九年级数学全册 难点探究专题 相似与特殊几何图形的综合问题(选做)练习

难点探究专题:相似与特殊几何图形的综合问题(选做)
——突破相似中的综合问题及含动点的解题思路
◆类型一相似与特殊三角形
1．一块直角三角板ABC按如图放置，顶点A的坐标为(0，1),直角顶点C的坐标为（－3，0），∠B＝30°，则点B的坐标为______________．
第1题图
第2题图
2．(2016·黄冈中考）如图,已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI 是4个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同一直线上，且AB＝2,BC＝1，连接AI，交FG于点Q，则QI＝________．3．(2016·福州中考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝错误!，在AC边上截取AD＝BC，连接BD。

(1)通过计算，判断AD2与AC·CD的大小关系；
（2)求∠ABD的度数．
错误!类型二相似与特殊四边形
4．（2016·东营中考)如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点,BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB;②CF＝2AF；③DF＝DC。

其中正确的结论有( )
A．3个B．2个C．1个D．0个
5．如图，△ABC和△DBC是两个具有公共边的全等三角形，AB＝AC＝3cm，BC＝2cm。

将△DBC沿射线BC平移一定的距离得到△D1B1C1，连接AC1，BD1。

如果四边形ABD1C1是矩形，那么平移的距离为________cm.
第5题图
第6题图
6．(2016·滨州中考）如图,矩形ABCD中，AB＝错误!，BC＝错误!，点E在对角线BD上，且BE＝1.8，连接AE并延长交DC于点F，则错误!＝________．
7．如图,在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F 是AD上的点,且AE＝EF＝FD.连接BE、BF，使它们分别与AO相交于点G、H.
（1)求EG∶BG的值；
（2)求证:AG＝OG；
（3）设AG＝a，GH＝b,HO＝c,求a∶b∶c的值．
错误!类型三运用相似解决几何图形中的动点问题
8．如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点,N在CD上，且CN＝错误!CD，若AB＝4，设BM＝x,当x＝________时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似．
第8题图
第9题图
9．（2016·宜春模拟)如图,△ABC≌△DEF(点A、B分别与点D、E对应），AB＝AC＝5，BC＝6，△ABC固定不动，△DEF运动，并满足点E在BC边从B向C移动（点E不与B、C重合)，DE始终经过点A，EF与AC边交于点M，当△AEM是等腰三角形时，BE ＝________．
10．（2016·梅州中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,AC ＝5cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm 的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒错误!cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN.
(1)若BM＝BN,求t的值；
(2）若△MBN与△ABC相似，求t的值；
(3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．
11．（2016·赤峰中考)如图，正方形ABCD的边长为3cm，P，Q分别从B，A出发沿BC,AD方向运动,P点的运动速度是1cm/秒,Q 点的运动速度是2cm/秒,连接AP并过Q作QE⊥AP垂足为E.
(1）求证：△ABP∽△QEA；
(2）当运动时间t为何值时，△ABP≌△QEA？
（3)设△QEA的面积为y，用运动时间t表示△QEA的面积y （不要求考虑t的取值范围)．［提示：解答（2）（3）时可不分先后]
错误!类型四相似中的探究型问题
12．(2016·宁波中考）从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1)如图①，在△ABC中,CD为角平分线,∠A＝40°，∠B＝60°，求证:CD为△ABC的完美分割线；
（2）在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数;
（3）如图②，△ABC中，AC＝2,BC＝错误!，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．
难点探究专题:相似与特殊
几何图形的综合问题（选做）
1．(－3－3,33) 解析：如图，过点B作BE⊥x轴于点E.易证△EBC∽△OCA，∴错误!＝错误!＝错误!。

∵点A的坐标为(0，1)，点C的坐标为（－3，0）,∴OA＝1,OC＝3,∴AC＝错误!＝错误!.在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝2错误!，∴BC＝错误!＝错误!,∴错误!＝错误!。

∴BE＝3错误!，EC＝错误!，∴EO＝EC＋CO＝错误!＋3,∴点B 的坐标为(－3－3,3错误!）．
2。

错误!解析:∵△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形,∴HI＝AB＝2，GI＝BC＝1，BI＝4BC＝4，∴错误!＝错误!＝错误!，错误!＝错误!，∴错误!＝错误!。

又∵∠ABI＝∠ABC,∴△ABI∽△CBA，∴
错误!＝错误!。

∵AB＝AC，∴AI＝BI＝4.∵∠ACB＝∠FGE,∴AC∥FG，
∴QI
AI＝错误!＝错误!，∴QI＝错误!AI＝错误!.
3．解：（1)∵AB＝AC＝1，BC＝错误!，∴AD＝错误!，DC＝1－错误!
＝错误!。

∴AD2＝错误!＝错误!，AC·CD＝1×错误!＝错误!。

∴AD2＝AC·CD;
(2)∵AD＝BC，AD2＝AC·CD，∴BC2＝AC·CD，即错误!＝错误!.又∵∠C＝∠C，∴△BCD∽△ABC。

∴错误!＝错误!＝1,∠DBC＝∠A.∴DB＝CB＝AD.∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC.设∠A＝x，则∠ABD＝x，∠DBC＝x，∠C＝2x.∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴x ＋2x＋2x＝180°,解得x＝36°，∴∠ABD＝36°。

4．A 解析：过D作DM∥BE交AC于N.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC。

∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°,∴△AEF∽△CAB,故①正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴错误!＝错误!。

∵AE＝错误!AD ＝错误!BC，∴错误!＝错误!,∴CF＝2AF，故②正确；∵DE∥BM，BE∥DM,∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM＝DE＝错误!BC,∴BM ＝CM，∴CN＝NF。

∵BE⊥AC于点F，DM∥BE,∴DN⊥CF，∴DF ＝DC，故③正确．
5．7 解析:作AE⊥BC于E,∴∠AEB＝∠AEC1＝90°，∴∠BAE ＋∠ABC＝90°.∵AB＝AC，BC＝2，∴BE＝CE＝错误!BC＝1.∵四边形ABD1C1是矩形,∴∠BAC1＝90°，∴∠ABC＋∠AC1B＝90°，
∴∠BAE＝∠AC1B，∴△ABE∽△C1BA，∴错误!＝错误!.∵AB＝3cm，BE＝1cm，∴错误!＝错误!，∴BC1＝9cm，∴CC1＝BC1－BC＝9－2＝7(cm）,即平移的距离为7cm.
6.错误!解析：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°。

∵AB ＝错误!，BC＝错误!，∴BD＝错误!＝3.∵BE＝1。

8，∴DE＝3－1。

8＝1。

2.∵AB∥CD，∴错误!＝错误!，即错误!＝错误!，解得DF＝错误!,则CF＝CD －DF＝错误!,∴错误!＝错误!＝错误!.
7．（1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，
AD∥BC,∴△AEG∽△CBG,∴EG
GB＝错误!＝错误!.∵AE＝EF＝
FD,∴BC＝AD＝3AE，∴GC＝3AG，GB＝3EG，∴EG∶BG＝1∶3；
（2)证明:∵GC＝3AG（已证），∴AC＝4AG，∴AO＝错误!AC＝2AG，∴GO＝AO－AG＝AG；
（3）解：∵AE＝EF＝FD，∴BC＝AD＝3AE,AF＝
2AE.∵AD∥BC,∴△AFH∽△CBH，∴AH
HC＝错误!＝错误!＝错误!，∴错误!
＝错误!，即AH＝错误!AC.∵AC＝4AG，∴a＝AG＝错误!AC,b＝AH－AG ＝错误!AC－错误!AC＝错误!AC,c＝AO－AH＝错误!AC－错误!AC＝错误!AC，∴a∶b∶c＝错误!∶错误!∶错误!＝5∶3∶2。

8．2或错误!解析：∵在正方形ABCD中,AB＝4,∴AB＝BC＝CD＝4。

∵BM＝x，∴CM＝4－x。

∵CN＝错误!CD，∴CN＝1。

当△ABM∽△MCN时，错误!＝错误!,即错误!＝错误!，解得x＝2；当
△ABM∽△NCM时，错误!＝错误!，即错误!＝错误!,解得x＝错误!。

综上所述，当x＝2或错误!时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M 为顶点的三角形相似．
9．1或错误!解析：∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF,∴AE≠AM；当AE＝EM时，则△ABE≌△ECM,∴CE＝AB＝5，∴BE＝BC－EC＝6－5＝1.当AM＝EM时，则∠MAE＝∠MEA，∴∠MAE＋∠BAE＝∠MEA＋∠CEM,即∠CAB＝∠CEA。

又∵∠C＝∠C,∴△CAE∽△CBA,∴错误!＝错误!，∴CE＝错误!＝错误!,∴BE＝6－错误!＝错误!，∴BE＝1或错误!.
10．解:(1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,AC＝5，∠BAC＝60°，∴∠B＝30°,∴AB＝2AC＝10,BC＝5错误!.由题意知：BM＝2t,CN＝错误!t，∴BN＝5错误!－错误!t。

∵BM＝BN,∴2t＝5错误!－错误!t,解得t＝错误!＝10错误!－15；
(2)分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，则错误!＝错误!，即错误!＝错误!，解得t＝错误!；②当△NBM∽△ABC时，则错误!＝错误!，即错误!＝错误!，解得t＝错误!.综上所述,当t＝错误!或t＝错误!时，△MBN与△ABC 相似；
(3)过M作MD⊥BC于点D,则MD∥AC,∴△BMD∽△BAC,∴错误!＝错误!，即错误!＝错误!，解得MD＝t.设四边形ACNM的面积为y，∴y＝错误!×5×5错误!－错误!（5错误!－错误!t）·t＝错误!t2－错误!t＋错误!＝错误!错误!错误!＋错误!错误!。

∴根据二次函数的性质可知，当t＝错误!时，y的值
最小．此时，y 最小＝758
错误!. 11．（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BAP ＋∠QAE ＝∠B ＝90°.∵QE ⊥AP ，∴∠QAE ＋∠EQA ＝∠AEQ ＝90°，∴∠BAP ＝∠EQA ，∠B ＝∠AEQ ，∴△ABP ∽△QEA ；
（2）解：∵△ABP ≌△QEA ，∴AP ＝AQ .在Rt△ABP 与Rt△QEA 中,根据勾股定理得AP 2＝32＋t 2，AQ 2＝(2t )2，即32＋t 2＝(2t ）2，解得t 1＝错误!，t 2＝－错误!（不符合题意，合去）．即当t ＝错误!时△ABP ≌△QEA ;
（3)解：由（1)知△ABP ∽△QEA ,∴错误!＝错误!错误!，∴错误!＝错误!错误!,整理得y ＝错误!。

12．解：(1)如图①中，∵∠A ＝40°，∠B ＝60°，∴∠ACB ＝80°，∴△ABC 不是等腰三角形．∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠BCD ＝错误!∠ACB ＝40°，∴∠ACD ＝∠A ＝40°,∴△ACD 为等腰三角形．∵∠DCB ＝∠A ＝40°，∠CBD ＝∠ABC ，∴△BCD ∽△BAC ,∴CD 是△ABC 的完美分割线;
（2)①当AD＝CD时，如图②，∠ACD＝∠A＝48°,∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD ＋∠BCD＝96°；
②当AD＝AC时，如图③,∠ACD＝∠ADC＝错误!＝66°.∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD ＋∠BCD＝114°;
③当AC＝CD时，如图④中,∠ADC＝∠A＝48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°。

∵∠ADC〉∠BCD，矛盾，舍弃．∴∠ACB＝96°或114°；
(3)由已知AC＝AD＝2，∵△BCD∽△BAC，∴错误!＝错误!，设BD＝x，∴(错误!)2＝x(x＋2)．∵x〉0，∴x＝错误!－1。

∵△BCD∽△BAC，∴错误!＝错误!＝错误!，∴CD＝错误!×2＝错误!－错误!。