《凝聚态物理》能带论习题1

0 2
0 2
0 2
-3a -2a -a
0
a
2a 3a x
该图给出了n=1情况下的电子云分布：从中可以看出， 0 2主要分布在原子之间，电子与离子实的库仑作用
相对较弱，所对应的能量E
较高；
0
2
主要分布在原
子附近，电子与离子实的库仑作用相对较强，所对应
的能量 E较低。
4.3 电子周期势场的势能函数为
dx
4b b 2
m 2b2 2 2
可得禁带宽度为
8m 2b2
Eg1 2V1 3
Eg2
2V2
m 2b2 2
4.4 用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格S态
原子能级对应的能带 Es (k) 函数
解:由紧束缚近似得（只考虑最近邻，且S态具有球对称）
Es (k) Esat J0 J1 eik•(Rn Rs ) 近邻
对面心立方晶体，最近邻数为12，晶格常数为a 取 Rs 0 处原子为参考原子，则
E s (k) Esat J0 J1 eik•(Rn Rs ) 近邻
E J J [e e e e e at
i
a 2
(kx
k
y
)
i
a 2
(kx
k
y
)
i
a 2
(
k
x
k
y
)
i
a 2
(
k
x
k
y
)
i
a 2
能带理论习题
4.1
根据
k
a
状态简并微扰的结果求出与E+、E-对应的本
征态波函数 、 ，说明它们都代表驻波，并比较两个
电子云分布，说明能隙的来源（假设Vn
V ）。 n
解:由于在布里渊区边界处非简并微扰的一级修正项变得
很大，从而使非简并微扰论在此处不再适用，要采用简并
微扰论，此时波矢可以写成（ 为小量）。
E Tn Vn
（7）
显然，相对于自由电子的能量，这里的能
量发生了分裂，形成了能带，其能量差即
为禁带宽度 Eg 2Vn
（8）
根 处据 ，上 禁式带我宽们度知等道 于禁 周带 期发 性生 势在 能展k 开na式中和，k' 波矢na
为
kn
n
a
的付立叶分量
Vn
绝对值得两倍。
当 E Tn Vn 时，由（4）式可得
a
a
cos 2 (kx kz) cos 2 (kz ky) cos 2 (kz ky)]
Esat
J
0
4J1[cos
a 2
k
x
c
os
a 2
k
y
cos
a 2
k
x
c
os
a 2
kz
c
os
a 2
k
z
c
os
a 2
k
y
]
对体心立方晶体，最近邻数为8，晶格常数为a 取 Rs 0 处原子为参考原子，则
(
k
x
k
z
)
s 01
e e e e e e e ] i
a 2
(kx
k
z
)
i
a 2
(
k
x
kz
)
i
a 2
(kx
k
z
)
i
a 2
(
k
z
k
y
)
i
a 2
(
k
z
k
y
)
i
a 2
(
k
z
k
y
)
i
a 2
(
k
z
k
y
)
Esat
J
0
2J1[cos
a 2
(k
x
k
y
)
cos
a 2
(k
x
k
y
)
c
os
a 2
(kx
k
z
)
a
由于Vn
V
* n
且
Vn 0
A Vn B Vn
（9）
有 Vn Vn ，则 A B ，此时有
0 i 2A sin( n x)
La
（10）
而当 E Tn Vn 时，由（4）式可得
A Vn B Vn
（11）
即 A B ，于是得
0 2A cos(n x)
La
（12）
显然，零级近似下的波函数代表驻波。在
1
V1 a
a
2 a
V
(
x)e
ik1x
dx
2
1
b
1 m 2 (b2
x2
i
)e
2 4b
x
dx
4b b 2
4m 2b2 3
x2
cos axdx
2x a2
cos ax
2 a3
sin ax
x2 a
sin ax
1
V2 a
a
2 a
V
(
x)e
ik
2
x
dx
2
1
b
1 m 2 (b2
x
2
i
)e
4 4b
x
2 ,0 3)
a
4
E s 4 cos2 2cos
(4)
沿
X (kz
0, kx
2
a
,ky
1 2 ,0 1)
2a
E s 4 1 2cos
波函数可设为
k
n
a
(1
)
k '
n
a
(1
)
（1）
0 Ak0 Bk0'
A eikx L
B L
eik 'x
（2）
将波函数代入薛定谔方程得
d2
dx
2
2m 2
(E
V
)
0
0
（3）
上式分别左乘 k0*和 两个线性方程式
0* k'
并对dx积分可以得到
(E Ek0 ) A Vn B 0
Vn*
这两个驻波状态下，电子的平均速度为零。
波矢为
k 的n平面波，其波长
2 2a
正好满足布拉格a反射条件，遭到全反射，k n
并同入射波形成干涉。
下页图中取了n=1的情况，画出了势能的曲线 和电子云分布的图像。
V(x)
x
上图中，黑线表示晶体的周期势，红虚线表示 单原子的势场。从图中明显看出，原子附近的 势场要小于原子之间的势场，对应于能量低的 电子态(能量)；原子之间的势场较大，对应于 能量高的电子态(能量)。
y
]
其中
s Esat , Jss , J1
（1）将
ky
kz
0, kx
2
a
,0
1
代入上式得
E s 4 1 2 cos
同理可求得（2）、（3）、（4）式。
(2)
沿
L(kx
ky
kz
2 ,0 1)
a
2
E s 12 cos2
(3)
沿
K (kz
0, kx
ky
X (kz
0,
kx
4
cos2
2
a
,ky
2cos 1 2 ,0
2a
1)
E s 4 1 2cos
解： 由（4.4）的结果：面心立方晶格s态原
子能级在紧束缚近似下能带函数为
E
s
(k
)
s
4
[c
os
a 2
kx
c
os
a 2
k
y
c
os
a 2
kx
c
os
a 2
k
z
c
os
a 2
kz
c
os
a 2
k
(3)一维情况下，由于状态在k空间分布是均匀
的，若每个原子s态上只有一个电子，在T=0K
时，电子只能从最低能态依次填充，由于每个
态可容纳不同自旋的两个电子，故电子只能填
充一半的能态，有
kF
2a
EF s
Esat
J0
2J1
cos
2a
a
Esat J0
N (EF0 )
N
1
J1
sin
2a
a
N
J1
4.13 证明面心立方晶体的s带紧束缚近似下的 E(k)
Es (k) Esat J0 J1 eik•(Rn Rs ) 近邻
E J J [e e e e at
i
a 2
(kx
k
y
k
z
)
i
a 2
(kx
k
y
kz
)
i
a 2
(
k
x
k
y
kz
)
i
a 2
(
k
x
k
y
k
z
)
s 01
e e e e ] i
a 2
(kx
k
y
k
z
)
i
a 2
(
k
x
k
y
k
z
)
A
(E
E0 k'
)B
0
（4）
A和B有非零解的条件是其系数行列式为零，即
E Ek0
Vn 0
Vn*
E
E0 k'
（5）
由上式可以解得
E Tn (1 2 ) Vn 2 4Tn22
（6）
其中 Tn
2 ( n )2 ，代表自由电子在
2m a
k
n
a
状态的动能。
在 k n 时，即 =0 ，有
a
V
(x)
1 2
m
2[b2
其中a=4b0,ω为常数
(
x
na)2
]
n
na b x na b
1a b x na b
（1）试画出此势能曲线并求其平均值
（2）用近自由电子近似模型求出晶体的
第一个及第二个带隙的宽度
解： (1)首先，令n=0,画出一个周期的曲线， 然后根据周期性延拓到整个区间
V(x) mw2b2/2
-a -3b -2b -b 0 b 2b
x
V(x) mw2b2/2
-3a -2a -a
0a
2a 3a
x
势能平均值为
V
1 a
a
2 a
V
(
x)dx
2
1 b 1 m 2 (b2 x2 )dx 4b b 2
1 m 2Байду номын сангаас2
6
（2）第一个及第二个禁带的宽度分别为
Eg1 2V1 Eg2 2V2
这里V1,V2分别是V(x)的两个付氏分量
i
a 2
(kx
k
y
kz
)
i
a 2
(
k
x
k
y
k
z
)
Esat
J0
i
2J1[e
a 2
(
k
x
ky
)
ei
a 2
(
k
x
ky
)
ei
a 2
(kx
ky
)
ei
a 2
(
k
x
k
y
)
]cos
a 2
kz
Esat
J
0
8J1
c
os
a 2
kx
c
os
a 2
k
y
c
os
a 2
k
z
4.7 有一一维单原子链，间距为a，总长度为Na （1）用紧束缚近似方法求出与原子s态能级对应 的能带 Es (k) 函数。 （2） 求出其能态密度函数表达式。 （3） 若每个原子s态上只有一个电子，求T=0K 时的费密能级 EF0 及 EF0 处的能态密度。 解: (1)取单原子链沿x轴方向,并取原点处的原子为 参考原子，一维情况下只有两个最近邻原子，此时
函数，在沿着布里渊区几个主对称轴方向可以约化为
以下形式：
（1）沿
X (ky
kz
0, kx
2
a
,0
1)
（2）沿
E s 4 1
L(kx ky kz
2cos
2 ,0
a
1) 2
（3）沿
E s 12
K (kz 0, kx ky
cos2 2 ,0
a
3) 4
（4）沿
E s
E s (k) Esat J0 J1 eik•(Rn Rs ) 近邻
Esat J0 J1[eika eika ]
Esat J0 2J1 coska
(2)一维情况下，k只有两个方向，求态密度 时，对k的积分为2，此时态密度为
N(E)
2L
2
2
k Ek
2Na 1 N 1
2aJ1 sin ka J1 sin ka