这种近似的工程建模也是符合实际的.当然更普遍意义上如果用B ( ,r )代表被照射空间具有不同速度、不同距离散射点目标的空间连续分布函数,则上式应改写成g (t)= D (s,b )1s f (t -b s )d s d b s 2(2)式中D (s,b )=2c 2(1+s )3B(s -1s +1c,cb s +1)称为尺度时移密度函数,它是B( ,r )作坐标变换而来,2c 2(1+s )3是坐标变换的Joccabi 分量.本文以(1)式对 多亮点 目标回波建模,基于(2)式回波处理将另文讨论.基于宽带信号回波的相关信号处理方法是一个与窄带处理中 匹配滤波 相对应的概念,实质上就是以发射波形为基本小波对回波进行小波变换,有6 总第95期 海军工程大学学报JOURNAL OF NAVAL UNIVE RSITY OF ENGINEERING 2000年第6期 收稿日期:2000-09-24;修订日期:2000-09-28基金项目:国防 九五 预研基金项目(编号:96J44.3.1. )作者简介:许 稼(1974-),男,博士生.WT f g(a , )=K k=11a 1s k f (t -b k s k )f *(t - a )d t (3)作变量代换,得WT f g(a, )=K k=11a /s k f (t )f *[t -( -b k )/s k a/s k ]d t = K k=1WT f (a s k , -b k s k )(4)可见宽带回波的相关处理结果实际上是发射波形的自小波变换,即宽带模糊函数(WBC AF )WT f f (a, ),在尺度-时移平面的迭加,又因为WT f f (a, )在a =1, =0处出现极大值,所以在(a k , k )(其中a k s k=1;即a k =s k ;且 k -b k s k=0,即 k =b k )之处WT f g (a, )也应取得极大值.所以有可能从回波通过小波变换后在尺度-时移平面上极大值的分布(a k , k )|k =1, ,K ,得到 多亮点 目标对应不同亮点的( k ,r k )|k =1, ,K 估计.然而,这种可能性是建立在对发射波形的WBCAF 的模糊特性的深入了解的基础上,克服了WB CAF 模糊以后才能实现的;换言之,应该对不同发射波形的WBCAF 进行分析比较和甄选,得到相应工程需要的发射波形,当然在选择了波形之后,同样需要求解WBC AF 获取( k ,r k )|k =1, ,K 的估计.由此可见基于宽带相关处理的核心问题是WB CAF 的求解.而WB CAF 的运算量大又是限制宽带相关处理实时性的 瓶颈 ,因此对WBC AF 的快速求解作为一个迫切的问题被提到研究日程中.2 Mellin 变换的定义和性质对于WBCAF 求解的算法研究中目前已经提出的方法有直接法、线性调整Z 变换(CZ T )、基于母映射算子的方法等等.其中直接法、基于母映射算子的方法作为精确的求解算法,运算量较大[2].CZ T 方法的运算量将在每尺度下将直接法的O(L 2)变为O(2*L log 2L +1),如令Ng 、Nf 分别是回波信号和发射信号的数据长度,则L =Ng +Nf -1是CZ T 中FF T 的长度,可见当数据长度较大时,运算量有较大的改善.然而CZ T 是一种近似的计算,其当s 接近1,且发射波形满足容许条件时,误差较小.水声信号(如自导信号)是带通信号,一般满足容许条件,因此CZT 作为一种有条件的快速算法在水声WB CAF 求解被提出[1].在水声环境中,假设载体与目标之间的相对径向速度为60kn ,那么尺度s 的变化范围为(0.96~1.04),尺度范围较小.本文基于Mellin 变换提出了一种快速算法,尤其适合于水声信号领域尺度跨度小、尺度分析较细的特点.Mellin 变换的原始定义为:M (z )=0f (x )x z-1d x (5)其中f (x )取为时域上的因果信号s (t),并取z 为纯虚数z =j 2 , R ,则有M( )= 0s (t)t j 2 -1d t = M [s(t)](6)可以证明其反变换为:s(t)=0M( )t -j 2 d (7)(6)式定义的变换具有如下的性质与后续讨论的快速方法有密切关系:(1)Mellin 变换与傅氏变换的关系作变量代换 =ln t,代入(6)式,得到:M( )=- 0s (e )e j 2 d =IFT[s (e )](8)7 总第95期 海军工程大学学报 2000年第6期(2)尺度伸缩设s (t )=s (t a),a 为大于零的常数,且设M[s (t)]=M [ ],M[s (t )]=M ( ),则:M ( )=a j 2 M( )(9)若令 =ln a,则有:M ( )=a j 2 M ( )(10)可见时域的尺度伸缩关系在变换域成为相位因子的乘积关系.(3)乘积定理设M 1( )=M [s 1(t)],M 2( )=M [s 2(t)],则0s 1(t)s *2(t)t -1d t = 0M 1( )M *2( )d (11)其中s *2和M *2()分别是s 2(t)和M 2( )的共轭.3 基于Mellin 变换的WBCAF 的快速算法(DMT )根据Mellin 变换的乘积定理和上述性质可以证明WT f (a , )=aFT[M 1( )M *2( )](12)式中: WT f (a, )为发射信号的WBCAF .M 1( )=MT [f (t + )],M 2( )=MT [t f (t)],即f (t + )和tf (t)的Mellin 变换.再令t =e b ,由(8)式可知:M 1( )=MT[f (e b + )]=- f (e b + )e j 2 b d b =IFT[f (e b + )](13)M 2( )=MT [e b f (e b )]= - e b f (e b)e j 2 b d b =IFT[e b f (e b )](14) 由(12)~(14)式可知WT f (a , )的求解可由如下方法得到:首先根据(13)、(14)式分别计算f (e b + )和e b f (e b )对b 的IFT,得到M 1( )和M 2( ),然后根据(12)式求得WT f (a, ).实际工程实现此算法必须得到(12)~(14)式的离散形式,由计算机实时实现.将(13)式中的b 按等间隔 b 采样,共采样M 点,即令b =m b ,m =0~(M -1).此时有f (e b + )=f (e m b + )=f (q m + ),m =0~(M -1)(15)式中q =e b .可见此时是对f (t)以q 为公比按几何级数增长的间隔来采样,共采M 点,这样(13)式可近似为: M 1( )= b M -1m =0f (q m + )e j 2 m b (16)此式经化简得到 M 1(k) ln Q IDF T [f (q m + )],m,k =0~(M -1)(17)式中M 1(k )=M 1( )| =k /ln Q,类似可推导(14)式的离散形式M 2(k)=ln Q IDFT[q m f (q m )],n,k =0~(M -1)(18) 将(17)、(18)式代入(12)式求近似积分,并且令a =e a =q m ,k ,m =0~(M -1),可得WT f [a =q m , ] q m/2ln Q DFT[M 1(k)M *2(k )],k,m =0~(M -1)(19)将(16)~(19)式结合得到WT f (a =q m , )=q m/2ln Q DF T {IDFT[f (q m + )] IDFT[q m f (q m )]},m =0~(M -1)(20) 至此可以运用(20)式作为求解WT f (a, )的快速算法DMT 的表达形式.算法的运算量与待分析的时延成正比,而在固定时刻下的运算量为两个2M 点的FFT 和一次2M 点复数乘法(M 为待分析的尺度的个数),取2M 点作IFFT 是为了避免FFT 的循环卷积作用,而在M 点几何采样后通过补零得到.8 No.6,2000 JOURNAL OF NAVAL UNIVE RSITY OF ENGINEERING Su m No.954 DMT 在WBCAF 中的应用下面根据以上提出的快速算法,给出直接法、CZ T 、DMT 三种方法的结果和性能比较.并深入讨论DMT 在求解水声WBCAF 中应注意的事项.首先设计一个水声自导信号:线性调频信号,参数如下:信号带宽 B =2kHz ; 信号持续时间 T =25ms ;信号载频 f 0=20kHz ;采集频率 f s =80kHz .此信号的WB CAF 计算结果如图1~4所示:图1 直接法WBCAF 三维图图2 直接法WBCAF等高线图图3 CZT 法WBCAF 等高线图图4 D MT 法WBCAF 等高线图为了比较上述三种宽带模糊函数的计算方法,设预定待分析的尺度树为M ,信号的长度为N ,L =2*N -1,则它们的运算量如表1所示.表1 三种求解WBC AF 的算法运算量比较(复数乘法)直接法CZ T 法D MT 法M *L 2M *L (2*l og 2L +1)L *2M *(log 22M +1)首先要说明的是,DMT 法的结果是两次计算拼接而成的.第一次取q 1=1.0083,得到1.0083~1.5间经几何采样得到的M =50个尺度的结果;第二次取q 2=0.9895得到0.5~0.9895间经几何采样得到的M =50个尺度的结果.又因为几何采样是非均匀采样,可以观察到在尺度1左右两边的结果是不对称的.不过从中可以看出DMT 法可以对感兴趣的尺度范围,通过参数q 和M 的选择,得到任意细尺度的分析结果.从三种方法的等高线图可以看出,CZ T 法的结果很好地逼近了直接法的结果,而DMT 法的结果的主瓣有一定的展宽,即处理的结果带来了一定的模糊性,这是不 9 总第95期 海军工程大学学报 2000年第6期希望的结果.然而从运算量的比较可以看出,将设定的参数代入表1计算可知CZ T 法较直接法的运算量减少了30%.DMT 法的运算量较直接法则有显著的减少(46%左右).实际的微机计算结果与此结论相吻合(实验中利用P 350,MATLAB5.3环境下的TIC 函数计算).5 结 论通过初步的分析,我们认为DMT 法模糊性在离散分布的 多亮点 目标回波的WBCAF 计算中是可以接受的,又因为它的实时性,不失为实际系统作宽带相关处理的一种方法,当然这需要实际的结果来论证.D MT 法还可以通过加窗分析来抑制主瓣宽度,这也是对该方法下一步研究的方向.最后,感谢唐劲松博士后对本文的指正!参考文献:[1]唐劲松.水声信号处理中的几个问题[D].武汉:海军工程学院,1998[2]张静远.基于小波变换的宽带自导信号处理新技术研究[D].武汉:海军工程学院,1997[3]张 彤,杨福生,唐庆玉.基于Mellin 变换的连续小波变换快速算法[J].信号处理.1996,12(4):342-348[4]Jones D L.Efficient App roximation of Continnuous Wavelet Transform[J].Electronics Letters.1990,27(9):748-750[5]Yong R K.Wideband space -ti me processing and wavelet theory[D].Pennsylvanian State Universi ty .1991[6]Bertrand J.Discrete Mellin Transform for Signal Analysis[J].Proceedings of the IEEE Conference on ASSP.1990(3):1603-1606A fast algorithm of wide -band correlative ambiguityfunction based on Mellin transformXU Jia,JIANG Xing -zhou,Z HANG Jing -yuan(Dept.of Weaponry Eng.,Naval Univ.of Engineering,Wuhan 430033,China)Abstract:In this paper,a fast algorithm to calculate WBC AF based on Mellin transform is provided,and it has the charac teristics that it calculates the coefficients of different scales simultane ously at a certain time instant.The com -putational complexity is proportional to the length of data being processed,and includes two FFTs and a complex multiplication all of length 2M at each time point(M is the number of scales).It is shown that this fast algorithm is suitable to signal analysis at scales over a relatively narrow span and with fine interval,especially in water signal processing field.The comparative result with direct method and CZT algorithm is also presented.Key words:wide -band correlative ambiguity function(WBC AF);Mellin transform;geometric sa mpling 10 No.6,2000 JOURNAL OF NAVAL UNIVE RSITY OF ENGINEERING Su m No.95。