第2套2022年数学高考模拟卷(文科)

2022年数学高考模拟卷（文科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合，，则
A．B．C．D．
2．（5分）
A．B．C．D．
3．（5分）已知，则
A．3B．C．D．
4．（5分）已知，，，则
A．B．C．D．
5．（5分）青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一．已知某青花瓷花瓶的外形上下对称，可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶口直径是8，瓶身最小的直径是4，瓶高是6，则该双曲线的
标准方程是
A．B．C．D．
6．（5分）已知某班英语兴趣小组有3名男生和2名女生，从中任选2人参加该校组织的英
语演讲比赛，则恰有1名女生被选到的概率是
A．B．C．D．
7．（5分）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，
且，则
A．B．C．D．
8．（5分）随着互联网的飞速发展，网上购物已成为了流行的消费方式．某网店第三季度的服装产品的销售总额和其中某款服装的销售额占当月服装产品销售总额的百分比如图所示：
下列结论正确的是
A．该款服装这3个月的销售额逐月递减
B．该款服装这3个月的销售总额为23.69万元
C．该款服装8月份和9月份的销售额相同
D．该款服装8月份和9月份的销售总额大于7月份的销售额
9．（5分）在长方体中，，则异面直线与所
成角的余弦值是
A．B．C．D．
10．（5分）已知函数，则下列结论正确的是
A．的最小正周期是
B．的图象关于点，对称
C．在，上单调递增
D．是奇函数
11．（5分）已知函数恰有4个零点，则的取值范围是
A．B．C．D．，，
12．（5分）已知定义在上的函数满足，且（1），则
不等式的解集为
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知向量，且，则．
14．（5分）若，满足约束条件，则的最大值是．
15．（5分）如图，一辆汽车在一条笔直的马路上从东往西以的速度匀速行驶，在
处测得马路右侧的一座高塔的仰角为，行驶5分钟后，到达处，测得高塔的仰角为，，其中为高塔的底部，且，，在同一水平面上，则高塔的高度是．（塔底大小、汽车的高度及大小忽略不计）
16．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面
的三棱柱称为堑堵．已知堑堵中，，．若堑堵
外接球的表面积是，则堑堵体积的最大值是．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）等差数列的前项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
18．（12分）某部门为了解某企业在生产过程中的用电情况，对其每天的用电量做了记录，得到了大量该企业的日用电量（单位：度）的统计数据，从这些数据中随机抽取15天的数据作为样本，得到如图所示的统计表．若日用电量不低于200度，则称这一天的用电量超标．
分组
，，，，频数
3
6
3
3
（1）估计该企业日用电量的平均值；（各组数据以该组数据的中点值作代表）
（2）用分层抽样的方法从日用电量在
，
和
，
内的数据中抽取6天的日用
电量数据，再从这6个数据中随机抽取2天的日用电量数据，求这2天中至少有1天的日用电量超标的概率．19．（12分）在四棱锥中，底面
是直角梯形，
，
，
，
分别是棱，
的中点．
（1）证明：平面
．
（2）若，且四棱锥
的体积是6，求三棱锥
的
体积．
20．（12分）已知函数．（1）当
时，求曲线
在处的切线方程；
（2）若关于的不等式在
上恒成立，求的取值范围．
21．（12分）已知椭圆的离心率为
，其左、右顶点分别是
，，
且
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知，
是椭圆
上异于，的不同两点，若直线与直线的斜率之积
等于，试问直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明
理由．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标
系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以坐标
原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）已知点，若直线与曲线交于，两点，求的值．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若，，且，其中是的最小值，求的最小值．
2022年数学高考模拟卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【分析】求解一元二次不等式化简，再由交集运算得答案．
【解答】解：，，
，故选：．
2．【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．
【解答】解：．
故选：．
3．【分析】利用诱导公式对已知条件进行化简，可得，再结合两角和的正切公式，得解．
【解答】解：因为，
所以，即，
所以．
故选：．
4．【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可得出，，，从而得出，
，的大小关系．
【解答】解：，，，
．
故选：．
5．【分析】设双曲线方程为：，由已知可得，并求得双曲线上一点
的坐标，把点的坐标代入双曲线方程，求解，即可得到双曲线的标准方程．
【解答】解：由题意作出轴截面如图：点是双曲线与截面的一个交点，
设双曲线的方程为：．
花瓶的最小直径，则，
由已知可得，
故，解得，
该双曲线的方程为：．
故选：．
6．【分析】利用古典概型的概率计算公式求解即可．
【解答】解：设恰有1名女生被选到为事件，
基本事件总数为，
事件包含的基本事件数为，
（A），
故选：．
7．【分析】设出的坐标，利用，结合在抛物线上，求解的坐标，然后联立直线与抛物线方程，求出的坐标，再求出．
【解答】解：由题意，可得，
设，则，解得，
由抛物线的对称性，不妨设点在第一象限，
则，所以直线的方程为．
联立，整理得，解得或，
所以，，
故．
故选：．
8．【分析】由柱状图及折线图，得到该款服装7月份、8月份，9月份的销售额，再结合选项判断即可．
【解答】解：由题意可知，该款服装7月份、8月份，9月份的销售额
分别是万元，万元，万元，
则这3个月的销售总额为24万元，
故选项，，错误，正确．
故选：．
9．【分析】连接，记，则是的中点．取的中点，连接，
，则，从而是异面直线与所成的角或其补角，由余弦定理能求出异面直线与所成角的余弦值．
【解答】解：如图，连接，记，
则是的中点．取的中点，
连接，，则，
则是异面直线与所成的角或其补角．
设，则．
由余弦定理可得．
异面直线与所成角的余弦值是．
故选：．
10．【分析】先化简函数的解析式，然后根据正弦函数的周期性，对称性，单调性以及奇偶性对应各个选项逐个判断即可求解．
【解答】解：因为函数，
则函数的周期为，故错误，
当时，，故错误，
当时，，根据正弦函数的单调性可得函数此时不单调，故错误，
由可得，且，定义域为，则函数为奇函数，故正确，
故选：．
11．【分析】原命题等价于直线与函数图象有4个交点，作出函数
的大致图象，结合图象即可作答．
【解答】解：当时，，所以不是的零点；
当时，由，即，得，
则的零点个数等价于直线与函数图象有4个交点，
作出函数的大致图象（如图所示），
由图可知，，．
故选：．
12．【分析】不等式化为：．令，，
（1），求导利用，，即可得出结论．
【解答】解：令，，（1），
，，
，
函数在上单调递增，
不等式化为：，
即（1），
，解得，
不等式的解集为，
故选：．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【分析】根据题意，由向量的坐标计算公式可得，又由数量积的计算公式可得，解可得的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，向量，则．
因为，所以，即，
解得；
故答案为：．
14．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得，
由，得，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最
小，
有最大值为．
故答案为：3．
15．【分析】根据条件可计算，设出塔高，在三角形中由余弦定理列出方程，求
解运算即可．
【解答】解：由题意可知，平面，，，，，
设塔高，则，
在中，由余弦定理可得，
所以，
即，
解得，
故答案为：．
16．【分析】堑堵外接球的球心是矩形的中心，由此能求出堑堵
体积的最大值．
【解答】解：设，则，
由题意知堑堵外接球的球心是矩形的中心，
则堑堵外接球的半径满足，
，解得，，
设，，则，（当且仅当时，等号成立），
堑堵的体积，
堑堵体积的最大值为．
故答案为：．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．【分析】（1）根据等差数列的通项公式、前项和公式求得首项和公差，从而得解；
（2）采用裂项求和法，即可得解．
【解答】解：（1）设数列的公差为，
因为，，所以，解得，，
故．
（2），
所以．
18．【分析】（1）由频数分布表能估计该企业日用电量的平均值；
（2）由题意可知应从日用电量在，内的数据中抽取4个，记为，，，，
从日用电量在，内的数据中抽取2个，记为，．从这6个数据中随机抽取2
天的日用电量数据，利用列举法能求出结果．
【解答】解：（1）估计该企业日用电量的平均值为：
（度．
（2）由题意可知应从日用电量在，内的数据中抽取个，
记为，，，，
从日用电量在，内的数据中抽取个，记为，．
从这6个数据中随机抽取2天的日用电量数据的情况有：
，，，，，，，，，，，，，，，共15种；其中符合条件的情况有，，，，，，，，，共9种．
故所求概率．
19．【分析】（1）取的中点，连接，．根据条件证明平面平面，
利用面面平行的性质定理可证结论；
（2）利用等体积的方式求解即可．
【解答】（1）证明：如图，取的中点，连接，．
因为，分别是棱，的中点，
所以，
所以平面．
因为，且，分别是棱，的中点，
所以，
所以平面．
因为，平面，且，
所以平面平面．
因为平面，
所以平面．
（2）解：过点作，垂足为，连接，，
则四边形是正方形，从而．
因为，所以，则，
从而直角梯形的面积．
设点到平面的距离为，
则四棱锥的体积，解得．
因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，
所以三棱锥的体积．
因为平面，
所以三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，
所以三棱锥的体积为2．
20．【分析】（1）代入的值，求出函数的导数，计算（e），（e）的值，求出切线方
程即可；
（2）问题转化为在上恒成立，令，求出函数的导数，根据函数的单调性求出的取值范围即可．
【解答】解：（1）时，，
，
而（e），（e），
故切线方程是：，
即；
（2）若关于的不等式在上恒成立，
则在恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
令，则，
则在
上单调递增，
故（1）
，
，
在
单调递增，
而，
故
，故的取值范围是，．
21．【分析】（1）由离心率可得，的关系，再由长轴长的值，求出的值，进而求出的值，求出椭圆的方程；
（2）设直线
的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，求出直线
，
的斜率之积，将两根之和及两根之积代入，由题意可得参数的关系，进而求出直线恒过的定点的坐标．
【解答】解：（1）由离心率可得，
又由左右顶点可得
，所以，
，
所以椭圆的方程为：；
（2）由（1）可得，
当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
，设
，
，
，
，
联立，整理可得：，
△，，，
，
由题意可得，可得
，即
，满足△，
所以直线
的方程为：
，可得直线
恒过
点；
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，显然与点重合，所以直线
的斜率一定存在，
所以直线恒过定点．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数的关系式的变换和三角函数的值的应用求出结果．
【解答】解：（1）因为为参数），
得，
即曲线的普通方程为．
由，根据，得，
即直线的直角坐标方程为．
（2）将直线的方程转化为参数方程为参数）．
将直线的参数方程代入曲线的普通方程得．
设，对应的参数分别是，，
则，，
故．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．【分析】（1）化简函数为分段函数，化简不等式，转化求解即可．
（2）求出函数的最小值，利用基本不等式转化求解即可．
【解答】解：（1）函数．因为，
所以等价于，或，或（3分）
解得，即不等式的解集为，．（5分）
（2）由（1）可知，即，则．（6分）
，（8分）
因为，，所以，当且仅当时，等号成立，（9分）则，故的最小值为．（10分）。