副题06 直线与圆-2019年高考数学二轮透析23题对对碰 Word版含解析

2019届二轮透析高考数学23题对对碰【二轮精品】第二篇
副题6直线与圆
【副题考法】本主题考题形式为选择题、填空题，与函数、解析几何结合考查直线的倾斜角、斜率、直线方程、两直线的位置关系、点到直线的距离公式、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等基础知识和方法，考查运算求解能力、数形结合思想，难度为基础题或中档题，分值为5分. 【主题考前回扣】
1．直线方程的五种形式
(1)点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)(直线过点P 1(x 1，y 1)，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线)． (2)斜截式：y ＝kx ＋b (b 为直线l 在y 轴上的截距，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线)． (3)两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1
x 2－x 1(直线过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，y 1≠y 2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．
(4)截距式：x a ＋y
b ＝1(a ，b 分别为直线的横、纵截距，且a ≠0，b ≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．
(5)一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)． 2．直线的两种位置关系
当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率存在时：
(1)两直线平行l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (2)两直线垂直l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. 3．三种距离公式
(1)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点间的距离|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.
(2)点到直线的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(其中点P (x 0，y 0)，直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0)．
(3)两平行线间的距离d ＝|C 2－C 1|
A 2＋
B 2(其中两平行线方程分别为l 1：Ax ＋By ＋
C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0)． 4．圆的方程的两种形式
(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.
(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)． 5．直线与圆、圆与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法．
(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法．
【易错点提醒】
1．不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错．
2．易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情
况，直接设为x
a＋y
a＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y－y0＝k(x－x0)
等．
3．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0.
4．在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，要注意有可能这两条直线重合；在立体几何中提到的两条直线，一般可理解为它们不重合．
5．求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式|C1－C2|
A2＋B2，导致错解．
6．在圆的标准方程中，误把r2当成r；在圆的一般方程中，忽视方程表示圆的条件．
7．易误认两圆相切为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解．
【副题考向】
考向一直线的方程与两直线的位置关系
【解决法宝】1.求直线方程的本质是确定方程中两个独立的系数，其常用方法是：
①直接法：直接选用恰当的直线方程的形式，写出结果；
②待定系数法：即先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一待定系数，再由其他条件求出待定系数．
2.判定两直线平行与垂直的关系时，如果直线方程中含有字母系数，一定要注意斜率不存在的情况．
3.使用点到直线的距离公式时，要注意将直线方程化成一般式，再利用公式求其距离；使用两平行线间的距离公式时，两直线必须是一般式且两直线方程中y
x,的系数要对应相等．
例1．【2019届天津市七校期末】设，直线：，直线：，则“”是“”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】根据直线平行的等价条件求出得取值范围，结合充分条件和必要条件的定义，进行判定，即可得到答案.
【解析】由题意，当时，两直线，此时两直线不平行，
当时，若，则满足，由得，解得或，当时，
成立，当时，成立，即两直线是重合的（舍去），故，所以是
的充要条件，故选C.
考向二圆的方程
【解决法宝】圆的方程的求法：
①几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求出圆的基本元素（圆心、半径）和方程；
②代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
注：根据条件，设圆的方程时要尽量减少参数，这样可减少运算量．
例2．【2019届河北省衡水市二中期中】以抛物线的焦点为圆心且过点的圆的标准方程为（）
A．B．
C．D．
【分析】根据抛物线的性质和圆的标准方程即可求出．
【解析】抛物线的焦点F（1，0），即圆心坐标为（1，0），又圆过点，且P在抛物线上，∴
r=，故所求圆的标准方程为，故选A.
考向三直线与圆的位置关系
【解决法宝】1.在解决直线与圆的位置关系问题时，一定要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征，尽可能地简化运算，判断直线与圆的位置关系的2种方法：
(1)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离；
(2)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．
2.直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式，过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点的距离，利用勾股定理计算．
3．弦长的求解方法
(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，
(其中l 为弦长，r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离)．
(2)根据公式：l ＝1＋k 2|x 1－x 2|求解(其中l 为弦长，x 1，x 2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k 为直线的斜率)．
(3)求出交点坐标，用两点间距离公式求解． 例3．【2019届云南省昆明市质检（2）】已知直线与圆：
相
交于、两点，为圆心.若为等边三角形，则的值为（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．
【分析】由为等边三角形，所以
，由弦长公式求得
，利用圆心到直线的距离公式，即
可求解，得到答案. 【解析】由题意，圆可知，圆心
，半径
，因为
为等边三角形，所以
，由弦长公式，可得
，解得，所以圆心到直线的距
离为，解得，故选D.
考向四 圆与圆的位置关系
【解决法宝】两圆位置关系的判定方法：设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O 21，
;
;
;
;
.
例4【河南安阳2018届二模】已知圆1C ：
与圆2C ：
的公共弦所在直线恒过定点()P a b ，
，且点P 在直线
上，则mn 的取值范围是（ ）
A. 104⎛⎫ ⎪⎝⎭，
B. 104⎛⎤ ⎥⎝⎦
， C. 14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， D. 14⎛⎤
-∞ ⎥⎝⎦，
【分析】两圆方程相减即可得出两圆公共弦所在的直线方程，将公共弦所在的直线方程整理成关于k 的一元一次方程，利用公共弦所在的直线恒过定点，则关于k 的方程的系数都为0，即可得到关于x,y 的方程组，方程组的解即为定点P 坐标，代入直线，利用基本不等式即可求出mn 的
取值范围. 【解析】
与
,相减得公
共弦所在直线方程：
，即
，所以由
得
，即()2,2P -，因此
，选D.
考向五 圆与其他知识的交汇
【解决法宝】1.将直线和圆与函数、不等式、平面向量、数列及圆锥曲线、概率等知识交汇，体现命题创
新．
2.求解与圆有关最值问题常用转化与化归思想，常见类型有： (1)圆外一点与圆上任一点间距离的最值； (2)直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值；
(3)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题；
(4)形如求ax ＋by ，ax ＋by
cx ＋dy 等的最值，转化为直线与圆的位置关系．
例5 【2019届安徽省六安市毛坦厂中学3月考】如图，为椭圆
上一个动点，过点作圆：
的两条切线，切点分别为，，则当四边形
面积最大时，
的
值为______．
【分析】根据切线的性质得到，以及，故四边形面积
最大时，即
最大，根据椭圆的性质可知当点为椭圆的左顶点时，最大，根据向量数量积公式计算
出两个向量的数量积. 【解析】连接
，设
，则
，由切线的性质知
，所以
，故四边形面积最大时，即最
大，且.易知当点为椭圆的左顶点时，最大，所以，如图
所示，此时
，
，
，所以
，
.
【主题集训】
1. 【2019届四川省绵阳市期末】直线的倾斜角为（）
A ．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为直线的斜率为，所以，故选C
2. 【甘肃省兰州市2018届一诊】已知直线与直线
平行，则它们之间的距离是（）
A. B. C. D.
【答案】A
3.【2019届贵州省凯里市一中模拟（二）】已知直线
，则两条直线之间的距离为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，则，故选C.
4.【云南省昆明市2018届第二次统考】已知直线与圆
相交于A，B两点，若，则实数m的值为（）
A. 3或3
B. 3+或3-
C. 9或3-
D. 8或2-
【答案】A
【解析】由题意可得，圆心（0，3）到直线的距离为,所以
，选A。

5.【2019届河南信阳高中一模】已知分别为直线和曲线
上的动点，则的最小值为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，整理得，即是圆心半径为1的圆，所以圆心到直线的距离，所以的最小值为圆心到直线的
距离减去半径，即，故选C.
6.【山西省2018届一模】若点为圆上的一个动点，点，为两个定点，则
的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵∠APB=90°，∴，由不等式可得
，∴，故选：B
7. 【2019届山西省适应性测试】已知圆C：，若直线
垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则
A．2或10 B．4或8 C．4或6 D．2或4
【答案】A
【解析】根据题意，圆C：，其圆心，半径，若直线垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则圆心到直
线的距离为，则有，变形可得，解得：或10，故选A．8.【广东省江门市2018届一模】过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得直线方程为，即，∴圆心（0,2）到直线的距离为
，由弦长公式可得弦长为．选D．
9.【2019届江西省南昌市一模】已知，，为圆上的动点，，过点作与垂直的直线交直线于点，则的横坐标范围是()
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设P（），则Q（2，2），当≠0时，k AP，k PM，直线PM：y﹣
（x﹣），①，直线QB：y﹣0（x），②，联立①②消去y得x，∴，由||＜1得x2＞1，得|x|＞1，当＝0时，易求得|x|＝1，故选A．
10.【2018届甘肃省一诊】过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】直线上上任取一点. 作圆的切
线，设切点为A，圆，即
，圆心为，半径为，切线长为
，.，所以切线长的最小值为，故选A.
11.【2019届湖北省宜昌市元月调研】已知两点，以及圆：
，若圆上存在点，满足
，则的
取值范围是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】
，点在以
，
两点为直径的圆上，该圆方程为：
，又点在
圆上，两圆有公共点，两圆的圆心距
，
，解得：
，故选D
12.【安徽省安庆一中等五省六校2018届上学期期末】在平面直角坐标系xOy 中，过点()1,4P ，向圆C ：
（16m <<）引两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB
过定点（ ） A. 1,12⎛⎫
-
⎪⎝⎭ B. 31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.
13,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭ D. 11,2⎛⎫- ⎪⎝
⎭
【答案】B
13.【2019届湖北省十堰市元月调研】已知圆：，点，
过点的动直线与圆交于两点，线段
的中点为为坐标原点，则
面积的最大值为（ ）
A ．12
B ．6
C ．
D ．
【答案】A 【解析】由题可知，所以点在以线段为直径的圆上，的边，故当到直线的距离最大时，
的面积最大，以线段为直径的圆的圆心为，半径为
，直线的方程为
，点
到直线
的距离为
，所以到直线
的距离的最大值为
，故
的面积
的最大值为.
14.【天一大联考2018
届阶段性测试（四）】过点()3,0P -作直线
（,a b 不同时为零）的垂线，垂足为M ，点()2,3N ，则
MN 的取值范围是（ ）
A. 0,5⎡+⎣
B. 5⎡⎤⎣⎦
C. 5,5⎡+⎣
D.
【答案】D
15.【2019届安徽省安庆市模拟（二)】直线是抛物线在点处的切线，点是圆
上的动点，则点到直线的距离的最小值等于（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】抛物线
,即
，
，在点（-2,2）处的切线斜率为-2，则切线l 的方程为y-2=-2(x+2),
即2x+y+2=0，所以圆心到的距离是
，圆的半径为2，则点P 到直线的距离的最小值是
，
故选C.
16.【广西桂林、贺州、崇左三市
2018届二联考】已知函数
的最小值为
9
10
，则正实数a =（ ）
A. 3
B. 23e -
C. 23e
D. 3或23e - 【答案】D 【解析】函数
，表示两点
之间的距离的平方．
分别令
'x f x ae =（） ，令03x ae = ，解得03
ln
x a
= ，可得3ln 3P
a （，）． 则点3
ln 3P a
（，）到直线3y x = 的距离
．由题意2d 的最小值为
9
10
，即
即得 3a = 或23a e -=，故选D.
17.【2019届陕西省西安市高新一中一模】若直线
和直线
垂直，则
____．
【答案】0或
【解析】由题知，
，解得
或0.
18.【山东省枣庄市2018届二模】已知圆M 与直线0x y -=及都相切，圆心在
直线2y x =-+上，则圆M 的标准方程为__________． 【答案】
19.【2019届广东省揭阳市一模】若圆与圆
相切，则的值为________. 【答案】
【解析】因为
，所以
,因为两圆相切，所以
或
，
解得
或
.
20. 【2019届河南安阳一中2模】已知抛物线C ：28y x =，点P 为抛物线上任意一点，过点P 向圆D ：
作切线，切点分别为A ，B ，则四边形PADB 面积的最小值为
____________．
【解析】设(,)P x y ，圆心(2,0)D 为抛物线的焦点，半径1r DA ==，抛物线的准线方程为2x =-，所以
2PD x =+，又因为PA 为圆D 的切线，所以PD AD ⊥，在Rt PAD ∆中，
，所以四边形PADB 面积为
，又0x ≥，所以当0x =时面积有最小值，且
.
21.【2019届河北3月联考】已知，分别是双曲线：的左、右顶点，
为上一点，则
的外接圆的标准方程为__________． 【答案】
【解析】
为上一点,
,解得m=1,则B(1,0),∴
PB 中垂线方程为
+2,令x=0,则y=3,设外接圆心M(0,t),则
M(0,3),
,
∴ 外接圆的标准方程为。

22. 【广东省深圳实验等六校2018届第一次联考】已知直线与圆
交于两点，，且
为等边三角形，则圆的面积
为_____________． 【答案】
【解析】圆化为
，即
，
且圆心，半径．∵直线和圆相交，为等边三角形，∴圆心到直线的距离为，即．计算得出，圆的面积为．
23.【2019届江苏省无锡市期末】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(m，0)，B(m＋4，0)，若圆C：
上存在点P，使得∠APB＝45°，则实数m的取值范围是___．
【答案】
【解析】设的外接圆为圆，由于，由正弦定理可知，圆的半径满足
，所以圆的半径长为，易知
，且圆心在线段的垂直平分线上，可求得点的坐标为或，由于点在圆上，也在圆上，则圆与圆有公共点．①若的坐标为，则圆的方程为，
此时由于圆与圆有公共点，则，即
，
化简得，解得；
②若点M的坐标为，则圆的方程为
，
此时由于圆与圆有公共点，则，
即，化简得
，
解得．
综上所述，实数的取值范围是，故答案为．。