简单三角恒等变换典型例题

简单三角恒等变换

一、公式体系

1、和差公式及其变形：

（1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ⇔ )sin(sin cos cos sin βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ⇔ )cos(sin sin cos cos βαβαβα±= （3）β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan( ±=

± ⇔ 去分母得 )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+

)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=-

2、倍角公式的推导及其变形：

（1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+=

⇔ααα2sin 2

1

cos sin =

⇔2)cos (sin 2sin 1ααα±=±

（2）ααααααααα2

2

sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+=

)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=⇔

1

cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=⇔αααα

αα⇔把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα

2cos 2

2cos 1=+ 【因为α是

2α

的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2

cos 2cos 12α

α=+

因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成

12cos 24cos 2-=αα 或 αα2cos 24cos 12=+ 或 αα

2cos 2

4cos 12=+】

α

ααααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=⇔ ⇔把1移项得αα2

sin 22cos 1=- 或

αα

2sin 2

2cos 1=- 【因为α是

2

α

的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2sin 2cos 12αα=- 或 2

sin 2cos 12α

α=-

因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成

αα2sin 214cos 2-= 或 αα2sin 24cos 12=- 或 αα

2sin 2

4cos 12=-】

二、基本题型

1、已知某个三角函数，求其他的三角函数：

注意角的关系，如)4

()4(,)(,)(π

βαπ

βααβαβββαα-++=+-+=-+=等等 （1）已知βα,都是锐角，13

5

)cos(,54sin =+=βαα，求βsin 的值

（2）已知,4

0,1312)45sin(,434,53)4

cos(π

ββππαπαπ

<<-=+<<=

-求)sin(βα+的值

2、已知某个三角函数值，求相应的角：只要计算所求角的某个三角函数，再由三角函数值求角，注意选择合适的三角函数

（1）已知βα,都是锐角，10

103cos ,55sin ==βα，求角βα+的弧度

3、)(βα+T 公式的应用

（1）求)32tan 28tan 1(332tan 28tan 0

000+++的值

（2）△ABC 中，角A 、B 满足2)tan 1)(tan 1(=++B A ，求A+B 的弧度

4、弦化切，即已知tan ，求与sin ，cos 相关的式子的值：化为分式，分子分母同时除以αcos 或α2

cos 等 （1）已知2tan =α，求

ααα

αα

ααααα2cos 2sin 3,2cos 2sin 12cos 2sin 1,cos sin 3cos 5sin +-++++-的值

5、切化弦，再通分，再弦合一

（1）、化简：① )10tan 31(50sin 0

+ ② 0

35

sin 10cos )110(tan ⋅-

（2）、证明：

x x

x x x tan )2

tan tan 1(cos 22sin =+

6、综合应用，注意公式的灵活应用与因式分解结合 化简4cos 2sin 22+-

7、 a,b 型化简

8、降幂公式

1. 已知函数1cos sin 2cos 2)(2

++-=x x x x f ，(R x ∈)．

（1）求函数 ()f x 的最小正周期；（2）求函数 ()f x 的最大值，并求此时自变量x 的集合．

2. 已知函数()2sin()cos f x x x π=-.

（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤

-

⎢⎥⎣⎦

上的最大值和最小值.

3.已知函数2()1cos 2cos f x x x x =-++

（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调减区间.

4.已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，．

（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间π3π84

⎡⎤⎢⎥⎣⎦

，上的最小值和最大值．

5.设函数.cos cos sin 3)(2m x x x x f ++=

（1）写出函数的最小正周期及单调递增区间； （2）若]3

,6[π

π-

∈x 时，函数()f x 的最小值为72，求此时()f x 的最大值，并指出x 为何值时，()f x 取得最大值.