小波变换及消噪
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基本性质
由于小波变换具有时频局部化特性以及多分辨 率特性，使得小波消噪方法能够在去除噪声的同 时，可以很好地保留信号的突变部分。
小波消噪也可以看做是低通滤波，传统低通滤 波可能使信号突变部分变模糊，而小波消噪可以 在一定程度上避免这种状况，可以很好地保留原 始信号的特征。
小波消噪
目前常用的小波消噪方法有三种， 一是由Mallat提出的模极大值消噪法， 二是由Xu提出的空域相关消噪法， 三是由Donoho提出的小波阈值消噪法。
基本理论
上述连续小波变换中的伸缩因子和平移因子都是连续的实数，在实 际应用中为了便于计算机进行分析和处理，需要将伸缩因子a和平移因 子b离散化，从而得到离散小波变换。通常取 (2-6)
代入（2-4）得到离散小波 （2-7）
相应的离散小波变换为 (2-8)
离散小波变换并不会造成信号基本信息的丢失，在实际应用中的小 波函数都具有正交性，可以消除小波空间中两点之间因冗余度造成的关 联，使计算误差更小，变换所得时频函数更能反映信号本身的性质。
名的阈 值形式：
（式3-4）
门限阈值处理可以表示为 ，可以证明当n 趋于无穷大时使用阈
值公式(3-4)对小波系数作软阈值处理可以几乎完全去除观测数据中的
噪声。
3) 对处理过的小波系数作逆变换
重构信号
（式3-5） 即可得到受污染采样信号去噪后的信号。
小波消噪
软、硬阈值处理方法
硬阈值处理只保留较大的小波系数并将较小的小波系数置零： 软阈值处理将较小的小波系数置零但对较大的小波系数向零作了收缩：
小波消噪
阈值的选取
阈值化处理的关键问题是选择合适的阈值如果阈值(门限) 太
小,去噪后的信号仍然有噪声存在;相反,如果太大,重要信号特征
将被滤掉,引起偏差。从直观上,对于给定小波系数,噪声越大,阈
（式3-1）
其中yi为含噪信号， 为“纯净”采样信号，zi为独立同分布的高斯
白噪声
，， 为噪声水平，信号长度为n. 为了从含噪信号
yi中还原出真实信号 ，可以利用信号和噪声在小波变换下的不同 的特性，通过对小波分解系数进行处工程应用中，有用信号通常表现为低频信号或是一
些比较平稳的信号，而噪声信号则通常表现为高频信号，所以我
们可以先对含噪信号进行小波分解（如进行三层分解）：
（式3-2）
其中 CAi为分解的近似部分，CDi 为 分解的 细节部分，i=1,2,3 ,则噪声部分通常包含在 CD1，CD2 ，CD3 中，用门限阈值对小波 系数进行处理，重构信号即可达到去噪的目
(式3-8)
(3) rigrsure:采用史坦的无偏似然估计原理进行阈值选择，首先得到一个给 定阈值的风险估计，选择风险最小的阈值 作为最终选择。 (4) heursure：选择启发式阈值它是sqtwolog和rigrsure 的综合，当信噪比 很小时,估计有很大的噪声，这时heursure, 采用固定阈值sqtwolog。
小波消噪
阈值的选取形式
选取规则都是基于含噪信号模型 (式3-1)中信号水平为1 的情况，对于 噪声水平未知或非白噪声的情况可以在去噪时重新调整得到的阈值。
在MATLAB中有4种阈值函数形式可以选用: (1) sqtwolog:采用固定的阈值形式，如(式3-4)，因为这种阈值形式在软门 限阈值处理中能够得到直观意义上很好的去噪效果。 (2) minimaxi采用极大极小原理选择的阈值，和sqtwolog一样也是一种固 定的阈值，它产生一个最小均方误差的极值，计算公式为:
小波消的噪。
消噪步骤： 1) 对观测数据作小波分解变化：
（式3-3）
其中y表示观测数据向量y1，y2，…y，f是真实信号向量f1，f2，…fn， z是高斯随机向量z1，z2，…zn ，其中用到了小波分解变换是线性变 换的性质。
2) 对小波系数W0作门限阈值处理，（根据具体情况可以使用软阈值 处 理或硬阈值处理，而且可以选择不同的阈值形式）比如选取最著
小波分析研究
目录
小波变换简介 基本理论与性质
小波消噪 matlab仿真
“小波”就是小区域、长度有限、均值为0的波形。 所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指
它的波动性。 它通过伸缩平移运算对信号（函数)逐步进行多尺度细
化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自 动适应时频信号分析的要求。通过变换能够充分突出问 题某些方面的特征，从而可聚焦到信号的任意细节。
基本理论
小波变换具有以下基本性质： (1) 时频局部化特性。小波变换可以将信号的突 变点准确定位在时间轴上。 (2) 多分辨率特性。小波变换可以在不同尺度上 描述非平稳信号，可以较好地表征信号的断点、尖 峰等局部特征。 (3) 解相关性。通过小波变换，可以使噪声信号 的能量分布在大部分小波系数上，而使有用信号的 能量集中在少数几个小波系数上。 (4) 选基灵活性。为获得较好的分析效果，小波 变换可以针对不同的应用对象灵活选择小波基。
小波变换简介
傅里叶变换属于全局变换，与傅里叶变换相比，小波变 换继承和发展了短时傅立叶变换局部化的思想，同时又 克服了窗口大小不随频率变化等缺点，能够提供一个随 频率改变的时间一频率窗口，实现时间（空间）频率的 局部化分析。
小波变换简介
在小波分析中函数空间为实数空间上由平方可积函数构成的函数空间
小波阈值消噪法是在众多小波系数中，将绝对 值较小的系数置零，绝对值较大的系数保留或收 缩，然后利用估计小波系数重构信号。该方法是 最简单、计算量最小的一种方法，在最小均方误 差意义下可达近似最优，因而在实际中得到广泛 应用。
小波消噪
叠加性高斯白噪声是最常见的噪声模型，受到叠加性高斯白噪声
“污染”的观测信号可以表示为：
，
即
（2-1）
若
，则称 为有限能量函数， 称为有限能量信号空间。
若
且其傅里叶变换 满足容许条件
（2-2）
即 有界，则称 为一个母小波或基小波，将母小波经过时间平移和尺度
伸缩变换后就可以得到一个小波序列
（2-3）
其中 为伸缩因子， 为平移因子， 且 。由此信号 关于基小波 的连续小波变换
可以定义为
（2-4）
由于小波变换具有时频局部化特性以及多分辨 率特性，使得小波消噪方法能够在去除噪声的同 时，可以很好地保留信号的突变部分。
小波消噪也可以看做是低通滤波，传统低通滤 波可能使信号突变部分变模糊，而小波消噪可以 在一定程度上避免这种状况，可以很好地保留原 始信号的特征。
小波消噪
目前常用的小波消噪方法有三种， 一是由Mallat提出的模极大值消噪法， 二是由Xu提出的空域相关消噪法， 三是由Donoho提出的小波阈值消噪法。
基本理论
上述连续小波变换中的伸缩因子和平移因子都是连续的实数，在实 际应用中为了便于计算机进行分析和处理，需要将伸缩因子a和平移因 子b离散化，从而得到离散小波变换。通常取 (2-6)
代入（2-4）得到离散小波 （2-7）
相应的离散小波变换为 (2-8)
离散小波变换并不会造成信号基本信息的丢失，在实际应用中的小 波函数都具有正交性，可以消除小波空间中两点之间因冗余度造成的关 联，使计算误差更小，变换所得时频函数更能反映信号本身的性质。
名的阈 值形式：
（式3-4）
门限阈值处理可以表示为 ，可以证明当n 趋于无穷大时使用阈
值公式(3-4)对小波系数作软阈值处理可以几乎完全去除观测数据中的
噪声。
3) 对处理过的小波系数作逆变换
重构信号
（式3-5） 即可得到受污染采样信号去噪后的信号。
小波消噪
软、硬阈值处理方法
硬阈值处理只保留较大的小波系数并将较小的小波系数置零： 软阈值处理将较小的小波系数置零但对较大的小波系数向零作了收缩：
小波消噪
阈值的选取
阈值化处理的关键问题是选择合适的阈值如果阈值(门限) 太
小,去噪后的信号仍然有噪声存在;相反,如果太大,重要信号特征
将被滤掉,引起偏差。从直观上,对于给定小波系数,噪声越大,阈
（式3-1）
其中yi为含噪信号， 为“纯净”采样信号，zi为独立同分布的高斯
白噪声
，， 为噪声水平，信号长度为n. 为了从含噪信号
yi中还原出真实信号 ，可以利用信号和噪声在小波变换下的不同 的特性，通过对小波分解系数进行处工程应用中，有用信号通常表现为低频信号或是一
些比较平稳的信号，而噪声信号则通常表现为高频信号，所以我
们可以先对含噪信号进行小波分解（如进行三层分解）：
（式3-2）
其中 CAi为分解的近似部分，CDi 为 分解的 细节部分，i=1,2,3 ,则噪声部分通常包含在 CD1，CD2 ，CD3 中，用门限阈值对小波 系数进行处理，重构信号即可达到去噪的目
(式3-8)
(3) rigrsure:采用史坦的无偏似然估计原理进行阈值选择，首先得到一个给 定阈值的风险估计，选择风险最小的阈值 作为最终选择。 (4) heursure：选择启发式阈值它是sqtwolog和rigrsure 的综合，当信噪比 很小时,估计有很大的噪声，这时heursure, 采用固定阈值sqtwolog。
小波消噪
阈值的选取形式
选取规则都是基于含噪信号模型 (式3-1)中信号水平为1 的情况，对于 噪声水平未知或非白噪声的情况可以在去噪时重新调整得到的阈值。
在MATLAB中有4种阈值函数形式可以选用: (1) sqtwolog:采用固定的阈值形式，如(式3-4)，因为这种阈值形式在软门 限阈值处理中能够得到直观意义上很好的去噪效果。 (2) minimaxi采用极大极小原理选择的阈值，和sqtwolog一样也是一种固 定的阈值，它产生一个最小均方误差的极值，计算公式为:
小波消的噪。
消噪步骤： 1) 对观测数据作小波分解变化：
（式3-3）
其中y表示观测数据向量y1，y2，…y，f是真实信号向量f1，f2，…fn， z是高斯随机向量z1，z2，…zn ，其中用到了小波分解变换是线性变 换的性质。
2) 对小波系数W0作门限阈值处理，（根据具体情况可以使用软阈值 处 理或硬阈值处理，而且可以选择不同的阈值形式）比如选取最著
小波分析研究
目录
小波变换简介 基本理论与性质
小波消噪 matlab仿真
“小波”就是小区域、长度有限、均值为0的波形。 所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指
它的波动性。 它通过伸缩平移运算对信号（函数)逐步进行多尺度细
化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自 动适应时频信号分析的要求。通过变换能够充分突出问 题某些方面的特征，从而可聚焦到信号的任意细节。
基本理论
小波变换具有以下基本性质： (1) 时频局部化特性。小波变换可以将信号的突 变点准确定位在时间轴上。 (2) 多分辨率特性。小波变换可以在不同尺度上 描述非平稳信号，可以较好地表征信号的断点、尖 峰等局部特征。 (3) 解相关性。通过小波变换，可以使噪声信号 的能量分布在大部分小波系数上，而使有用信号的 能量集中在少数几个小波系数上。 (4) 选基灵活性。为获得较好的分析效果，小波 变换可以针对不同的应用对象灵活选择小波基。
小波变换简介
傅里叶变换属于全局变换，与傅里叶变换相比，小波变 换继承和发展了短时傅立叶变换局部化的思想，同时又 克服了窗口大小不随频率变化等缺点，能够提供一个随 频率改变的时间一频率窗口，实现时间（空间）频率的 局部化分析。
小波变换简介
在小波分析中函数空间为实数空间上由平方可积函数构成的函数空间
小波阈值消噪法是在众多小波系数中，将绝对 值较小的系数置零，绝对值较大的系数保留或收 缩，然后利用估计小波系数重构信号。该方法是 最简单、计算量最小的一种方法，在最小均方误 差意义下可达近似最优，因而在实际中得到广泛 应用。
小波消噪
叠加性高斯白噪声是最常见的噪声模型，受到叠加性高斯白噪声
“污染”的观测信号可以表示为：
，
即
（2-1）
若
，则称 为有限能量函数， 称为有限能量信号空间。
若
且其傅里叶变换 满足容许条件
（2-2）
即 有界，则称 为一个母小波或基小波，将母小波经过时间平移和尺度
伸缩变换后就可以得到一个小波序列
（2-3）
其中 为伸缩因子， 为平移因子， 且 。由此信号 关于基小波 的连续小波变换
可以定义为
（2-4）