第11讲 中考探究之动态问题

PE RE
4
∴S△RCG＝ 1 ×3× 9 ＝ 27 ，∴S＝12－ 27 ＝ 69 (cm2)；
2
48
88
A
D
P F
BQ
CE
R
图1
A
D
P
G
B(Q) E C R 图2
（3）如图 3，当 8≤t＜9 时， 则 QB∶QE＝(t－5)∶4， ∵△QFB∽△QPE， ∴S△QFB∶S△QPE＝(t－5)2∶16， ∴S△QFB∶6＝(t－5)2∶16，
02
考点突破
考点一 点动型问题
【例 1】如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠A＝90°，BC＝4，点 P 是△ABC 边上一动点， 沿 B→A→C 的路径移动，过点 P 作 PD⊥BC 于点 D，设 BD＝x，△BDP 的面积为 y，则下 列能大致反映 y 与 x 函数关系的图象是( )
A
P
B
D
y
l
A
F
D 2
B
E
C
图1
O
45
7x
图2
【答案】10＋2 3 ∵∠B＝30°，直线 l⊥AB，∴BE＝2EF，
由图可得，AB＝4cos30°＝4× 3 ＝2 3 ，BC＝5，AD＝7－4＝3， 2
当 EF 平移到点 F 与点 D 重合时，如下图所示， ∵∠EFB＝60°，∴∠DEC＝60°， ∵DE＝CE＝2，∴△DEC 为等边三角形，∴CD＝2．
∴S△QFB＝ 3 (t－5)2，
Q
8
∴S＝S△PQR－S△QFB＝12－ 3 (t－5）2＝－ 3 t2＋ 15 t＋ 21 ；
8
8 48
（4）如图 4，当 9≤t≤13 时，
则 RB∶RE＝(13－t)∶4，
∵△RFB∽△RPE，
∴S△RFB∶S△RPE＝(13－t)2∶16，
∴S△RFB∶6＝(13－t)2∶16，
x2＋
8 3
x＝m，解得：x1＝4－
16 3m ，x2＝4＋
16 3m ，
∴点 A 的坐标为(4－ 16 3m ，m)，点 B 的坐标为(4＋ 16 3m ，m)，
∴点 D 的坐标为(4－ 16 3m ，0)，点 C 的坐标为(4＋ 16 3m ，0)．
∵矩形 ABCD 为正方形，
∴四边形 ABCD 的周长是：AB＋BC＋AD＋CD＝2 3 ＋5＋3＋2＝10＋2 3 ，
l
A
D(F)
F
B
E
C
E
图1
考点三 面动型问题
【例 1】如图，在边长为 1 的菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，将△ABD 沿射线 BD 的方向平移 得到△A'B'D'，分别连接 A'C，A'D，B'C，则 A'C＋B'C 的最小值为__________．
∵以 A、E、F、Q 四点为顶点构成的四边形为平行四边 y 形，且 AQ∥EF，
∴AQ＝EF，分三种情况考虑： ①当 0＜t≤4 时，如图 1 所示，
A
B(E) y1=m
AQ＝t，EF＝－ 1 t2＋ 4 t＋4－(－t＋4)＝－ 1 t2＋ 7 t，
33
33
∴t＝－
1 3
t2＋
7 3
t，解得：t1＝0(舍去)，t2＝4；
∴4＋ 16 3m －(4－ 16 3m )＝m，解得：m1＝－16(舍去)，m2＝4．
∴当矩形 ABCD 为正方形时，m 的值为 4．
（3）以 A、E、F、Q 四点为顶点构成的四边形能为平行四边形．由（2）可知： 点 A 的坐标为(2，4)，点 B 的坐标为(6，4)，点 C 的坐标为(6，0)，点 D 的坐标为(2，0)． 设直线 AC 的解析式为 y＝kx＋a(k≠0)，将 A(2，4)，C(6，0)代入 y＝kx＋a，得：
y
l
A
D
s
s
C
BP
x
s
s
0
x
A 【答案】A
0
x
B
0
x
C
0
x
D
【例 2】如图 1，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝30°，直线 l⊥AB．当直线 l 沿射线 BC 方向，从点 B 开始向右平移时，直线 l 与四边形 ABCD 的边分别相交于点 E、F．设直线 l 向右平移的距离为 x，线段 EF 的长为 y，且 y 与 x 的函数关系如图 2 所示，则四边形 ABCD 的周长是__________．
第十一讲
九年级春季课件
中考探究之动态问题
数学教研组 编写
01
中考点津
动态问题就是研究几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变” 与“不变”性．就其运动对象而言有点动(包括单动点和双动点)、线动、面动；就其运动形 式而言有平移、旋转、翻折、滚动等．
对于动态问题的解决，首先要深入理解运动图形所在的条件与环境，用运动的眼光去观 察和研究问题，把握运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系和 特殊关系，然后化“动态”为“静态”、化“变化”为“不变”，通过分析，找出题中各图 形的结合点，再联系所学知识进行解答，在解答过程中，把握好一般与特殊的关系；分析过 程中，特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置)，还要注意函数、 方程、数形结合、分类讨论以及转化思想的应用．
C
y
y
y
y
O
Ax
A
【答案】B
O
Ax
B
O
Ax
C
O
Ax
D
【例 2】如图，二次函数 y＝－ 1 x2＋bx＋c 的图象过原点，与 x 轴的另一个交点为(8，0)． 3
（1）求该二次函数的解析式； （2）在 x 轴上方作 x 轴的平行线 y1＝m，交二次函数图象于 A、B 两点，过 A、B 两点分别作 x 轴的垂线， 垂足分别为点 D、点 C．当矩形 ABCD 为正方形时，求 m 的值； （3）在（2）的条件下，动点 P 从点 A 出发沿射线 AB 以每秒 1 个单位长度匀速运动，同时动点 Q 以相同 的速度从点 A 出发沿线段 AD 匀速运动，到达点 D 时立即原速返回，当动点 Q 返回到点 A 时，P、Q 两点 同时停止运动，设运动时间为 t 秒(t＞0)．过点 P 向 x 轴作垂线，交抛物线于点 E，交直线 AC 于点 F，问： 以 A、E、F、Q 四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出 t 的值；若不能，请说明理由．
A
D
P
BQ
C
Rl
【答案】解：（1）如图 1， ∵PQ＝PR，点 E 为 QR 的中点，
∴PE⊥QR， ∴FC∥PE， ∴△QCF∽△QEP；
（2）如图 2，当 t＝5 时，CR＝3， 设 PR 与 DC 交于 G，∵PE⊥BC，PQ＝PR＝5，QR＝8，
∴PE＝ PR2 RE＝ CR ，∴CG＝ 9 ，
A' A
D' D
【答案】 3
B'
B
C
【例 2】如图，有一边长为 5 的正方形 ABCD 和一等腰△PQR，PQ＝PR＝5cm，QR＝8cm， 点 B、Q、C、R 在同一直线 l 上，当 Q、C 两点重合时，等腰△PQR 以每秒 1cm 的速度沿直 线 l 按箭头所示 的方向开始匀速运动，t 秒后正方形 ABCD 和等腰△PQR 重叠部分的面积为 S． （1）当 t＝3 时，PQ 与 CD 相交于点 F，点 E 为 QR 的中点，连结 PE，求证：△QCF∽△ QEP； （2）当 t＝6 时，求 S 的值； （3）当 8≤t＜9 时，求 S 关于 t 的函数表达式； （4）当 9≤t≤13 时，求 S 关于 t 的函数表达式．
O D(Q) C(F)
x
图1
②当 4＜t≤7 时，如图 2 所示，
AQ＝t－4，EF＝－ 1 t2＋ 4 t＋4－(－t＋4)＝－ 1 t2＋ 7 t，
33
33
∴t－4＝－ 1 t2＋ 7 t，解得：t3＝－2(舍去)，t4＝6； 33
③当 7＜t≤8 时，AQ＝t－4，EF＝－t＋4－(－ 1 t2＋ 4 t 33
y
y
A
B
y1=m
A
B
y1=m
OD C
x
OD C
x
备用图
【答案】解：（1）将(0，0)，(8，0)代入 y＝－ 1 x2＋bx＋c，得： 3
c
0 64 3

8b

c

0
，解得：
b c

8 3 0
，∴该二次函数的解析式为
y＝－
1 3
x2＋
8 3
x．
（2）当
y＝m
时，－
1 3
＋4)＝ 1 t2－ 7 t， 33
∴t－4＝ 1 t2－ 7 t， 33
y
A
BP
Q OD
E C
F 图2
y1=m
x
解得：t5＝5－ 13 (舍去)，t6＝5＋ 13 (舍去)．
综上所述：当以 A、E、F、Q 四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，t 的值为 4 或 6．
考点二 线动型问题
【例 1】如图，已知等腰梯形 ABCD，AD∥BC，若动直线 l 垂直于 BC，且向右平移，设扫 过的阴影部分的面积为 S，BP 为 x，则 S 关于 x 的函数图象大致是( )
Q
∴S＝S△RFB＝ 3 (13－t)2＝ 3 t2－ 39 t＋ 507 ．
8
84 8
A P
F
BE 图3
A P
F
EBR 图4
D RC
D C
2k 6k

a a

4 0
，解得：
k a

1 6
，∴直线
AC
的解析式为
y＝－x＋6．
当 x＝2＋t 时，y＝－ 1 x2＋ 8 x＝－ 1 t2＋ 4 t＋4，y＝－x＋6＝－t＋4，
33
33
∴点 E 的坐标为(2＋t，－ 1 t2＋ 4 t＋4)，点 F 的坐标为(2＋t，－t＋4)． 33