高二数学下学期周考试题九文 试题

卜人入州八九几市潮王学校颍上县第二二零二零—二
零二壹高二数学下学期周考试题〔九〕文
一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分。

1．集合
{}02A =，，{}21012B =--，，，，，那么=B A
A ．{}02，
B ．{}12，
C ．
{}0
D ．{}21012--，，，，
2．设1i
2i 1i
z
-=
++，那么z =A B ．1 C ．
1
2
D ．0
3．某地区经过一年的新农村建立，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地理解该地区农村的经济
收入变化情况，统计了该地区新农村建立前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 那么下面结论中不正确的选项是
A ．新农村建立后，种植收入减少
B ．新农村建立后，其他收入增加了一倍以上
C ．新农村建立后，养殖收入增加了一倍
D ．新农村建立后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．椭圆C ：22
2
14
x y a +=的一个焦点为(20)，，那么C 的离心率为
A B C ．
12
D ．
13
5．圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方
形，那么该圆柱的外表积为
A ．
B ．
C ．12π
D ．10π
6．设函数()()3
2
1f x x a x ax =+-+．假设
()f x 为奇函数，那么曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为A ．2y x =- B ．
y x =-
C ．
y x =
D ．2y x =
7．在△
ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，那么EB = A ．31
44
AB AC - B ．
1344AB AC -C ．31
44
AB AC + D ．
13
44
AB AC + 8．函数
()222cos sin 2f x x x =-+，那么
A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3
B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4
C ．
()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4
9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱外表上的点M 在正视图
上的对应点为A ，圆柱外表上的点N 在左视图上的对应点为B ，那么在此圆柱侧面上，从M 到N 的途径中，最短途径的长度为 A ．2
17 B ．2
5 C ．3
D ．2
10．在长方体1111ABCD A B C D -
中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，那么该
长方体的体积为A ．8 B ．6
2 C ．82
D ．83
11．角α的顶点为坐标原点，始边与
x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且
2cos 23
α=
，那么a b -=A ．15 B ．5
5
C ．
25
5
D ．1
12．设函数()20
1 0
x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，，那么满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是
A ．(]1-∞-，
B ．()0+∞，
C ．()10-，
D ．()0-∞，
二、填空题〔此题一共4小题，每一小题5分，一共20分〕 13．函数
()()22log f x x a =+，假设3)1(=f ，那么a =________．
14．假设x y ，满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩
≤≥≤，那么32z x y =+的最小值为________．
15．直线1y x =+与圆2
2230x
y y ++-=交于A B ，两点，那么AB =________．
16．△
ABC 的内角A B C ，，
的对边分别为a b c ，，，sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，那么△ABC 的面积为________．
三、解答题：一共70分。

解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考
生都必须答题。

第22、23题为选考题，考生根据要求答题。

〔一〕必考题：一共60分。

17．〔12分〕数列
{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设n
n a b n
=．
〔1〕求123b b b ，
，；〔2〕判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；
〔3〕求
{}n a 的通项公式．
18．〔12分〕如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM
=︒∠，以AC 为折痕将△ACM
折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥． 〔1〕证明：平面
ACD ⊥平面ABC ；
〔2〕
Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，
且2
3
BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．
19．〔12分〕某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据〔单位：m 3
〕和使用了节水龙头50天的日
用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量
[)00.1， [)0.10.2，
[)0.20.3，
[)0.30.4， [)0.40.5， [)0.50.6， [)
0.60.7， 频数 1
3
2
4
9
26
5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 [)00.1，
[)0.10.2，
[)0.20.3， [)0.30.4， [)0.40.5， [)0.50.6，
频数
1
5
13
10
16
5
〔1〕在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：
〔2〕m 3
的概率；
〔3〕估计该家庭使用节水龙头后，一年能节多少水？〔一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．〕 20．〔12分〕
设抛物线2
2C y
x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．
〔1〕当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； 〔2〕证明：ABM ABN =∠∠．
21．〔12分〕
函数()e ln 1x
f x a x =--．
〔1〕设2x =是
()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间； 〔2〕证明：当1
e
a ≥
时，()0f x ≥． 〔二〕选考题：一共10分。

请考生在第22、23题中任选一题答题。

假设多做，那么按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]〔10分〕
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极
坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2
2cos 30ρρθ+-=．
〔1〕求2C 的直角坐标方程；
〔2〕假设1C 与2C 有且仅有三个公一共点，求1C 的方程． 23．[选修4—5：不等式选讲]〔10分〕
()11f x x ax =+--．
〔1〕当1a =时，求不等式
()1f x >的解集；
〔2〕假设()01x ∈，
时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．
文科数学试题参考答案
一、选择题 1．D 2．B 3．A 4．B 5．C
6．C
7．A
8．B
9．B
10．C
11．B
12．D
二、填空题
13．7 14．-18
15．
16 三、解答题
17．解：〔1〕由条件可得a n +1=
2(1)
n n a n
+． 将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4． 将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12． 从而b 1=1，b 2=2，b 3=4．
〔2〕{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．
由条件可得
121n n
a a n n
+=
+，即b n +1=2b n ，又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 〔3〕由〔2〕可得12n n a n
-=，所以a n =n ·2n -1
．
18．解：〔1〕由可得，BAC ∠=90°，BA AC ⊥．
又BA ⊥AD ，所以AB ⊥平面ACD ． 又AB ⊂平面ABC ， 所以平面ACD ⊥平面ABC ．
〔2〕由可得，DC =CM =AB =3，DA =
又2
3
BP DQ DA ==
，所以BP = 作QE ⊥AC ，垂足为E ，那么QE =1
3
DC ．
由及〔1〕可得DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，QE =1．
因此，三棱锥Q ABP -的体积为
111
13451332
Q ABP ABP V QE S -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯︒=△．
19．解：〔1〕
3
的频率为
×0.1+1××0.1+2×0.05=0.48，
3
的概率的估计值为0.48．
〔3〕该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
11
(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.4850
x =
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
21
(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.3550
x =
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 估计使用节水龙头后，一年可节水3(0.480.35)36547.45(m )-⨯=．
20．解：〔1〕当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为〔2，2〕或者〔2，–2〕．
所以直线BM 的方程为y =
112x +或者1
12
y x =--． 〔2〕当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．
当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M 〔x 1，y 1〕，N 〔x 2，y 2〕，那么x 1>0，x 2>0．
由2
(2)2y k x y x
=-⎧⎨
=⎩，
得ky 2
–2y –4k =0，可知y 1+y 2=
2
k
，y 1y 2=–4． 直线BM ，BN 的斜率之和为
1221121212122()
22(2)(2)
BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=
+=++++．① 将11
2y x k =
+，222y
x k
=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得 121221121224()88
2()0y y k y y x y x y y y k k
++-++++===．
所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM +∠ABN ． 综上，∠ABM =∠ABN ．
21．解：〔1〕f 〔x 〕的定义域为(0)+∞，
，f ′〔x 〕=a e x
–1
x
． 由题设知，f ′〔2〕=0，所以a =212e
． 从而f 〔x 〕=
21e ln 12e x x --，f ′〔x 〕=211
e 2e x x
-．
当0<x <2时，f ′〔x 〕<0；当x >2时，f ′〔x 〕>0． 所以f 〔x 〕在〔0，2〕单调递减，在〔2，+∞〕单调递增．
〔2〕当a ≥1e
时，f 〔x 〕≥e ln 1e x
x --．
设g 〔x 〕=e ln 1e x x --，那么e 1
()e x g x x
'=-．
当0<x <1时，g ′〔x 〕<0；当x >1时，g ′〔x 〕>0．所以x =1是g 〔x 〕的最小值点． 故当x >0时，g 〔x 〕≥g 〔1〕=0． 因此，当1
e
a ≥
时，()0f x ≥． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]〔10分〕
解：〔1〕由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为
22(1)4x y ++=．
〔2〕由〔1〕知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆． 由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于
y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线
为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公一共点等价于1l 与2C 只有一个公一共点且2l 与2C 有两个公一共点，或者2l 与2C 只有一个公一共点且1l 与2C 有两个公一共点．
当
1l 与2C 只有一个公一共点时，A 到1l 所在直线的间隔为2，所以
2=，故43k =-或者
0k =．
经检验，当0k
=时，1l 与2C 没有公一共点；当4
3
k =-时，1l 与2C 只有一个公一共点，2l 与2C 有两
个公一共点．
当2l 与2C 只有一个公一共点时，A 到2l 所在直线的间隔为2，
2=，故0k =或者43k =． 经检验，当0k
=时，1l 与2C 没有公一共点；当4
3
k =
时，2l 与2C 没有公一共点． 综上，所求1C 的方程为
4
||23
y x =-+．
23．[选修4-5：不等式选讲]〔10分〕
解：〔1〕当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪
=-<<⎨⎪≥⎩
故不等式()1f x >的解集为1{|}2
x x >
． 〔2〕当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立． 假设0a ≤，那么当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥； 假设0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以2
1a
≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(0,2]．。