电磁学补充例题 Microsoft PowerPoint 演示文稿

kR 2 E = 4ε 0
O
R
r
例:*图为一球对称电荷分布的静电场的 E ~ r 曲线 图为一球对称电荷分布的静电场的 dr ′ 请指出它是下面哪一种带电体产生的? 请指出它是下面哪一种带电体产生的? r′ E O 1 r ∝ 2 1.半径为 的均匀带电球面 半径为R的均匀带电球面 半径为 r 2.半径为 的均匀带电球体 半径为R的均匀带电球体 半径为 3.半径为R,电荷体密度 半径为R, (A为常数 为常数) 3.半径为R,电荷体密度 ρ = Ar (A为常数) 的非均匀带电球体 A 4.半径为R,电荷体密度 半径为R, (A为常数 为常数) 4.半径为R,电荷体密度 ρ = r (A为常数) R 的非均匀带电球体 ρ E= r (2) r < R ) (1) r < R E = 0 3ε 0 解: 1 1 2 Ψ = ∫ E dS = E 4π r 2 = ∑ qi (4) ) Ψ qi (3) = S E dS = E 4π r = ) S ε 内
据带电圆环在轴线上一点的场强公式,
∴ dq = σ dS = σ 2π R sin θ Rdθ
1
q dE = cos θ 2 4πε 0 r
=
q 4πε 0 ( x 2 + R 2 )3 2
则整个半球面在球心P点处产生的场强的大小为:
π 2
1
可得该带电圆环在P点产生场强dE的大小为
由于dq为正,故dE方向沿X轴正方向. 将dq带入上式,可得:
注意: dq dE = cos θ 斜边 2 4πε 0 R
1
1 σ 2π R sin θ Rdθ dE = cos θ 2 4πε 0 R σ = sin θ cos θ dθ 2ε 0
E = ∫ dE =
σ = 4ε 0
∫
0
σ sin θ cos θ dθ 2ε 0
方向沿X轴正方向
补充题
∞
内球电势为
∞ q1 + q2 q1 + q2 dr = V外 = ∫ E d r = ∫ 2 R2 4πε 0 r R2 4πε 0 R2
∞
外球电势为
解
:
方法(二): 应用电势叠加原理求解
半径为R的均匀带电球面的电势分布为: 半径为R 均匀带电球面的电势分布为
球内 球外
4πε 0 R q V外 = 4πε 0 r
S
r
l
s(柱 ) 面
s(上 ) 底
s(下 ) 底
ε0
当r<R时,高斯面S内所包围电荷的代数和为:
a b q = ∫ ρdV = ∫ (ar br 2 )2π rl dr = 2π l ( r 3 r 4 ) ∑ 3 4 V 2 3 0 4ar 3br E= (r < R) 代入(1)可得: 12ε 0
σ σ x (1 ) EP = E1 + E2 = 2 2 1/ 2 2ε 0 2ε 0 (x + R ) σ x = 2ε 0 ( x 2 + R 2 )1/ 2
方向沿X轴正方向.
均匀带电球面的半径为R,总电荷量为 求电场中任 均匀带电球面的半径为 总电荷量为q.求电场中任 总电荷量为 .p 一点p处的电势 并作出V-r图 处的电势,并作出 一点 处的电势 并作出 图.
补充题
解
据高斯通量定理, : 据高斯通量定理,得
1 q 4πε 2 0 r E= 0
∞
q R
(r > R)
.p
(r < R)
∞
∞
V p = ∫ E dl = ∫ E d r = ∫ Edr
r r
r
E
当r>R时,
VP = ∫
当r<R时,
∞
r
1 q q = dr 2 4πε 0 r 4πε 0 r
R1
R2
∞ q1 + q2 R2 q1 dr dr + ∫ V内 = ∫ E d r = ∫ 2 2 R2 4πε 0 r R1 4πε 0 r R1 q1 1 1 q1 + q2 1 = q1 + q2 = ( )+ 4πε 0 R1 4πε 0 R2 4πε 0 R1 R2 4πε 0 R2
1
O
q 4πε 0 R
1
Vp = ∫ E d r
r
∞
r
∞
= ∫ E dr + ∫ E dr
r
R
R
R
= 0 + ∫R
∞
1 q q = dr 2 4πε 0 R 4πε 0 r
1
电荷q均匀分布在半径为 的球体内 电荷 均匀分布在半径为R的球体内.求距离球 均匀分布在半径为 的球体内. 小于R)的电势. 心r处(r小于 )的电势. 处 小于 据高斯通量定理 得 解: 据高斯通量定理,得 .p
∫
0
r
R
据高斯通量定理, 据高斯通量定理,得
= π kr 4
E内 =
q kr = ,(r < R) 2 4πε 0 r 4ε 0
E
R 0
1
2
dr
球外时, 球外时,
q = ∫∫∫ ρ dV = ∫ kr 4π r 2 dr
= π kR 4
q kR 4 E外 = = , (r > R) 2 2 4πε 0 r 4ε 0 r 1
如图所示,一无限大均匀带电平面,电 荷面密度为+σ,其上挖去一半径为R的圆孔.通 过圆孔中心O,并垂直于平面的X轴上有一点P, OP=x.试求P点处的场强.
解:本题可用取圆环带 的方法求解, 的方法求解, 也可用补偿法求解.
解法一 取一细圆环带, 取一细圆环带, 其半径为r r>R),带宽为dr ),带宽为dr, 其半径为r(r>R),带宽为dr, 则圆环带的面积为dS=2πrdr, 则圆环带的面积为dS=2πrdr, 其上带电量为dq=σdS=σ2πrdr; 其上带电量为dq=σdS=σ2πrdr; 应用已知带电细圆环在轴线上的场强公式, 应用已知带电细圆环在轴线上的场强公式,可得 该圆环带在轴线上
一个半径为R的球体内,分布着电荷体密度 一个半径为 的球体内,分布着电荷体密度ρ=kr,式 的球体内 , 是径向距离, 是常量 求空间的场强分布,并画出E-r图 是常量. 中r是径向距离,k是常量.求空间的场强分布,并画出 图. 是径向距离
补充题
解
:
球内时,
q = ∫∫∫ ρ dV = kr 4π r 2 dr
V内 =
q
q2
q1
R1
R2
根据叠加原理,有 根据叠加原理,
V内 = V1内 + V2内
= 4πε 0 R1 q1 + 4πε 0 R2 q2
V外 = V1外 + V2内
= 4πε 0 R2 q1
+ 4πε 0 R2 q2
补充题
两同心均匀带电球面, 两同心均匀带电球面,带电量分别为 q1, , 求各区域内的场强和电势. q2, 半径分别为 R1 ,R2 , 求各区域内的场强和电势.
解:
因为电荷相对轴线呈对称分布,所以距轴线为 的场点的 因为电荷相对轴线呈对称分布,所以距轴线为r的场点的 场强数值相等,场强方向沿圆柱径向. 场强数值相等,场强方向沿圆柱径向 因此可用高斯定理求解. 因此可用高斯定理求解.
ρ
R
选取长为l,半径为 , 选取长为 ,半径为r,与带电圆柱同轴的柱形高斯 由高斯定理可知: 由高斯定理可知: 面S. ∑q ∫ E dS = ∫ EdS+ ∫ E dS+ ∫ EdS = 2 πrl E =
取坐标轴OX, 解:取坐标轴 ,将带电半球面分成许多宽度 取坐标轴 极窄的半径不同的带电圆环, 极窄的半径不同的带电圆环,其上任意一个 dq = σ dS 圆环上的带电量为: 圆环上的带电量为 为便于计算,可采用角量描述. 为便于计算,可采用角量描述. 因为: dS = 2π R sin θ Rdθ
r
∫
dV = 4πr ′ 2 dr ′ dq = ρdV = Ar ′4πr ′ 2 dr ′
r 0
ε0
∑
内
dV = 4πr ′ dr ′
2
0
dq = ρ dV =
4
q = ∫ dq = ∫ 4πAr ′ 3 dr ′ = π Ar ∑
E 4πr =
2
A 4π r ′ 2 d r ′ = 4π A r ′d r ′ r ′r ∑ q = ∫ dq = ∫ 4πAr′dr′ = 2π Ar 2
σ x = 2ε 0 ( x 2 + R 2 )1/ 2
方向沿X轴正方向.
∞
半径为R 解法二 半径为R的圆孔可以看成是其上均匀地分布 着电荷面密度为+σ +σ和 的两种电荷. 着电荷面密度为+σ和-σ的两种电荷.
若在圆孔上补一个半径为R,电荷面密度为 的圆 若在圆孔上补一个半径为 ,电荷面密度为-σ的圆 盘,则P点处的场强可以看成是电荷面密度为 的无限 点处的场强可以看成是电荷面密度为+σ的无限 点处的场强可以看成是电荷面密度为 大均匀带电平面在P点产生的场强 和电荷面密度为-σ, 点产生的场强E1和电荷面密度为 大均匀带电平面在 点产生的场强 和电荷面密度为 , 半径为R的带电圆盘在 点产生的场强E2的矢量和 的带电圆盘在P点产生的场强 的矢量和, 半径为 的带电圆盘在 点产生的场强 的矢量和,由 方向均沿X轴方向 点的总场强E的大小为 于E1和E2方向均沿 轴方向,P点的总场强 的大小为 和 方向均沿 轴方向, 点的总场强 的大小为:
补充题
选取厚为h,半径为r的园 解 选取厚为 ,半径为 的园
:
E上
r
柱形高斯面S. 柱形高斯面Biblioteka 由高斯定理: 由高斯定理:
∫∫ E d s =
s
1
ε0
∑q
h E
得
E下 S E上 S =
1
ε0
ρ sh
11
E下
ρ=
ε 0 ( E下 E上 )
h
= 3.5 × 10 C m
3
补充题
如图所示,一半径为R的半球面,其上均匀地带有 正电荷,电荷面密度为σ,试求球心处的电场强度E.
P点产生电场的大小:
xdq dE = 4πε 0 ( x 2 + r 2 )3 / 2
xσ 2π rdr = 4πε 0 ( x 2 + r 2 )3 / 2
因此,该系统在P点产生总场强的大小为:
xσ 2π rdr E = ∫ dE = ∫ 2 2 3/ 2 4πε 0 ( x + r ) R
解
:
三个区域中的任意点分别作同心球面高斯球面,设面内电荷为∑ , 三个区域中的任意点分别作同心球面高斯球面,设面内电荷为∑q, 则 q q q 1
∫∫ E ds =
S
∑
ε0
E 4πr 2 =
∑
ε0
E=
∑
4πε 0 r
2
r
1 当r < R1时, ∑ q = 0
EI = 0
2 当R1 < r < R2时, ∑ q = q1 1 q1 EII = r 2 4πε 0 r
0
1
A 2 E= r 4ε 0
ε0
πAr
4
E 4πr =
2
1
(r < R )
E=
A 常数) (常数) 2ε 0
ε0
2πAr 2
(r < R )
补充题
半径为R的无限长圆柱体,柱内电荷体密度 半径为 的无限长圆柱体,柱内电荷体密度ρ=ar-br, 2 的无限长圆柱体 r为某点到圆柱轴线的距离,a,b为常量.试求带电圆柱体内外 为某点到圆柱轴线的距离, , 为常量 为常量. 为某点到圆柱轴线的距离 电场分布. 电场分布.
要求:用多种方法求解. 要求:用多种方法求解.
:
解
方法(一 : 方法 一): 由高斯定理可得带电系统在空间的电场分布为 E = 0 (0 < r < R1 )
E=
用电势定义求解
q2
q1
q1 + q2 ( R2 < r ) 2 4πε 0 r 可得: 由电势的定义可得: E=
4πε 0 r
q1
2
( R1 < r < R2 )
补充题
q 4πε 0 r 2 E= q r 4πε 0 R 3
∞
(r > R)
(r<R)
R
∞
.p
V = ∫ E dl = ∫ E d r = E d r + ∫ E d r
∞
∫
r
p
p
R
q (3R 2 r 2 ) V= 3 8πε 0 R
补充题 两个均匀带电的同心球面, 两个均匀带电的同心球面,内半径为 R1 ,外半径 求内球和外球的电势. 为 R2 , 电量分别为 q1 , q2 .求内球和外球的电势.
当r>R时,高斯面S内所包围电荷的代数和为:
r
S
q = ∫ ρdV = ∫ (ar br 2 )2π rl dr = 2π l ( R3 R 4 ) ∑
V
R 0
代入(1)可得:
4aR3 3bR4 E= (r > R) 12ε0r
a 3
b 4
实验发现,在地球大气层的一个广大区域中存 实验发现 在地球大气层的一个广大区域中存 在着电场,其方向是竖直向下的 其方向是竖直向下的.在 × 米高度,场强为 场强为1.0× 在着电场 其方向是竖直向下的 在2.0×102米高度 场强为 ×102 伏特/米 而在 而在3.0× 米高度, 场强为0.60×102伏特 米. 求从离地 伏特 米;而在 ×102米高度 场强为 × 伏特/米 200米至 米之间大气中电荷的平均体密度 ρ 米至300米之间大气中电荷的平均体密度 米至