【北师大版】高中数学必修五期末第一次模拟试题含答案(1)

一、选择题
1．已知正数x ，y 满足1431
x y +=+，则x y +的最小值为（ ） A ．
53
B ．2
C ．
73
D ．6
2．实数x ，y 满足约束条件40250270
x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩
，则24
2x y z x +-=-的最大值为（ ）
A ．53
-
B ．15
-
C ．
13
D ．
95
3．设x ，y 满足约束条件4100,20,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥≥⎩
则23z x y =-的最大值为（ ）
A ．10
B ．8
C ．5
D ．6-
4．下列函数中最小值为4 的是（ ） A ．4y x x
=+ B ．4
sin sin y x x
=+
（0πx << ） C ．343
x
x y -=+⨯
D ．lg 4log 10x y x =+
5．设,,a b c 分别是ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=与sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=位置关系是（ ） A ．平行
B ．重合
C ．垂直
D ．相交但不垂直
6．ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .
已知a =
cos sin b A B =，则A =（ ）
A ．
12
π
B ．
6
π C ．
4
π D ．
3
π 7．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒
，CD =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )
A ．302m
B ．203m
C ．60m
D ．20m
8．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知45A =︒，2a =，2b =，则
B 为（ ） A ．60︒
B ．60︒或120︒
C ．30
D ．30或150︒
9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11
2
a =
，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+，则2021S =（ ）
A ．
2019
2020 B ．
2020
2021
C ．2021
2022
D ．
1010
1011
10．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如
图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记n a 为图中虚线上的数1,3,6,10，构成的数列{}n a 的第n 项，则100a 的值为（ ）
A ．5049
B ．5050
C ．5051
D ．5101
11．某食品加工厂2019年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品．计划从2020年开始每年比上一年获利增加20%，则从（ ）年开始这家加工厂年获利超过60万元．（已知lg 20.3010=，lg30.4771=） A ．2024年
B ．2025年
C ．2026年
D ．2027年
12．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线11
2
y a x m =
+与圆()2
2
21x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称，则数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前10项和
为（ ） A ．
1011
B ．
910
C ．
89
D ．2
二、填空题
13．已知变量x，y满足
430
40
1
x y
x y
x
-+≤
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪≥
⎩
，则点()
,x y 对应的区域的
22
2
x
y
xy
+
的最大值为______．
14．已知圆1C：()224
x a y
++=和圆2C：()2
221
x y b
+-=（,a b∈R，且0
ab≠），若两圆外切，则
22
22
a b
a b
+
的最小值为______.
15．已知a，b为正实数，且4a+b﹣ab+2＝0，则ab的最小值为_____．
16．在△ABC中,若2,23,30,
a b A
===︒则角B等于______ .
17．在ABC中，内角,,
A B C的对边分别是,,
a b c，若223
a b bc
-=，
sin23sin
C B
=，则A=____.
18．如图，在四边形ABCD中，已知AB BC
⊥，5
AB=，7
AD=，135
BCD
∠=︒，
1
cos
7
A=，则BC=________.
19．已知等差数列{}n a的前n项和为()*
n
S n N
∈，公差0
d≠，690
S=，
7
a是
3
a与
9
a
的等比中项，当0
n
S>时，n的最大值为______.
20．已知数列{}n a的通项公式为()12n
n
a n
=+⋅，若不等式()
2
235
n
n n a
λ
--<-对任意*
n N
∈恒成立，则整数λ的最大值为_____.
三、解答题
21．已知函数()223
f x x x
=--+.
（1）解不等式()0
f x≥；
（2）若对任意实数x,都有()3
f x a x
≥-，求实数a的取值范围.
22．已知2
()(1)1
f x ax a x
=+--
（1）若()0
f x>的解集为
1
1,
2
⎛⎫
--
⎪
⎝⎭
，求关于x的不等式
3
1
ax
x
+
≤
-
的解集；
（2）解关于x的不等式()0
f x≥.
23．已知函数()2π3
3cos 2sin cos
6f x x x x ⎛⎫=+
+- ⎪
⎝
⎭． （1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）设锐角ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知()1
4
f A =，1a =，求ABC 的面积的取值范围．
24．如图，在ABC 中，AB AC ⊥，2AB AC ==，点E ，F 是线段BC （含端点）上的动点，且点E 在点F 的右下方，在运动的过程中，始终保持π
4
EAF ∠=
不变，设EAB θ∠=弧度．
（1）写出θ的取值范围，并分别求线段AE ，AF 关于θ的函数关系式； （2）求EAF △面积S 的最小值．
25．已知公差为2的等差数列{}n a ，且1a ，7a ，5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}
n a 的前n 项和为n S ，求数列n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的最小项. 26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足332S a =，8522a a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记12
1n n n n b a a a ++=
⋅⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
化简
114
[(1)]()131
x y x y x y +=++⨯+-+，再利用基本不等式求解. 【详解】
由题得1114
(1)1[(1)]31[(1)]()1331
x y x y x y x y x y +=++-=++⨯-=++⨯+
-+ 1141(5)1(5)123131
y x x y y +=++-≥+-=++ 当且仅当1x y ==时取等. 所以x y +的最小值为2. 故选：B 【点睛】
方法点睛：利用基本不等式求最值时，常用到常量代换，即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解.
2．D
解析：D 【分析】
首先画出可行域，变形24222x y y z x x +-==+--，利用2
y
x -的几何意义求z 的最大值.
【详解】
24222
x y y
z x x +-=
=+--
设2
y
m x =
-，m 表示可行域内的点和()2,0D 连线的斜率， 4
250
x y x y +=⎧⎨
-+=⎩，解得：1,3x y ==，即()1,3C ， 250
270
x y x y -+=⎧⎨
-+=⎩ ，解得：3,1x y =-=，即()3,1B -， 如图，101325BD k -=
=---，30312CD k -==--，所以m 的取值范围是13,5⎡
⎤--⎢⎥⎣
⎦，
即z 的取值范围是91,5⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，z 的最大值是95.
故选：D 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是变形24
2
x y z x +-=-，并理解z 的几何意义，利用数形结合分
析问题.
3．C
解析：C 【分析】
作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数的最大值即可． 【详解】
画出约束条件所表示的平面区域，如图所示， 由23z x y =-得到233
z y x =-， 平移直线233
z
y x =
-，当过A 时直线截距最小，z 最大， 由04100
y x y =⎧⎨
--=⎩ 得到5
(,0)2A ， 所以23z x y =-的最大值为max 5
23052
z =⨯-⨯=， 故选C ．
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．
4．C
解析：C 【解析】 A. 4
y x x
=+
，定义域为()(),00,-∞⋃+∞，故A 的最小值不为4； B ．令2
44
0110sinx t y t y t
t （，），，＜，=∈
∴=+'=- 因此函数单调递减，5y ∴＞，不成立．
C ．244x x y e e -≥⋅=， 当且仅当0x =时取等号，成立．
D ．01x ∈（，）时，330x log x log ，＜， 不成立． 故选C ．
5．C
解析：C 【解析】
,,a b c 分别是ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，
则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=斜率为：sin A
a
-
， sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=的斜率为：
sin b
B
， ∵sin sin A b
a B -
=﹣1，∴两条直线垂直．
故选C ．
6．D
解析：D
【分析】
由cos sin b A B =有1sin cos b B A =,再由正弦定理有sin sin a b A B =,1
cos A
=,可解出答案. 【详解】
由cos sin b A B =有1
sin cos b B A
=,
由正弦定理有sin sin a b A B
=, 又a =
1
cos A
=
.
所以tan A =
因为A 为ABC 的内角，则3
A π
=.
故选：D 【点睛】
本题考查正弦定理的应用，属于中档题.
7．D
解析：D 【分析】
由正弦定理确定BC 的长，再tan30AB BC 求出AB ．
【详解】
15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒
120CBD
sin 45BC
302sin 45203sin120
BC
3tan 30203
20AB
BC
故选D
【点睛】
本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出BC ，属于基础题．
8．C
解析：C 【分析】
根据正弦定理得到1
sin 2
B =，再根据a b >知A B >，得到答案. 【详解】 根据正弦定理：sin sin a b
A B =，即1sin 2
B =，根据a b >知A B >，故30B =︒. 故选：
C . 【点睛】
本题考查了根据正弦定理求角度，多解是容易发生的错误.
9．C
解析：C 【分析】
由1(2)n n na n a +=+，可得1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，数列{}(1)n n n a +为常数列，令1n =，可得1(1)21n n n a a +==，进而可得1
(1)
n a n n =+，利用裂项求和即可求解.
【详解】 数列{}n a 满足11
2
a =
，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+， 则有1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，可得数列{}(1)n n n a +为常数列， 有1(1)2n n n a a +=，得(1)1n n n a +=，得1
(1)
n a n n =+，
又由111
(1)1
n a n n n n =
=-++，
所以20211111112021112232021202220222022
S =-+-+⋅⋅⋅-=-=． 故选：C 【点睛】
方法点睛：数列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如
()()1n
n a f n =-类型，可采用两项合并求解.
10．B
解析：B 【分析】
观察数列的前4项，可得(1)
2
n n n a +=，将100n =代入即可得解. 【详解】
由题意得11a =，2312a ==+，36123a ==++，4101234a ==+++⋅⋅⋅ 观察规律可得(1)
1232
n n n a n +=+++⋅⋅⋅+=， 所以100100101
50502
a ⨯==. 故选：B. 【点睛】
关键点点睛：本题考查了观察法求数列的通项公式，关键是将各项拆成正整数的和的形式发现规律.
11．C
解析：C 【分析】
本题根据题意各年获利构成一个等比数列，然后得到通项公式，根据题意可得出关于n 的不等式，解出n 的值，注意其中对数式的计算． 【详解】
由题意，设从2019年开始，第n 年的获利为(
)n a n *
∈N
万元，
则数列{}n a 为等比数列，其中2019年的获利为首项，即120a =.
2020年的获利为()26
20120%205a =⋅+=⋅万元，
2021年的获利为()
2
2
3620120%205a ⎛⎫
=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭
万元，
∴数列{}n a 的通项公式为()1
6205n n n N a *
-⎛⎫⋅⎪⎝⎭∈= ，
由题意可得1
620605n n a -⎛⎫=⋅> ⎪⎝⎭，即1
635n -⎛⎫
> ⎪
⎝⎭
，
()65
lg3lg3lg3lg30.4771
1log 3610lg 6lg52lg 2lg3120.30100.47711lg lg 23lg 52
n ∴->=
====-+-⨯+-⨯-6.03166=>，
8n ∴≥，
∴从2026年开始这家加工厂年获利超过60万元．
故选：C ． 【点评】
本题主要考查等比数列在实际生活中的应用，考查了等比数列的通项公式，不等式的计算，对数运算．属于中档题．
12．A
解析：A 【分析】
由题意可知，直线11
2
y a x m =
+与直线0x y d +-=垂直，且直线0x y d +-=过圆心，可求得1a 和d 的值，然后利用等差数列的求和公式求得n S ，利用裂项法可求得数列1n S ⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
的前10项和. 【详解】 由于直线112
y a x m =+与圆()2
221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称， 则直线11
2
y a x m =
+与直线0x y d +-=垂直，直线0x y d +-=的斜率为1-，则11
12
a =，可得12a =， 且直线0x y d +-=过圆()2
221x y -+=的圆心()2,0，则20d -=，可得2d =，
()()112212n a a n d n n ∴=+-=+-=，则()()()12212
2
n n n a a n n S n n ++=
=
=+，
()111111
n S n n n n ∴
==-++， 因此，数列1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前10项和为1111111110112233410111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
. 故选：A. 【点睛】
本题考查裂项求和，同时也考查了直线与圆的综合问题，以及等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
二、填空题
13．【分析】作出可行域令所以利用函数的单调性即可求最值【详解】由解得：所以由解得：所以表示可行域内的点与原点连线的斜率所以令所以在单调递减在单调递增当时当时所以的最大值为故答案为：【点睛】思路点睛：非线
解析：5
3
【分析】 作出可行域，令
y
t x =，OA OB y k k x ≤≤，所以7,313t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，
22111222x y x
y t xy y x t ⎛⎫+⎛⎫
=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，利用函数的单调性即可求最值. 【详解】
由43040x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得：135
7
5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，所以137,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
由1
40
x x y =⎧⎨
+-=⎩解得：13x y =⎧⎨=⎩，所以()1,3B ，
y x 表示可行域内的点与原点连线的斜率，所以OA OB y
k k x
≤≤, 7
75131305
OA
k -==-，30310OB k -==-，令7,313y t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，
所以
22111222x y x
y t xy y x t ⎛⎫+⎛⎫
=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭， 1y t t =+在7,113⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
单调递减，在[]1,3单调递增，
当3t =时，1713109
213791
y ⎛⎫=
+=
⎪⎝⎭，
当75
t
=
时，115
3233
y ⎛⎫=
+= ⎪⎝⎭， 所以222x y xy +的最大值为5
3
，
故答案为：5
3
. 【点睛】 思路点睛：
非线性目标函数的常见类型及解题思路：
1.斜率型：()0b
y ay b a a z ac d cx d c x c
+
+==⋅≠++表示的是可行域内的点(),x y 与点,d b c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
连线所在直线的斜率的a
c
倍；
2.距离型：（1）()()2
2
z x a y b =-+-表示的是可行域内的点(),x y 与(),a b 之间距离的
平方；
（2
）z Ax By C =++=
(),x y 到直线
0Ax By C ++=
倍.
14．1【分析】根据题意分析两圆的圆心与半径由两圆外切可得变形可得：据此可得结合基本不等式的性质分析可得答案【详解】解：根据题意圆其圆心为半径圆其圆心为半径若两圆外切则有变形可得：当且仅当时等号成立故的最
解析：1 【分析】
根据题意，分析两圆的圆心与半径，由两圆外切可得12||C C R r =+，变形可得：
2
2
49a b +=，据此可得22222211
a b a b a b
+=+，结合基本不等式的性质分析可得答案．
【详解】
解：根据题意，圆221:()4C x a y ++=，其圆心1C 为(,0)a -，半径2r ，
圆222:(2)1C x y b +-=其圆心2C 为(0,2)b ，半径1R =，
若两圆外切，则有12||3C C R r =+=，变形可得：2249a b +=，
222222
22
22222211111141(4)()(5)(521999a b a b a b a b a b a b b a +=+=++=+++=，当且仅当222a b =时等号成立，
故22
22a b a b
+的最小值为1；
故答案为：1． 【点睛】
本题考查圆与圆的位置关系，涉及基本不等式的性质以及应用，属于中档题．
15．【分析】利用基本不等式转化为再利用换元法设转化为关于的一元二次不等式求的最小值【详解】当时等号成立设解得：或即的最小值为故答案为：【点睛】本题考查基本不等式一元二次不等式重点考查转化与变形计算能力属
解析：10+【分析】
利用基本不等式转化为20ab +≤
0t =>，转化为关于t 的一元二次不等式，求ab 的最小值. 【详解】
0,0a b >>，
4a b ∴+≥=，当4a b =时等号成立，
20ab ∴+≤，
0t =>，2420t t -+≤，
2420t t --≥
，解得：2t ≥
2t ≤-
0t >，
2t ∴≥+
(
2
210ab ≥+=+
ab ∴
的最小值为10+
故答案为：10+【点睛】
本题考查基本不等式，一元二次不等式，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.
16．或【解析】∵∴由正弦定理得：∵∴或故答案为或
解析：060或0120 【解析】
∵2,30a b A ===︒
∴由正弦定理sin sin a b A B
=
得：1
sin 2sin 22
b A B a === ∵b a > ∴60B =︒或120︒ 故答案为060或0120
17．【分析】由根据正弦定理边化角可得根据余弦定理结合已知联立方程组即可求得角【详解】根据正弦定理：可得根据余弦定理：由已知可得：故可联立
方程：解得：由故答案为：【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角解 解析：6
π
【分析】
由sin C B =，根据正弦定理“边化角”
，可得c =，根据余弦定理
2222cos a b c bc A =+-，结合已知联立方程组，即可求得角A .
【详解】
sin C B =
根据正弦定理：
sin sin b c
B C
= ∴
可得c =
根据余弦定理：2222cos a b c bc A =+-
由已知可得：22a b -=
故可联立方程：2
22
22
2cos c a b c bc A a b ⎧=⎪=+-⎨⎪-=⎩
解得：cos 2
A =. 由0A π<<
∴6
A π
=
故答案为：6
π. 【点睛】
本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
18．【分析】由余弦定理可得由诱导公式可得进而可得由三角恒等变换得再由正弦定理即可得解【详解】在中由余弦定理得所以所以又所以所以所以在中由正弦定理得所以故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理解三角
解析：)
4
1
【分析】
由余弦定理可得8BD =、1
cos 2ABD ∠=
，由诱导公式可得1sin 2
CBD ∠=
，进而可得cos CBD ∠=
sin BDC ∠，再由正弦定理即可得解. 【详解】
在ABD △中，由余弦定理得2222cos 64BD AB AD AB AD A =+-⋅⋅=， 所以8BD =，
所以2221
cos 22
AB BD AD ABD AB BD +-∠==⋅，
又AB BC ⊥，所以1sin cos 2CBD ABD ∠=∠=，0,2CBD π⎛⎫
∠∈ ⎪⎝⎭
，
所以cos CBD ∠==
， 所以()sin sin sin cos cos sin BDC BCD CBD BCD CBD BCD CBD ∠=∠+∠=∠∠+∠∠
122224
=
⨯-=
， 在BCD △
中，由正弦定理得sin sin 2
BC BD BDC BCD ===∠∠，
所以)
41BC BDC =∠==.
故答案为：)
41.
【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理解三角形的应用，考查了三角恒等变换的应用及运算求解能力，属于中档题.
19．【分析】根据是与的等比中项求出和再根据等差数列的求和公式求出解不等式即可得解【详解】因为是与的等比中项所以所以化简得因为所以因为所以即将代入得解得所以所以由得即解得所以正整数的最大值为故答案为：20
解析：【分析】
根据690S =，7a 是3a 与9a 的等比中项求出1a 和d ，再根据等差数列的求和公式求出
n S ，解不等式0n S >即可得解.
【详解】
因为7a 是3a 与9a 的等比中项，所以2
739a a a =⋅，
所以()()()2
111628a d a d a d +=++，化简得2
1100a d d +=，
因为0d ≠，所以110a d =-， 因为690S =，所以1656902a d ⨯+
=，即15
152
a d +=， 将110a d =-代入得5
10152
d d -+=，解得2d =-，所以120a =， 所以2(1)
20(2)212
n n n S n n n -=+
⨯-=-+，
由0n S >得2210n n -+>，即2210n n -<，解得021n <<， 所以正整数n 的最大值为20. 故答案为：20 【点睛】
关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式和求和公式以及等比中项的应用是解题关键.
20．4【分析】根据题意等价变形得对任意恒成立再求数列的最大值即可得答案【详解】解：∵∴不等式等价于记∴时即时数列单调递减又∵∴∴即∴整数的最大值为4故答案为：4【点睛】本题考查根据数列不等式恒成立求参数
解析：4 【分析】
根据题意等价变形得2352n
n λ-->对任意*
n N ∈恒成立，再求数列232n
n n b -=的最大值即可得答案. 【详解】
解：∵()102n
n a n =+⋅>，
∴不等式()2
235n n n a λ--<-等价于23
52n
n λ-->
， 记232
n n
n b -=，112121223462
n n n n n b n n b n ++--==--， ∴3n ≥时，1
1n n
b b +<，即3n ≥时数列单调递减， 又∵ 1211,24
b b =-=， ∴ ()3max 38
n b b ==， ∴358
λ->
，即337588λ<-=，
∴整数λ的最大值为4. 故答案为：4. 【点睛】
本题考查根据数列不等式恒成立求参数，考查化归转化思想，是中档题.
三、解答题
21．（1）5{|5}3
x x -≤≤;(2) 5a ≤. 【解析】
试题分析：（1） 零点分段法去绝对值，将()f x 表示成分段函数，由此解得解集为
55,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
；（2）原不等式等价于23x x a -++≥恒成立.左边()23235x x x x -++≥--+=，故5a ≤.
（1）1.当0x ≤时，()22322350f x x x x x x =--+=-++=+≥ 解得50x -≤≤
2.当2x ≥时，()22322310f x x x x x x =--+=--+=-+≥ 解得无解
3.当02x <<时，()223223350f x x x x x x =--+=--+=-+≥ 解得5
03
x <≤
综上可知不等式解集5{|5}3
x x -≤≤
（2）()3f x a x ≥-恒成立，即()23f x x x a =-++≥恒成立
()23235x x x x -++≥--+=,故有5a ≤.
22．（1）3(,1),2⎡⎫
-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭；（2）当0a =时，解集为(,1]-∞-，当0a >时，解集为1(,1],a ⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭，当1a <-时，解集为11,a ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，当1a =-时，解集为{}1-，当
10a -<<时，解集为1
,1a
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
.
【分析】
（1）根据不等式的解与方程的根的关系，利用韦达定理列出方程组，求得a 的值，代入求得不等式的解集.
（2）对参数a 分情况讨论，分别求得不等式的解集. 【详解】
解：（1）由题意得11121112a a a -⎧--=-⎪⎪
⎨-⎛⎫⎪-⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎩
，
解得2a =-， 故原不等式等价于
23
01x x -+-，即(23)(1)010
x x x --⎧⎨-≠⎩
所以不等式的解集为3
(,1),2
⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭
.
（2）当0a =时，原不等式可化为10x +≤，解集为(,1]-∞-; 当0a >时，原不等式可化为1(1)0x x a ⎛⎫-+ ⎪⎝
⎭，解集为1(,1],a ⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭
; 当0a <时，原不等式可化为1(1)0x x a ⎛
⎫
-
+ ⎪⎝
⎭
, 当11a >-，即1a <-时，解集为11,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
; 当1
1a
=-，即1a =-时，解集为{}1-; 当
11a <-，即10a -<<时，解集为1,1a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法及分式不等式的解法，意在考查学生的分类讨论思想及数学运算的学科素养，属中档题. 23．（1）ππππ,62122k k ⎡⎤
-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2
）11,2
4⎛+ ⎝⎦.
【分析】
（1）把函数利用二倍角公式、两角和的正弦公式化为一个角的一个三角函数形式，然后结合sin y x =的单调性求()f x 的增区间；
（2）由(A)f 求得A 角，利用正弦定理把,b c 用sin ,sin B C 表示，从而求得ABC
S ，并转
化为B 的函数，注意转化为一个角的一个三角函数形式，由锐角三角形及A 角大小求得B
角范围，从而得面积的范围． 【详解】 （1）由题意知
(
)2πcos 21
π32sin cos sin 26222x f x x x x x ⎛
⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭=++-=⋅+- ⎪⎝
⎭
111πcos 22sin 2sin 22sin 22224423x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
=
-+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． 令ππ2π,π32x k k ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，则ππππ,62122k k x ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 所以()f x 的单调递增区间为ππππ,62122k k ⎡⎤
-+
+⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈． （2）因为()14f A =
，所以1π1sin 2234A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以π1sin 232A ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，
所以
ππ
22π
36
A k
+=+或
5π
2π
6
k
+，k Z
∈，即
π
π
12
A k
=-+或
π
π
4
k
+，k Z
∈．
又ABC为锐角三角形，故
π
4
A=，因为1
a=
，所以由正弦定理可知，b B
=
，
c C
=．
所以
11πsin sin sin 224 ABC
S bc A B C B C B B
⎛⎫
====+
⎪
⎝⎭△
()()
2
1111cos21
sin sin cos sin sin cos sin2
22222
B
B B B B B B B
-
⎛⎫
=+=+=+
⎪
⎝⎭(
)
11π1
sin2cos22
44444
B B B
⎛⎫
=-+=-+
⎪
⎝⎭
．
因为ABC是锐角三角形，所以
π
0,
2
B
⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
，
3π
0,
42
C B
π
⎛⎫
=-∈ ⎪
⎝⎭
，所以
ππ
,
42
B
⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
，
所以
ππ3π
2,
444
B
⎛⎫
-∈ ⎪
⎝⎭
，
π
sin2
42
B
⎛⎤
⎛⎫
-∈ ⎥
⎪
⎝⎭⎝⎦
，所以
π111
sin2,
44424
ABC
S B
⎛
⎛⎫
=-+∈
⎪
⎝⎭⎝⎦
△．
【点睛】
关键点点睛：本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的性质，正弦定理等．解题方法一般是由二倍角公式降幂，由辅助角公式化函数为()sin()
f x A x
ωϕ
=+形式，然后结
合正弦函数性质求解单调性、对称性、周期性、最值等等．
24．（1）
π
4
θ
≤≤
，π
sin
4
AE
θ
=
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
；AF=；（2
）)
21．
【分析】
（1）依据直角三角形直接写出θ的范围，然后根据正弦定理可得AE，AF关于θ的函数关系式.
（2）根据（1）的条件可得EAF
S△，并结合辅助角公式，简单计算以及判断即可.
【详解】
（1）由题意知
π
4
θ
≤≤，
πππsin sin sin 444AE AB AE θθ=⇒=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
ππcos sin sin 42AF AC AF θθ=⇒=⎛⎫- ⎪⎝⎭
． （2
）12sin 4EAF S θ==+ ⎪⎝⎭⎝⎭△
)122111cos 2πsin 221224θθθ==≥=+⎛⎫+++ ⎪⎝
⎭． 当且仅当π8θ=
时，取“=”． 25．（1）211n a n =-；（2）最小项为第7项为
297
. 【分析】 （1）由等比中项的性质以及等差数列的通项公式求出数列{}n a 的通项公式； （2）当5n ≤时，由112n a n =-得出n S ，由二次函数的性质得出数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的最小项，当6n >时，由211n a n =-得出n S 结合导数数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的最小项. 【详解】
（1）由题知：2715a a a =⋅，则()()2
111128a a a +=⋅+得：19a =- 即1(1)211n a a n d n =+-=-
（2）当5n ≤时，112n a n =-，29112102
n n S n n n +-=⨯=- 则2
1010n S n n n n n
-==-，即5n =时，min 5n S n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 当6n ≥时，211n a n =-，251211(5)10502
n n S S n n n +-=+⨯-=-+，则5010n S n n n
=+- 令50()10,6f x x x x =+-≥，222
5050()1x f x x x -'=-=
当6x <<()0f x '<
，当x >时，()0f x '>
即函数()f x
在(
上单调递减，在()+∞上单调递增
即7n =时，min 297
n S n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 最小项为第7项为
297
【点睛】 关键点睛：解决本题的关键在于先讨论211n a n =-的正负，从而确定{}n a 的通项公式，进而得出n S ，最后由二次函数的性质以及导数得出数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的单调性，由此得出最小值. 26．（1）n a n =；（2）()()
23412n n n n +++. 【分析】
（1）由已知求得1a 和公差d ，可得通项公式；
（2）用裂项相消法求和．
【详解】
（1）因为数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，结合332S a =，8522a a =-， ()()111
133227242a d a d a d a d ⎧+=+⎪⎨+=+-⎪⎩ 解得：11a d ==
所以11n a n n =+-=
（2）()()()()()121
1111122112n n n n b a a a n n n n n n n ++⎡⎤===-⎢⎥⋅⋅+++++⎣⎦ ()()()11111111121223223342112n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯+++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ 所以()()()()
211132212412n n n T n n n n ⎡⎤+=-=⎢⎥++++⎣⎦． 【点睛】
本题考查求等差数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，
（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；
（2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法；
（3）裂项相消法；数列1{}n n k
a a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa q
b +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相
间等特征时可能用并项求和法； （5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．。