三角函数恒等变换练习试题和答案解析详解
高一数学知识点三角函数与恒等公式经典题常考题50道含答案与解析
高一数学三角函数及恒等公式经典题常考题50道一、单选题1.函数y=cosx|tanx|（0≤x＜且x≠ ）的图象是下图中的（）A. B. C. D.【答案】C【考点】同角三角函数基本关系的运用，正弦函数的图象【解析】【解答】解：当0 时，y=cosxtanx≥0，排除B，D．当时，y=﹣cosxtanx＜0，排除A．故选：C．【分析】根据x的围判断函数的值域，使用排除法得出答案．==========================================================================2.若α，β都是锐角，且，则cosβ=（）A. B. C. 或 D. 或【答案】A【考点】两角和与差的余弦函数【解析】【解答】解：∵α，β都是锐角，且，∴cosα= = ，cos（α﹣β）= = ，则cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）= + = ，故选：A．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式，求得cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]的值．==========================================================================3.设为锐角，若cos = ，则sin 的值为（）A. B. C. D.【答案】B【考点】二倍角的正弦【解析】【解答】∵为锐角，cos = ，∴∈，∴ = = ．则sin =2 . 故答案为：B【分析】根据题意利用同角三角函数的关系式求出正弦的值，再由二倍角的正弦公式代入数值求出结果即可。
==========================================================================4.sin15°sin105°的值是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】运用诱导公式化简求值【解析】【解答】sin15°sin105°=sin15°cos15°= sin30°= ，故答案为：A．【分析】利用诱导公式转化已知的三角函数关系式求出结果即可。
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】原函数在轴左侧是一段正弦型函数图象，在轴右侧是一条对数函数的图象，要使得图象上关于轴对称的点至少有对，可将左侧的图象对称到轴右侧，即，应该与原来轴右侧的图象至少有个公共点如图，不能满足条件，只有此时，只需在时，的纵坐标大于，即，得．【考点】分段函数，函数图象，正弦型函数，对数函数2.若，则函数的最大值是___________．【答案】【解析】由题意因为，所以，所以函数的最大值是．【考点】求最大值．3.已知，，则下列不等式一定成立的是A．B．C．D．【答案】D【解析】,【考点】三角函数的性质4.若，且为第二象限角，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得又为第二象限角，所以，选B．【考点】两角差余弦公式5.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．-2D．【答案】C【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选C．【考点】三角函数的性质．6.设的最小值为，则．【答案】【解析】，根据题意，结合二次函数在某个区间上的最值问题，对参数进行讨论，当时，其最小值为，所以不合题意，当时，其最小值为，解得，当时，其最小值为，无解，所以．【考点】倍角公式，二次函数在给定区间上的最值问题．7.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．D．-2【答案】D【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选D．【考点】三角函数的性质．8.下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）A．y=sin2x+cos2xB．y=sin2xcos2xC．y=cos（4x+）D．y=sin22x﹣cos22x【答案】D【解析】因为A项为非奇非偶函数，B项是奇函数，C项是奇函数，只有D项是符合题意的，故选D．【考点】诱导公式，倍角公式，三角函数的奇偶性和周期．9.函数的最大值为．【答案】【解析】解析式表示过的直线的斜率，由几何意义，即过定点（4，3）与单位圆相切时的切线斜率为最值．所以设切线得斜率为k，则直线方程为，即 ,【考点】三角函数最值【方法点睛】本题主要考查三角函数最值问题及转化的思想，解决问题的根据是根据所给函数式子转化为直线与圆的位置关系问题，即将所给式子看做定点与单位圆上点的连线的斜率的范围问题，通过模型转化使问题定点巧妙解决，属于经典试题．10.（本题满分12分）如图，在中，边上的中线长为3，且，．（1）求的值；（2）求边的长．【答案】（1）（2）4【解析】（1）利用角的关系，再结合两角差正弦公式展开就可求解（2）先在三角形ABD中，由正弦定理解出BD长，即CD长：由正弦定理，得，即，解得…故；再在三角形ADC中由余弦定理解出AC：；AC= 4试题解析：（1）（2）在中，由正弦定理，得，即，解得…故，从而在中，由余弦定理，得；AC= 4 ；【考点】正余弦定理11.中，，则的最大值为．【答案】【解析】设，由余弦定理的推论，所以，设，代入上式得，，故，当时，此时，符合题意，因此最大值为，故答案为：．【考点】解三角形．【思路点睛】首先假设，然后再根据余弦定理的推论，可得，找到与的关系，再设，代入上式得，利用根的判别式，进而求出结果．本题的关键是利用余弦定理的推论．12.已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）若，求函数在区间上的单调减区间．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）由图象中的最高点和最低点的纵坐标得到关于的方程组求得，再利用图象得到函数的周期，进而得到值，最后代入最低点坐标或最高点坐标结合的范围求出，即得到函数的解析式；（2）先求出，利用两角和差的正弦公式将其化为的形式，再利用整体思想求其单调递减区间．试题解析：（1）由图知，解得，又，所以，所以，将点代入，得，再由，得，所以；（2）因为由，解得；又，故所求的单调减区间为，．【考点】1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变形．13.已知角的终边经过点（-4，3），则= ，= ；【答案】;【解析】由题意可得.【考点】任意角三角函数的定义.14.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）在解三角形的背景下，考查正弦定理，余弦定理，知值求值．（Ⅱ）综合余弦定理，求三角形的面积公式，需要把作为整体求之．试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得将上式代入已知即，即．∵∵∵B为三角形的内角，∴．（Ⅱ）由余弦定理得，结合，可得，所以△ABC的面积．【考点】正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式．15.在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若，，则．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．【考点】解三角形．【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得，可得，再用正弦定理把中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得，最后根据三角形内角和，进而求得．16.中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积，则 .【答案】【解析】由余弦定理，，又，，，即，，．【考点】1、余弦定理；2、同角三角函数的基本关系；3、三角形面积公式.【思路点睛】本题主要考查的是余弦定理、同角三角函数基本关系、三角形的面积公式，属于容易题.因为题目求，且的面积，边的平方的形式一般想到余弦定理，面积展开后利用余弦定理即可求得与的关系，从而利用同角三角函数的基本关系求得.17.（2012•安徽）设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，可得2sinBcosA=sin（A+C），从而可得2sinBcosA=sinB，由此可求求角A的大小；（Ⅱ）利用b=2，c=1，A=，可求a的值，进而可求B=，利用D为BC的中点，可求AD的长．解：（Ⅰ）∵2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC∴2sinBcosA=sin（A+C）∵A+C=π﹣B∴sin（A+C）=sinB＞0∴2sinBcosA=sinB∴cosA=∵A∈（0，π）∴A=；（Ⅱ）∵b=2，c=1，A=∴a2=b2+c2﹣2bccosA=3∴b2=a2+c2∴B=∵D为BC的中点，∴AD=．【考点】余弦定理；三角函数的恒等变换及化简求值．18.在中，已知．（Ⅰ）求sinA与角B的值；（Ⅱ）若角A,B,C的对边分别为的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），．【解析】（I）给出了关于角的两个三角函数值，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式可求得其正弦、余弦，再根据三角形的性质可求得的值；（II）在第一问的基础上，利用正弦定理可求得边，再由余弦定理求边，注意利用三角形基本性质舍解．试题解析：（Ⅰ）∵，，又∵，．∵，且，．（Ⅱ）由正弦定理得，，另由得，解得或（舍去），，．【考点】三角函数的诱导公式，同角三角函数的基本关系式及利用正、余弦定理在解三角形．19.已知，则的值为．【答案】．【解析】，故填：．【考点】三角恒等变形．20.在中，角A，B，C的对边分别为，，，若，则角的值为（）A．或B．或C．D．【答案】A．【解析】，，∴或，故选A．【考点】余弦定理．【思路点睛】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握．21.为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（）A．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的2倍，横坐标不变【答案】A【解析】这是一个三角函数的图象变换问题，一般的为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的横坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍（纵坐标不变）即可，因此为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，故选A.【考点】三角函数的图象变换．【方法点睛】本题是一个三角函数的图象变换问题，属于容易题.一般的要得到函数（其中）的图像可按以下步骤进行：先把的图象向左（）或向右（）平移个单位，再将所得函数的图象上各点的横坐标扩大（）或缩小（）为原来的（纵坐标不变），再把所得函数图象上各点的纵坐标扩大（）或缩小（）为原来的倍（横坐标不变），最后再将所得图像向上（）或向下（）平移个单位，即可得到函数的图象.22.如图，在中，，，点在边上，且，.（I）求；（II）求的长.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），.【解析】（Ⅰ）由图可知，所以，又，所以，再由两角差的正弦公式可求得；（Ⅱ）由题意可用正弦定理、余弦定理即可求出、的长，在中，有，又从而可求得；在中，由余弦定理得，，从而可求出.试题解析：（Ⅰ）在中，因为，所以，所以（Ⅱ）在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，所以【考点】1.解三角形；2.两角差的正弦公式.23.设的内角对边分别为，已知，且.（1）求角的大小；（2）若向量与共线，求的值.【答案】(1);(2)。
三角恒等变换(含答案)
2
4
4
4
从而 sin
−
4
=
−
4 5
，因此
tan
−
4
=
−
4 3
．故填
−
4 3
．
评注：此处的角还可由 cos
−
4
=
3 5
缩小至 2k +
2
−
4
2k
+
7 4
(k
Z)
，但没必要．
另外，还可利用
tan
−
π 4
tan
+
π 4
=
−1 来进行处理，或者直接进行推演，即由题意
cos
+
4
4
5
（A） 7 25
（B） 1 5
（C） − 1 5
（D） − 7 25
【解析】因为
cos
π 4
−
=
3 5
，
2 (cos + sin ) = 3，所以 cos + sin = 3
2
5
5
2 ，两边平方得，
1+sin 2 = 18 sin 2 = 7 ．故选 D．
25
25
2
解法二：
cos 2
4
= − 1 ．选 A 2
2
1+
cos
2
22
2
2
2
4．【2010 新课标文 10】若 sin = − 4 ， 是第三象限的角，则 sin( + ) = （ ）
5
4
（A） − 7 2 10
（B） 7 2 10
（C） − 2 10
新高考数学计算题型精练 三角恒等变换(解析版)
新高考数学计算题型精练三角恒等变换1．cos70cos20sin70sin160︒︒-︒︒=（）A．0B．12C D．1【答案】A【详解】cos20cos70sin160sin70︒︒-︒︒()cos20cos70sin18020sin70=︒︒-︒-︒︒cos20cos70sin20sin70=︒︒-︒︒()cos2070cos900=︒+︒=︒=．故选：A．2．sin40°cos10°+cos140°sin10°＝（）A B C．﹣12D．12【答案】D【详解】sin40°cos10°+cos140°sin10°，=sin40°cos10°-cos40°sin10°，=sin（40°-10°），=sin30°＝12.故选：D3．sin20cos40cos20sin140︒︒︒︒+=A．B．2C．12-D．12【答案】B【详解】sin20cos40cos20sin140sin20cos40cos20sin40sin(2040)sin60︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒故选B4．已知π1cos63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则πsin26α⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A．79-B．79C．3-D．3【答案】A【详解】因为π1 cos63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，故2πππππ27sin 2sin 2()cos 2()2cos ()116626699αααα⎛⎫⎡⎤+=-+=-=--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选：A 5．若cos tan 3sin ααα=-，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．23B ．13C ．89D ．79【答案】D【详解】因为cos tan 3sin ααα=-，所以sin cos cos 3sin αααα=-，即223sin sin cos ααα-=，所以223sin sin cos 1ααα=+=，即1sin 3α=，所以27sin 2cos212sin 2π9ααα⎛⎫+==-= ⎪⎝⎭，故选：D ．6．sin 20cos 40sin 70sin 40︒︒+︒︒=（）AB ．12C．2D ．1【答案】A【详解】已知可化为：()sin 20cos 40cos 20sin 40sin 20402︒︒︒+︒=︒+︒=.故选：A7．若πtan 28α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πtan 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．34B ．34-C ．43D ．43-【答案】D【详解】由2π2tan()π448tan 2π41431tan ()8ααα-⎛⎫-===- ⎪-⎝⎭--.故选：D8．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π2sin 4αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A ．34-B ．34C ．1-D ．1【答案】B【详解】π2sin(4αα=+Q，)22(sin cos )2cos sin αααα=+-Q,1(cos sin )(cos sin )02αααα∴+--=，又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0αα>>，即cos sin 0αα+>所以1cos sin 2αα-=，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2(0,π)α∈，sin 20α>.由1cos sin 2αα-=平方可得11sin 24α-=，即3sin 24α=，符合题意.综上，3sin 24α=.故选：B.9．已知5π4sin 125θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 23θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．2425-B ．725-C ．725D ．2425【答案】C【详解】5ππππ4sin sin cos 12212125θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以22πππ47cos 2cos 22cos 1216612525θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得ππππ7sin 2sin 2cos 2326625θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：C.10．已知tan 2α=，则213cos sin2αα-=（）A ．12B ．14C ．2D ．4【答案】A【详解】因为tan 2α=，所以222213cos sin 2cos tan 221sin22sin cos 2tan 42αααααααα---====，故选：A.11．化简：()22sin πsin 22cos 2ααα-+=（）A ．sin αB ．sin 2αC ．2sin αD ．sin2α【答案】C【详解】根据题意可知，利用诱导公式可得()222sin πsin 22sin sin 22cos 2cos 22αααααα-++=再由二倍角的正弦和余弦公式可得()()222sin 1cos 2sin 1cos 2sin sin 22sin 1cos 2cos2cos22αααααααααα+++===+，即()22sin πsin 22sin 2cos2αααα-+=.故选：C12．cos78cos18sin 78sin18︒︒+︒︒的值为（）A ．12B ．13CD【答案】A【详解】依题意由两角差的余弦公式可知，()1cos78cos18sin 78sin18cos 7818cos602︒︒+︒︒=︒-︒==.故选：A13．若tan 2θ=-，则()()()πsin 1sin22sin πcos πθθθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-++____________【答案】35-/-0.6【详解】()()()()22πsin 1sin2cos sin cos 2cos sin cos sin πcos πsin cos θθθθθθθθθθθθ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭==--++-22222tan 1213cos sin 1tan 1(2)5cossin cos θθθθθθ-=---===-+++-，故答案为：35-14．已知ππ2θ<<，且4cos 5θ=-，则tan 2θ=______．【答案】247-【详解】4cos 5θ=-，3sin 5θ==±，ππ2θ<< ，3sin 5θ∴=.sin 3tan cos 4θθθ∴==-,232tan 242tan 291tan 7116θθθ-===---.故答案为：247-.15．已知cos 24π7sin 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则sin 2α的值是______．【答案】4149【详解】22cos 2442cos sin π777sin 422αααα=⇒⇒-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭228841cos 2sin cos sin 1sin 2sin 2494949αααααα⇒-+=⇒-=⇒=，故答案为：414916．已知()0,απ∈，若sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________.【答案】3±【详解】因为sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()0,απ∈，所以cos 6πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭所以sin 2=2sin cos =6663πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫---±⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以cos 2cos 2cos 2sin 2=6326263ππππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=--± ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.故答案为：17．若3,0,sin 25⎛⎫∈-=- ⎪⎝⎭x x π，则tan 2x =________.【答案】247-【详解】343,0,sin cos ,tan 2554x x x x π⎛⎫∈-=-∴==-⎪⎝⎭Q 232tan 242tan 291tan 7116x x x -∴===---故答案为：247-18．已知(),2αππ∈，cos 3sin 1αα-=，则cos 2α=_______________________．【答案】【详解】因为(),2αππ∈，所以,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由cos 3sin 1αα-=可得212sin 6sin cos 1222ααα--=，整理可得sin 3cos 22αα=-，22sin 3cos 22sin cos 12222ααααπαπ⎧=-⎪⎪⎪+=⇒⎨⎪⎪<<⎪⎩cos 2α=故答案为：19．若πcos 0,,tan 22sin αααα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则α=__________.【答案】6π/16π【详解】依题意，πcos 0,,tan 22sin αααα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，所以2222tan 1,2tan 1tan 1tan tan ααααα==--，21tan 3α=，而α为锐角，所以πtan 6αα=.故答案为：π620．已知tan 3α=，则sin 2α=______．【答案】35【详解】22222sin cos 2tan 233sin 2sin cos tan 1315ααααααα⨯====+++.故答案为：3521．已知α是第二象限的角，1cos24α=，则tan α=________．【答案】5/【详解】因为21cos 212sin 4αα=-=，又α是第二象限的角，所以6sin 4α=，cos 4α=，所以5tan α=-.故答案为：5-22．已知22cos 5sin 10αα-+=，则cos 2=α______．【答案】12/0.5【详解】解：已知()2222cos 5sin 121sin 5sin 12sin 5sin 30αααααα-+=--+=--+=，即()()22sin 5sin 32sin 1sin 30αααα+-=-+=，解得1sin 2α=或sin 3α=-（舍），211cos 212sin 1242αα∴=-=-⨯=，故答案为：12.23．若tan 2θ=，则sin cos 2cos sin θθθθ=-_________.【答案】65/1.2/115【详解】()()22sin cos sin sin cos 2sin cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθθθ-==+--222222sin cos sin tan tan 246sin cos sin sin cos tan 155θθθθθθθθθθθ+++=+====++.故答案为：65.24．函数()sin 2sin 1cos x xf x x=+的值域__________．【答案】14,2⎛⎤- ⎥⎝⎦【详解】因为()()222221cos cos sin 2sin 2sin cos 11=2cos 2cos 2cos 1cos 1cos 1cos 22x x x x x x f x x x x x x x -⎛⎫===-+=--+ ⎪+++⎝⎭，因为1cos 1x -≤≤，当1cos 2x =时，()f x 取得最大值12，当cos 1x =-时，()f x 取得最小值4-，又因为1cos 0x +≠，所以()f x 的值域为14,2⎛⎤- ⎝⎦．故答案为：14,2⎛⎤- ⎥⎝⎦.25．已知sin 2cos αα=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan α=________．【详解】sin 2cos 2sin cos αααα==，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 0α≠，1sin 2α=，π6α=，故tan α=26．（1）计算：cos157sin 97sin 60cos 97︒+︒︒︒；（2）已知tan 1α=-，求2cos 2sin cos 1ααα--的值．【答案】（1）12；（2）12【详解】（1）cos157sin 97sin 60cos97︒+︒︒︒()cos 9760sin 97sin 60cos 97︒+︒+︒︒=︒cos 97cos 60sin 97sin 60sin 97sin 60cos 97︒︒-︒︒+︒︒=︒cos 60=︒12=．（2）2cos 2sin cos 1ααα--222cos 2sin cos 1cos sin ααααα-=-+212tan 11tan αα-=-+()()2121111-⨯-=-+-12=．。
高中数学三角函数及三角恒等变换精选题目(附解析)
高中数学三角函数及三角恒等变换精选题目（附解析） 一、三角函数的定义若角α的终边上任意一点P (x ，y )(原点除外)，r ＝|OP |＝x 2＋y 2，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x (x ≠0)．1.已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin α＝________，tan α＝________.[解析] ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos θ＜0，∴r ＝x 2＋y 2＝9cos 2θ＋16cos 2θ＝－5cosθ，故sin α＝y r ＝－45，tan α＝y x ＝－43.[答案] －45 －43 注：利用三角函数定义求函数值的方法当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线时，一般先根据三角函数的定义求这个角的三角函数值，再求其他．但当角经过的点不固定时，需要进行分类讨论．求与正切函数有关问题时，不要忽略正切函数自身的定义域．2．已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，且角θ的终边所在的直线过点M ，则tan θ＝( )A ．－13 B ．±13 C ．－3D ．±3解析：选C 因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，所以a ＝log 313＝－1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，所以tan θ＝－113＝－3，故选C.3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35D.45解析：选B 在角θ的终边上任取一点P (a,2a )(a ≠0)． 则r 2＝|OP |2＝a 2＋(2a )2＝5a 2. 所以cos 2θ＝a 25a 2＝15，cos 2θ＝2cos 2 θ－1＝25－1＝－35.4．若θ是第四象限角，则点P (sin θ，tan θ)在第________象限． 解析：∵θ是第四象限角，则sin θ＜0，tan θ＜0， ∴点P (sin θ，tan θ )在第三象限． 答案：三二、同角三角函数的基本关系及诱导公式①牢记两个基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．②诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．5.已知2＋tan (θ－π)1＋tan (2π－θ)＝－4，求(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)的值．[解] 法一：由已知得2＋tan θ1－tan θ＝－4，∴2＋tan θ＝－4(1－tan θ)， 解得tan θ＝2.∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ ) ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θ ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝4tan θ－tan2θ－3tan2θ＋1＝8－4－34＋1＝15.法二：由已知得2＋tan θ1－tan θ＝－4，解得tan θ＝2.即sin θcos θ＝2，∴sin θ＝2cos θ.∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝(2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ)＝cos2θ＝cos2θsin2θ＋cos2θ＝1tan2θ＋1＝15.注：三角函数式的求值、化简、证明的常用技巧(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形．(2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再变形化简．(3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将“1”代换为三角函数式．6．若sin(π＋α)＝35，且α是第三象限角，则sin⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin⎝⎛⎭⎪⎫π2－α－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝()A．1B．7 C．－7 D．－1解析：选B由sin(π＋α)＝35，得sin α＝－35.又α是第三象限角，所以cos α＝－4 5，所以sin⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin⎝⎛⎭⎪⎫π2－α－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－45－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝7.7．已知sin θ＋cos θ＝43，且0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B ．－23 C.13D ．－13解析：选B ∵sin θ＋cos θ＝43，∴1＋2sin θcos θ＝169，则2sin θcos θ＝79.又0＜θ＜π4，所以sin θ－cos θ＜0，故sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2＝－1－2sin θcos θ＝－23，故选B.8．已知α为第三象限角，且sin α＋cos α＝2m,2sin αcos α＝m 2，则m 的值为________．解析：由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，得4m 2＝1＋m 2，即m 2＝13.又α为第三象限角，所以sin α<0，cos α<0，则m <0，所以m ＝－33.答案：－339．已知sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋β，cos(π－α)＝63cos(π＋β)，且0＜α＜π，0＜β＜π，求sin α和cos β的值．解：由已知，得sin α＝2sin β，① 3cos α＝2cos β，②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2， 即sin 2α＋3(1－sin 2α)＝2，所以sin 2α＝12. 又0＜α＜π，则sin α＝22. 将sin α＝22代入①，得sin β＝12.又0＜β＜π，故cos β＝±32.三、简单的三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ①sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； ②cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； ③tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.二倍角的正弦、余弦、正切公式 ①sin 2α＝2sin αcos α；②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； ③tan 2α＝2tan α1－tan 2α.10.已知tan α＝2. (1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．[解] (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1.注：条件求值的解题策略(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角． (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．11．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )A.35 B.45 C.74D.34解析：选D 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34.12．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2＜α＜0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π3等于( )A ．－45 B ．－35 C.35D.45解析：选D 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3＝－435，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3sin π3＝－435，所以32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－435，所以－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－435，即－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π3＝－435，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝45，故选D.13．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A ．－79B ．－29 C.29D.79解析：选A 将sin α－cos α＝43的两边进行平方，得sin 2 α－2sin αcos α＋cos 2α＝169，即sin 2α＝－79.14．已知向量a ＝(1，－3)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，2cos 2x 2－1，函数f (x )＝a ·b .(1)若f (θ)＝0，求2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值；(2)当x ∈[0，π]时，求函数f (x )的值域．解：(1)∵a ＝(1，－3)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，2cos 2x 2－1，∴f (x )＝a ·b ＝sin x －3⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2－1＝sin x －3cos x .∵f (θ)＝0，即sin θ－3cos θ＝0，∴tan θ＝3，∴2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－tan θtan θ＋1＝1－33＋1＝－2＋ 3.(2)由(1)知f (x )＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，∵x ∈[0，π]，∴x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )min ＝－3； 当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，f (x )max ＝2，∴当x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域为[－3，2]．。
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知中，那么角=【答案】π/4【解析】略2.已知f(α)＝(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α－)＝，求f(α)的值．【答案】(1)f(α)＝＝－cosα.(2)∵α是第三象限角，且cos(α－)＝－sinα＝，∴sinα＝－，∴cosα＝－＝－，∴f(α)＝－cosα＝.【解析】略3.已知函数为奇函数，且，其中（1）求的值;（2）若，求的值．【答案】（1） , ；（2）【解析】（1）由为奇函数，可得，函数化为，又根据可求；（2）由（1）可得，由得又因为，所以，再根据两角和的正弦可求试题解析：因为为奇函数，所以，，则（2），因为，即又因为，所以，【考点】函数的奇偶性，三角函数的性质4.设命题函数是奇函数；命题函数的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（）A．为真B．为假C．为假D．为真【答案】C【解析】因为是偶函数，所以命题是假命题，由余弦函数的性质可知命题是假命题，选项C正确.【考点】1.三角函数性质；2.逻辑联结词与命题.5.（本小题满分12分）某同学用五点法画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：5-5（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；（2）若函数的图像向左平移个单位后对应的函数为，求的图像离原点最近的对称中心．【答案】（1）；（2）．【解析】第一问结合三角函数的性质，确定出对应的值，完善表格，从而确定出函数解析式，第二问利用图形的平移变换，将函数的解析式求出来，利用函数的性质，找出函数图像的对称中心，给赋值，比较从而确定出离原点最近的对称中心．试题解析：（1）根据表中已知数据，解得数据补全如下表：050-50函数表达式为（2）函数图像向左平移个单位后对应的函数是，其对称中心的横坐标满足，所以离原点最近的对称中心是．【考点】三角函数的性质，图像的变换．6.（本小题满分10分）已知函数．（1）求的最小正周期；（2）设，求的值域和单调递减区间．【答案】（1）；（2）【解析】（1）先根据二倍角公式和两角和与差的公式进行化简，再求出周期即可；（2）先根据x的范围求得，再结合正弦函数的性质可得到函数f（x）的值域，求得单调递减区间．试题解析：（1）（2）∵，，的值域为．的递减区间为．【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性7.（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，已知，向量，且∥．（1）求角的大小；（2）若成等差数列，求边的大小．【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用数量积运算、正弦定理即可得出；（2）由成等差数列，可得，或，即2a=b．再利用直角三角形的边角关系、余弦定理即可得出．试题解析：（1）∥，得，由正弦定理可得，（2）成等差，所以化简整理得：即或得或若若【考点】正弦定理；平面向量数量积运算8.在中，角所对的边为．已知，且．（1）求的值；（2）当时，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据已知条件中的式子，结合正弦定理，将其化为的方程，即可求解；（2）利用已知条件，结合余弦定理，可求得，的值，再利用三角形面积计算公式即可求得的值．试题解析：（1）∵，∴①，又∵，∴②，联立①②，即可求得，；（2）由（1）结合余弦定理可知，或，由已知易得，∴，∴，．【考点】1．正余弦定理解三角形；2．三角恒等变形．9.（本题满分12分）已知，,函数．（1）求的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标；（2）当时，求函数的值域．【答案】（1）的最小正周期为，其对称中心的坐标为（）（）；（2）的值域为．【解析】（1）先用降幂公式和辅助角公式，将进行化简整理得到，然后根据正弦函数的周期公式可得函数的最小正周期，进而求出函数的零点，即为函数的图像对称中心的坐标；（2）根据可得到，最后结合正弦函数的图像与性质可得函数的值域．试题解析：（1）因为=，所以的最小正周期为，令，得，∴故所求对称中心的坐标为（）（）．（2）∵，∴，∴，即的值域为．【考点】1、三角函数中的恒等变换；2、三角函数的周期性及其求法；3、正弦函数的图像及其性质．【方法点晴】本题考查了三角函数中的恒等变换、三角函数的周期性及其求法和正弦函数的图像及其性质，重点考查学生对三角函数的基本概念、基本性质和基本原理，属中档题．解决这类问题最关键的一步是运用降幂公式、倍角公式及三角函数的和差公式等将函数的表达式化简为同角的正弦或余弦形式．因此需要大家应熟练掌握相关公式并结合三角函数的图像及其性质进行求解．10.若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得：，解得，选A．【考点】正切函数性质11.（本小题满分12分）已知向量，．（1）当时，求的值；（2）设函数，已知在中，内角、、的对边分别为、、，若，，，求当时，的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中，利用，得出，把转化为的式子，从而求解；（2）熟悉三角公式的整体结构，灵活变换，要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形，把形如化为，研究函数的性质由的取值范围确定的取值范围，再确定的取值范围．试题解析：（1），，，（2）由正弦定理得，得或，，因此，，即．【考点】1、同角三角函数的基本关系；2、三角函数的化简；3、求三角函数的值域．12.（2012秋•泰安期中）已知函数f（x）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+（ω＞0），直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若f（α）=，求sin（π﹣4α）的值．【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）﹣．【解析】（I）利用二倍角公式即辅助角公式，化简函数，利用直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为，可得函数的最小正周期为π，根据周期公式，可求ω的值；（II）利用正弦函数的单调性，可得函数f（x）的单调增区间；（III）由f（a）=，可得sin（2a+）=，根据sin（π﹣4a）=sin[﹣2（2a+）]=﹣cos[2（2a+）]=2sin2（2a+）﹣1，即可求得结论．解：（I）∵f（x）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）∵直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为，∴函数的最小正周期为π∴=π∴ω=1；（II）由（I）知，f（x）=2sin（2x+）∴﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z∴﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z∴函数f（x）的单调增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；（III）∵f（a）=，∴sin（2a+）=∴sin（π﹣4a）=sin[﹣2（2a+）]=﹣cos[2（2a+）]=2sin2（2a+）﹣1=﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．13.已知向量，且函数在时取得最小值．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在中，分别是内角的对边，若，，，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用向量的数量积公式，结合辅助角公式，求的值；（Ⅱ）先求出，再利用正弦定理，即可求的值．试题解析：（Ⅰ）由于（Ⅱ）由上知,于是由正弦定理得:【考点】正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数，向量的数量积14.已知，函数在单调递减，则的取值范围是．【答案】【解析】，，由题意，所以，由于，所以只有，．【考点】三角函数的单调性．【名师】求形如y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）（其中A≠0，ω＞0）的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx＋φ（ω＞0）”视为一个“整体”；②A＞0（A＜0）时，所列不等式的方向与y＝sin x（x∈R），y＝cos x（x∈R）的单调区间对应的不等式方向相同（反）．15.（2015秋•南京校级期中）将函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得的图象关于直线x=对称，则m的最小值为．【答案】【解析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得m的最小值．解：将函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象向左平移m个单位（m＞0），可得y=2sin[2（x+m）﹣]=2sin（2x+2m﹣）的图象．∵所得的图象关于直线x=对称，∴2•+2m﹣=kπ+，k∈Z，即 m=+，k∈Z，则m的最小值为，故答案为：．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．16.（2015秋•昌平区期末）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）函数f（x）的单调递减区间是．）【解析】（Ⅰ）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简，即可求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）利用三角函数的单调性即可求函数f（x）的单调递减区间．解：（Ⅰ）==所以最小正周期．（Ⅱ）由，得．所以函数f（x）的单调递减区间是．）【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．17.已知函数．（1）求的最小正周期和在上的单调递减区间；（2）若为第四象限角，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）对的表达式进行三角恒等变形，利用三角函数的性质即可求解；（2）利用同角三角函数的基本关系求得的值后即可求解．试题解析：（1）由已知，所以最小正周期，由，得，故函数在上的单调递减区间；（2）因为为第四象限角，且，所以，所以．【考点】三角函数综合．18.已知是第二象限角，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由,得，又∵是第二象限角,∴，∴原式=；故选C．【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系式．19.在中，角所对的边分别为，且，则的最大值为_____.【答案】【解析】由及正弦定理得，又因为，于是可得，所以，所以，则的最大值为，故答案填.【考点】1、正弦定理；2、两角和与差的三角函数；3、基本不等式.20.将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，得，再向左平移个单位，得，令，解得，令，得，即所得函数图象的一条对称轴的方程是，故选D．【考点】三角函数的图象变换与三角函数的性质．21.设平面向量.（1）若，求的值；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先利用向量数量积的坐标表示求出，利用商数关系求出得值，再利用二倍角公式求出的值，最后代入到的展开式即可求得；（2）欲求，先求出，再根据求的范围，从而可得的取值范围.试题解析：（1）因为，所以，∴，∴.（2），，.【考点】1、向量数量积的坐标表示；2、二倍角公式；3、三角函数；4、商数关系；5、向量的模．22.设中的内角所对的边长分别为，且.（1）当时，求角的度数；（2）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）求出,再由正弦定理求出,求出角；（2）求三角形面积的最大值,即求的最大值,由,,求出,就可以求出面积的最大值.试题解析：解：（1）因为，所以.因为，由正弦定理可得.因为，所以是锐角，所以.（2）因为的面积，所以当最大时，的面积最大.因为，所以.因为，所以，所以（当时等号成立）.所以面积的最大值为.【考点】1.正弦定理；2.余弦定理；3.重要不等式.23.在中，内角的对边为，已知.（1）求角的值；（2）若，且的面积为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】根据正弦定理可得，根据内角和定理和两角和的正弦公式整理可得，即得角的值；（2）由的面积为，求得的值，根据余弦定理表示构造的另一个方程，解方程组即可求得.试题解析：（1）∵，∴，∴，即，∴，∴，又∵是三角形的内角，∴（2）∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴【考点】正余弦定理解三角形.24.的三个内角满足：，则（）A．B．C．D．或【答案】B【解析】由已知条件以及正弦定理可得：，即，再由余弦定理可得，所以，故选B.【考点】正弦定理、余弦定理.25.在中，角，，的对边分别是，，，已知，．（I）求的值；（II）若角为锐角，求的值及的面积．【答案】（I）；（II）【解析】（I）根据题意和正弦定理求出a的值；（II）由二倍角的余弦公式变形求出sin2A，由A 的范围和平方关系求出cosA，由余弦定理列出方程求出b的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．试题解析：（I）因为，且，所以．因为，由正弦定理，得．（II）由得．由余弦定理，得．解得或（舍负）．所以．【考点】正弦定理；余弦定理26.如图所示的是函数和函数的部分图象，则函数的解析式是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】由题意得，，故排除B，D；又∵，故排除A，故选C.【考点】三角函数的图象和性质．27.已知，则=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A．【考点】和差倍半的三角函数．28.在中，角所对的边分别为,．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求的面积．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）先根据正弦定理将边统一成角：，再利用三角形内角关系、诱导公式、两角和正弦公式将三角统一成两角：，最后根据同角三角函数关系将弦化切：（Ⅱ）由（Ⅰ）易得，已知两角一对边，根据正弦定理求另一边：，利用三角形内角关系求第三角的正弦值：，最后根据面积公式求面积：试题解析：解：（Ⅰ）由及正弦定理得.所以,所以.（Ⅱ）,所以, ,,所以的面积为.【考点】正弦定理，弦化切【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.29.同时具有性质“①最小正周期是，②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，函数的最小周期为，则，又函数图象关于直线对称，则函数为函数的最小值，则只有B、C满足，由当时，，则函数是单调递增函数，故选C．【考点】三角函数的性质．30.若函数的最大值为5，则常数______.【答案】【解析】，其中，故函数的最大值为，由已知得，，解得.【考点】三角函数的图象和性质.【名师】解决三角函数性质问题的基本思路是通过化简得到，结合角的范围求解.. 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.31.定义在区间[0，]上的函数的图象与的图象的交点个数是 .【答案】7【解析】由，因为，所以故两函数图象的交点个数是7.【考点】三角函数图象【名师】求函数图象的交点个数，有两种方法：一是直接求解，如本题，解一个简单的三角方程，此方法立足于易于求解；二是数形结合，分别画出函数图象，数出交点个数，此法直观，但对画图要求较高，必须准确，尤其是要明确函数的增长幅度.32.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=（A）（B）（C）2 （D）3【答案】D【解析】由余弦定理得，解得（舍去），选D.【考点】余弦定理【名师】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！33.将函数y=2sin（2x+）的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x–）D．y=2sin（2x–）【答案】D【解析】函数的周期为，将函数的图像向右平移个周期即个单位，所得图像对应的函数为，故选D.【考点】三角函数图像的平移【名师】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减”；二是平移多少个单位是对x而言的,不要忘记乘以系数.34.如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，D在边AC上，已知BC＝2，CD＝1，∠ABD＝45°，则AD＝．【答案】5【解析】，，所以，．【考点】解三角形．【名师】在解直角三角形时，直角三角形中的三角函数定义是解题的桥梁，利用它可以很方便地建立边与角之间的关系．35.设函数的部分图象如图所示，直线是它的一条对称轴，则函数的解析式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为直线是它的一条对称轴，排除B，D，因为图象过点，排除选项A,选C.【考点】三角函数图象与性质.36.在中，角，，的对边分别为，，，且满足，则角等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，所以，故应选A。
专题04：三角函数与三角恒等变换(解析版)
专题04：三角函数与三角恒等变换一、单选题1．（2021·山西晋中市·高三二模（文））已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则使()()0f a x f a x +--=成立的a 的最小正值为（ ）A ．6πB ．5π C ．4π D ．3π 【答案】A【分析】利用五点作图法求出2422,11k k ω+=∈Z ，结合21112T ππω=>求出ω，将()()0f a x f a x +--=转化为函数()f x 关于直线x a =对称，根据正弦函数的图象的对称轴得到,26n a n ππ=+∈Z ，则可得到a 的最小正值. 【解答】由图象可知11012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即11sin 0126ππω⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭， 由五点作图法可知1122,126k k ππωππ⋅+=+∈Z ，解得2422,11k k ω+=∈Z ， 又由图象可知21112T ππω=>，所以2411ω<，又0>ω，所以0,2k ω==．所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因为()()0f a x f a x +--=，所以函数()f x 关于直线x a =对称， 即有2,62a n n πππ+=+∈Z ，解得,26n a n ππ=+∈Z ， 所以a 的最小正值为6π. 故选：A ．【点评】关键点点睛：利用五点作图法以及周期求出ω是本题解题关键.2．（2021·江西高三其他模拟（理））若等差数列{}n a 满足22132a a +=，且11a ≥，求2312a a a a ++的取值范围（ ） A ．(1,1)- B ．[1,1]- C ．(,1)(1,)-∞-+∞ D ．(,1][1,)-∞-+∞【答案】B【分析】设132cos 2sin a a θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，[,)θππ∈-，根据11a ≥求出θ的范围，利用等差中项的性质得到2a ，再利用同角公式可求得结果.【解答】设132cos 2sin a a θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，[,)θππ∈-，又∵11a ≥，∴2cos 1θ≥，即2cos [,1]2θ∈，∴,44ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴13222cos sin 222a a a θθ+==+， ∴231222cos sin 2sin 3sin cos 3tan 18223sin 3cos tan 3tan 3222cos cos sin 22a a a a θθθθθθθθθθθθθ+++++====-++++++，又∵,44ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以tan [1,1]θ∈-，所以83[1,1]tan 3θ-∈-+， ∴2312[1,1]a a a a +∈-+． 故选：B【点评】关键点点睛：利用三角换元化为三角函数求解是解题关键. 3．（2021·江苏高三一模）函数sin |21|xy x π=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】确定函数图象关于直线12x=对称，排除AC，再结合特殊的函数值的正负或函数零点个数排除B，得出正确结论．【解答】函数定义域是1|2x x⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭，由于21y x=-的图象关于直线12x=对称，siny x=π的图象也关于直线12x=对称，因此()f x的图象关于直线12x=对称，排除AC，siny x=π有无数个零点，因此()f x也有无数个零点，且当x→+∞时，()0f x→，排除B．故选：D．【点评】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三一模（文））若1sin cos5αα+=，()0,απ∈，则1tan21tan2αα+=-（）A．3-B．13-C．13D．3【答案】A【分析】先求出43sin,cos55αα==-，1tan201tan2αα+<-，再求出21tan2()91tan2αα+=-，即得解.【解答】由已知得1sin cos5αα+=，()0,απ∈，联立22sin cos1αα+=，得4333sin ,cos ,,tan 155244282ππαααααππ==->∴<<∴<<∴>.所以1tan 201tan2αα+<-.sin21+1tan cos cos sin 22221tansin cossin22221cos2αααααααααα++==---,所以221tan cos sin1sin 222()()91sin 1tan cos sin 222αααααααα+++===---, 所以1tan 231tan 2αα+=--.故选：A【点评】关键点睛：解答本题的关键是通过已知分析出324παπ<<，得到1tan201tan 2αα+<-. 解答三角函数求值时，如果出现多解，经常要挖掘题目中的隐含范围解答.5．（2021·安徽淮南市·高三一模（文））已知函数()0()cos f x x x =≥，方程()f x kx =恰有两个根，记较大的根为θ，则sin 2θ=（ ） A ．21θθ+ B ．21θθ-+ C ．221θθ- D ．221θθ-+ 【答案】D【分析】将方程的根转化为两个函数图像的交点问题，结合导数知识求取切线方程，再结合三角计算可得. 【解答】如图所示：函数()0()cos f x x x =≥的图像与()f x kx =恰有两个交点，且最大的根为θ，则函数()f x 在x θ=处的切线为y kx =，显然,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()cos cos f x x x =-=，则()sin f x x '=，切点坐标为(),cos θθ-所以由点斜式得切线方程为()cos sin y x θθθ+=-即sin sin cos y x kx θθθθ=--= 所以sin cos 0θθθ--=得1tan θθ=-， 22222122sin cos 2tan 2sin 22sin cos sin cos 1tan 111θθθθθθθθθθθθθ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=====+++⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 故选：D6．（2021·江西高三其他模拟（文））已知函数()sin 232f x x x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的最大值是13+B ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是递增的C ．551212f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()f x 向右平移6π后为奇函数【答案】C【分析】由两角差正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质判断各选项．【解答】由题意13()2sin 222sin 2223f x x x x π⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴函数最大值为2，A 错；0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，22,333x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，232x ππ-=，即512x π=时，()f x 取得最大值2，()f x在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上不可能是递增的，B 错，实际上在50,12π⎛⎫⎪⎝⎭上递增，在5,122ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减； 由上面解析知()f x 的图象关于直线512x π=对称，C 正确； ()f x 向右平移6π得2()2sin 2()2sin 2633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫=--=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭不是奇函数，D 错． 故选：C ．【点评】方法点睛：本题考查两角差的正弦公式，二倍角公式，考查正弦函数的性质．此类问题的解题方法是：利用二倍角公式降幂，利用诱导公式、两角和与差的正弦（余弦）公式展开与合并，最终把函数化为()sin()f x A x m ωϕ=++形式，然后结合正弦函数性质求解．7．（2021·安徽黄山市·高三一模（理））已知2tan 4tan 10θθ-+=，则2cos 4πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ） A ．12B ．13C ．14 D ．15【答案】C【分析】由所给等式利用同角三角函数的关系可求得1cos sin 4θθ⋅=，再利用降幂公式及二倍角公式将2cos 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭整理为12sin cos 2θθ-，代入相应值即可得解. 【解答】由2tan 4tan 10θθ-+=可得1tan 4tan θθ+= 所以sin cos 4cos sin θθθθ+=，即22sin cos 4cos sin θθθθ+=⋅，即1cos sin 4θθ⋅= 211cos 2121sin 212sin cos 124cos 422224πθπθθθθ⎛⎫++-⨯⎪--⎛⎫⎝⎭+===== ⎪⎝⎭ 故选：C【点评】关键点睛：本题考查同角三角函数的关系、降幂公式、二倍角公式，解答本题的关键是由条件有1tan 4tan θθ+=，从而可得1cos sin 4θθ⋅=，由21cos 21sin 212sin cos 2cos 4222πθπθθθθ⎛⎫++ ⎪--⎛⎫⎝⎭+=== ⎪⎝⎭可解，属于中档题.8．（2021·湖南长沙市·长郡中学高三二模）已知函数()sin()f x x πϕ=+某个周期的图象如图所示，A ，B 分别是()f x 图象的最高点与最低点，C 是()f x 图象与x 轴的交点，则tan ∠BAC ＝（ ）A ．12B ．47C 255D 76565【答案】B【分析】过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ，设C （a ，0），可得32CD =，11,2AD DE ==，3tan 2CD CAD AD ∠==，1tan 2ED EAD AD ∠==，再利用tan tan()BAC CAD EAD ∠=∠-∠计算即可.【解答】过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ，由题可得周期为2，设(,0)C a ，则1(,1)2B a +-，3(,1)2A a +，所以32CD =，11,2AD DE ==，3tan 2CD CAD AD ∠==，1tan 2ED EAD AD ∠== 所以tan tan tan tan()1tan tan CAD EADBAC CAD EAD CAD EAD∠-∠∠=∠-∠=+∠⋅∠31422317122-==+⨯.故选：B【点评】本题主要考查两角差的正切公式，涉及到正弦型函数图象等知识，考查学生数学运算能力，是一道中档题.9．（2021·云南曲靖市·高三一模（理））若1cos 36πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，且263ππα<<，则7sin 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．70212-B ．70212C ．27012D ．70212【答案】B【分析】利用同角三角函数的基本关系,结合题中α的范围求出sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭,由两角和的正弦公式即可求解.【解答】因为263a ππ<<，所以23ππαπ<+<，sin 03πα⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以sin 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭2135166⎛⎫--= ⎪⎝⎭，∴7sin sin sin cos cos sin12343434πππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭35212262=-⨯=702-故选：B【点评】本题考查同角三角函数的基本关系和两角和的正弦公式;考查运算求解能力;熟练掌握象限角的三角函数符号和两角和的正弦公式是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.10．（2021·山西晋中市·高三二模（理））设()sin 2cos 2f x a x b x =+，其中0,0a b >>，若()6f x f π⎛⎫⎪⎝⎭对任意的x ∈R 恒成立，则下列说法正确的是（ ） A ．7105f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．对任意的x ∈R 有5()06f x f x π⎛⎫+-=⎪⎝⎭成立 C ．()f x 的单调递增区间是2,(k )63k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．存在经过点(,)a b 的直线与函数()f x 的图象不相交 【答案】B【分析】首先把函数解析式变形为正弦型函数，进一步利用函数的性质：函数的对称性/函数最值/函数的单调性的应用判定各选项正确与否.【解答】22()sin 2cos2)tan b f x a x b x x a b a ϕϕ⎫=+=++=⎪⎭，又1sin cos 6332f a b b πππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 由题意()6f x f π⎛⎫⎪⎝⎭对任意的x ∈R 恒成立，且0,0a b >>，312a b +对任意的x ∈R 恒成立，即22223144a b a b +++22323a b ab ⇒+恒成立， 由基本不等式可知22323a b ab +，此时0a =>，所以()sin 2cos 22sin 26f x x b x b x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． 对于A 选项，747132sin 2sin 103030f b b πππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，17132sin 2sin 53030f b b πππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以7105f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误； 对于B 选顼，因为()2sin 26f x b x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以不妨令2,6x k k ππ+=∈Z ，解得,122k x k ππ=-+∈Z ， 当1k =时，512x π=，所以5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心，故B 正确； 对于C 选项，由222,262k x k k πππππ-++∈Z ，知,36k x k k ππππ-+∈Z ，故C 不正确；对于D 选项，由题知0a =>，要使经过点(,)a b 的直线与函数()f x 的图象不相交，则此直线与横轴平行， 又()f x 的振幅为2b b >，所以直线必与()f x 的图象有交点，故D 不正确． 故选：B.【点评】关键点点睛：该题考查的是有关三角函数的性质的问题，正确解题的关键是利用题中条件求得函数解析式.11．（2021·福建高三其他模拟）提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：22sin cos sin()a x b xa b x，πϕπ-<<，下列判断错误的是（ ）A ．当0a >，0b >时，辅助角arctan baϕ= B ．当0a >，0b <时，辅助角arctan b aϕπ=+ C ．当0a <，0b >时，辅助角arctan b a ϕπ=+ D ．当0a <，0b <时，辅助角arctan b a ϕπ=- 【答案】B【分析】分别判断出a ，b 的值，对辅助角ϕ的影响． ①0a >，0b >，则辅助角ϕ在第一象限； ②0a >，0b <，则辅助角ϕ在第四象限； ③0a <，0b <，则辅助角ϕ在第三象限； ④0a <，0b >，则辅助角ϕ在第二象限． 【解答】解：因为cos ϕ=sin ϕ=tan baϕ=，(,]ϕππ∈- 对于A ，因为0a >，0b >，则辅助角ϕ在第一象限02πϕ∴<<，0b a>，arctan (0,)2b a π∴∈，故A 选项正确；对于B ，因为0a >，0b <，则辅助角ϕ在第四象限02πϕ∴-<<；0b a <， arctan (,)2b a πππ∴+∈，故B 选项错误； 对于C ，因为0a <，0b >，则辅助角ϕ在第二象限2πϕπ∴<<；0b a <， arctan (,)2b a πππ∴+∈，故C 选项正确； 对于D ，因为0a <，0b <，则辅助角ϕ在第三象限2ππϕ∴-<<-，0b a <， arctan (,)2b a πππ∴-∈--，故D 选项正确； 故选：B ．【点评】本题考查了三角函数的性质，考查学生的分析能力，属于中档题．12．（2021·江西上饶市·高三其他模拟（理））已知函数()3cos f x x a x =+，0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值为3a ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]0,2 B ．[]22-, C ．(],1-∞ D ．(],3-∞【答案】C【分析】由()()min 30f x a f ==可得出不等式()3cos 3f x x a x a =+≥对任意的0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，化简得出tan 12x ≤，分0a ≤、0a >两种情况讨论，结合max tan 12x ⎫≤⎪⎭可求得实数a 的取值范围.【解答】()03f a =且()()min 30f x a f ==，由题意可知，对任意的0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()3cos 3f x x a x a +≥，()31cos x a x ≥-，即222sin cos 112sinsin 2222x x x x ⎡⎤⎛⎫≥--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，0,3π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ，则0,26x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 02x ∴>，0tan 2x ≤≤tan 12x ≤.当0a ≤tan012x≤≤成立；当0a >时，函数3tan 2x y a =在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则max 1y a =≤，此时01a <≤.综上所述，实数a 的取值范围是(],1-∞. 故选：C.【点评】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥. 13．（2021·山西吕梁市·高三一模（文））函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭部分图象如图所示，则3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A 3B ．12C ．3D 3【答案】D【分析】由函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象知，2A =，2411333T ππ=-，结合2T πω=， 求出12ω=，又根据2122sin 2323f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求得6π=ϕ，即可求得()f x 解析式，代入计算3f π⎛⎫⎪⎝⎭即可. 【解答】由函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象知，2A =，11233334T πππ=-=， 解得24T ππω==，∴12ω=，又2122sin 2323f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 可得122232k ππϕπ⨯+=+，Z k ∈， 解得26k πϕπ=+，Z k ∈，∵||2ϕπ<，∴可得6π=ϕ， ∴1()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴12sin 2sin 32363f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D.【点评】思路点睛：利用三角函数的图象求三角函数的解析式，通常先结合图象看振幅、周期，求得A ，ω，再利用特殊点（最高点、最低点、零点）求初相ϕ，即得解析式.14．（2021·安徽淮南市·高三一模（理））在平面直角坐标系xOy 中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O 交于点()00,P x y ，若cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭35，则0x =（ ）A ．310- B C ．410D ．310【答案】C【分析】根据α为第四象限角，再结合cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭35，确定6πα+的范围，进而确定sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后由0cos cos 66x ππαα⎡⎤⎛⎫==+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦求解．【解答】∵,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴,636πππα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，又3cos 652πα⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，所以,063ππα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以4sin 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∴0cos cos cos cos sin sin 666666x ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．341552=-⨯=故选：C【点评】易错点点睛：本题容易忽视6πα+的范围，而导致sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭出错.二、填空题15．（2021·陕西榆林市·高三二模（文））关于函数()4sin 6f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有如下四个命题：①()f x 的最小正周期为2； ②()f x 的图象关于点7,06⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③若()()f a x f a x -=+，则a 的最小值为23；④()f x 的图象与曲线12506y x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭共有4个交点． 其中所有真命题的序号是__________． 【答案】①②④【分析】结合正弦函数的性质判断各命题的真假． 【解答】由图可得：22ππ=，()f x 的最小正周期为2，①正确；7()4sin 0666f ππ7⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()f x 的图象关于点7,06⎛⎫⎪⎝⎭对称，②正确； 离y 轴最近的对称轴为13x =-，所以若()()f a x f a x -=+，则a 的最小值为13，③错误；在y 轴右边离y 最近的对称为23x =，2()43f =，而134223=<，1y x =在(0,)+∞上是减函数，因此()f x 的图象在第一象限每个周期内与1y x=的图象都有两个交点，在区间113(,)66上有两个交点，在区间1325(,)66上有两个交点，从而在25(0,)6上有4个交点，④正确；故答案为：①②④．【点评】思路点睛：本题考查正弦型三角函数的性质，解题方法是利用正弦函数性质求得()f x 的最小正周期，对称中心，对称轴，利用周期性确定函数图象交点个数，最终得出结论．16．（2021·辽宁高三一模（理））关于函数()2sin sin 2f x x x =+有如下四个命题： ①()f x 的最小正周期为2π； ②()f x 在[0,2]π内有3个极值点； ③()f x 在[0,2]π内有3个零点； ④()f x 的图象关于直线3x π=对称.其中所有真命题的序号为___________. 【答案】①③【分析】根据函数周期的求法，可判定①正确；利用导数和极值的定义，可判定②不正确；根据函数零点的定义和求法，可判定③正确；根据函数的对称性的判定方法，可判定④不正确.【解答】由函数sin y x =的最小正周期为2π，函数sin 2y x =的最小正周期为π， 所以函数()2sin sin 2f x x x =+的最小正周期为两个函数周期的最小公倍数， 所以函数()f x 的最小正周期为2π，所以①正确；由()22cos 2cos22cos 4cos 22(2cos 1)(cos 1),[0,2]f x x x x x x x x π'=+=+-=-+∈，因为cos [1,1]x ∈-，可得cos 10x +≥，当[0,)3x π∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当5(,)33x ππ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当5(,2]3x ππ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；所以当3x π=时，函数()f x 取得极大值，当53x π=时，函数()f x 取得极小值， 即()f x 在[0,2]π内有2个极值点，所以②不正确；令()0f x =，即2sin sin 22sin (1cos )0x x x x +=+=，解得sin 0x =或cos 1x =-， 因为[0,2]x π，所以0,,2x ππ=，即()f x 在[0,2]π内有3个零点，所以③正确；由2()2sin()sin[2()]4sin()cos ()()3333623x f x x x x f x ππππππ-=-+-=--≠+， 所以④不正确. 故答案为：①③【点评】解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.17．（2021·湖南长沙市·长郡中学高三二模）如图，某湖有一半径为100m 的半圆形岸边，现决定在圆心O 处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距200m 的点A 处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B 以及湖中的点C 处，再分别安装一套监测设备，且满足AB AC =，90BAC ∠=︒.定义：四边形OACB 及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设AOB θ∠=.则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为___________.【答案】()210000525000m【分析】先用θ表示54cos AB θ=-⋅θ表示出25100sin 2cos 2OACB S θθ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，最后运用两角和差的正余弦公式求最值即可.【解答】在OAB 中，AOB θ∠=，100OB =，200OA =，2222cos AB OB OA OB OA AOB ∴=+-⋅⋅∠，即AB = 211sin 22OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ∴=+=⋅⋅⋅+⋅△△，25100sin 2cos 2OACB S θθ⎛⎫∴=--+ ⎪⎝⎭令tan 2ϕ=，则()251002OACB S θϕ⎤=-+⎥⎦∴直接监测覆盖区域”面积的最大值为()225000m .故答案为：()225000m【点评】思路点睛：本题利用余弦定理、三角形面积公式、求sin cos a b θθ+的最值. 18．（2021·江西高三其他模拟（文））若将函数()cos sin cos sin 0,||662f x x x πππϕωωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++>≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象向右平移6πω个单位得到()g x 图象，且()g x 图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()1g x =-在,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个实数解，则ω的取值范围是___________.【答案】410[,)33【分析】化简函数()sin()6f x x πωϕ=++，结合函数图象变换，得到()sin()g x x ωϕ=+，进而得到sin()6()g x x πω=+，根据题意，转化为in()61s x πω+=-在,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个实数解，得到不等式1241284102233k k k k ωω-<≤+⎧⎪⎨+≤<+⎪⎩，分类讨论，即可求解.【解答】由题意，函数()cos()sin cos sin()sin()666f x x x x πππϕωωϕωϕ=+++=++，函数()f x 的图像向右平移6πω个单位得到()sin[()]sin()66g x x x ππωϕωϕω=-++=+， 因为()g x 图像过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，可得1(0)sin 2g ϕ==，又因为||2πϕ≤，可得6π=ϕ，所以sin()6()g x x πω=+，又由关于x 的方程()1g x =-在,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个实数解，即in()61s x πω+=-在,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个实数解，因为6[],x ππ∈，可得6666x ππππωωπω+≤+≤+，则满足37222,266262k k k k Z πππππππωππωπ-<+≤+≤+<+∈， 可得1241284102233k k k k ωω-<≤+⎧⎪⎨+≤<+⎪⎩，若ω不存在时，则满足412823k k +<+或1012423k k -≥+，解得23k <-或3430k ≥；若ω存在时，则234330k -≤<，当0k =时，可得4841033ωω-<≤⎧⎪⎨≤<⎪⎩，解得41033≤<ω，当1k =时，可得820101633ωω<≤⎧⎪⎨≤<⎪⎩，此时ω不存在，综上可得，ω的取值范围是410[,)33. 【点评】解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.19．（2021·陕西咸阳市·高三一模（理））已知函数()sin(cos )cos(cos )f x x x =+，现有以下命题：①()f x 是偶函数； ②()f x 是以2π为周期的周期函数； ③()f x 的图像关于2x π=对称； ④()f x．其中真命题有________． 【答案】①②④【分析】根据三角函数图象性质逐一进行判断：①根据()f x 写出()f x -，并判断与()f x 关系即可；②写出(2)f x π+，判断与()f x 是否相等；③判断()f x π-与()f x 的关系；④设cos ,[1,1]t x t =∈-，所以sin cos )4y t t t π=+=+，根据t 的取值范围确定最值并判断．【解答】①函数()sin(cos )cos(cos )f x x x =+定义域为R ，关于原点对称，()sin[cos()]cos[cos()]sin(cos )cos(cos )()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数()f x 是偶函数；所以①正确；②(2)sin[cos(2)]cos[cos(2)]sin(cos )cos(cos )()f x x x x x f x πππ+=+++=+=， 所以()f x 是以2π为周期的周期函数；所以②正确；③()sin[cos()]cos[cos()]sin(cos )cos(cos )()f x x x x x f x πππ-=-+-=-+≠， 所以()f x 的图像不关于2x π=对称；所以③错误；④令cos ,[1,1]t x t =∈-，所以sin cos )4y t t t π=+=+，因为[1,1]444t πππ+∈-++，所以42t ππ+=，即4t π=时，max y =()f x；所以 ④正确； 所以真命题为①②④， 故答案为：①②④.【点评】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．20．（2021·河南高三其他模拟（文））已知点O 是ABC 内一点，3,4,AB AC BAO CAO OBC OCA ==∠=∠=∠=∠，则BC =_______________________．【答案】【分析】设BAC α∠=，ABC β∠=，ACB γ∠=，在ABO 和BCO ，由正弦定理得11sin sin 22OA BO αβα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，11sin sin 22CO BOαγα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，两式相比得：2111sin sin sin 222αβαγα⎛⎫⎛⎫=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简后可得2BC AB AC =⋅，即可得解.【解答】12BAO CAO CBO ACO BAC ∠=∠=∠=∠=∠，AO OC∴=设BACα∠=，ABCβ∠=，ACBγ∠=在ABO和BCO，由正弦定理得11sinsin22OA BOαβα=⎛⎫-⎪⎝⎭，11sin sin22CO BOαγα=⎛⎫-⎪⎝⎭两式相比得：2111sin sin sin222αβαγα⎛⎫⎛⎫=-⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()()111cos2sin sin cos cos22αβαγαβγβγα⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=--+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1cos cos cosβγαβγα∴++-=-+又2βγαπα+-=-，()απβγ=-+()()21cos2cos cos2sin2sin sinαβγβγαβγ∴-=--+⇒∴=利用正弦定理得：2BC AB AC=⋅又3,4AB AC==，212BC∴=，23BC∴=故答案为：23【点评】关键点点睛：本题考查三角形求边长，正确运用正弦定理，三角形内角和及三角恒等变换公式是解题的关键，考查学生的数形结合及运算能力，属于一般题. 21．（2021·山东潍坊市·高三一模）某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB的半径为10，60,PBA QAB AQ QP PB∠=∠===，若按此方案设计，工艺制造厂发现，当OP最长时，该奖杯比较美观，此时AOB∠=_______________________．【答案】2π【分析】作OM QP⊥交QP于M，交AB于C，且OC AB⊥，设AOCθ∠=，求出AB、OC，设AQ QP BP x===，作⊥QE AB交AB于E，PF AB⊥交AB于F，可得出10sin x θ=，10cos 53sin OM OC CM θθ=+=+，由勾股定理可得()()2222210cos 53sin 5sin OP OM MP θθθ=+=++然后求最值可得答案.【解答】作OM QP ⊥交QP 于M ，交AB 于C ，且OC AB ⊥，设AOC θ∠=， 则20sin θ=AB ，10cos OC θ=，设AQ QP BP x ===，作⊥QE AB 交AB 于E ，PF AB ⊥交AB 于F ， 因为60PBA QAB ∠=∠=，所以12AE BF x ==，32CM PF x ==， EF QP x ==，所以2AB x =，所以20sin 2AB x θ==，即10sin x θ=，310cos 10cos 53OM OC CM x θθθ=+==+， 所以()()2222210cos 35sin OP OM MP θθθ=+=++222100cos 75sin 1003cos 25sin 1005032θθθθθθ=+++=+，因为[]sin 21,1θ∈-，所以当sin 21θ=即4πθ=时2OP 最大，也就是OP 最长时2AOB π∠=.故答案为：2π. 【点评】本题考查了用三角函数解决几何问题，关键点是作出辅助线利用勾股定理求出2OP ，考查了学生分析问题、解决问题的能力.三、解答题22．（2021·山东潍坊市·高三一模）在①函数()y f x =的图象关于直线3x π=对称，②函数()y f x =的图象关于点,06P π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，③函数()y f x =的图象经过点2,13Q π⎛⎫- ⎪⎝⎭这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．问题：已知函数()sin cos cos sin 0,||2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭最小正周期为π，且 ，判断函数()f x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时的x 值；若不存在，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】答案不唯一，具体见解析【分析】先对函数化简得()sin()f x x ωϕ=+，由函数的最小正周期为π，可得2ω=，则()sin(2)f x x ϕ=+，若选①，则有2()32k k ππϕπ⨯+=+∈Z ，从而可求出ϕ的值，进而可求出函数的解析式，再利用换元法可求得最值；若选②，则有2()6k k πϕπ⨯+=∈Z ，从而可求出ϕ的值，然后利用换元法可求得最值；若选③，则有222()32k k ππϕπ⨯+=-∈Z ，从而可求出ϕ的值，再利用换元法可求最值即可 【解答】解：()sin cos cos sin sin()f x x x x ωϕωϕωϕ=+=+， 由已知函数()f x 的周期2T ππω==，求得2ω=，所以()sin(2)f x x ϕ=+， 若选①，则有2()32k k ππϕπ⨯+=+∈Z ，解得()6k k πϕπ=-∈Z ，又因为2πϕ<，所以，0,6k πϕ==-，所以()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，52,666t x πππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭， 所以当2t π=，即3x π=时，函数()f x 取得最大值，最大值为1．若选②，则有2()6k k πϕπ⨯+=∈Z ，解得()3k k πϕπ=-∈Z ，又因为2πϕ<，所以0,3k πϕ==-，所以()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，220,33t x ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭， 所以当2t π=，即512x π=时，函数()f x 取得最大值，最大值为1． 若选③，则有222()32k k ππϕπ⨯+=-∈Z ，解得112()6k k πϕπ=-∈Z ， 又因为2πϕ<，所以1,6k πϕ==，所以()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，72,626t x πππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭， 显然，函数()f x 在该区间上没有最大值．【点评】关键点点睛：此题考查利用三角函数的性质求函数解析式，考查求三角函数的最值，考查计算能力，解题的关键是根据题意正确的求出函数的解析式，再利用换元法求函数的最值，属于中档题23．（2021·江西上饶市·高三一模（文））已知()22cos sin sin cos 3f x x x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若,46⎛⎫∈- ⎪⎝⎭x ππ，求()y f x =的值域.【答案】（1）5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）(]1,2-. 【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数()f x 的解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解不等式()222232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，可求得函数()f x 的单调递增区间；（2）由,46⎛⎫∈- ⎪⎝⎭x ππ可求出23x π+的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得函数()y f x =的值域.【解答】（1）()()12cos sin 1cos 2sin 2322f x x x x x π⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭112cos sin 2sin 222x x x x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭()211sin 22cos 12sin 22222x x x x =+-++sin 222sin 23x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， 因此，函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）,46x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，22633x πππ-<+<，则1sin 2123x π⎛⎫-<+≤ ⎪⎝⎭，所以，()12f x -<≤，因此，当,46⎛⎫∈- ⎪⎝⎭x ππ时，()y f x =的值域为(]1,2-.【点评】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.24．（2021·山西吕梁市·高三一模（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22cos a b c B -=⋅． （1）求角C ；（2）若2a =，D 是AC 的中点，BD =c ． 【答案】（1）π3C =；（2）2c =.【分析】（1）先利用正弦定理将边转化到角的正弦，结合()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+进行化简1cos 2C =，即求得角C ； （2）CBD 中利用余弦定理求得2b =，判断ABC 是等边三角形，即得到边c . 【解答】解：（1）因为22cos a b c B -=⋅， 由正弦定理得：2sin sin 2sin cos A B C B -=⋅，因为()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，代入上式得，2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B +-=， 即2sin cos sin 0B C B -=，即()sin 2cos 10B C -= 因为ABC 中，sin 0B ≠，所以2cos 1C =，即1cos 2C =， 又因为ABC 中，0C π<<，所以π3C =；（2）依题意，CBD 中，12,,2CB CD b BD ===π3C =，利用余弦定理可得，21114322422b b +-=⨯⨯⨯，即2440b b -+=，解得2b =，ABC 中，2b a ==，π3C =，故ABC 是等边三角形，故2c =. 【点评】思路点睛：一般地，解有关三角形的题目时，通常利用正弦定理或余弦定理对边角关系进行转化，要有意识地已知条件判断用哪个定理更合适. 如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理.25．（2021·安徽六安市·高三一模（文））已知函数()2sin 2sin12xf x x =+-． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把图象向右平移24π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域．【答案】（1）()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）⎡⎢⎣.【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数()f x 的解析式为()4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后解不等式()22242k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，即可求得函数()f x 的单调递增区间；（2）利用三角函数图象变换得出()23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求得23x π-的取值范围，然后利用正弦型函数的基本性质可求得函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【解答】（1）()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由()22242k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得()32244k x k k Z ππππ-+≤≤+∈． ∴函数()f x 的单调增区间为()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到函数24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象 ，再把所得函数图象向右平移24π个单位长度，得到函数()222443g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，可得22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以，sin 213x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，可得函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎢⎣.【点评】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.26．（2021·辽宁高三一模（理））已知函数()2cos 3cos 1f x x x x -+.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别,,a b c .若()1,f C c ==D 为AB 的中点，求CD 的最大值. 【答案】（1）递减区间511[,]1212k k k Z ππππ++∈；（2）32.【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式得到函数()1232x f x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解.（2）()1f C =由，得到sin(2)3C π-=，再由ABC 为锐角三角形，求得3C π=，利用余弦定理得到2222cos a CD BDC =+-⋅∠，222(2cos 22b CD ADC =+-⋅⋅∠，两式相加得到22213)24CD a b =+-（，再利用基本不等式求解.【解答】（1）3()2(1cos 2)12f x x x =-++， 1232x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由3222,232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得：511,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以()f x 递减区间511[,],1212k k k Z ππππ++∈.（2）1())132f C C π=--=由，得sin(2)32C π-=，ABC 为锐角三角形，(0,)2C π∈∴，22(,)333C πππ∴-∈-， 233C ππ∴-=，3C π∴=，由余弦定理得：2222cos a CD BDC =+-⋅∠，2222cos b CD ADC =+-⋅∠， 且cos cos BDC ADC ∠=-∠，两式相加得：22213)24CD a b =+-（，由222232cos a b ab C a b ab =+-=+-，2222221()22a b a b a b +≥+-=+，当a b =时，等号成立， 即22a b +的最大值为6， 所以CD 的最大值为32. 【点评】关键点点睛：本题第二问关键是由CD 为中线，由∠+∠=BDC ADC π，在BDC ，ADC 中，分别利用余弦定理，进而得到22213)24CD a b =+-（求解.27．（2021·湖南永州市·高三二模）已知函数2()2cos122x f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）在ABC 中，角A ､B ､C 所对边分别为a ､b ､c ，若()2f A =，2b =，ABC的面积为ABC 外接圆的面积. 【答案】（1）2π；（2）283π. 【分析】（1）先化简()()sin f x A x ωϕ=+再结合最小正周期公式2T ωπ=即可； （2）由()2f A =得3A π=，结合余弦定理和正弦定理可求得圆半径，故面积可求得.【解答】解：（1）2()2cos1cos 22x f x x x x π⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭2sin 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为2π.（2）因为()22sin 26f A A π⎛⎫=⇒+= ⎪⎝⎭，所以3A π=，由1sin 2ABCSbc A ==12bc =，因为2b =，所以6c =， 由余弦定理得222222cos 28a c b bc A c b bc =+-=+-=，得a =设ABC 外接圆半径为R ，则2sin a R A ==，∴R = 所以ABC 外接圆的面积为2283S R ππ==. 【点评】本题准确应用正余弦定理和面积公式是解题的关键.28．（2021·河北张家口市·高三一模）在ABC 中，cos sin )sin cos B b C b B C -=． （1）求B ；（2）若2c a =，ABC ，求ABC 的周长．【答案】（1）3B π=；（2）2+.【分析】（1cos sin B b A =，根据正弦定理、三角形内角的性质，即可求B ；（2）由三角形面积公式求出a 、c ，再根据余弦定理求b ，即可求ABC 的周长．【解答】（1）由cos sin )sin cos B b C b B C -=，得cos cos sin sin cos B b B C b B C -=，cos sin cos cos sin B b B C b B C =+cos sin()B b B C =+，cos sin B b A =．cos sin sin A B B A =，又sin 0A ≠，sin B B =，即tan B =0B π<<， ∴3B π=．（2）由2,c a ABC =11sin 22223ABCSac B a a ==⨯⨯⨯=，解得3a =，即23c a ==由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得2221242b =+-=⎝⎭⎝⎭，解得2b =．∴ABC 的周长为2233a b c ++=++=+ 【点评】关键点点睛：（1）利用三角恒等变换及正弦定理，将已知条件化简为一个内角的函数值，根据函数值确定角的大小.（2）综合应用正余弦定理求三角形的边，进而求其周长.29．（2021·广东韶关市·高三一模）在①()cos cos cos 0C A A B +=，②()cos23cos 1B A C -+=，③cos sin 3b C B a +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.问题：在ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，若1a c +=，___________，求角B 的值和b 的最小值. 【答案】条件选择见解析；3B π=，b 最小值为12. 【分析】选①，利用三角形的内角和定理、诱导公式以及两角和的余弦公式化简得出tan B =结合()0,B π∈可求得B ，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得b 的最小值；选②，利用三角形的内角和定理、诱导公式以及二倍角的余弦公式求出cos B 的值，结合()0,B π∈可求得B ，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得b 的最小值； 选③，利用正弦定理边角互化、三角形的内角和定理以及两角和的正弦公式化简可求得tan B =结合()0,B π∈可求得B ，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得b 的最小值.【解答】解：若选择①：在ABC 中，有A B C π++=，则由题可得：()()cos cos cos 0A B A A B π-++=⎡⎤⎣⎦，()cos cos cos cos 0A B A B A B -++=，sin sin cos cos cos cos cos 0A B A B A B A B -+-=，sin sin cos A B A B =，又sin 0A ≠，所以sin B B =，则tan B =又()0,B π∈，所以3B π=，因为1a c +=，所以1c a =-，()0,1a ∈. 由余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-22a c ac =+-()()2211a a a a =+---2331a a =-+，()0,1a ∈，又2211324b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 所以，当12a =时，()2min14b =，即b 的最小值为12；若选择②：在ABC 中，有A B C π++=，则由题可得()222cos 13cos 2cos 3cos 11B B B B π---=+-=，解得1cos 2B =或cos 2B =-（舍去）， 又()0,πB ∈，所以3B π=.（剩下同①）若选择③：由正弦定理可将已知条件转化为sin cos sin sin 3B C C B A +=， ()()sin cos s s in cos in sin sin B C C B A B C B C π=+=-+=+⎡⎤⎣⎦，sin sin cos C B C B =，又sin 0C ≠，所以sin B B =，tan B =又()0,B π∈，所以3B π=.（剩下同①）【点评】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；。
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.命题P：实数x满足其中a<0，命题q：实数x满足或且是的必要不充分条件，求a的取值范围【答案】或【解析】本试题主要是考查了充分条件的判定和运用。
由于不等式的解集的关系可知q是P的必要不充分条件，然后利用集合的包含关系得到参数a的范围。
2.已知的图象与直线的两个交点的最短距离是，要得到的图象，只需要把的图象A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】A【解析】由于的图象与直线的两个交点的最短距离是，，，即，将的图象向左平移个单位得到，故答案为A．【考点】函数图象的平移．3.在中，若，则此三角形形状是A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由得则原式可化为，整理得即此三角形为直角三角形【考点】解三角形4.在中，角的对边分别为，，，，则_______．【答案】【解析】由正弦定理得：即，∴，∵，∴．【考点】正弦定理．5.已知，，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设函数，所以．显然，时，，即此时函数为增函数．易知函数为偶函数，所以在时，函数单调递减．又因，所以即，所以，故．选D．【考点】构造函数法并利用单调性解不等式．【方法点睛】题目中条件，启发我们构造函数，而选项从整体上看，是比较与的大小关系的．以上两点结合考虑，应判断函数的单调性，而函数是偶函数，由及单调性直接判断变量与的大小比较难，应利用偶函数的性质得到，从而得到．这样显然答案选D．本题综合性较强、难度较大，要有构造函数的意识，同时要灵活运用函数性质．6.（本题满分12分）已知函数（1）求函数的最小正周期和最大值；（2）求函数单调递增区间【答案】（1）最小正周期为，最大值为；（2）【解析】三角函数问题，一般利用两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式化为一个角的一个三角函数，然后利用正弦函数（或余弦函数）的性质得出结论．试题解析：（1）函数的最小正周期为，函数的最大值为（2）由得函数的单调递增区间为【考点】三角函数的周期、最值、单调区间．7.如图，正五边形的边长为2，甲同学在中用余弦定理解得，乙同学在中解得，据此可得的值所在区间为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意有，即，整理得：，构造函数，因为，，且函数在定义域内为增函数，所以函数有唯一零点在区间上，即方程的解在区间上，所以的值所在区间为，故选C．【考点】1．诱导公式；2．函数与方程；3．零点存在定理．【名师】本题主要考查零点存在定理、函数与方程思想以用诱导公式，属难题．求方程解所在区间通常转化为求函数零点所在区间问题求解，解决函数零点所在区间是通过零点存在定理来实现的，需要注意的是零点存在定理只能解决变号零点的问题．本题由求一个数的了以值区间问题转化为求一个方程的近似解的问题，进一步转化为求函数零点所在区间，体现数学中的转化转化思想．8.已知函数的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）在△中，角的对边分别是，若，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）观察图像可知函数的一条对称轴为，进而求出其最小正周期，于是运用公式可求出的值，再将点代入的解析式即可求出，即可求出函数的解析式；（Ⅱ）运用正弦定理并结合已知，可得，再由三角形的内角和为可得出角的值，进而得出的大小，即可得出的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由的一条对称轴为，从而的最小正周期，故.将点代入的解析式得，又，故，将点代入的解析式得，所以.（Ⅱ）由得，所以，因为，所以，，，，.【考点】1、由函数的图像求函数的解析式；2、正弦定理的应用；3、三角函数的图像及其性质.【易错点睛】本题主要考查了由函数的图像求函数的解析式、正弦定理的应用和三角函数的图像及其性质，属中档题.其解题过程中容易出现以下两处错误：其一是不能仔细观察函数图像，并结合已知条件求出函数的解析式，尤其是求的时候不知道怎么合理取点代值计算，不知道怎么舍去增根，导致出现增根；其二是未能将正弦定理与三角恒等变换结合起来综合运用并准确地进行化简求值.9.设函数，则该函数的最小正周期为，在的最小值为．【答案】，【解析】由题意可知，；，所以，所以在的最小值为．【考点】函数的性质．10.在锐角中，角的对边分别为，已知依次成等差数列，且求的取值范围．【答案】．【解析】由三角形内角和定理和等差中项易求，，根据正弦定理把边，用角的三角函数表示出来，通过三角恒等变换构造正弦型函数，把问题转化为求正弦型函数在给定区间上的值域问题，求角的取值范围时，不要忽略为锐角三角形．试题解析：解：角成等差数列根据正弦定理的又为锐角三角形，则【考点】等差中项、正弦定理、三角恒等变换及正弦型函数值域．11.如图，D，C，B三点在地面同一直线上，，从C，D两点测得A点仰角分别是，则A点离地面的高度AB等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，即，即．故选A．【考点】解三角形．12.将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将函数的图象沿轴向左平移个单位得，又是一个偶函数，所以，根据选项可知的一个可能取值为，故选B.【考点】三角函数的图像.13.在中，内角的对边分别为，且，则的面积最大值为．【答案】【解析】由余弦定理得：，代入得解得，那么根据三角形面积公式所以当时，面积取得最大值．【考点】1．余弦定理；2．三角形面积公式．【方法点睛】考察到了解三角形的最值问题，属于中档题型，解决此问题的关键是面积的表达公式，，将这样的三个量用一个量表示，尤其是，但不可用正弦定理，而要用余弦定理，用表示出，再转化为，最后代入面积公式，将面积表示为的函数关系求最值．14.同时具有性质“①最小周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】故A不正确．对于选项B，如果为对称轴．则但在上是减函数不满足题意，对于选项C，因为为对称轴．所以，在上是增函数满足题意，故选C．【考点】正弦函数的图像15.已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以，又，所以，从而，因此，选B.【考点】同角三角函数关系16.若点在角的终边上，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，故选D．【考点】任意角的三角函数值．17.中，分别为的重心和外心，且，则的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述均不是【答案】B【解析】，而，∴．，故为钝角．【考点】平面向量的运算及余弦定理解三角形.【方法点晴】本题主要考查了平面向量的线性运算和数量积运算及利用余弦定理判断三角形的形状问题,属于中档题.解答本题的关键是:选择三角形的两边表示的向量作为平面的基底，通过向量的线性运算把转化为基底的关系，结合平面向量数量积的运算律得到，进而利用余弦定理得到问题的答案.18.若点在直线上，则的值等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，所以，故选B．【考点】三角函数的化简求值．19.已知函数向右平移个单位后，所得的图像与原函数图像关于轴对称，则的最小正值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】原函数向右平移个单位后所得函数为其与原函数关于轴对称，则必有，由三角函数诱导公式可知的最小正值为，故本题的正确选项为D.【考点】函数的平移，对称，以及三角函数的诱导公式.20.若、，且，则下面结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为函数，，，所以函数是偶函数，，当时，，所以在上是增函数，由知，所以，即，故选D．【考点】1、函数的奇偶性；2、利用导数研究函数的单调性．21.已知中，，，分别是角，，的对边，且，是关于的一元二次方程的两根.（1）求角的大小；（2）若，设，的周长为，求的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据韦达定理得到三边所满足的一个关系式，进而利用余弦定理的变式求解；（2）利用正弦定理得到的解析式，再利用三角恒等变形将其化简，利用三角函数的性质求其最值.试题解析：（1）在中，依题意有：，∴，又∵，∴；（2）由，及正弦定理得：，∴，，故，即，由得：，∴当，即时，. .【考点】1.正余弦定理解三角形；2.三角恒等变形；3.韦达定理；4.三角函数的性质．22.已知函数f(x)=（sin x+ cos x）cos x一（x R，>0）．若f(x)）的最小止周期为4．( I)求函数f(x)的单调递增区间；(II)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a-c)cosB=bcosC，求函数f(A)的取值范围．【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ)．【解析】( I)先利用二倍角公式和配角公式化简函数解析式，再利用三角函数的周期公式确定参数值和函数的解析式，进而利用整体思想求其单调递增区间； (II)先利用正弦定理将边角关系转化为角角关系，再利用三角形的内角和定理和两角和的正弦公式进行求解．（I）．，．由，得．∴的单调递增区间为（Ⅱ）由正弦定理得，，∴．∵，∴或：，，∴．又，．．【考点】1.三角恒等变换；2.正弦定理．23.已知函数，．（1）求函数的图像的对称轴方程；（2）求函数的最小正周期和值域．【答案】（1）;（2），值域.【解析】（1）用二倍角公式将函数降幂,根据余弦函数的对称轴公式可求得此函数的对称轴方程. （2）根据（1）中所得函数的解析式与相加,用化一公式将其化简变形可得,根据周期公式可得其周期,根据正弦的值域可得其值域.试题解析：（1）由题设知．令，所以函数图像对称轴的方程为．（2）．所以最小正周期是，值域．【考点】1三角函数的化简;2三角函数的周期,对称轴,值域.24.已知是锐角三角形，则点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】是锐角三角形,则，，同理可得,故选B.【考点】诱导公式.25.关于函数（），下列命题正确是（）A．由可得是的整数倍；B．的表达式可改写成；C．的图象关于点对称；D．的图象关于直线对称.【答案】C【解析】，，，因此，A错；，但时，，B错，事实上；，，时，，因此是其对称中心，C正确；，，不含，D错．故选C．【考点】函数的性质．26.已知函数, 先将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动（）个单位长度，得到的图象关于直线x=对称，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得，再将得到的图象上所有点向右平行移动（）个单位长度，得，则，，，因为，最小值为．故选A．【考点】三角函数图象变换，三角函数的对称轴．27.已知函数对称，现将的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的表达式为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设上一点与上点关于对称，则有，，，，，现将的图象向左平移个单位后，得到再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，故选B.【考点】三角函数图象的变换.28.同时具有性质“①最小正周期是，②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，函数的最小周期为，则，又函数图象关于直线对称，则函数为函数的最小值，则只有B、C满足，由当时，，则函数是单调递增函数，故选C．【考点】三角函数的性质．29.在中，内角的对边边长分别为，且．若，则的面积最大值为________.【答案】【解析】设三角形面积为，所以，又，两式相除得，同理，因为，所以，化简得，故，，，，故．【考点】解三角形.【思路点晴】本题属于一个综合性的题目背景是解三角形，设计三角形面积公式、余弦定理，同脚三角函数关系，基本不等式的知识.已知条件中关键的突破口在，我们由同角三角函数关系，结合余弦定理，就可以求出，然后代入三角形的面积公式，最后利用基本不等式来求面积的最大值.注意运算不要出错.30.在中，AC=6，（1）求AB的长；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系求再利用正弦定理求AB的长；（2）利用诱导公式及两角和与差正余弦公式分别求，然后求试题解析：解（1）因为，，所以由正弦定理知，所以（2）在中，，所以，于是又故因为，所以因此【考点】同角三角函数的基本关系、正余弦定理、两角和与差的正余弦公式【名师】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先应从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，同时应明确角的范围、开方时正负的取舍等.31.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，a=1，则b=____________.【答案】【解析】因为，且为三角形的内角，所以，，又因为，所以.【考点】正弦定理，两角和、差的三角函数公式【名师】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．32.如图，平面四边形中，，则的面积为_____________．【答案】【解析】在中，由正弦定理得：，在中，由余弦定理得：，所以．因为，所以．因为．所以．故答案为.【考点】1、正弦定理、余弦定理的应用；2、两角和的正弦公式及三角形面积公式.【方法点睛】以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心，此外，解三角形时三角形面积公式往往根据不同情况选用下列不同形式能简化计算过程，.33.函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图，则其解析式为__________________．【答案】【解析】由图象可知：A=1，…可得：T=2×（﹣）=π=，∴解得：ω=2，…∵函数的图象经过（，1），∴1=sin（2×+φ），∵φ=2kπ+，|φ|＜，∴φ=…∴函数的解析式y=sin（2x+）．34.设的内角的对边分别为，且，则____．【答案】【解析】，.【考点】解三角形、正余弦定理.35.等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因,故,故应选D.【考点】两角和的余弦公式及运用.36.已知函数，则要得到其导函数的图象，只需将函数的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．左平移个单位【答案】B【解析】函数，所以函数，所以将函数函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到，故选B．【考点】函数的图象变换．37.已知，则 .【答案】【解析】.【考点】三角恒等变换．38.函数的部分图象如图所示，则 .【答案】【解析】,，，即，，又，∴.【考点】函数的图象与性质.39.设当时，函数取得最大值，则__________．【答案】【解析】,其中，故当函数取得最大值时，【考点】辅助角公式，三角函数的最值和值域【名师】本题考查三角函数的辅助角公式以及取得最大值时的值，属中档题．解题时正确确定函数在取得最大值时的值是解题的关键40.如图，在凸四边形中，，，，．设．（1）若，求的长；（2）当变化时，求的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由余弦定理可得，解得．从而，解得；（2）设，，由余弦定理得，再由正弦定理得．从而．再由得：当，时取到最大值．试题解析：（1）在中，，∴，∴．在中，，∴．（2）设，，在中，，．∵，∴．在中，．∵，∴，当，时取到最大值．【考点】解三角形．41.已知函数的最小正周期是，将函数图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则函数（）A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增【答案】B【解析】依题, ，平移后得到的函数是，其图象过（0，1），∴，因为，∴，，故选B．【考点】三角函数的图象与性质．42.海上有三个小岛，，，则得，，，若在，两岛的连线段之间建一座灯塔，使得灯塔到，两岛距离相等，则，间的距离为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设由余弦定理可得,，故选B．【考点】解三角形．43.已知角为第四象限角，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】,,又,得出．因为角为第四象限角, ,;．故选A．【考点】同角三角函数的运算．44.如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，．管理部门欲在该地从M到D修建小路：在弧MN上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．问：点P选择在何处时，才能使得修建的小路与PQ及QD的总长最小？并说明理由．【答案】当时，总路径最短.【解析】借助题设条件建立函数关系,再运用三角变换的公式求解和探求.试题解析：连接, 过作垂足为 , 过作垂足为设，…………………2分若，在中，若则若则…………………………4分在中，…………………………6分所以总路径长……………………10分………………12分令，当时，当时，…………………………14分所以当时，总路径最短.答：当时，总路径最短. ……16分【考点】解三角形及三角变换的公式等有关知识的综合运用．【易错点晴】应用题是高考必考的重要题型之一,也是检测数学知识在实际问题中的的运用的一种重要题型之一.求解这类问题的一般步骤是先仔细阅读题设中的文字信息.再将问题中的数量关系找出来,通过构造数量关系构建数学模型.最后运用数知识求解数学模型,依据题设写出答案.本题是以绿化过程中的一个实际问题为背景设置了一道最值问题,求解时,先,然后建立以为变量的函数关系式从而将问题进行转化求函数的最值问题.最后通过求该函数的最值,从而使得问题简捷巧妙获解.45.已知，则__________．【答案】【解析】试题分析: ,故应填答案.【考点】诱导公式及同角关系的综合运用．46.已知，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，又因为，所以，故选C.【考点】1、诱导公式的应用；2、同角三角函数之间的关系.47.方程在区间内的解是．【答案】【解析】因为，所以，，即或，，，故答案为.【考点】1、特殊角的三角函数；2、简单的三角方程.【思路点睛】本题主要考查特殊角的三角函数、简单的三角方程，属于中档题.由于近年来高考对三角函数考查难度的降低，对三角方程的考查也以容易题和中档题为主，该题型往往根据特殊角的三角函数解答.本题首先将原方程变形为，然后根据的余弦值为，确定或，再根据确定方程的解．48.若，则的值为______．【答案】【解析】由，解得，又．【考点】三角函数的化简求值．49.在中，角的对边分别是，若，，则面积是_______.【答案】1【解析】在中，，,当且仅当时取等号, ,又，故,则面积是1【考点】正弦定理，基本不等式【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.50.已知函数（，，）的最大值为3，的图象与轴的交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为2，则的值为（）A．2468B．3501C．4032D．5739【答案】C【解析】∵已知函数的最大值为，故．的图象与轴的交点坐标为，∵，∴，，即．再根据其相邻两条对称轴间的距离为，可得，，故函数的周期为．∵，∴，故选C．【考点】（1）三角函数中的恒等变换应用；（2）余弦函数的图象.51.在△中，，，所对的边分别是，，，，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴，即．又∵，∴，∴，即，解得，故选B．【考点】余弦定理.52.若，则（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】.【考点】三角恒等变换.53.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，且．（1）求角的大小；（2）求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，化简题设条件得，求得，即可求解角的值；(2)由余弦定理得，得到，再由条件，可化简求得，即可求解三角形的面积．试题解析：（1）∵，由，得，∴，整理得，解得，∵，∴．（2）由余弦定理得，即，∴，由条件，得，解得，∴．【考点】余弦定理及三角恒等变换．54.已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】C【解析】∵函数的最小正周期为，∴，得，，故将的图象向左平移个单位长度可得，故选C.【考点】三角函数图象的变换.55.在三角形中，角，，所对的边分别是，，．已知，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）已知两边一角求第三边，一般利用余弦定理，将角化为边的条件：，代入条件即得，（Ⅱ）同（Ⅰ）可先利用余弦定理，将角化为边的条件：，代入，可得，再利用余弦定理求，也可先利用正弦定理，将边的条件转化为角的关系，再根据正弦定理求的值试题解析：（1）由余弦定理，，…………………3分将，代入，解得：．…………………6分（2）由正弦定理，，化简得：，则，…………………8分因为，，所以，，所以或（舍去），则．………………10分由正弦定理可得，，将，代入解得．……………………14分【考点】正余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.56.已知函数．⑴求的最小正周期和单调递增区间;⑵求在区间上的最大值和最小值．【答案】(1)，增区间为；(2) 最大值为，最小值为．【解析】(1)借助题设条件余弦二倍角公式及余弦函数单调性求解；(2)依据题设运用余弦函数的有界性进行探求．试题解析：⑴由已知，有,所以的最小正周期,当时，单调递增，解得：，所以的单调递增区间为,⑵由⑴可知，在区间上是减函数，在区间上是增函数，而，，所以在区间上的最大值为，最小值为．【考点】余弦二倍角公式及余弦函数的图象和性质等有关知识的综合运用．57.已知，，分别为的三个内角，，所对边的边长，且满足．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，的面积为，求，．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由正弦定理将条件中的边换为角的正弦，利用三角变换公式，化简可得，从而可求得角的值；（Ⅱ）由余弦定理及三角形面积公式列出关于的方程组，解之即可.试题解析：（Ⅰ），由正弦定理得：，…（2分），，…………（3分），，…（5分），…（6分）（Ⅱ），所以，……（7分），，则（或），……（8分）解得：．………（10分）【考点】1.正弦定理与余弦定理；2.三角恒等变换.【名师】本题考查正弦定理与余弦定理、三角恒等变换，属中档题；解三角形问题实质是附加条件的三角变换,因此在解三角形问题的处理中,正弦定理、余弦定理就起到了适时、适度转化边角的作用,分析近几年的高考试卷,有关的三角题,大部分以三角形为载体考查三角变换.58.已知函数与函数的部分图像如右图所示，则____________．【答案】【解析】令.【考点】1、三角函数的图象与性质；2、一次函数.59.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【答案】C【解析】由题意得，，因此只需要将函数的图象向右平移个单位即可得到函数的图象，故选C.60.已知函数相邻两条对称轴之间的距离为.（I）求的值及函数的单调递减区间；（Ⅱ）已知分别为中角的对边，且满足，，求的面积.【答案】（I）；（II）.【解析】（I）利用降幂公式将函数化为，再由函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，求出，结合三角函数的单调性可得其单调区间；（Ⅱ）将代入函数解析式，结合的范围可求出的值，由正弦定理和余弦定理可求出边，故而可得三角形的面积.试题解析：解：（Ⅰ）.因为相邻两条对称轴之间的距离为，所以，即，所以.所以.令，解得.所以的单调递减区间为.（Ⅱ）由得，因为.所以,.已知及正弦定理得.由余弦定理得，代入得，解得，所以.61. (江淮十校2017届高三第一次联考文数试题第7题)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=1/2（弦矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，半。
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.．【答案】【解析】故答案为：．【考点】两角和与差的三角公式．2.若函数在区间上单调递增，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意，，令，在区间上，，单调递增，，所以；【考点】1．导数与单调性；2．化归的思想；3.函数在内是（）A．增函数B．减函数C．有增有减D．不能确定【答案】A【解析】函数，可得，所以函数在内是增函数．故选：A．【考点】利用导数研究函数的单调性．4.（12分）．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且tan A＋tan B＝．（1）求角B的大小；（2）若，求sinA·sinC的值．【答案】（1）；（2）【解析】（Ⅰ）已知等式左边利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后根据sinC不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数；（Ⅱ）已知等式去分母整理后得到关系式，利用余弦定理列出关系式，把得出关系式及cosB的值代入，并利用正弦定理化简，即可求出sinAsinC的值试题解析：（Ⅰ）已知等式变形得：sinAcosA+sinBcosB=2sinCcosA，去分母得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosB，即sin（A+B）=2sinCcosB=sinC，∵sinC≠0，∴cosB=12，则B=60°；（Ⅱ）由，整理得：，∵cosB=12，∴，由正弦定理得：sin2B=2sinA·sinC=，则sinA·sinC=【考点】1．同角间三角函数关系；2．正弦定理5.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像，再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为．故选D．【考点】三角函数图像变换：周期变换、左右平移．6.已知在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且,则tanC等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【考点】1．余弦定理解三角形；2．同角间三角函数关系7.已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且tan A＋tan B＝．（1）求角B的大小；（2）若＋＝3，求sin Asin C的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意切化弦，同分可得，整理可得，即可求得；（2）根据已知式子同分可得，由余弦定理得到，再结合正弦定理即可得到试题解析：（1）由题意可得：因为，所以，又因为，所以（2）有题意可得：即由余弦定理可得：，得到有正弦定理：【考点】1．正余弦定理；2．化简求值8.（本题满分11分）若的内角所对的边分别为，且满足（1）求；（2）当时，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为正弦定理，所以化为，因为三角形内角有，所以即，所以；（2）由余弦定理，得，而，，得，即，因为三角形的边，所以，则．试题解析：（1）因为由正弦定理，得，又，从而，由于所以（2）解法一：由余弦定理，得，而，，得，即因为，所以，故面积为．解法二：由正弦定理，得从而又由知，所以故，所以面积为．【考点】1．正弦定理与余弦定理；2．三角形的面积公式．9.在中，已知，,则的长为____________________．【答案】【解析】由正弦定理可得【考点】正弦定理解三角形10.（本小题满分10分）在△ABC中，是方程的一个根，（1）求；（2）当时，求△ABC周长的最小值．【答案】（1）（2）【解析】（1）解一元二次方程得到方程的根，结合三角函数有界性得到的值，从而求得大小；（2）由三角形余弦定理结合，可将转化为的表达式，从而求得其最小值，得到周长的最小值试题解析：（1）又是方程的一个根（2）由余弦定理可得：则：当时，c最小且，此时△ABC周长的最小值为．【考点】1．余弦定理解三角形；2．一元二次方程的根11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（b－c）cosA＝acosC，则cosA＝_____【答案】【解析】由正弦定理可将已知条件转化为【考点】正弦定理与三角函数基本公式12.在△ABC中，cosA＝，sinB＝，则cosC的值为．【答案】【解析】由cosA＝，sinB＝得【考点】三角函数基本公式13.在△ABC中，如果，且为锐角，试判断此三角形的形状．【答案】等腰直角三角形．【解析】判定三角形的形状由三角形的三边长或三个角来确定．由可确定．根据正弦定理，可确定角，从而确定三角形的形状．试题解析：因为，所以,又为锐角，所以．，．由正弦定理得：，即展开得：，即，则，所以△ABC是等腰直角三角形．【考点】1．三角形形状；2．正弦定理；14.在△中，分别为角所对的边，若，则此三角形一定是（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形【答案】C【解析】,三角形为等腰三角形【考点】1．正弦定理解三角形；2．三角函数基本公式15.在中，、、分别是三内角A、B、C的对应的三边，已知（1）求角C的大小；（2）满足的是否存在？若存在，求角A的大小．【答案】（1）；（2）不存在【解析】（1）由正弦定理将变形可得到关于角C的关系式，进而求得角C的大小；（2）结合角C的大小将变形求解A角，若A角存在则三角形存在试题解析：（1）由正弦定理，得因为由则（2）由（1）知，于是=这样的三角形不存在。
训练【四】三角函数及其恒等变换
【高考冲刺】三角函数及其恒等变换参考答案与试题解析一、选择题（共20小题）1．已知为第二象限角，则tan（α+）=（）A．B．C．3D．﹣3考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．2361035专题：计算题．分析：由α为第二象限角，根据cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanα的值，然后把所求的式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将tanα的值代入即可求出值．解答：解：∵α为第二象限角，cosα=﹣，∴sinα==，∴tanα==﹣2，则tan（α+）===﹣．故选A点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．2．已知sin（）=，则cos（π﹣2θ）等于（）A．B．C．D．考点：二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．2361035专题：三角函数的求值．分析：利用诱导公式化简已知的等式，求出cosθ的值，将所求式子利用诱导公式变形后，再利用二倍角的余弦函数公式化简，把cosθ的值代入计算，即可求出值．解答：解：∵sin（+θ）=cosθ=，∴cos（π﹣2θ）=﹣cos2θ=1﹣2cos2θ=1﹣2×（）2=．故选D点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握公式是解本题的关键．3．曲线和直线在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P6|=（）A．πB．2πC．3πD．4π考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数；三角函数的周期性及其求法．2361035专题：计算题．分析：将y=2sin（x+）cos（x﹣）的解析式利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简得y=sin2x+1，令y=，解得x=kπ+±（k∈N），代入易得|P2P6|的值．解答：解：∵y=2sin（x+）cos（x﹣）=2sin（x﹣+）cos（x﹣）=2cos（x﹣）cos（x﹣）=cos[2（x﹣）]+1=cos（2x﹣）+1=sin2x+1，若y=2sin（x+）cos（x﹣）=，∴2x=2kπ+±（k∈N），即x=kπ+±（k∈N），则|P2P6|=2π．故选B点评：此题考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式，直线与曲线的相交的性质，求两个函数图象的交点间的距离，关键是要求出交点的坐标，然后根据两点间的距离求法进行求解．4．已知α、β为锐角，2tanα+3sinβ=7，tanα﹣6sinβ=1，则sinα的值是（）A．B．C．D．考点：同角三角函数间的基本关系．2361035分析：根据题中所给方程组可求出tanα的值，再根据三角函数定义和角的范围可直接得答案．解答：解：∵2tanα+3sinβ=7，tanα﹣6sinβ=1，∴tanα=3∵tanα=，sin2α+cos2α=1∴∵α为锐角∴故选C．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，属基础题．这里注意角的取值范围影响三角函数的符号．5．sin71°cos26°﹣sin19°sin26°的值为（）D．A．B．1C．﹣考点：两角和与差的正弦函数．2361035专题：计算题．分析：把sin71°化为cos19°，利用两角差的余弦公式，把要求的式子化为cos（19°+26°），从而求得式子的值．解答：解：sin71°cos26°﹣sin19°sin26°=cos19°cos26°﹣sin19°sin26°=cos（19°+26°）=cos45°=． 故选：D ．点评： 本题主要考查诱导公式、两角和差的余弦公式的应用，把要求的式子化为cos （19°+26°），是解题的关键．6．已知﹣π＜α＜0，且，则=（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数．2361035 专题： 计算题．分析： 利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值将已知等式化简，求出tanα的值，由α的范围，得出sinα小于0，cosα大于0，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，将所求式子分子第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，分子提取2sinα，分母利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，约分后把sinα的值代入即可求出值．解答： 解：∵tan （α+）==，∴tanα=﹣＜0，∵﹣π＜α＜0，∴cosα==，∴sinα=﹣，则==2sinα=﹣．故选C点评： 此题考查了二倍角的正弦函数公式，两角和与差的正切、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．7．函数是（ ） A ． 周期为π的奇函数 B ． 周期为π的偶函数 C ． 周期为2π的奇函数 D ． 周期为2π的偶函数考点： 诱导公式一；三角函数的周期性及其求法．2361035 专题： 计算题．分析： 利用诱导公式化简函数解析式后，找出ω的值，代入周期公式求出函数的最小正周期，再根据余弦函数为偶函数，即可得到正确的选项． 解答： 解：y=sin （﹣2x ）=cos2x ，∵ω=2，∴T==π，又余弦函数为偶函数，则原函数是周期为π的偶函数．故选B点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，以及函数的奇偶性，其中利用诱导公式将函数解析式化为一个角的余弦函数是解本题的关键．8．平面直角坐标系中，点（3，t）和（2t，4）分别在顶点为原点，始边为x轴的非负半轴的角α，α+45°的终边上，则t的值为（）A．±6或±1 B．6或1 C．6D．1考点：两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．2361035专题：综合题．分析：根据任意角的三角函数定义分别求出tanα和tan（α+45°），然后利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值得到一个关于t的方程，求出t的值，然后利用α和α+45°是始边为x轴的非负半轴的角，得到满足题意t的值即可．解答：解：由题意得tanα=，tan（α+45°）==而tan（α+45°）===，化简得：t2+5t﹣6=0即（t﹣1）（t+6）=0，解得t=1，t=﹣6因为点（3，t）和（2t，4）分别在顶点为原点，始边为x轴的非负半轴的角α，α+45°的终边上，所以t=﹣6舍去则t的值为1故选D点评：此题考查学生掌握任意角的三角函数的定义，灵活运用两角和与差的正切函数公式化简求值，是一道中档题．9．若，则sinx•cosx的值为（）A．B．C．D．考点：诱导公式的作用；二倍角的正弦．2361035专题：计算题．分析：利用诱导公式化简方程，方程两边平方，即可求出sinx•cosx的值．解答：解：因为，所以﹣cosx+sinx=，则，所以sinx•cosx=；故选A．点评：本题考查三角方程的解法，正确利用诱导公式是解题的前提，利用平方求出结果是关键，考查计算能力．10．已知A为三角形的一个内角，且sinAcosA=﹣，则cosA﹣sinA的值为（）A．﹣B．±C．±D．﹣考点：同角三角函数间的基本关系．2361035专题：计算题．分析：由A为三角形的内角且sinAcosA=﹣可知sinA＞0，cosA＜0即cosA﹣sinA＜0，而（cosA﹣sinA）2=1﹣2siAcosA，代入可求解答：解：由A为三角形的内角且sinAcosA=﹣可知sinA＞0，cosA＜0∴cosA﹣sinA＜0而（cosA﹣sinA）2=1﹣2siAcosA=∴故选：D点评：本题主要考查了三角函数中同角平方关系的应用，解题的关键是根据已知判断出sinA，cosA 的符号，在结合由A为三角形的（cosA﹣sinA）2=1﹣2siAcosA进行求解，本题容易漏掉对sinA﹣cosA的符号的判断错选成C11．（1+tan25°）（1+tan20°）的值是（）A．﹣2 B．2C．1D．﹣1考点：同角三角函数基本关系的运用．2361035专题：计算题．分析：观察可知25°+20°=45°，先根据两角和的正切函数公式得到对等式两边取正切得到一个关系式，然后利用多项式的乘法法则化简原式，整体代入可得值．解答：解：因为1=tan45°=tan（25°+20°）=，所以tan25°+tan20°=1﹣tan25°tan20°，则（1+tan25°）（1+tan20°）=1+tan250+tan200+tan250tan200=1+1﹣tan250tan200+tan250tan200=2故选B点评：此题为一道基础题，要求学生灵活运用两角和的正切函数公式．本题的关键点是45°=25°+20°角度的变换．12．如果，则=（）A．B．C．4019 D．﹣4019考点：三角函数中的恒等变换应用．2361035专题：计算题．分析：将分式转化为整式，利用和、差角的正弦公式展开进行合并整理是解决本题的关键，注意正弦、余弦、正切之间的转化问题，注意切化弦的方法和整体思想的运用．解答：解：由题意可得2010sinαcosβ﹣2010cosαsinβ=2009sinαcosβ+2009cosαsinβ，∴sinαcosβ=4019cosαsinβ，得tanα=4019tanβ，∴．故选C．点评：本题考查三角恒等变换的基本知识，考查了两角和与差的正弦公式，主要寻找角之间的关系和函数名称之间的关系，考查同角三角函数的基本关系式，注意整体思想的运用．考查转化与化归思想的应用．13．函数对任意的x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x2﹣x1|的最小值为（）A．B．1C．2D．4考点：三角函数的恒等变换及化简求值；三角函数的周期性及其求法．2361035专题：计算题；函数的性质及应用．分析：先将函数写出分段函数，再确定|x2﹣x1|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值，由此可得结论．解答：解：由题意可得，f（x）=，f（x1）为函数的最小值，f（x2）为函数的最大值．|x2﹣x1|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值由于x=时，函数取得最大值2，x=时，sinπx=cosπx=﹣，函数取得最小值∴|x2﹣x1|的最小值为﹣=，故选A．点评：本题考查绝对值函数，考查三角函数的性质，确定|x2﹣x1|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值是关键，属于中档题．14．=（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值．2361035专题：计算题．分析：由于sin（α+）+cosα=sin（α+）=，可求得sin（α+）=，利用诱导公式即可求得sin（α+）．解答：解：∵sin（α+）+cosα=sinα+cosα+cosα=sinα+cosα=sin（α+）=，∴sin（α+）=．∴sin（α+）=﹣sin（α+）=﹣．故选C．点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查诱导公式在化简求值中的应用，属于中档题．15．若对所有实数x，均有sinkx•sinkx+coskx•coskx=cosk2x，则k=（）A．6B．5C．4D．3考点：三角函数恒等式的证明；函数恒成立问题．2361035专题：计算题．分析：记f（x）=sinkx•sinkx+coskx•coskx﹣cosk2x，则由条件f（x）恒为0，取，得k为奇数，设k=2n﹣1，上式成为，因此n为偶数，令n=2m，则k=4m﹣1．解答：解：记f（x）=sinkx•sinkx+coskx•coskx﹣cosk2x，则由条件f（x）恒为0，取，得，则k为奇数．设k=2n﹣1，上式成为，因此n为偶数，令n=2m，则k=4m﹣1，故选择支中只有k=3满足题意，故选D．点评：本题考查函数的恒成立问题，体现了特殊值的思想，得到k为奇数，设k=2n﹣1，在得到n为偶数，这是解题的难点．16．已知，则sinα•cosα=（）A．B．C．D．考点：二倍角的正弦；两角和与差的正切函数．2361035专题：计算题．分析：解法一：利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简已知的等式，得到关于tanα的方程，求出方程的解得出tanα的值，然后把所求的式子分母“1”根据同角三角函数间的基本关系变形为sin2α+cos2α，分子分母同时除以cos2α，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tanα的值代入即可求出值；解法二：利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简已知的等式，得到关于tanα的方程，求出方程的解得出tanα的值，然后把所求的式子利用二倍角的正弦函数公式化简后，再利用万能公式变形，将tanα的值代入即可求出值．解答：解：法一：由tan（+α）==﹣3，整理得：1+tanα=﹣3+3tanα，解得：tanα=2，则sinα•cosα====；法二：由tan（+α）==﹣3，整理得：1+tanα=﹣3+3t anα，解得：tanα=2，则sinα•cosα=sin2α=×==．故选A点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，万能公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．17．若，则tanβ=（）A．10 B．5C．D．﹣8考点：角的变换、收缩变换．2361035专题：计算题．分析：利用两角和的正切公式求出tan（β﹣）=tan[（β﹣α）+（α﹣）]的值，再由tan（β﹣）=求出tanβ 的值．解答：解：∵，∴tan（β﹣）=tan[（β﹣α）+（α﹣）]===，故=，∴tanβ=﹣8．故选：D．点评：本题主要考查两角和差的正切公式的应用，角的变换是解题的关键，属于中档题．18．设，则（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b考点：二倍角的余弦；余弦函数的单调性．2361035专题：计算题．分析：把a利用特殊角的三角函数值及两角和与差的余弦函数公式化简为一个余弦值，b利用二倍角的余弦函数公式也化为一个余弦值，c利用特殊角的三角函数值化为一个余弦值，根据余弦函数在（0，90°]为减函数，且根据角度的大小即可得到三个余弦值的大小，从而得到a，b及c的大小关系．解答：解：化简得：a=（sin17°+cos17°）=cos45°cos17°+sin45°sin17°=cos（45°﹣17°）=cos28°，b=2cos213°﹣1=cos26°，c==cos30°，∵余弦函数y=cosx在（0，90°]为减函数，且26°＜28°＜30°，∴cos26°＞cos28°＞cos30°则c＜a＜b．故选D点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，特殊角的三角函数值，以及余弦函数的单调性，利用三角函数的恒等变形把a，b及c分别变为一个角的余弦值是解本题的关键．19．已知sin+cos=，且cosα＜0，那么tanα等于（）A．B．﹣C．D．﹣考点：二倍角的正弦；任意角的三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系．2361035专题：三角函数的求值．分析：将已知等式左右两边平方，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，求出sinα的值，再由cosα的值小于0，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，即可确定出tanα的值．解答：解：将已知等式左右两边平方得：（sin+cos）2=，即1+sinα=，可得sinα=﹣，∵cosα＜0，∴cosα=﹣=﹣，则tanα==．故选C点评：此题考查了二倍角的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．20．本式的值是（）A．1B．﹣1 C．D．考点：运用诱导公式化简求值．2361035专题：计算题．分析：利用诱导公式及三角函数的奇偶性化简可得值．解答：解：原式=sin（4π﹣）﹣cos（4π+）+tan（4π+）=﹣sin﹣cos+tan=﹣+×+×=1故选A点评：此题为一道基础题，要求学生会灵活运用诱导公式化简求值，掌握三角函数的奇偶性．化简时学生应注意细心做题，注意符号的选取．二、填空题（共1小题）（除非特别说明，请填准确值）21．已知扇形的周长为10，求此扇形的半径r与面积S之间的函数关系式及其定义域．考点：扇形面积公式．2361035专题：计算题．分析：求出扇形的弧长，利用扇形面积公式表示二者关系，求出定义域即可．解答：解：扇形的周长为10，扇形的半径r，扇形弧长为10﹣2r所以s==5r﹣r2，r∈（0，5）定义域（0，5）．点评：本题考查扇形面积公式，考查计算能力，是基础题．。
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题1.已知，三个数，，中（）A．都小于B．至少一个大于或等于C．都大于或等于D．至多一个大于【答案】B【解析】因为，令，，，又因为，由函数的性质可知，，所以，所三个数，，中至少有一个大于，故选B.【考点】1.的性质与基本不等式；2.逻辑联结词与命题.2.锐角中，已知，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由正弦定理可得，所以．因为为锐角三角形，所以．即．故C正确．【考点】1正弦定理；2三角函数化简求值．3.角的终边上有一点，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【考点】三角函数定义4.在△ABC中，若，则与的大小关系为（）A．B．C．≥D．、的大小关系不能确定【答案】A【解析】在三角形中由正弦定理可知时有【考点】正弦定理解三角形5.下列函数中，周期为且为奇函数的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数为偶函数，故A错误；函数，周期为1且为奇函数，故选B；函数是周期为2的奇函数，故C错误；函数是周期为的偶函数，故D错误．【考点】函数的奇偶性、周期性．6.在中，角所对的边长为，则“”是“”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要【答案】A【解析】因为时，所以，而时，由正弦定理知，即，得或，即不一定成立，故选A．【考点】1、充要条件；2、正弦定理．7.（2015秋•宁城县期末）在△ABC中，两直角边和斜边分别为a，b，c，若a+b=cx，试确定实数x的取值范围（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由a+b=cx得，x=，由正弦定理得=sin（A+45°），由此能确定实数x的取值范围．解：由a+b=cx得，x=，由题意得在△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，由正弦定理得：===sinA+cosA=sin（A+45°），由A∈（0，90°）得，A+45°∈（45°，135°），所以sin（A+45°）∈（，1]，即sin（A+45°）∈（1，]，∴∈（1，]，∴x=∈（1，]．故选：A．【考点】三角形中的几何计算．8.（2015秋•宁德校级期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若b2+c2=a2+bc，求角A的大小；（Ⅱ）若acosA=bcosB，试判断△ABC的形状．【答案】（Ⅰ）A=；（Ⅱ）△ABC是等腰三角形或直角三角形．【解析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理可得cosA=，又结合∠A是△ABC的内角，即可求A的值．（Ⅱ）由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB，可得sin2A=sin2B．利用正弦函数的图象和性质可得2A=2B或2A+2B=π，即可得解．解：（Ⅰ）∵由已知得cosA===，又∵∠A是△ABC的内角，∴A=．（Ⅱ）在△ABC中，由acosA=bcosB，得sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B．∴2A=2B或2A+2B=π．∴A=B或∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．【考点】正弦定理．9.已知、、分别为的三边、、所对的角，的面积为，且．（1）求角的大小；（2）若，求周长的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用面积公式及，建立等式关系求出角C；（2）方法1：由（1）确定角C，用角表示角，由正弦定理，求出关于角的关系，这样周长就是表示成了关于角的函数，求出该函数的最大值；方法2：利用余弦定理，配方，利用基本不等式，，解出的范围，即可求出周长最大值．试题解析：（1）∵△ABC的面积为S，∴，又∵C为三角形内角，∴．（2）解法1：由正弦定理得：，∵，，，从而．综上：．解法2：由余弦定理即，（当且仅当时取到等号）综上：．【考点】 1．面积公式；2．正弦定理；3．余弦定理．10.已知的三边长分别为，则的面积为__________．【答案】【解析】的边长由余弦定理得，，所以三角形的面积为．【考点】1、余弦定理的运用；2、三角形的面积公式．11.海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成600的视角，从B岛望C岛和A岛成300的视角，则B、C间的距离是___________________海里．【答案】【解析】依题意，作图如下：∵∠CAB=60°，∠ABC=30°，∴△ABC为直角三角形，∠C为直角，又|AB|=10海里，∴|BC|=|AB|sin60°=10×=海里，【考点】正弦定理的应用12.在中，分别是角A、B、C的对边，且（1）求角B的大小；（2）若，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】（1）变形已知式子代入结合角的范围可得；（2）由余弦定理可得，代入数据配方整体可得ac，代入面积公式可得试题解析：（1）由已知得（2）将代入中，得，【考点】余弦定理；正弦定理13.已知函数．设时取得最大值．（1）求的最大值及的值；（2）在中，内角的对边分别为，且，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据三角函数的恒等变换公式，可得，又，则，可知当时，即可求出结果；（2）由（1）知，由正弦定理，可得，再根据余弦定理，可得由此可求出．试题解析：解：（1）由题意，．又，则．故当，即时，．（2）由（1）知．由，即．又．则，即．故．【考点】1．三角恒等变换；2．正弦定理；3．余弦定理．14.在△中，，，，则A．B．C．D．【答案】C【解析】由得【考点】正弦定理解三角形15.已知函数(其中)，其部分图像如图所示．（I）求的解析式；（II）求函数在区间上的最大值及相应的x值．【答案】（I）；(II) 当时，取得最大值.【解析】（I）根据图象可求出的值，再根据图象可求出周期，进而可求得的值，再结合函数在处有最大值以及，就可以求出的值，由此可求出函数的表达式；(II)根据（I）的结论先求出函数的表达式，再结合，就可求出在区间上的的最大值及相应的值．试题解析：（I）由图可知，，所以.又，且，所以.所以（II）由（I），所以因为，所以，.故：，当时，取得最大值【考点】1、三角函数的“由图求式”；2、形如的函数的最值问题.16.在△ABC中，如果lga﹣lgc=lgsinB=﹣lg，并且B为锐角，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【答案】D【解析】在中，如果，并且为锐角，∴，∴，，∴，∴，故的形状为等腰直角三角形，故选D．【考点】三角形的形状判断；对数的运算性质．17.已知中,角的对边分别为,,向量,,且.(Ⅰ)求的大小；(Ⅱ)当取得最大值时,求角的大小和的面积.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）通过向量的垂直，两角和与差的三角函数化简表达之，利用三角形的内角和，转化为的三角函数值，然后求的大小；（Ⅱ）通过的大小，推出的关系，化简为的三角函数的形式，通过的范围求出不等式取得最大值时，求角的大小，利用正弦定理求出的值，即可利用三角形的面积公式求解三角形的面积.试题解析：（Ⅰ）因为,所以即,因为,所以所以（Ⅱ）由,故由,故最大值时,由正弦定理,,得故【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用.18.在中，角、、所对的边分别是、、，若（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，，求的面积。
高三数学三角恒等变换试题答案及解析
高三数学三角恒等变换试题答案及解析1.已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将两边平方得，，可得，故选B.【考点】同角基本关系以及二倍角公式.2.已知cos(α－)＋sinα＝，则sin(α＋)的值是()A．－B．C．－D．【答案】C【解析】cos(α－)＋sinα＝⇒sinα＋cosα＝⇒sin(α＋)＝，所以sin(α＋)＝－sin(α＋)＝－．3.已知函数f(x)＝cos2ωx＋sinωxcosωx－(ω>0)的最小正周期为π．(1)求ω值及f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a＝1，b＝，f()＝，求角C 的大小．【答案】（1）增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)（2）当B＝时，C＝π－－＝；当B＝时，C＝π－－＝．【解析】解：(1)f(x)＝＋sin2ωx－＝sin(2ωx＋)．∵T＝π，∴ω＝1，∴f(x)＝sin(2x＋)，增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．(2)∵f()＝sin(A＋)＝，角A为△ABC的内角且a<b，∴A＝．又a＝1，b＝，∴由正弦定理得＝，也就是sinB＝＝×＝．∵b>a，∴B＝或B＝，当B＝时，C＝π－－＝；当B＝时，C＝π－－＝．4.已知α，β∈(0，)，满足tan(α＋β)＝4tanβ，则tanα的最大值是()A．B．C．D．【答案】B【解析】tanα＝tan[(α＋β)－β]＝＝≤＝，当且仅当tanβ＝时等号成立．5.在中，若分别为的对边，且，则有（）A．a、c、b成等比数列B．a、c、b成等差数列C．a、b、c成等差数列D．a、b、c成等比数列【答案】D【解析】由已知得，，故，又，而，故，所以，故，从而a、b、c成等比数列．【考点】1、两角和与差的余弦公式；2、二倍角公式；3、正弦定理.6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，b sin＝a+c sin，则C= .【答案】【解析】由已知得，所以，由，应用正弦定理，得，.整理得，即，由于，从而，又，故.【考点】1正弦定理；2正弦两角和差公式。
期末专题02 三角恒等变换小题综合解析版
期末专题02三角恒等变换小题综合一、单选题1.(2022春·江苏南通·高一统考期末)已知cos α+π4 =35，则sin2α=()A.725B.1825C.-725D.-1825【答案】A【分析】根据两角和的余弦公式及平方关系，结合正弦的二倍角公式即可求解.【详解】由cos α+π4 =35，得cos αcos π4-sin αsin π4=35，即cos α-sin α=325，两边平方，得2sin αcos α=725，即sin2α=725.故选：A .2.(2022春·江苏镇江·高一统考期末)计算：23sin70°-3sin10°cos10°=()A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】根据两角差的正弦公式化简求解即可.【详解】23sin70°-3sin10°cos10°=23sin (60°+10°)-3sin10°cos10°=2332cos10°+12sin10°-3sin10°cos10°=3cos10°cos10°=3，故选：C3.(2022春·江苏宿迁·高一统考期末)若sin α+5π12 =13，则cos 2α-π6的值为()A.429B.-429C.79D.-79【答案】D【分析】设θ=α+5π12，再表达出2α-π6=2θ-π，从而根据诱导公式与二倍角公式求解即可【详解】设θ=α+5π12，则α=θ-5π12，故2α-π6=2θ-5π6-π6=2θ-π，故sin θ=13，则cos 2α-π6 =cos 2θ-π =-cos2θ=2sin 2θ-1=-79故选：D 4.(2022春·江苏淮安·高一统考期末)已知a =sin1，b =2cos1sin1，c =2tan12，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a >b >cB.b >c >aC.c >a >bD.c >b >a【答案】D【详解】b =2cos1sin1=sin2=sin (π-2)，又π2>π-2>1>0，所以sin (π-2)>sin1，即b >a ，利用三角函数线可以证明x 为锐角时，tan x >x ，如图，在单位圆中，以Ox 为始边，O 为顶点作出角x ，其终边与单位圆交于点P ，过单位圆与x 轴正半轴交点A 作x 轴的垂线，角x 的终边与这条垂线交于点T ，则AT =tan x ，劣弧PA的长为l =x ，扇形OPA 的面积为S 1=12lr =12x ，△OAT 面积为S 2=12OA AT =12tan x ，由图形，易知S 2>S 1，即12tan x >12x ，所以tan x >x ，所以c =2tan 12>2×12=1，b =sin2<1，所以c >b >a ．故选：D ．5.(2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y =sin2x 与y =32tan x 在区间π6,π上交点的横坐标为α，则α的值为()A.π3 B.2π3C.3π4D.5π6【答案】D 【分析】在区间π6,π 上，联立y =sin2x y =32tan x ，即可解出．【详解】在x ∈π6,π 上，由y =sin2x y =32tan x可得2sin x cos x =32×sin x cos x ，而sin x ≠0，所以，cos 2x =34，即cos x =32或cos x =-32，而x ∈π6,π ，所以x =5π6．故选：D ．6.(2022春·江苏苏州·高一统考期末)已知向量a =3sin α,-2 ,b =1,1-cos α ，若a ⋅b =-2，则tan2α=【分析】根据向量数量积的坐标表示a ⋅b=x 1x 2+y 1y 2，结合题意整理可得tan α，再代入二倍角的正切公式tan2α=2tan α1-tan 2α运算求解．【详解】由题意可得：a ⋅b =3sin α-21-cos α =-2，整理得3sin α=-2cos α，即tan α=-23∴tan2α=2tan α1-tan 2α=2×-23 1--23 2=-125故选：C ．7.(2022春·江苏常州·高一统考期末)已知a =22cos1°-sin1° ，b =1-tan 222.5°1+tan 222.5°，c =sin22°cos24°+cos22°sin24°，则a ，b ，c 的大小顺序为( ).A.b >a >cB.c >b >aC.c >a >bD.b >c >a【答案】B【分析】利用和差角正弦公式及商数关系可得a =sin44°、b =sin45°、c =sin46°，根据正弦函数的性质判断大小.【详解】a =cos1°sin45°-sin1°cos45°=sin44°，b =1-tan 222.5°1+tan 222.5°=cos 222.5°-sin 222.5°cos 222.5°+sin 222.5°=cos45°=sin45°，c =sin22°cos24°+cos22°sin24°=sin46°，所以c >b >a .故选：B8.(2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末)下列等式不正确的是()A.cos15°-sin15°=22B.1+tan15°1-tan15°=3C.sin22°sin38°-cos22°sin52°=12D.1-cos30°2=6-24【答案】C【分析】A 应用差角正弦公式化简；B 应用和角正切公式化简；C 应用诱导公式及差角正弦公式化简；D 写出特殊角的函数值，将分子因式分解化简求值.【详解】A ：cos15°-sin15°=2(sin45°cos15°-cos45°sin15°)=2sin30°=22，正确；B ：1+tan15°1-tan15°=tan45°+tan15°1-tan45°tan15°=tan60°=3，正确；C ：sin22°sin38°-cos22°sin52°=sin22°cos52°-cos22°sin52°=-sin30°=-12，错误；D ：1-cos30°2=2-34=4-238=(3-1)28=3-122=6-24，正确；故选：Cππ10【分析】由三角恒等变换将等式化简为cos x-π4=55，即可求出sin x-π4，进一步求出sin x，cos x，即可求出tan x.【详解】因为sin x+sin x+π2=105，则sin x+cos x=2cos x-π4=105，则cos x-π4=55，因为x∈π2,π，所以x-π4∈π4,3π4，所以sin x-π4=255，所以sin x=sin x-π4+π4=sin x-π4cosπ4+cos x-π4sinπ4=255×22+55×22=31010，因为x∈π2,π，所以cos x=-1010,tan x=sin xcos x=-3.故选：A.10.(2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末)已知α，β∈0，π，tan(α-β)=12，tanβ=-17，则2α-β=()A.5π4B.π4C.-π4D.-3π4【答案】D【分析】结合式子中角的特点以及范围，分别求tanα=tan[(α-β)+β]，tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]，再根据正切值缩小α,β的范围，从而得到2α-β的范围，即可得到角2α-β的大小.【详解】因为tanα=tanα-β+β=tanα-β+tanβ1-tanα-βtanβ=12-171+12×17=13<1，tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]=tan(α-β)+tanα1-tan(α-β)tanα=12+131-12×13=1，而α，β∈(0，π)，tanβ=-17>-1，所以0<α<π4，3π4<β<π，-π<-β<-3π4，-π<2α-β<-π4，所以2α-β=-3π4．故选：D．11.(2022春·江苏扬州·高一统考期末)已知0<α<β<π，函数f(x)=5sin x-π6，若f(α)=f(β)=3，则sin(β-α)=( )．A.2425B.-2425C.1D.-35【答案】A【分析】由已知条件，结合三角函数的性质可得π<α<2π，2π<β<7π，从而利用sinβ-α=【详解】解：令f x =5sin x -π6 =0，0<x <2π，则x =π6或x =7π6，令f x =5sin x -π6 =5，0<x <2π，则x =2π3，又0<α<β<π，f α =f β =3，所以π6<α<2π3，2π3<β<7π6，sin α-π6 =35，sin β-π6 =35，因为0<α-π6<π2，π2<β-π6<π，所以cos α-π6 =45，cos β-π6 =-45，所以sin β-α =sin β-π6 -α-π6 =sin β-π6 cos α-π6 -cos β-π6 sin α-π6 =35×45+45×35=2425，故选：A .12.(2022春·江苏常州·高一统考期末)已知0°<α<90°，且sin18°1+sin2α =2cos 29°cos2α，则α=()A.9°B.18°C.27°D.36°【答案】D【分析】根据二倍角公式和逆用余弦的差角公式化简得到cos 2α+9° =sin9°，结合0°<α<90°得到2α+9°=90°-9°，求出α.【详解】因为sin18°1+sin2α =2sin9°cos9°1+sin2α ，所以2cos 29°cos2α=2sin9°cos9°1+sin2α ，整理得：cos9°cos2α=sin9°sin2α+sin9°，cos9°cos2α-sin9°sin2α=sin9°，cos 2α+9° =sin9°，因为0°<α<90°，所以9°<2α+9°<189°，所以2α+9°=90°-9°，解得：α=36°故选：D .13.(2022春·江苏连云港·高一统考期末)如图，屋顶的断面图是等腰三角形ABC ，其中AC =BC ，横梁AB 的长为8米，∠BAC =α，为了使雨水从屋顶(设屋顶顶面为光滑斜面)上尽快流下，则α的值应为()A.30°B.45°C.60°D.75°【答案】B【分析】根据物体受力分析，利用二倍角的正弦公式化简后，由正弦函数的性质求出雨水流下时间的最小值对应α的值.则CD ⊥AB ,且AD =BD =12AB .因为F =mg sin α=ma ，所以a =g sin α；在直角三角形ACD 中，s =AD cos α=12at 2,所以t 2=2AD a cos α=AB g sin αcos α=2AB g sin2α≥2AB g =16g ,当sin2α=1,即α=45°时等号成立，故选：B .14.(2022春·江苏盐城·高一统考期末)已知函数f (x )=2x 2-3x +1，若方程f (sin x )=a +cos2x 在x ∈[0,2π)上恰有四个不同的解，则实数a 的取值范围是()A.-34<a <1 B.34≤a <1 C.-916<a <1 D.-916≤a <1【答案】C【分析】令t =sin x ∈[-1,1]，将问题转化为y =a 与g (t )=t (4t -3)有两个交点，注意正弦函数值对应自变量的个数确定a 的范围.【详解】由题设a =f (sin x )-cos2x =sin x (4sin x -3)在x ∈[0,2π)上恰有四个不同的解，令t =sin x ∈[-1,1]，则y =a 与g (t )=4t -38 2-916有两个交点，而g (-1)=7>g (1)=1，注意：a =g (-1)时t =-1，则对应x 在[0,2π)上有一个解；g (1)<a <g (-1)或a =g 38 时t 在[-1,1]只有一个对应值，则对应x 在[0,2π)上有两个解；a =g (1)时t =1或t =-14，对应x 在[0,2π)上有三个解；g 38<a <g (1)时t 在[-1,1]只有两个对应值，此时对应x 在[0,2π)上有四个解；综上，-916<a <1.故选：C15.(2022春·江苏南通·高一统考期末)△ABC 中，若A ,B ∈0，π2，sin C =sin A sin B ，则tan A +B 的取值范围是()A.-43,-1B.-43,-1C.1,43D.1,43【答案】A【分析】利用三角函数恒等变换进行化简，可得tan A +tan B =tan A tan B ，利用基本不等式得【详解】∵A ,B ∈0，π2，∴cos A cos B ≠0，∵sin C =sin A sin B ，即sin A +B =sin A sin B ，∴sin A cos B +cos A sin B =sin A sin B ，两边同时除以cos A cos B ，得tan A +tan B =tan A tan B ，∵tan A ,tan B >0，∴tan A +tan B ≥2tan A tan B ，当且仅当tan A =tan B 时等号成立，∴tan A tan B ≥2tan A tan B ，即tan A tan B ≥4，tan (A +B )=tan A +tan B 1-tan A tan B =tan A tan B1-tan A tan B =11tan A tan B-1，∵tan A tan B ≥4，∴0<1tan A ⋅tan B≤14，∴-1<1tan A ⋅tan B-1≤-34，∴-43≤11tan A ⋅tan B -1<-1，即tan A +B 的取值范围是-43,-1 ．故选：A ．二、多选题16.(2022秋·江苏苏州·高一统考期末)下列选项中，与sin -11π6的值相等的是()A.2sin15°sin75°B.cos18°cos42°-sin18°sin42°C.2cos 215°-1D.tan22.5°1-tan 222.5°【答案】ABD【解析】求出sin -11π6的值，进而利用二倍角的正弦求值判断A ；利用两角和的余弦求值判断B ；利用二倍角的余弦求值判断C ；利用两角和的正切求值判断D .【详解】sin -11π6 =sin -2π+π6 =sin π6=12.对于A ，2sin15°sin75°=2sin15°cos15°=sin30°=12；对于B ，cos18°cos42°-sin18°sin42°=cos 18°+42°=cos60°=12；对于C ，2cos 215°-1=cos30°=32；对于D ，因为tan45°=2tan22.5°1-tan 222.5°=1，可得tan22.5°1-tan 222.5°=12.∴与sin -11π6的值相等的是ABD .故选：ABD .17.(2022秋·江苏连云港·高一校考期末)已知函数f (x )=cos 2x -π-cos2x ，则()B.f (x )的图象关于点7π6,0对称C.f (x )图象的对称轴方程为x =5π12+k π2(k ∈Z )D.f (x )在[0,2π]上有4个零点【答案】ACD【分析】先通过降幂公式、两角和与差的正弦公式及辅助角公式将函数化简，进而结合三角函数的图象和性质解得答案.【详解】f (x )=1+cos 2x -π3 2-cos2x =12+1212cos2x +32sin2x -cos2x =34sin2x -34cos2x +12=32sin 2x -π3 +12，则f x 的最大值为1+32，A 正确；易知f x 图象的对称中心的纵坐标为12，B 错误；令2x -π3=π2+k π(k ∈Z )，得x =5π12+k π2(k ∈Z )，此即f x 图象的对称轴方程，C 正确；由f (x )=32sin 2x -π3 +12=0，得sin 2x -π3 =-33，当x ∈[0,2π]时，2x -π3∈-π3,11π3，作出函数y =sin x x ∈-π3,11π3 的图象，如图所示：所以方程sin 2x -π3 =-33在[0,2π]上有4个不同的实根，即f (x )在[0,2π]上有4个零点，D 正确.故选：ACD .18.(2022秋·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期末)已知函数f x =sin n x +cos n x x ∈N * ，则()A.对任意正奇数n ，f x 为奇函数B.对任意正整数n ，f x 的图象都关于直线x =π4对称C.当n =1时，f x 在-π2,π2上的最小值为-1【分析】对A：取n=1，易得f(x)=sin x+cos x不是奇函数，从而即可判断；对B：利用诱导公式计算fπ2-x=f(x)即可判断；对C：利用三角函数的知识即可求解；对D：n=4时，利用三角恒等变换化简解析式得f(x)=14cos4x+34，从而即可求解.【详解】解：对A：取n=1，则f(x)=sin x+cos x，此时f(0)=1≠0，所以f(x)不是奇函数，故选项A错误；对B：因为fπ2-x=sin nπ2-x+cos nπ2-x=cos n x+sin n x=f(x)，所以f(x)的图象关于直线x=π4对称，故选项B正确；对C：当n=1时，f(x)=sin x+cos x=2sin x+π4，因为-π2≤x≤π2，所以-π4≤x+π4≤3π4，所以-22≤sin x+π4≤1，所以-1≤2sin x+π4≤2，所以f x 在-π2,π2上的最小值为-1，故选项C正确；对D：当n=4时，f(x)=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2x cos2x=1-12sin22x=1-1-cos4x4=14cos4x+34，由2kπ-π≤4x≤2kπ,k∈Z，可得-π4+kπ2≤x≤kπ2,(k∈Z)，则f(x)的递增区间为-π4+kπ2,kπ2(k∈Z)，故选项D正确．故选：BCD.19.(2022春·江苏盐城·高一统考期末)下列关于函数f x =sin4x+cos4x的说法正确的有()A.最小正周期为πB.在-π4,0上单调递增C.值域为12,1D.若x=x0为f x 的一条对称轴，则f x0=1【答案】BC【分析】利用二倍角公式化简可得f x =14cos4x+34，根据余弦型函数的最小正周期、单调性、值域和对称性的求法依次判断各个选项即可.【详解】f x =sin4x+cos4x=sin2x+cos2x2-2sin2x cos2x=1-12sin22x=14cos4x+34；对于A，f x 的最小正周期T=2π4=π2，A错误；对于B，当x∈-π4 ,0时，4x∈-π,0，∴f x 在-π4 ,0上单调递增，B正确；对于C，∵cos4x∈-1,1，∴14cos4x+34∈12,1，即f x 的值域为12,1，C正确；对于D，若x=x0为f x 的一条对称轴，则f x0=1或12，D错误.故选：BC.1C.cos20°cos40°+sin200°sin140°D.tan20°+tan25°+tan20°tan25°【答案】AC【分析】选项A 逆用二倍角的正弦求值；选项B 逆用二倍角的正切求值；选项C 逆用两角和的余弦公式求值；选项D 利用两角和的正切公式求值.【详解】解：因为2sin75°cos75°=sin 2×75° =12，故选项A 正确；因为3tan15°1-tan 215°=32×2tan15°1-tan 215°=32tan30°=32≠12，故选项B 错误；因为cos20°cos40°-sin20°sin40°=cos60°=12，故选项C 正确；因为1=tan 20°+25° =tan20°+tan25°1-tan20°tan25°，整理得，tan20°+tan25°+tan20°tan25°=1，故选项D错误；故选：AC .21.(2022春·江苏南通·高一统考期末)已知向量a =(sin ωx ，cos ωx )(ω>0)，b =sin 2ωx 2+π4 ,cos 2ωx 2，函数f x =a ⋅b，则()A.若f (x )的最小正周期为π，则f (x )的图象关于点3π8,0对称B.若f (x )的图象关于直线x =π2称，则ω可能为12C.若f (x )在-2π5,π6 上单调递增，则ω∈0,32D.若f (x )的图象向左平移π3个单位长度后得到一个偶函数的图象，则ω的最小值为32【答案】BC【分析】首先化简函数f x ，再根据三角函数的周期，对称，单调性，以及图象平移，即可判断选项.【详解】f x =a ⋅b =sin ωx ⋅sin 2ωx 2+π4 +cos ωx ⋅cos 2ωx2=sin ωx ⋅1-cos ωx +π2 2 +cos ωx ⋅1+cos ωx 2 =sin ωx ⋅1+sin ωx 2+cos ωx ⋅1+cos ωx2=12sin ωx +cos ωx +12=22sin ωx +π4 +12,A .若函数的最小正周期为π，则ω=2，即f x =22sin 2x +π4 +12，当x =3π8时，2×3π8+π4=π，此时f x =12，所以函数关于3π8,12对称，故A 错误；B .若函数的图象关于直线x =π2对称，则ω⋅π2+π4=π2+k π，k ∈Z ，得ω=12+2k ，k ∈Z ，所以ω的可能为12，故B 正确；C . 当x ∈-2π5,π6 时，ωx +π4∈-2π5ω+π4,π6ω+π4 ，则-2π5ω+π4≥-π2π6ω+π4≤π2ω>0，解得：0<ω≤32，故C 正确；D .函数f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到g x =22sin ωx +π3 +π4 +12，函数g x 是偶函数，则当x =0时，ω⋅π3+π4=π2+k π,k ∈Z ，得ω=34+3k ，k ∈Z ，且ω>0，所以ω的最小值是34，故D 错误.故选：BC22.(2022春·江苏镇江·高一统考期末)tan75°=()A.2+3B.1+cos150°1-cos150°C.sin150°1+cos150°D.tan25°tan35°tan85°【答案】ACD【分析】根据两角和的正切公式及特殊角的三角函数值判断A ，由正切半角公式判断BC ，由tan 60°-α tan 60°+α tan α=tan3α，令α=25°即可判断出D .【详解】tan75°=tan (45°+30°)=tan45°+tan30°1-tan45°tan30°=1+331-33=2+3，故A 正确；由正切的半角公式知tan75°=1-cos150°1+cos150°，故B 错误；tan75°=sin75°cos75°=2sin75°cos75°2cos 275°=sin150°1+cos150°，故C 正确；∵tan 60°-α tan 60°+α tan α=tan3α，令α=25°，得tan75°=tan25°tan35°tan85°，可得D 正确.故选：ACD .23.(2022春·江苏苏州·高一校联考期末)计算下列各式的值，其结果为1的有()A.cos40°1+3tan10°B.121cos80°-3sin80° C.sin140°3-tan190°D.4sin18°⋅sin54°【答案】ACD【分析】由商数关系、诱导公式、和差角公式及倍角公式依次化简求值即可求解.【详解】对于A ，cos40°1+3tan10° =cos40°1+3sin10°cos10° =cos40°⋅cos10°+3sin10°cos10°=cos40°⋅2sin 30°+10° cos10°=2sin40°cos40°cos10°=sin80°cos10°=sin 90°-10° cos10°=cos10°cos10°=1，A 正确；对于B ，121cos80°-3sin80° =12⋅sin80°-3cos80°sin80°cos80°=2sin 80°-60° sin160°=2sin20°sin 180°-20°=2，B错误；对于C ，sin140°3-tan190° =sin140°3-sin190°cos190° =sin140°⋅3cos190°-sin190°cos190°sin 190°+90° cos190°=cos190°cos190°=1，C 正确；对于D ，4sin18°⋅sin54°=4sin 90°-72° ⋅sin 90°-36° =4cos72°⋅cos36°=4cos72°⋅cos36°⋅sin36°sin36°=2cos72°⋅sin72°sin36°=sin144°sin36°=sin 180°-36° sin36°=sin36°sin36°=1，D 正确.故选：ACD .24.(2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末)已知函数f (x )=|cos2x |+cos |x |，有下列四个结论，其中正确的结论为()A.f (x )在区间3π4,3π2上单调递增 B.π是f (x )的一个周期C.f (x )的值域为-22,2D.f (x )的图象关于y 轴对称【答案】CD【解析】代入特殊值检验，可得A 错误；求得f (x +π)的表达式，即可判断B 的正误；分段讨论，根据x 的范围，求得cos x 的范围，利用二次函数的性质，即可求得f (x )的值域，即可判断C 的正误；根据奇偶性的定义，即可判断f (x )的奇偶性，即可判断D 的正误，即可得答案.【详解】对于A ：因为x ∈3π4,3π2 ，所以2x ∈3π2,3π，f 5π4 =cos 5π2 +cos 5π4 =-22,f (π)=cos2π +cosπ=0，所以f 5π4 <f (π)，所以f (x )在区间3π4,3π2上不是单调递增函数，故A 错误；对于B ：f (x +π)=|cos2(x +π)|+cos |x +π|=cos2x +cos |x +π|≠cos2x +cos |x |，所以π不是f (x )的一个周期，故B 错误；对于C ：f (x +2π)=|cos2(x +2π)|+cos |x +2π|=cos2x +cos |x |=f (x )，所以f (x )的周期为2π，当x ∈0,π4 时，cos x ∈22,1，f (x )=|cos2x |+cos |x |=cos2x +cos x =2cos 2x -1+cos x ∈22,2；当x ∈π4,3π4 时，cos x ∈-22,22，f (x )=|cos2x |+cos |x |=-cos2x +cos x =1-2cos 2x +cos x ∈-22,98；当x ∈3π4,5π4 时，cos x ∈-1,-22 ，f (x )=|cos2x |+cos |x |=cos2x +cos x =2cos 2x -1+cos x ∈-22,0；当x ∈5π4,7π4 时，cos x ∈-22,22，f (x )=|cos2x |+cos |x |=-cos2x +cos x =1-2cos 2x +cos x ∈-22,98；当x ∈7π4,2π 时，cos x ∈22,1 ，f (x )=|cos2x |+cos |x |=cos2x +cos x =2cos 2x -1+cos x ∈综上：f (x )的值域为-22,2，故C 正确；对于D ：f (-x )=|cos (-2x )|+cos |(-x )|=|cos2x |+cos |x |=f (x )，所以f (x )为偶函数，即f (x )的图象关于y 轴对称，故D 正确，故选：CD【点睛】解题的关键是根据的f (x )解析式，结合函数的奇偶性、周期性求解，考查分类讨论，化简计算的能力，综合性较强，属中档题.25.(2022秋·江苏无锡·高一统考期末)已知函数f (x )=sin n x +cos n x n ∈N * ，则()A.当n =4时，f (x )的最小正周期是π2B.当n =6时，f (x )的值域是14,1C.当n =2k -1k ∈N * 时，f (x )为奇函数D.对∀n ∈N *,f (x )的图象关于直线x =π4对称【答案】ABD【分析】先把n 值代入函数f (x )的解析式，化简整理成正弦型三角函数，再去求最小正周期、值域；依据定义去判断奇偶性、对称轴即可解决.【详解】选项A ：当n =4时，f (x )=sin 4x +cos 4x =sin 2x +cos 2x 2-2sin 2x cos 2x =1-12sin 22x =14cos4x +34最小正周期是π2.判断正确；选项B ：当n =6时，f (x )=sin 6x +cos 6x =sin 2x +cos 2x sin 4x -sin 2x cos 2x +cos 4x =sin 2x +cos 2x 2-3sin 2x cos 2x =1-34×1-cos4x 2=38cos4x +58f (x )的值域是14,1.判断正确；选项C ：当n =2k -1时，f (x )=sin 2k -1x +cos 2k -1x 则f (-x )=sin 2k -1-x +cos 2k -1-x =-sin 2k -1x +cos 2k -1x 故f (-x )≠-f (x )，即f (x )不是奇函数. 判断错误；选项D ：f (x )=sin n x +cos n x n ∈N * f π2-x =sin n π2-x +cos n π2-x =cos n x +sin n x =f (x )则f (x )的图象关于直线x =π4对称. 判断正确.故选：ABD三、填空题26.(2022春·江苏南京·高一统考期末)tan15°=.【答案】2-3##-3+2【分析】利用正切的差角公式进行求解.【详解】tan15°=tan 45°-30° =tan45°-tan30°=1-33=3-3=12-63=2-327.(2022春·江苏镇江·高一统考期末)求值：sinπ8⋅cos π8=．【答案】24【分析】根据二倍角的正弦公式逆用，计算即可得答案.【详解】由题意得sin π8⋅cos π8=12sin 2×π8 =12sin π4=24.故答案为：2428.(2022春·江苏南通·高一统考期末)如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形ABC 的斜边AB ，直角边BC 、AC ，点D 在以AC 为直径的半圆上．已知以直角边AC 、BC 为直径的两个半圆的面积之比为3，cos ∠DAB =45，则cos ∠DAC =．【答案】43+310【分析】由以直角边AC 、BC 为直径的两个半圆的面积之比为3，可得ACBC=3，进而可得∠BAC =π6，从而利用两角差的余弦公式即可求解.【详解】解：因为以直角边AC 、BC 为直径的两个半圆的面积之比为3，所以ACBC=3，所以在直角三角形ABC 中∠BAC =π6，因为cos ∠DAB =45，所以sin ∠DAB =35，所以cos ∠DAC =cos ∠DAB -π6 =cos ∠DAB cos π6+sin ∠DAB sin π6=45×32+35×12=43+310，故答案为：43+310.29.(2022春·江苏扬州·高一统考期末)tan75°的值为．【答案】2+3##3+2【分析】根据tan75°=tan 30°+45° ，结合两角和的正切公式求解即可【详解】tan75°=tan 30°+45° =tan30°+tan45°1-tan30°tan45°=1+331-33=3+13-1=3+1 23-1 3+1=2+330.(2022春·江苏常州·高一校联考期末)已知cos α+sin α-π6=0，则tan2α=．【答案】-3【分析】由两角差的正弦公式展开，由商数关系求得tan α，然后由二倍角的正切公式计算．【详解】cos α+sin α-π6 =cos α+sin αcos π6-cos αsin π6=12cos α+32sin α=0，tan α=-33，tan2α=2tan α1-tan 2α=2×-33 1--332=-3．故答案为：-3．31.(2022春·江苏连云港·高一统考期末)已知α是锐角，sin α=35，则cos α-π4的值是．【答案】7210##7102【分析】结合同角三角函数的基本关系式、两角差的余弦公式求得正确答案.【详解】由于α是锐角，sin α=35，所以cos α=1-sin 2α=45，所以cos α-π4 =cos αcos π4+sin αsin π4=2235+45 =7210.故答案为：721032.(2022秋·江苏常州·高一校考期末)已知tan α、tan β是方程x 2-33x +4=0的两根，且α、β∈-π2,π2，则α+β的值等于.【答案】2π3【分析】根据一元二次方程根与系数关系，结合两角和的正切公式进行求解即可.【详解】已知tan α、tan β是方程x 2-33x +4=0的两根，所以有tan αtan β=4>0tan α+tan β=33>0⇒α、β∈0,π2⇒α+β∈0,π ，tan α+β =tan α+tan β1-tan αtan β=331-4=-3，因为α+β∈0,π ，所以α+β=2π3，故答案为：2π333.(2022春·江苏淮安·高一统考期末)已知cos α+π3 =13，且α∈0,π2 ，则sin 2α+π6的值为．【答案】79【分析】由诱导公式与二倍角公式求解即可π2ππ2π故答案为：7934.(2022春·江苏扬州·高一期末)在△ABC 中，AC =2BC =6，∠ACB 为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且MN =2，若CM ⋅CN的最小值为3，则cos ∠ACB =．【答案】2-2109【分析】取线段MN 的中点P ，结合向量数量积求出边AB 上的高CO ，进而求出∠OCA ,∠OCB 的正余弦即可求解作答.【详解】取线段MN 的中点P ，连接CP ，过C 作CO ⊥AB 于O ，如图，PM =12MN =1，依题意，CM ⋅CN =CP +PM ⋅CP -PM =CP 2-PM 2=CP2-1，因CM ⋅CN 的最小值为3，则CP 的最小值为2，因此CO =2，在Rt △AOC 中，cos ∠OCA =CO CA=13，sin ∠OCA =223，在Rt △BOC 中，cos ∠OCB =CO CB =23，sin ∠OCB =53，所以cos ∠ACB =cos (∠OCA +∠OCB )=cos ∠OCA cos ∠OCB -sin ∠OCA sin ∠OCB =2-2109.故答案为：2-2109【点睛】关键点睛：涉及定长的线段两端点向量数量积，取线段的中点，借助向量数量积的计算公式求解是关键.35.(2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末)如图，正方形ABCD 的边长为10米，以点A 为顶点，引出放射角为π6的阴影部分的区域，其中∠EAB =x ，π12≤x ≤π4，记AE ，AF 的长度之和为f x ．则f x 的最大值为．【答案】106【分析】由题意结合三角恒等变换得到f (x )=203sin x +π3sin 2x +π6+12且π12≤x ≤π4，令t =sin x +π3∈6+24,1 ，进一步得到f (x )=g (t )=2032t -1，由函数单调性求最大值即可.而∠FAD=∠EAB+∠EAF∈π4,5π12，故∠DAF=π3-x∈π12,π4，所以AF=ADcosπ3-x=10cosπ3-x，综上，f(x)=101cos x+1cosπ3-x且π12≤x≤π4，所以f(x)=101cos x+2cos x+3sin x=10⋅3cos x+3sin xcos x(cos x+3sin x)=203sin x+π3sin2x+π6+12，令t=sin x+π3∈6+24,1，则t2=sin2x+π3=1-cos2x+2π32=1-cosπ2+2x+π62=1+sin2x+π62，所以sin2x+π6=2t2-1，故f(x)=g(t)=2032t-12t 在t∈6+24,1上递减，所以f(x)max=g(t)max=g6+24=2036+22-26+2=106，此时x=π12或x=π4.故答案为：106。
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.在中，已知，且，则的轨迹方程（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由正弦定理得：所以点轨迹是以为焦点，实轴长为4,的双曲线的左支；故选B2.（9分）.求证：△ABC是等边三角形的充要条件是，这里是的三条边。
【答案】略【解析】略3.已知函数,则要得到其导函数的图象,只需将函数的图象( ) A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】 C【解析】略4.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】C【解析】由图可知则，又，结合可知，即，为了得到的图象，只需把的图象上所有点向右平移个单位长度．【考点】函数图象、图象的平移．5.化为弧度是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】．故选B．【考点】角度制化弧度制．6.在中，若，，的面积为，则= ．【答案】【解析】，，，．【考点】余弦定理．7.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像，再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为．故选D．【考点】三角函数图像变换：周期变换、左右平移．8.在△ABC中，若lg sin A－lg cos B－lg sin C＝lg 2，则△ABC是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】,，，．是等腰三角形．故A正确．【考点】1正余弦定理；2两角和差公式．9.．三角形ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b是方程x2－2x＋2＝0的两根，且2cos（A＋B）＝1．（1）求角C的度数；（2）求c；（3）求△ABC的面积．【答案】（1）120°；（2）；（3）【解析】（1）已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简求出A+B的值，进而确定出C的值；（2）由a、b是方程x2－2x＋2＝0的两根，利用韦达定理表示出a+b与ab，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形后，将a+b与ab的值代入计算即可求出c的值；（3）由ab及sinC的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积试题解析：（1）∵2cos（A＋B）＝1，∴cosC＝－．∴角C的度数为120°（2）∵a、b是方程x2－2x＋2＝0的两根，∴a＋b＝2，ab＝2，c2＝a2＋b2－2abcosC＝（a＋b）2－2ab（cosC＋1）＝12－2＝10．∴c＝（3）S＝absinC＝【考点】1．余弦定理；2．两角和与差的余弦函数；3．正弦定理10.（本大题满分10分）在锐角△ABC中，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）当时，求面积的最大值．【答案】（Ⅰ）60°；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由利用两角和与差的三角函数展开可求sin A，进而可求A（Ⅱ）由题 a=2，结合余弦定理，利用基本不等式可求bc的范围，进而可求三角形面积的最大值试题解析：（Ⅰ）因为cosB＋cos（A－C）＝sin C，所以－cos （A＋C）＋cos （A－C）＝sin C，得2sin A sin C＝sinC，故sin A＝．因为△ABC为锐角三角形，所以A=60°．（Ⅱ）解：设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由题意知 a＝2，由余弦定理得4＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc≥bc，所以△ABC面积＝bcsin60°≤，且当△ABC为等边三角形时取等号，所以△ABC面积的最大值为．【考点】1．两角和与差的余弦函数；2．余弦定理11.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度__________m．【答案】【解析】设此山高h（m），在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h．设此山高h（m），则，在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．根据正弦定理得【考点】解三角形的实际应用12.在中,内角对边的边长分别是．已知．（Ⅰ）若的面积等于,求;（Ⅱ）若,求的面积．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，，又因为的面积等于，得，联立方程组，即可求出结果；（Ⅱ）由题意得，即，分和两种情况讨论，即可求解．试题解析:（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，，又因为的面积等于，所以，得．联立方程组解得，．（Ⅱ）由题意得，即，当时，，，，，当时，得，由正弦定理得，联立方程组解得，．所以的面积．【考点】1．余弦定理；2．正弦定理．13.数列{a}为等差数列，若a＋a＝，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】为等差数列，所以，所以，故正确选项为D．【考点】1、等差数列性质的运用；2、角的正切值．14.在△中，如果，，，那么△的面积等于．【答案】或【解析】由得或，所以或，所以三角形面积为或【考点】1．正弦定理解三角形；2．三角形面积公式15.在△中，分别为角所对的边，若，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【考点】1．正弦定理解三角形；2．三角函数基本公式16.设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2bsinA．（1）求B的大小；（2）若a＝3，c＝5，求b．【答案】（1）（2）【解析】（1）由于锐角△ABC中，a=2bsinA，利用正弦定理将等式两边的边化成相应角的正弦即可；（2）由（1）得B=30°，又，c=5，利用余弦定理可求得b，试题解析：（1）由a＝2bsinA，得sinA＝2sinBsinA，所以sinB＝．由△ABC为锐角三角形，得B＝．（2）根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2acosB＝27＋25－45＝7，所以b＝．---6分【考点】正余弦定理解三角形17.已知点 D 为ΔABC 的边 BC 上一点．且 BD =2DC，∠ACD=30°，AD =．求：（I）求CD的长；（II）求ΔABC的面积．【答案】（I）2；（II）．【解析】（I）直接根据正弦定理求解即可；（II）利用两角和的正弦公式求得的值，利用面积公式求得的值，再由求得结果．试题解析：解：（I）因为,所以．在中,,根据正弦定理有所以．（II）由，可得．又在中,,．所以,所以．【考点】1、正弦定理；2、两角和的正弦公式；3、三角形的面积公式．18.（2011•韶关一模）已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=，b=，B=60°，那么∠A等于（）A．135° B．45° C．135°或45° D．60°【答案】B【解析】结合已知条件a=，b=，B=60°，由正弦定理可得，可求出sinA，结合大边对大角可求得A解：a=，b=，B=60°，由正弦定理可得，a＜b A＜B=60°A=45°故选B【考点】正弦定理．19.在中，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【考点】余弦定理解三角形20.ΔABC中，角的对边分别是，a=1，b=，∠A=30°，则∠B等于A．60°B．60°或120°C．120°D．无解【答案】B【解析】由正弦定理得【考点】正弦定理解三角形21.（2015秋•福建期末）已知函数f（x）=（sin2x﹣cos2x+）﹣sin2（x﹣），x∈R．（1）求函数f（x）的弹道递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）=1，b=2，求△ABC的面积的最大值．【答案】（1）函数f（x）的单调递增区间[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）△ABC的面积的最大值为．【解析】（1）f（x）解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的单调性确定出f（x）的递增区间即可；（2）f（B）=1，求出B的度数，利用余弦定理列出关系式，把b，cosB的值代入，并利用基本不等式求出ac的最大值，即可确定出三角形面积的最大值．解：（1）f（x）=（﹣cos2x）﹣[1﹣cos（2x﹣）]=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，得到kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，则函数f（x）的单调递增区间[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）由f（B）=1，得到sin（2B﹣）=1，∴2B﹣=，即B=，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即4=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac，即ac≤4，∴S=acsinB=ac≤，△ABC则△ABC的面积的最大值为．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．22.某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是（）A．15km B．30km C．15 km D．15km【答案】A【解析】如图所示，设灯塔位于A处，船开始的位置为B，航行45海里后处C处，根据题意算出∠BAC和∠BAC的大小，在△ABC中利用正弦定理计算出AC长，可得该时刻船与灯塔的距离．解：设灯塔位于A处，船开始的位置为B，航行45km后处C处，如图所示∠DBC=60°，∠ABD=30°，BC=45∴∠ABC=60°﹣30°=30°，∠BAC=180°﹣60°=120°．△ABC中，由正弦定理，可得AC===15（km）．即船与灯塔的距离是15（km）．故选：A【考点】正弦定理的应用；余弦定理．23.已知，则（）A．B．C．2D．【答案】B【解析】由于得所以故选B.【考点】同角三角函数基本关系式与诱导公式.24.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝（）A．B．C．－D．－【答案】A【解析】由正弦定理得，又，所以，所以．故选A．【考点】正弦定理，同角间的三角函数关系．25.在中，，则边上的高所在直线方程为________．【答案】【解析】由题意得，直线的斜率为，所以边上的高所在直线的斜率为，由直线的点斜式方程可知边上的高所在直线方程为，整理得．【考点】两直线的位置关系及直线方程的求解．26.设a＞0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），那么sinα+2cosα的值等于．【答案】﹣【解析】试题分析:利用任意角三角函数定义求解．解：∵a＞0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），∴x=﹣3a，y=4a，r==5a，∴sinα+2cosα==﹣．故答案为：﹣．【考点】任意角的三角函数的定义．27.在中，若，那么一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．形状不确定【答案】B【解析】由，则，所以角都为锐角，又，得，即，又，所以，所以角为钝角，所以三角形为钝角三角形，故选B.【考点】三角函数的基本关系式及三角函数的恒等变换.28.已知函数 .（1）求的最大值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用辅助角公式，化简，即可求解的最大值；（2）由，得，平方即可求解的值.试题解析：（1）的最大值为.（2），即，，【考点】三角函数的性质及三角函数的化简求值.29.化简（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，故选A．【考点】三角函数的基本关系式．30.已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos B＋bsin A＝c.（1）求角A的大小；（2）若a＝1，＝3，求b＋c的值．【答案】（1）（2）2＋.【解析】（1）先由正弦定理将变化为角：sin Acos B＋sin Bsin A＝sinC，再利用诱导公式得sin Acos B＋sin Bsin A＝sin (A＋B)，由两角和正弦公式得sin BsinA＝cos Asin B，所以tan A＝，故A＝.（2）先由向量数量积得bccos＝3，即bc＝2，再由余弦定理得：1＝b2＋c2－2bccos，两者结合得b＋c＝2＋.试题解析：解（1）由acos B＋bsin A＝c，得sin Acos B＋sin Bsin A＝sin (A＋B)，即sin BsinA＝cos Asin B，所以tan A＝，故A＝.（2）由＝3，得bccos＝3，即bc＝2，①又a＝1，∴1＝b2＋c2－2bccos，②由①②可得(b＋c)2＝7＋4，所以b＋c＝2＋.【考点】正余弦定理，诱导公式31.中，已知,的平分线把三角形分成面积为的两部分，则等于 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因为的平分线把三角形分成面积为的两部分，，即，又，所以，由正弦定理得，所以,故选A.【考点】1.三角形内角平分线性质定理；2.正弦定理；3.二倍角公式.32.的三边分别是，，，则的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】C【解析】由题意得，设边长分别为，由余弦定理，得，所以为钝角，所以为钝角三角形，故选C．【考点】余弦定理的应用．33.已知函数，其中，若对x∈R恒成立，且，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】若对x∈R恒成立,所以，即，又，所以或，当时，，不任命题意，当时，，符合题意，所以，故选C．【考点】三角函数和图象与性质．34.将函数的图像向右平移单位得到函数的图像，则A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，若时，，故选D.【考点】三角函数图像平移.35.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sin（ωx）的图象，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x=对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称【答案】A【解析】由条件利用正弦函数的周期性，以及正弦函数的图象的对称性，得出结论．解：由函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，可得=π，求得ω=2，f（x）=sin（2x+φ）．其图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sin（2x）的图象，故有sin[2（x﹣）+φ]=sin2x，故可取φ=，f（x）=sin（2x+）．令2x+=kπ+，k∈Z，求得x=+，故函数f（x）的图象的对称轴方程为x=+，k∈Z．令2x+=kπ，k∈Z，求得x=﹣，故函数f（x）的图象的对称中心为（﹣，0），k∈Z，故选：A．36.若，则= .【答案】【解析】令,因,故,所以,故应填.【考点】函数的概念和二倍角公式.37.已知函数（，）的最大值为，且最小正周期为．（Ⅰ）求函数的解析式及其对称轴方程；（Ⅱ）若，求的值．【答案】（Ⅰ）,对称轴为（）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）运用等价转化的方法将问题进行转化与化归；（Ⅱ）借助题设条件将复合命题分类转化进行求解.试题解析:（Ⅰ），由题意的周期为，所以，得最大值为，故，又，令，解得的对称轴为（）．（Ⅱ）由知，即，【考点】三角函数的图像和性质及三角变换公式的运用．【易错点晴】本题以函数的最大值和最小正周期为背景,考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质.解答时先从题设中的条件入手,先运用倍角公式将其化简为的形式,再运用所学知识求出其中的参数的值,最后再解决题设中提出的问题即可.需要强调是对称轴的方程是是取得最值的的值,即,学生在求解时很容易错写成从而致错.38.如图，为测得河对岸塔的高，先在河岸上选一点，使在塔底的正东方向上，测得点的仰角为，再由点沿北偏东，方向走10米到位置，测得，则塔的高度为（）A．10米B．米C．米D．米【答案】D【解析】由题设可知,故,运用正弦定理可得,则,所以应选D.【考点】正弦定理及运用．39.函数f（x）=cos2x的周期是．【答案】π【解析】解：f（x）=cos2x，∵ω=2，∴T==π．故答案为：π．【点评】本题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键，是基础题．40.在DABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边.若=2，，则=( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由正弦定理可得，，又，由余弦定理可得，，又，所以.【考点】1.正弦定理；2.余弦定理.41.已知函数．（1）求及的单调递增区间；（2）求在闭区间的最值．【答案】（1）,；（2）最大值为，最小值为．【解析】（1）将原函数由倍角公式和辅助角公式,可得化为,看成整体,利用正弦函数的单调递区间求得此函数的单调增区间；（2）先求出对应的的范围,再进一步得出对应的正弦值的取值,可得函数值的取值范围,可得函数最值.试题解析：（1），则，，单调递增区间，（2）由，则，所以最大值为1，最小值为．【考点】1.三角恒等变换；2.三角函数性质.【知识点睛】本题主要考查辅助角公式及三角函数的性质.对于函数的单调区间的确定,基本思路是把视做一个整体,由解出的范围所得区间即为增区间,由解出的范围,所得区间即为减区间.若函数中,可用诱导公式先将函数变为,则的增区间为原函数的减区间,减区间为原函数的增区间.42.如图，测量河对岸的塔高时，选与塔底在同一水平面内的两个测点与，测得，米，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高．【答案】【解析】在中，由正弦定理，得，在中，．【考点】三角形的实际应用．【方法点晴】本题主要考查了三角形的实际应用问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理、直角三角形的性质、三角函数的定义等知识的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题，本题的解答中正确的理解题意，恰当选择三角形，利用正、余弦定理求解是解答的关键．43.已知,,分别为三个内角,,的对边，.（1）求；（2）若,的面积为，求,.【答案】（1）（2）【解析】（1）由正弦定理有，可以求出A；（2）由三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c试题解析：（1）由及正弦定理得由于，所以，又，故.（2）的面积,故，而故，解得.【考点】正余弦定理解三角形44.已知函数．（1）求的单调增区间；（2）若为的一个零点，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）先利用二倍角公式、两角和差的正弦公式将函数表达式转化为的形式，再利用三角函数的性质进行求解；（2）先利用同角三角函数基本关系式求出的余弦值，再利用和两角和的余弦公式进行求解．试题解析：（Ⅰ），所以的最小正周期为，因为函数的单调递增区间是；（Ⅱ），，，．【考点】1．三角恒等变换；2．三角函数的图象与性质．45.在△中，若，则△的形状是（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【答案】B【解析】由可得,即,故或,即或,所以是等腰或直角三角形,故应选B.【考点】同角三角函数的关系与正弦定理的综合运用.【易错点晴】本题以三角形的变角之间的关系为背景考查的是三角形形状的判别的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,利用先将题设条件化为,再运用正弦定理和二倍角公式将其化为,最后得到或,即或,所以是等腰或直角三角形.46.在中，面积，则A．B．7C．55D．49【答案】C【解析】由面积公式得【考点】三角形面积47.已知△ABC中,三内角A.B.C成等差数列,边A.B.C依次成等比数列,则△ABC是（）A.直角三角形B.等边三角形C.锐角三角形D.钝角三角形【答案】B【解析】：∵△ABC中，三内角A.B.C的度数成等差数列，∴A+C=2B，又A+B+C=180°，∴B=60°．又边A.B.c依次成等比数列，∴b2=ac，在△ABC中，由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB= a2+c2-2accos60°，∴a2+c2-2accos60°=ac，∴（a-c）2=0，∴a=c，∴A=C，又B=60°，∴△ABC为等边三角形【考点】三角形的形状判断48.如图，在凸四边形中，为定点，,为动点，满足.（1）写出与的关系式；（2）设△BCD和△ABD的面积分别为和，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】（Ⅰ）在三角形BCD和三角形BCD中，利用余弦定理表示出BD2，两者相等表示即可得到cosC与cosA的关系式；（Ⅱ）利用三角形面积公式变形出S与T，进而表示出，将第一问表示出的cosA代入得到关于cosC的二次函数，利用二次函数性质即可求出的最大值试题解析：（Ⅰ）连接BD，∵CD=，AB=BC=DA=1，∴在△BCD中，利用余弦定理得：BD2=BC2+CD2-2BC•CDcosC=4-2cosC；在△ABD中，BD2=2-2cosA，∴4-2cosC=2-2cosA，则cosA=cosC-1（II）…由题意易知，,所以当时，有最大值.【考点】余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数间的基本关系49.在中，，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于，根据正弦定理可知，故．又，则的范围为.故本题正确答案为C.【考点】三角形中正余弦定理的运用.50.在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－．（1）求角B的大小；（2）若b＝，a＋c＝4，求的面积．【答案】(1);(2).【解析】(1)借助题设条件运用余弦定理求解；(2)借助题设运用余弦定理和三角形面积公式探求. 试题解析(1)由余弦定理知：cos B＝，cos C＝.将上式代入＝－得：·＝－，整理得：a2＋c2－b2＝－ac.∴cos B＝＝＝－.∵B为三角形的内角，∴B＝.(2)将b＝，a＋c＝4，B＝代入b2＝a2＋c2－2accos B，得b2＝(a＋c)2－2ac－2accos B，∴13＝16－2ac，∴ac＝3.∴S＝acsin B＝.△ABC【考点】正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．51.在中,,,，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得【考点】解三角形52.已知的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为________【答案】【解析】设三边为，所以【考点】余弦定理解三角形53.在某海滨城市附近海面有一台风，据测，当前台风中心位于城市（如图）的东偏南方向的海面处，并以的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为，并以的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭的时间有多少小时？【答案】，.【解析】先用参数时间表示出的长度,在从中使用余弦定理求出值,进而得到时间差. 试题解析：解：设经过小时台风中心移动到点时，台风边沿恰经过城，由题意可得：，，因为，，所以，由余弦定理得：即，即，解得：，，答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭，受到台风的侵袭的时间有12小时.【考点】解三角形的应用.54.在中，点在边上，，，,，则的长为 .【答案】【解析】如图所示，延长，过作，垂足为，因为，所以，因为，所以，解得，在中，，由得，在中，，则.【考点】三角形中的几何运算.【方法点晴】本题主要考查了三角形的几何运算，其中解答中涉及到直角三角形的勾股定理、平行线的性质等知识点的综合考查，注重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中正确作出辅助线，合理利用直角三角形的勾股定理是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.55.在中，若．（1）求角的大小；（2）如果，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知可得，解得的值，结合的范围，即可得解的值；（2）由已知及余弦定理化简可得，利用三角形面积公式即可得解．试题解析：（1）∵，∴，∴原式可化为，∴，∴，解得，∴（2）由余弦定理，∴∴【考点】解三角形.56.已知分别为的三个内角的对边，.（1）求；（2）若，的面积为，求.【答案】(1)；(2).【解析】(1)借助题设条件运用正弦定理三角变换公式求解；(2)借助题设运用余弦定理及三角形面积公式建立方程组探求.试题解析：（1）由正弦定理得，，，，，，.（2），所以，，则，所以.【考点】正弦定理、余弦定理、三角变换公式及三角形面积公式等有关知识的综合运用.57.在中，，则角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A【解析】由正弦定理得，，且，则，故选A.【考点】正弦定理.58.在中，角A，B，C的对边分别是，其中为最大边，若，则角B的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】原式等价于，所以，所以,又因为角是最大角，所以,所以,故选D.【考点】正余弦定理59.在直角△中，两条直角边分别为、，斜边和斜边上的高分别为、，则的取值范围是．【答案】【解析】∵直角△中，两条直角边分别为，∴斜边，斜边上的高，因此，，∵，∴（等号取不到），即，又，设，则，，可得，∵在区间）上，∴在区间上是增函数，可得当时，的最大值为．综上所述，的取值范围是.所以答案应填：．【考点】1、正弦定理；2、基本不等式．【思路点睛】根据勾股定理和三角形面积公式，将化为关于的表达式，利用基本不等式可得．再设，则可将表示成关于的函数，研究的单调性得到在区间上是增函数，从而得到的最大值是．由此即可得到的取值范围．本题在直角三角形中，求斜边与斜边上高之和与两条直角边之和的比值范围．着重考查了勾股定理、基本不等式求最值和函数的单调性等知识，属于中档题．60.在三角形中若．则满足条件的三角形的个数有（）A．3B．2C．1D．0【答案】B【解析】由正弦定理得，由于所以有两种可能，故选B.【考点】解三角形.61.将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则__________.【答案】【解析】由题意，得，所以＝．【考点】三角函数图象的平移变换．62.在中，分别为所对的边，若函数有极值点，则的范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知可得有两个不等实根.【考点】1、余弦定理；2、函数的极值.【方法点晴】本题考查余弦定理，函数的极值，涉及函数与方程思想思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先利用转化化归思想将原命题转化为有两个不等实根，从而可得.63.在中,角、、所对的边分别为、、.已知，且.（1）求的值；（2）若,求周长的范围.【答案】(1);(2).【解析】（1）利用三角形内角和定理化简已知条件得到，利用正弦定理求得；（2）利用正弦定理，将三角形的三条边转化为角的形式，然后利用辅助角公式化简，最后根据三角函数值域的求法求得周长的取值范围.试题解析：（1）：由得到得到：，由于，故由正弦定理得到;(2)由正弦定理得到,故得到，于是64.已知、、分别是的三个内角、、的对边.（1）若面积求、的值；（2）若，且，试判断的形状．【答案】（1）,,（2）等腰直角三角形.【解析】（1）解三角形问题，一般利用正余弦定理进行边角转化.首先根据面积公式解出b边，得，再由由余弦定理得：，所以，（2）判断三角形形状，利用边的关系比较直观. 因为，所以由余弦定理得：，所以，在中，，所以，所以是等腰直角三角形.解：（1）， 2分，得 3分由余弦定理得：， 5分所以 6分（2）由余弦定理得：，所以 9分在中，，所以 11分所以是等腰直角三角形； 12分【考点】正余弦定理65.已知的终边过点，且，则__________．【答案】-4【解析】，解得，则，解得.66.已知均为锐角，则__________【答案】【解析】由于都是锐角，所以，所以，，所以．点睛：在三角函数恒等变换中，灵活应用三角公式是解题的关键，要注意公式中“单角”与得“复角”是相对的，例如以下角的变换经常用到：，，．67.求证：.【答案】详见解析.【解析】左边根据商的关系可将正切化为正弦、余弦，通分、配方后再根据正弦、余弦的二倍角公式可得结果.试题解析：左边=右边.68. (1)已知f(x)＝，求f(－)的值(2)已知－π<x<0，sin(π＋x)－cos x＝－.①求sin x－cos x的值；②求的值.【答案】（1）－1.（2）①－.②－.【解析】（1）解析式利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间基本关系变形，将代入计算即可求出值；（2）①利用，将和平方，即可求出结果，注意与的大小关系；②利用二倍角公式和同角三角函数的基本关系，代入相应的值即可求出结果..试题解析：(1)f(x)＝＝－tan2x，f(－)＝－tan2(－)＝－tan2π＝－1.解①由已知，得sin x＋cos x＝， sin2x＋2sin x cos x＋cos2x＝，整理得2sin x cos x＝－.∵(sin x－cos x)2＝1－2sin x cos x＝.由－π<x<0，知sin x<0，又sin x＋cos x>0，∴cos x>0，sin x－cos x<0，故sin x－cos x＝－.②＝＝＝＝－.69.已知，且.（I）将表示为的函数，若记此函数为，求的单调递增区间；（Ⅱ）已知分别为的三个内角对应的边长，若，且，求的面积.【答案】（1）,递增区间为（2）【解析】（1）先根据向量数量积得函数,再根据二倍角公式及配角公式将函数化为基本三角函数，最后根据正弦函数性质求单调增区间，（2）先求角A，再根据余弦定理求，最后根据面积公式求面积试题解析：（I）由得，所以由得，即函数的单调递增区间为（Ⅱ），即，，又，,由余弦定理得，即，，又，，.70.要得到函数y＝sin x的图象，只需将函数y＝cos(x－)的图象向右平移___个单位长度．【答案】【解析】，所以将的图象向右平移个单位长度即可得到的图象，故答案为.71.已知（1）求tanα；求cos(－a)·cos(－p＋a)的值．【答案】（1）5（2）【解析】（1）对已知等式化简可得，故而可得的值；（2）利用诱导公式将所求式子化为，将其化为正切的形式，根据（1）可得结果.试题解析：（1）因为，化简得sinα＝5cosα．当cosα＝0时不符合题意，所以cosα≠0，所以tanα＝5．（2）cos(－α)·cos(－π＋α)＝－sinαcosα＝72.函数的最小正周期为_____________．【答案】2【解析】函数.最小正周期为2.73.已知函数f(x)＝sin(ωx＋)－1(ω＞0)的最小正周期为，则f(x)图象的一条对称轴方程是()A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝【答案】A【解析】是的一条对称轴.74.已知（1）求sin（α-β）的值（2）求tan（α+β）的值．【答案】(1)；(2).【解析】(1)由题意结合两角和差正余弦公式即可求得的值为；(2)首先求得，然后利用两角和的正切公式可得的值为.试题解析：（1）∵∴cosα=-=-，sinβ=-=-，∴sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ==-（2）∵tan=-，tan=，∴tan（α+β）==75.函数的部分图象是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】解答：。
方法技巧专题19 三角恒等变换(解析版)
方法技巧专题19 三角恒等变换解析版一、三角恒等变换问题知识框架【一】公式顺用、逆用及其变形用1.例题 【例1】计算：(1)cos(－15°)； (2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°. 【解析】(1)方法一 原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝32×22＋12×22＝6＋24. 方法二 原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24. (2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0. 【例2】(1)计算：cos 2π12－sin 2π12； 【解析】原式＝cos π6＝32.(2)计算：1－tan 275°tan 75°；【解析】 1－tan 275°tan 75°＝2·1－tan 275°2tan 75°＝2·1tan 150°＝－2 3.(3)计算：cos 20°cos 40°cos 80°.【解析】原式＝12sin 20°·2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°＝12sin 20°·sin 40°·cos 40°cos 80°＝122sin 20°sin 80°cos 80°＝123sin 20°·sin 160°＝sin 20°23sin 20°＝18.【例3】(1)1＋tan 15°1－tan 15°＝________.【解析】3 原式＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝ 3.(2)化简：tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°. 【解析】方法一 tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37° ＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37° ＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝ 3. 方法二 ∵tan(23°＋37°)＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴3＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴3－3tan 23°tan 37°＝tan 23°＋tan 37°， ∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝ 3. （3）已知sin θ＝45，5π2＜θ＜3π，求cos θ2和tan θ2.【解析】 ∵sin θ＝45，且5π2＜θ＜3π，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.由cos θ＝2cos 2θ2－1，得cos 2θ2＝1＋cos θ2＝15.∵5π4＜θ2＜3π2，∴cos θ2＝－ 1＋cos θ2＝－55. tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝2.2.巩固提升综合练习【练习1】化简cos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45°的值为( )A.12B.32 C ．－12 D ．－32【解析】Bcos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45°＝cos 15°cos 45°＋sin 15°sin 45°＝cos(15°－45°)＝cos(－30°)＝32.【练习2】1－3tan 75°3＋tan 75°＝________.【解析】－1原式＝33－tan 75°1＋33tan 75°＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°tan 75°＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1.【练习3】在△ABC 中，A ＋B ≠π2，且tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则角C 的值为( )A.π3B.2π3C.π6D.π4 【解析】A∵tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ⇔tan(A ＋B )·(1－tan A tan B )＝3(tan A tan B －1)．(*) 若1－tan A tan B ＝0，则cos A cos B －s in A sin B ＝0，即cos(A ＋B )＝0. ∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π2与题设矛盾．∴由(*)得tan(A ＋B )＝－3，即tan C ＝ 3.又∵0<C <π，∴C ＝π3.【练习4】若sin α＋cos α＝13，则sin 2α= .【解析】由题意，得(sin α＋cos α)2＝19，∴1＋2sin αcos α＝19，即1＋sin 2α＝19，∴sin 2α＝－89.1.例题【例1】已知31)3sin(=-πα，则)6cos(πα+ 的值为( ) A ．－13 B.13 C.223 D ．－223【答案】A 【解析】∵sin )3(πα-＝13，∴cos )6(πα+＝cos )]3(2[παπ-+＝－sin )3(πα-＝－13.【例2】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点⎪⎭⎫⎝⎛--54,53P . 若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________．【答案】 －5665或1665【解析】 由角α的终边过点⎪⎭⎫⎝⎛--54,53P ，得sin α＝－45，cos α＝－35. 由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665.【例3】若1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．13 B ．13-C ．79D ．79-【答案】D 【解析】222πππcos 22cos 12cos 13326πααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2π272sin 11699α⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭2.巩固提升综合练习 【练习1】已知33)6tan(=-απ，则=+)65tan(απ________. 【答案】－33【解析】tan )65(απ+＝tan )6(αππ+-＝tan )]6([αππ--＝－tan )6(απ-＝－33. 【练习2】若1027)4sin(=+πA ，A ∈),4(ππ，则sin A 的值为( ) A.35 B.45C.35或45D.34【答案】B 【解析】∵A ∈),4(ππ，∴A ＋π4∈)45,2(ππ， ∴cos （A ＋π4）＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－210， ∴sin A ＝sin[（A ＋π4）- π4]＝sin （A ＋π4）cos π4－cos （A ＋π4）sin π4＝45.【练习3】已知sin(α−3π10)=35，则cos(α+π5)=（ ） A.−45 B.45C.−35D.35【答案】C【解析】因为sin(α−3π10)=35，则cos(α+π5)=cos[π2+(α−3π10)]=−sin(α−3π10)=−35．故应选C ． 【练习4】若sin （3x π-）=23，则cos （23x π+）=（ ）A ．79B ．19C ．19-D ．79-【答案】C 【解析】令3x πθ=-，则223x ππθ+=-，所以()21cos 2cos 2cos 22sin 139x ππθθθ⎛⎫+=-=-=-=- ⎪⎝⎭，故选C ．【练习5】已知3sin 245x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 4x 的值为（ ） A ．1825B ．1825±C ．725D ．725±【答案】C【解析】由题意得：297cos 412sin 212242525x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7sin 4cos 4225x x π⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭本题正确选项：C1.例题【例1】已知02απ<<，cos()4απ+= （1）求tan()4απ+的值； （2）求sin(2)3απ+的值．【解析】（1）∵02απ<<，cos()4απ+= ∴sin()4απ+==， ∴sin()4tan()24cos()4αααπ+π+==π+． （2）∵tan 1tan()241tan αααπ++==-，∴1tan 3α=， ∴2222sin cos 2tan 3sin 2sin cos tan 15ααααααα===++，2222cos sin cos 2sin cos ααααα-=+221tan 4tan 15αα-==+，3sin(2)sin 2cos cos 2sin 33310αααπππ++=+=．【例2】已知△ABC 中,137cos sin -=+A A ,则tanA= . 【解析】解法一：列出方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+1cos sin 137cos sin 22A A A A由第一个方程得,A A sin 137cos --=,代入第二个方程得1)sin 137(sin 22=--+A A ， 即016960sin 137sin 2=-+A A ， 解得135sin =A 或1312sin -=A ， 因为△ABC 中0<A<π, 所以sinA>0,135sin =A ，1312cos -=A ，所以125tan -=A . 答案:125-. 解法二：由已知得sinA>0, cosA<0, |sin A|<|cos A|, tanA>-1, 由137cos sin -=+A A 两边平方,整理得16960cos sin -=⋅A A ，即16960cos sin cos sin 22-=+⋅A A A A ， 分子分母同除以A 2cos 得169601tan tan 2-=+A A ， 解得125tan -=A .2.巩固提升综合练习【练习1】已知a ∈R ，sina +2cosa =√102，则tan2a =（ ）A ．−34或−35 B ．−34C ．34D ．−35【答案】B 【解析】因为sina +2cosa =√102，所以(sina +2cosa )2=52，所以sin 2a +4cos 2a +4sinacosa =52， 所以sin 2a+4cos 2a+4sin acosasin 2a+cos 2a=52，即tan 2a+4+4tanatan 2a+1=52，解得tana =3或者tana =−13，当tana =3时，tan2a =2tana1−tan 2a =−34，当tana =−13时，tan2a =2tana 1−tan 2a =−34， 综上所述，tan2a =−34，故选B 。
三角函数恒等变换练习试题及答案解析详细讲解
两角和与差的正弦、余弦、正切1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换；2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键．知识点回顾1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C α－β)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C α＋β)sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S α－β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S α＋β)tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β (T α－β) tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T α＋β) 2．二倍角公式sin 2α＝ααcos sin 2；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T α±β可变形为tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)，tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)＝tan α－tan βtan (α－β)－1. 4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．[难点正本 疑点清源]三角变换中的“三变”(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等． 热身训练1．已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝－15，则tan αtan β的值为_______．2．函数f (x )＝2sin x (sin x ＋cos x )的单调增区间为______________________．3．(2012·江苏)设α为锐角，若cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πα＝45，则 4．(2012·江西)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α等于() A ．－34B.34C ．－43D.435．(2011·辽宁)设sin(π4＋θ)＝13，则sin 2θ等于( ) A ．－79B ．－19 C.19 D.79典例分析题型一 三角函数式的化简、求值问题例1 (1)化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝⎛⎭⎫1＋tan α·tan α2； (2)求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°.在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C 2的值为________．题型二 三角函数的给角求值与给值求角问题例2 (1)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2πα＝－19，sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα2＝23，求cos(α＋β)的值； (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值． 已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β. 题型三 三角变换的简单应用例3 已知f (x )＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+x tan 11sin 2x －2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πx ·sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx (1)若tan α＝2，求f (α)的值；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．已知函数f (x )＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-62πx ＋2sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-12πx (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值时x 的集合．利用三角变换研究三角函数的性质典例：(12分)(2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x ·sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πx －1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,6ππ上的最大值和最小值． 总结方法与技巧1．巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； 配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2. 2．利用辅助角公式求最值、单调区间、周期．由y ＝a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝b a)有a 2＋b 2≥|y |.3．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．4．已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化．5．熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形．失误与防范1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的． 3．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．过手训练(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．(2012·山东)若θ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ，sin 2θ＝378，则sin θ等于( ) A.35B.45C.74D.34 2．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πβ＝14，那么tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα等于( ) A.1318 B.1322 C.322 D.163．当－π2≤x ≤π2时，函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的( ) A ．最大值是1，最小值是－1 B ．最大值是1，最小值是－12C ．最大值是2，最小值是－2D ．最大值是2，最小值是－1二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ4，则sin 2α＝________. 5．已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ4＝1213，α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛4,0π，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________. 6．设x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x 的最小值为________． 三、解答题7．(13分)(2012·广东)已知函数f (x )＝2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πωx (其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋53π＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值． 课后习题(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·江西)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ等于( ) A.15B.14C.13D.122．(2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于( )A ．－53B ．－59 C.59D.533．已知α，β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010， 则α＋β等于( ) A.π4B.3π4C.π4和3π4D ．－π4和－3π44．(2011·福建)若α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22B.33C.2D. 3 二、填空题(每小题5分，共15分)5．cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值为________． 6.3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________. 7．sin α＝35，cos β＝35，其中α，β∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π，则α＋β＝____________. 三、解答题(共22分)8．(10分)已知1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝－2tan α，试确定使等式成立的α的取值集合． 9．(12分)已知α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ，2，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ，2，求cos β的值．。
高一数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高一数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.(本小题满分12分)已知函数．(1)化简；(2)已知常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围；(3)若方程有解，求实数a的取值范围．【答案】（1）f(x)（2）（3）【解析】(1)························· 4分(2) ∵由∴的递增区间为∵在上是增函数∴当k = 0时，有∴解得∴的取值范围是····················· 8分(3) 解一：方程即为从而问题转化为方程有解，只需a在函数的值域范围内∵当；当∴实数a的取值范围为················ 12分解二：原方程可化为令，则问题转化为方程在［– 1，1］内有一解或两解，设，若方程在［– 1，1］内有一个解，则解得若方程在［– 1，1］内有两个解，则解得∴实数a的取值范围是［– 2，］2.已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在中，A、B、C分别为三边所对的角，若a=f（A）=1，求的最大值．【答案】（1），单调增区间；（2）【解析】（1）首先借助于基本三角函数公式将函数式化简为的最简形式，周期由的系数求解，求增区间需令，解得的范围得到单调区间；（2）中由的值求得角，借助于三角形余弦定理可得到关于两边的关系式，进而结合不等式性质得到关于的不等式，求得范围试题解析：（1），所以函数的最小正周期为．由得所以函数的单调递增区间为．（2）由可得，又，所以。
三角恒等变形测试题及答案解析
第三章 恒等变换一、选择题(此题共12小题,每题5分,总分值60分) 1.277sin 16812π-的值为〔 〕 2.假设sin()cos cos()sin m αβααβα---=，且β为第三象限角，则cos β的值为〔 〕 3．在△ABC 中，2sinAcosB ＝sinC ，则△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形4．2cos10°－sin20°sin70°的值是 ( )A ．12B ．32 C ．3 D ． 25．*∈(－π2,0)，cos*＝45，则tan2*等于 ( )A ．724B ．－724C ．247D ．－2476.假设ABC ∆的角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A += ( )B． C ．53 D ．53-7．等式sin α＋3cos α＝4m －64－m 有意义，则m 的取值围是 ()A ．(－1,73)B ．[－1,73]C ．[－1,73]D ．[―73,―1]8．在△ABC 中，tan A ＋B2＝sinC ，则以下四个命题中正确的选项是 ()(1)tanA ·cotB ＝1．(2)1＜sinA ＋sinB ≤2．(3)sin 2A ＋cos 2B ＝1．(4)cos 2A ＋cos 2B ＝sin 2C ．A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③ 9．α∈(0,π)，且sin α＋cos α＝15，则tan α的值为 ()A ．－43B ．－43 或－34C ．－34D ．43 或－3410．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为( )A.21+B.12-C.2D.211.将函数212sin 22y x x =+-的图象进展以下哪一种变换就变为一个奇函数的图象 ( 〔 〕 A ．向左平移12π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移12π个单位 D ．向右平移6π个单位cos 23x x a +=-中，a 的取值围是〔 〕二．填空题(此题共5小题,每题6分,总分值30分)把答案填在第二卷的横线上13.sin cos ,x x m -=求sin cos x x ────── 14．函数x x x f 32sin)232sin()(++=π的图象相邻的两条对称轴之间的距离是 15.假设*＝π3是方程2cos(*＋α)＝1的解，α∈(0,2π)，则α＝．16.给出下面的3个命题：〔1〕函数|)32sin(|π+=x y 的最小正周期是2π；〔2〕函数)23sin(π-=x y 在区间)23,[ππ上单调递增；〔3〕45π=x 是函数)252sin(π+=x y 的图象的一条对称轴.其中正确命题的序号是．17．在△ABC 中，sinA ＋cosA ＝22，AC ＝2，AB ＝3，则tanA=，△ABC 的面积为第二卷二、填空题(本大题共6小题,每题5分,共30分.把答案填在题中横线上)11.________________________ 12._______________________ 13._________________________ 14.______________________ 15._________________________ 16._______________________三．解答题此题共小题〔,每题12分,总分值60分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤)18.12cos ,13α=求sin α和tan α 19．设cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，且π2＜α＜π，0＜β＜π2，求cos 〔α＋β〕．20．6sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝0，α∈[π2,π]，求sin(2α＋π3)的值．21．在矩形ABCD 中，AB ＝a ，BC ＝2a ，在BC 上取一点P ，使得AB ＋BP ＝PD ，求tan ∠APD 的值．22.函数2()2cos 2sin 4cos f x x x x =+- (1)求()3f π值的；(2)求()f x 的最大值和最小值。
第三章三角恒等变换(含解析)
第三章 三角恒等变换试题一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1=（）A ．1B ．2 CD． 2.cos 27°cos 57°-sin 27°cos 147°等于( ) A 、 B 、- C、 D 、-3.已知函数f(x)=(sin x-cos x)sin x,x ∈R,则f(x)的最小正周期是( ) A 、π B 、2π C 、 D 、2 4．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于（ ）A ．3-B ．2-C ．1- D．5．函数2sin cos y x x x =+-的图象的一个对称中心是（ ）A.2(,3πB.5(,6πC.2(3π-D.(,3π 6. △ABC 中，090C ∠=，则函数2sin 2sin y A B =+的值的情况（ ）A ．有最大值，无最小值B ．无最大值，有最小值C ．有最大值且有最小值D ．无最大值且无最小值 7.设sin θ=,cos θ=-,则2θ的终边所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 8.若(4tan α+1)(1-4tan β)=17,则tan(α-β)的值为( ) A.B. C.4 D.12 9.在△ABC 中,已知tan=sin C,则△ABC 的形状为( )A.正三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形 10.若点P(cos α,sin α)在直线y=-2x 上,则sin 2α+cos (2α+)等于( ) A.0B.C.D.11. 已知sin α=,且α为锐角,tan β=-3,且β为钝角,则α+β的值为( )A.B. C. D.12.已知不等式3sincos +cos 2--m≤0对于任意的x ∈恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A.[,+∞) B.(-∞,) C.(-∞,-] D.[-,]二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知tan(x+)=-2,则sin 2x+2cos 2x= . 14. 函数xx y sin 12tan -=的最小正周期是___________________。
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两角和与差的正弦、余弦、正切1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换；2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质 2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键．知识点回顾1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C α－β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C α＋β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S α－β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S α＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β (T α－β)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β (T α＋β)2． 二倍角公式sin 2α＝ααcos sin 2；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3． 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T α±β可变形为tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βα＋β＝tan α－tan βα－β－1.4． 函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝ a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． [难点正本 疑点清源] 三角变换中的“三变”(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等． (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．热身训练1． 已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝－15，则tan αtan β的值为_______．2． 函数f (x )＝2sin x (sin x ＋cos x )的单调增区间为______________________．3． (2012·江苏)设α为锐角，若cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πα＝45，则 4． (2012·江西)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α等于( )A ．－34B.34C ．－43D.435． (2011·辽宁)设sin(π4＋θ)＝13，则sin 2θ等于( )A ．－79B ．－19C.19 D.79典例分析题型一 三角函数式的化简、求值问题 例1 (1)化简：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan α·tan α2；(2)求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°.在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2的值为________．题型二 三角函数的给角求值与给值求角问题例2 (1)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2πα＝－19，sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα2＝23，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β.题型三 三角变换的简单应用 例3 已知f (x )＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+x tan 11sin 2x －2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πx ·sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx (1)若tan α＝2，求f (α)的值；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．已知函数f (x )＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-62πx ＋2sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-12πx (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值时x 的集合．利用三角变换研究三角函数的性质典例：(12分)(2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x ·sin ⎪⎭⎫⎝⎛+6πx －1. (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,6ππ上的最大值和最小值． 总结方法与技巧 1． 巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±ta n y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x tan y )； 倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎪⎫sin α2±cos α22,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2.2． 利用辅助角公式求最值、单调区间、周期．由y ＝a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba)有a 2＋b 2≥|y |.3． 重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．4． 已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化．5． 熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形． 失误与防范1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通． 2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的． 3．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．过手训练(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分) 1． (2012·山东)若θ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ，sin 2θ＝378，则sin θ等于( )A.35B.45C.74D.342． 已知tan(α＋β)＝25，tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πβ＝14，那么tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα等于( )A.1318B.1322C.322D.163． 当－π2≤x ≤π2时，函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的( )A ．最大值是1，最小值是－1B ．最大值是1，最小值是－12C ．最大值是2，最小值是－2D ．最大值是2，最小值是－1二、填空题(每小题5分，共15分)4． 已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎪⎭⎫⎝⎛-απ4，则sin 2α＝________. 5． 已知cos ⎪⎭⎫⎝⎛-απ4＝1213，α∈⎪⎭⎫⎝⎛4,0π，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________.6． 设x ∈⎪⎭⎫⎝⎛2,0π，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x 的最小值为________．三、解答题7． (13分)(2012·广东)已知函数f (x )＝2cos ⎪⎭⎫⎝⎛+6πωx (其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值． 课后习题(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分) 1． (2012·江西)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ等于( )A.15B.14C.13D.122． (2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于 ( )A ．－53B ．－59C.59D.533． 已知α，β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010， 则α＋β等于( )A.π4B.3π4C.π4和3π4D ．－π4和－3π44． (2011·福建)若α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于 ( )A.22B.33C. 2D. 3二、填空题(每小题5分，共15分)5． cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值为________．6.3tan 12°－3212°－＝________.7． sin α＝35，cos β＝35，其中α，β∈⎪⎭⎫⎝⎛2,0π，则α＋β＝____________.三、解答题(共22分) 8． (10分)已知1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝－2tan α，试确定使等式成立的α的取值集合．9． (12分)已知α∈⎪⎭⎫⎝⎛ππ，2，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎪⎭⎫⎝⎛ππ，2，求cos β的值．。