三角函数恒等变换练习试题和答案解析详解

两角和与差的正弦、余弦、正切

1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换；

2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质 2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键．

知识点回顾

1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式

cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C α－β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C α＋β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S α－β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S α＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β

1＋tan αtan β (T α－β)

tan(α＋β)＝tan α＋tan β

1－tan αtan β (T α＋β)

2． 二倍角公式

sin 2α＝ααcos sin 2；

cos 2α＝cos 2

α－sin 2

α＝2cos 2

α－1＝1－2sin 2

α； tan 2α＝2tan α

1－tan 2

α

. 3． 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T α±β

可变形为

tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βα＋β＝tan α－tan β

α－β

－1.

4． 函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝ a 2

＋b 2

sin(α＋φ)或f (α)＝a 2

＋b

2

cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． [难点正本 疑点清源] 三角变换中的“三变”

(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．

(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等． (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．

热身训练

1． 已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝－15，则tan α

tan β

的值为_______．

2． 函数f (x )＝2sin x (sin x ＋cos x )的单调增区间为______________________．

3． (2012·江苏)设α为锐角，若cos ⎪⎭⎫ ⎝

⎛+

6πα＝4

5

，则 4． (2012·江西)若sin α＋cos αsin α－cos α＝1

2

，则tan 2α等于

( )

A ．－34

B.3

4

C ．－43

D.43

5． (2011·辽宁)设sin(π4＋θ)＝1

3

，则sin 2θ等于

( )

A ．－7

9

B ．－19

C.1

9 D.79

典例分析

题型一 三角函数式的化简、求值问题 例1 (1)化简：

⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋tan α·tan α2；

(2)求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 2

80°.

在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C

2

的值

为________．

题型二 三角函数的给角求值与给值求角问题

例2 (1)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2πα＝－19，sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα2＝2

3

，求cos(α＋β)的值；

(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－1

7，求2α－β的值．

已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π

2

，求β.

题型三 三角变换的简单应用 例3 已知f (x )＝⎪

⎭⎫ ⎝

⎛

+

x tan 11sin 2x －2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πx ·sin ⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-4πx (1)若tan α＝2，求f (α)的值；

(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．

已知函数f (x )＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝

⎛-62πx ＋2sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-12πx (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；

(2)求使函数f (x )取得最大值时x 的集合．

利用三角变换研究三角函数的性质

典例：(12分)(2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x ·sin ⎪⎭

⎫

⎝

⎛+

6πx －1. (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-

4,6ππ上的最大值和最小值． 总结

方法与技巧 1． 巧用公式变形：

和差角公式变形：tan x ±ta n y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x tan y )； 倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2

α＝1－cos 2α2

；

配方变形：1±sin α＝⎝

⎛⎭⎪⎫sin α2±cos α22,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2

α

2.

2． 利用辅助角公式求最值、单调区间、周期．由y ＝a sin α＋b cos α＝a 2

＋b 2

sin(α＋φ)(其中tan φ

＝b

a

)有a 2＋b 2

≥|y |.

3． 重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同

名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．

4． 已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，

观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复