人教版九年级数学下册观与猜想察《奇妙的分形图形》教学设计

第二十七章：观察与猜想
——奇妙的分形图形一．教学目标：
1、经历分形图形概念的发生发展过程；
2、从“数”和“形”两个方面对分形图形展开探究，发现其简单性质；
3、感悟分形图形从简单到复杂的形成过程，提升分析复杂的图形的能力；
4、感受分形图形世界的奇妙，激发学习数学的兴趣。

二．教学重点、难点
重点：探究并发现分形图形性质；
难点：计算雪花曲线的周长。

三．教学环节
【一】创设情境
问题：观察下图，猜一猜它具有什么特点？
打开分形软件fractal进行演示，借助电脑
对它进行更为细致的观察！
（演示的过程中注意对周长部分进行放大！让学生初步体会1、放大过程中不断出现自相似的葫芦状图形；2、边缘可以无限放大，观察体会围成这个图形的线条是无限长的，但却又不相互缠绕。

）
这个图形是如何生成的？它具有什么奇妙之处？——这就
是我们今天学习的内容——奇妙的分形图形！
（引出课题，人教版第27章，观察与猜想——奇妙的分形图形）
【二】形成概念
首先，回顾一下与分形图形有紧密联系的一种图形——相似图形。

问题：什么是相似图形？
——形状相同的图形叫做相似图形！
问题：观察下列两幅图片，其中是否存在相似现象？如果有，这种相似现象是否具有特殊性？
（倾听学生如何解答，在此过程中，
教师引导如下：）
师：我们不妨拿蕨类植物的叶子来进
行研究，1、我们看相邻的两片叶子的
形状是否相同？——是！于是我们得出结论：相邻的两片叶子是相似图形！其实每一片叶子都是相似的！也就是说，这个图形的部分与另一部分之间存在相似！2、我们再看，每一片小叶子的形状和整片叶子的形状也都是相似的；小叶子中的小叶子跟整片叶子之间也是相似的！也就是说这个图形的部分与整体之间也存在相似！
于是，我们得出了一个新的数学概念：自相似和分形图形！1．图形的局部与它的整体具有一定程度的相似关系叫做自
相似。

2．具有自相似性的图形叫做分形图形。

师：由此可见，自相似是一种特殊的相似！既然是特殊的相似，那么它就具有相似性质，同时又具有自己独特的性质！下面，我们就对分形图形的性质展开探究：
【三】性质探究
观察：“分形树”的动态生长演示。

基本图形生长1次生长2次生长3次生长4次…生长10次
…
思考：“分形树”是按照怎样的生长方式“生长的”的？（从“形”来看，是一条线段分出两条线段，从“数”来看，长出来的线段的长度是原线段的一半。

此例是为下面两个更加复杂的分形的观察与猜想做铺垫！）
1、请你指出这个分形图形是如何生长的。

2、图中的大大小小的三角形之间具有怎样的关系？
3、猜想，三角形在不断地生长过程中，它的面积和周长如何变化？
（从“形”来看，是一个大的三角形分别在三边取中点，连线，分成四个三角形，然后去掉中间的那个三角形。

从“数”来看，去掉的三角形越来越多，其面积越来越小，直到零！而因为挖掉的三角形在增加，所以整个图形的周长越来越长，直到无限长！第三个问题课本没有提出，在此提出此问题是让学生有一个思维上的铺垫过程。

为下一步“数”的具体计算埋下伏笔。

）
探究二：阅读材料，请你算出雪花曲线生长n 次的周长？
（分析：求n 次生长的周长，是“一般”，将其转化为“特殊”，先求1次，2次，3次，以期发现规律！周长是“3”，将其复杂向简单转化，先求“1”边的长度！）
生成元：1 生成一次：413⨯ 生成两次44133
⨯⨯ 生成三次：4441333
⨯⨯⨯… 生成n 次：413n ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；于是其周长为433n ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭！
猜想：当n 趋于无穷大的时候会发生怎样有趣的事情？ 433n ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭当n 从1取到正无穷大的时候！而它的结果是：无穷大！当 n 趋向无穷大的时候，正三角形的周长也趋向无穷大！
但是尖角越来越小，整个图形的面积增加量逐渐变小！所以此图形的周长为无限大！而面积却是有限的！
（为了更加形象直观地演示这个值的大小，可以通过画板构
造函数y= 4
3
3x
⎛⎫
⨯ ⎪
⎝⎭
加以演示）
探究结果：
1．“形”的探究——具有无穷的自相似结构。

2．“数”的探究——具有有限的面积、无限的周长。

【四】开拓视野
美籍法国人——曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）：1967年他在美国权威的《科
学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》
的著名论文；1975年由他创立了《分形几何》。

曼德尔布罗特研究中最精彩的部分1980年他发现的并以他的名字命名的集合Mandelbrot 集合图形闪亮登场！他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构（见图1）。

从形的方面来看她是如此的精细和复杂！它含有无穷多个分形。

但是从数的方面她竟然是一个式子：例如z2+c生成，式中z和c都是复数，c 的取值受限于某一范围。

研究分形的意义：有人这样说：20世纪有四项发明、发现足以影响后世：相对论、量子论、分形、混沌；其中，前两项属于物理，后两项属于数学。

美国物理学家约翰·惠勒（J.A.Wheeler）说：“在将来，一个人如果不熟悉分形，他就不能被认为是科学上的文化人。

”
【五】归纳小结
通过本节课的学习，你有哪些收获和体会？
(让学生自己归纳，总结本节课所学。

)
【六】课后作业
1、下图是皮亚诺曲线的三个生长阶段，请你观察并分析之！
2．（2006山东）1883年，康托尔构造的这个分形，称做康托尔集．从数轴上单位长度线段开始，康托尔取走其中间三分之一而达到第一阶段；然后从每一个余下的三分之一线段中取走其中间三分之一而达到第二阶段．无限地重复这一过程，余下的无穷点集就称做康托尔集．上图是康托尔集的最初几个阶段，当达到第八个阶段时，余下的所有线段的长度之和为
．823⎛⎫ ⎪⎝⎭
下课！
备用题目：
近年来在中考题中开始出现了关于分形的试题，请完成下列题目。

1．（2003山东）下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：
经观察可以发现：图（2）比图（1）多出2个“树枝”，图（3）比图（2）多出5个“树枝”，图（4）比图（3）多
出10个“树枝”，照此规律，图（7）比图（6）
多出 个“树枝”．（80）
2．（2008年江苏省连云港市）如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，，依此类推，则由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为 ．(1)n n
① ② ③ ④ ……。