四川省成都市高三数学上学期第三次月考(11月)试题 理

高三上学期11月月考试题
数学（理工类）
（考试用时：120分全卷满分：150分）
注意事项：
1.答题时，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选做题的作答：先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5.考试结束后，请将答题卡上交；
第Ι卷（选择题部分，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知i是虚数单位，复数（2+i）2的共轭复数为（）
A．3﹣4i B．3+4i C．5﹣4i D．5+4i
2．设数列{}n a的前n项和n S，若
22
22
3
12
2222
44
123
n
a a
a a
n
n
++++=-
…，且0
n
a≥，
则100
S等于（）
A．5048 B．5050 C．10098 D．10100
3.与圆x2＋(y－2)2＝2相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有( )
A.2条
B.3条
C.4条
D.6条
4．小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈，包括他共7人，一天爸爸从果园里摘了7个大小不同的梨，给家里每人一个，小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个，则梨子的不同分法共有（）
A．96种B．120种C．480种 D．720种
5.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A.18
B.17
C.16
D.15
6. 已知随机变量x 服从正态分布N （3，σ2
），且P （x ≤4）=0.84，则P （2＜x ＜4）=（ ） A ．0.84 B ．0.68
C ．0.32
D ．0.16
7．△ABC 中，a ．b ．c 分别为∠A ．∠B ．∠C 的对边，如果a ．b ．c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为，那么b 等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8.如图，等腰梯形ABCD 中，4, 2.AB BC CD ===若,E F 分别是,BC AB 上的点，且满足
BE AF
BC AB
λ==，当0AE DF ⋅=u u u r u u u r 时，则有（ ） A.11,84λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ B.13,48λ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭ C ．31,82λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
D ．15,28λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
9．已知函数()=+x
f x e x ，()ln =+
g x x x ，
()4=-
h x x x
的零点依次为a ，b ，c ，则（ ） A ．<<a b c B ． <<c b a C ．<<c a b D ．<<b a c
10. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
11．如果定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +≥+，则称()f x 为“H 函数”．给出下列函数：
①3
1y x x =-++；②()32sin cos y x x x =--；③1x
y e =+；④()()()ln 101x x f x x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩
，其中“H 函数”的个数有（ ）
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
12.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为12,F F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形．若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则12e e ⋅的取值范围是（ ）
A ．10,5⎛
⎫ ⎪⎝⎭ B ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22～23题为选做题，考生根据要求作答。

二、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分
13．一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积为 ．
14.若n S 是数列{}n a 的前n 项的和，且762
++-=n n S n ，则数列{}n a 的
最大项的值 为___________.
15.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4∶3∶3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一年级抽取________名学生. 16．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时f (x )＝(1
2)1－x
，则
①2是函数f (x )的周期；
②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；
④当x ∈(3,4)时，f (x )＝(12)x －3
.
其中所有正确命题的序号是 .
三、解答题:（本题包括6小题，共70分。

要求写出证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
在V ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()2cos --c a B cos 0=b A . （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）求3sin sin 6π⎛
⎫
+- ⎪⎝
⎭
A C 的取值范围.
18.（本小题满分12分）
某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数. 设两次记录的数分别为x ，y .奖励规则如下：
①若xy ≤3，则奖励玩具一个； ②若xy ≥8则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动. (1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.
19.（本小题满分12分）
在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，//EF AB ，1DE EF ==，2DC BF ==，30EAD ︒∠=．
（Ⅰ）求证：AE ⊥平面CDEF ；
（Ⅱ）在线段BD 上确定一点G ，使得平面EAD 与平面FAG 所成的角为30o ．
20. （本小题满分12分）
如图所示，在ABC ∆中，AB 的中点为O ,且
1OA =，点D 在AB 的延长线上，且1
2
BD AB =
.固定边AB ，在平面内移动顶点C ，使得圆M 与边
BC ，边AC 的延长线相切，并始终与AB 的延长线
相切于点D ，记顶点C 的轨迹为曲线Γ.以AB 所在直线为x 轴， O 为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系.
（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）设动直线l 交曲线Γ于E F 、两点，且以EF 为直径的圆经过点O ，求OEF ∆面积的取值范围.
21.（本小题满分12分）
已知函数232
1()ln 342()2
f x x x ax x a a a a =--+--+∈R 存在两个极值点．
（Ⅰ）求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）设1x 和2x 分别是()f x 的两个极值点且12x x <，证明：212e x x >．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

作答时请写
G
F
E
D
C
B
A
清题号，本小题满分10分。

22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，圆C 的极坐标方
程为sin a ρθ=，直线l 的参数方程为325
45x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）．
（Ⅰ）若2a =，M 是直线l 与x 轴的交点，N 是圆C 上一动点，求||MN 的最大值； （Ⅱ）若直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C
倍，求a 的值．
23.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
(Ⅰ)若不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件为13<x <1
2，求实数m 的取值范围； (Ⅱ)关于x 的不等式|x －3|＋|x －5|<a 的解集不是空集，求实数a 的取值范围．
成都龙泉二中2015级高三上学期11月月考试题
数学（理工类）参考答案
1—5 CCBCD 6—10 BBBAC 11—12 AC
13. π 14. 12 15.32 [从高一年级抽取的学生人数为80×4
4＋3＋3＝32.] 16．①②④
17.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）()2sin sin cos -C A B sin cos 0-=B A ，()sin 2cos 10-=C B .
sin 0≠Q C ，()0,π∴∈B ，1cos 2∴=
B ，3π∴=B . （Ⅱ）由（Ⅰ）知3
π
=
B
，sin 6π⎛⎫
+-
⎪⎝
⎭
A
C cos =+A A
2sin 6π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A .20,
3π
⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
Q A ，5,666πππ⎛⎫
∴+∈ ⎪⎝⎭
A ， 2sin 6π⎛
⎫∴+ ⎪⎝
⎭A (]1,2∈，
sin 6π⎛
⎫+- ⎪⎝
⎭A C 的取值范围是(]1,2.
18.（本小题满分12分）
解 (1)用数对(x ，y )表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S ＝{(x ，y )|x ∈N ，y ∈N ，1≤x ≤4，1≤y ≤4}一一对应. 因为S 中元素的个数是4×4＝16. 所以基本事件总数n ＝16. 记“xy ≤3”为事件A ，
则事件A 包含的基本事件数共5个，
即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)， 所以P (A )＝516，即小亮获得玩具的概率为5
16. (2)记“xy ≥8”为事件B ，“3＜xy ＜8”为事件C . 则事件B 包含的基本事件数共6个.
即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4). 所以P (B )＝616＝3
8.
事件C 包含的基本事件数共5个，
即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1). 所以P (C )＝516.因为38＞5
16，
所以小亮获得的水杯的概率大于获得饮料的概率. 19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）Θ四边形ABCD 是正方形，
∴2AD DC ==.
在ADE ∆中，
EAD
DE
AED AD ∠=∠sin sin ，即030sin 1sin 2=∠AED
1sin =∠AED
F
E D
C
090AED ∴∠=，即AE DE ⊥． ………………… 2分
在梯形ABFE 中，过点E 作EP//BF ，交AB 于点P. ∵EF//AB ,∴EP=BF =2.，PB=EF =1， ∴AP=AB-PB =1
在ADE t ∆R
中，可求AE 4,4222==+EP AP AE ∴222EP AP AE =+
∴AE AB ⊥..………………………………………… 4分 ∴AE EF ⊥. 又EF DE E =I ，
∴AE ⊥平面CDEF .……………………………… 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，AE DC ⊥，又AD DC ⊥， ∴DC ⊥平面AED ，又DC ⊂平面ABCD ， ∴平面ABCD ⊥平面AED .…………………6分 如图，过D 作平面ABCD 的垂线DH ， 以点D 为坐标原点，,,DA DC DH 所在直线分别 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，
则1(0,0,0),(2,2,0),(0,2,0),((2,0,0)2D B C F A ，
(2,2,0)DB =u u u r
，3(2AF =-u u u r ．……………7分
设(2,2,0)DG DB λλλ==u u u r u u u r ，[0,1]λ∈，则(22,2,0)AG λλ=-u u u r
.
设平面FAG 的一个法向量1(,,),x y z =n 则11,AF AG ⊥⊥uu u v uuu v
n n ， ∴1
1
0,0,AF AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u v uuu v n n
即302(22)20x z x+y λλ⎧
-+=⎪⎨⎪-=⎩
，，
令x = ，得
1(1)25).λλ=--，n ……………………………………………………………9分
易知平面EAD 的一个法向量2(01,0)=，
n . ………………………………………8分
由已知得1212cos30⋅===⋅n n n n o
，
化简得29610λλ-+=，
∴13
λ=． ……………………………………………………………………………11分
∴当点G 满足13
DG DB =u u u v u u u v
时，平面EAD 与平面FAG 所成角的
大小为30o .………12分 20.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）依题意得2,1AB BD ==，设动圆M 与边AC 的延长线相切于1T ，与边BC 相切于2T ， 则
1212,,AD AT BD BT CT CT ===
所以1212AD BD AT BT AC CT BT +=+=++
12242AC CT CT AC BC AB BD AB =++=+=+=>= …………………2分
所以点C 轨迹Γ是以,A B 为焦点，长轴长为4的椭圆，且挖去长轴的两个顶点.则曲线Γ的方程
为()221043
x y y +=≠. …………………4分
（Ⅱ）【法一】
由于曲线Γ要挖去长轴两个顶点，所以直线,OE OF 斜率存在且不为0，所以可设直线
()()
11221
:,:,,,,OE y kx OF y x E x y F x y k
==-
…………………5分
由223412y kx x y =⎧⎨+=⎩
得2214312k x +=,2
22
14312k k y +=，同理可得：4
312222
2
+=k k x ,431222
2
+=k y ； 所以2
22
43)1(12k k OE
++=，4
3)1(12222
++=k k OF 又OE OF ⊥，所以
(
)
(
)(
)
3
44313641222
22
22+++⨯==∆k k k OF OE S
OEF
…………………8分 令2
1t k =+，则1t >且2
1k t =-，所以()
()()
()()2
22
2
22
1363631413443OEF
k t S t t k k ∆+=⨯=⨯+-++ 2
11
36361111493424t t t =-⨯
=-⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
…………………10分 T
2
T 1
M
C B A
又101t <<，所以2
49114912424t ⎛⎫-≤--<- ⎪⎝⎭，所以2114
12491149
24
t -<≤-⎛⎫--
⎪⎝⎭
， 所以21441
363491149
24t ≤-⨯<⎛⎫-- ⎪
⎝⎭
，所以127OEF S ∆≤<， 所以OEF ∆
面积的取值范围为127⎡⎢⎣. …………………12分 【法二】
依题意得直线l 斜率不为0，且直线EF 不过椭圆的顶点，则可设直线l ：x my n =+
，且
m ≠ 设()()1122,,,E x y F x y ，又以EF 为直径的圆经过点O ，则OE OF ⊥，所以
12210
x x y y +=① …………………5分
由
22
3412
x my n x y =+⎧⎨+=⎩得
()2
223463120
m
y mny n +++-=，则
21212226312
,3434
mn n y y y y m m -+=-=
++ 且()()()
2222223643431248340m n m n n m ∆=-+-=--->，所以22
340
n m --<②
又()()()222222
2
2
1212121222
31263434
m n m m n x x my n my n m y y mn y y n n m m -=++=+++=-+++ 222
41234n m m -=+ 代入①得：22712120n m --=，所以()2
21217
m n +=， 代入②得：29160m --<恒成立所以20m ≥且2
4
3
m ≠
.
又
12EF y -==；
点O 到直线l
的距离为d =
…………………7分
所以
1122OEF
S EF d ∆=⨯⨯=⨯
=
12127
7==
…9分
（Ⅰ）当20m =时，127
OEF S ∆=
； （Ⅱ）当20m >且2
43
m ≠
时，121277OEF
S
∆=
又2
216924m m +
≥，当且仅当243m =时取“=”，所以2
2
16924m m
+>，所以2211
01648924m m <
<++，所以22149111648924m m <+<++
，所以1<
，所以12
7
OEF S ∆<<； ……11分 综合（1），（2
）知
12
7
OEF S ∆≤<. …………………12分 21.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题设函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()ln f x x ax '=-，故函数()f x 有两个极值点等价于其导函数()f x '在(0,)+∞有两个零点． 当a = 0时()ln f x x '=，显然只有1个零点01x =． ……………………… 2分
当a ≠0时，令()ln h x x ax =-，那么11()ax h x a x x
-'=
-=． 若a < 0，则当x > 0时()0h x '>，即()h x 单调递增，所以()h x 无两个零点. … 3分 若a > 0，则当10x a
<<
时()0h x '>，()h x 单调递增；当1
x a >时()0h x '<， ()h x 单调递减，
所以11
()()ln 1h x h a a ≤=-. 又(1)0h a =-<，当x →0时→-∞，故若有两个零点，则
11
()ln 10h a a
=->，得10a e <<．
综上得，实数a 的取值范围是1
(0,)e
． ………………………………………… 6分
（Ⅱ）要证212e x x >，两边同时取自然对数得212ln ln n 2e l x x +>=． ……… 7分 由()0f x '=得1122ln 0ln 0x ax x ax -=⎧⎨-=⎩，得1212
1212
ln ln ln ln x x x x a x x x x +-==+-.
所以原命题等价于证明12121212
()(ln ln )
ln ln 2x x x x x x x x +-+=
>-． …………… 8分
因为12x x <，故只需证1212122()ln ln x x x x x x --<+，即1
12
12
2
2(
1)
ln 01x x x x x x --<+．…… 9分
令12x t x =
，则01t <<，设2(1)
()ln (01)1
t g t t t t -=-
<<+，只需证()0g t <．… 10分 而2
22
14(1)()0(1)(1)t g t t t t t -'=-
=>++，故()g t 在(0,1)单调递增，所以()(1)0g t g <=． 综上得212e x x >．………………………………………………………………… 12分 22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）当2a =时，圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=，可化为2
2sin ρρθ=，
化为直角坐标方程为2220x y y +-=，即22
(1)1x y +-=.
直线l 的普通方程为4380x y +-=，与x 轴的交点M 的坐标为(2,0)， ∵圆心(0,1)与点(2,0)M 的距离为5， ∴||MN 的最大值为51+.
（Ⅱ）由sin a ρθ=，可化为2
sin a ρρθ=，
∴圆C 的普通方程为2
2
2()24
a a x y +-=.
∵直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C 的半径的3倍，
∴由垂径定理及勾股定理得：圆心到直线l 的距离为圆C 半径的一半，
223
|8|
1||22243
a a -=⋅+，解得32a =或3211a =． 23.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
【解析】(Ⅰ)不等式|x －m |<1的解集为{x |m －1<x <m ＋1}，依题意有⎩⎨⎧⎭
⎬
⎫
x |13<x <12{x |m －1<x <m
＋1}，则⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1
3，m ＋1≥12
，解得－12≤m ≤4
3.5分
(Ⅱ)∵|x －3|＋|x －5|≥|(x －3)－(x －5)|＝2， 且|x －3|＋|x －5|<a 的解集不是空集， ∴a >2，即a 的取值范围是(2，＋∞).10分。