等比数列的前n项和教学设计

等比数列的前n项和教学设计
一、教学内容分析
本节课选自苏教版数学必修5第二章《数列》中的“2.3.3等比数列的前n
项和”第一课时。

从在教材中的地位与作用来看：《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

二、学情分析
教学对象是刚进入高中不久的高一学生，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但是考虑问题往往不够严谨。

很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，但是本节求和公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维来说是一个突破。

另外学生往往会忽视“”这一特殊情况，尤其是在后面的应用过程中容易出错。

三、设计思想
《新课程改革纲要》提出要“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力”。

因此本设计在教学中，通过PPT课件的辅助，以问题探究的方式让学生充分体验数学知识的形成过程，尽可能地让学生经历观察、分析、猜想、概括、类比等发现和探索过程，培养学生自主性学习能力。

四、教学目标
知识与技能：（1）理解并掌握用“错位相减”的方法推导等比数列前n项和公式
（2）掌握等比数列前n项和公式，并能用公式解决简单的实际问题。

过程与方法：通过对等比数列求和公式的推导尝试，经历错位相减法的探索过程，渗透由特殊到一般、类比与转化等数学思想。

情感、态度与价值：在公式的推导过程中，体验数学知识的形成过程，培养
学生观察、分析、探索、归纳等能力，体会数学的应用
价值。

五、教学重点、难点
教学重点是等比数列前n项和公式的推导、公式的特点和公式的运用。

教学难点是公式的推导方法（错位相减法）和公式的灵活运用。

六、多媒体准备：
准备《等比数列的前n项和》PPT课件，使用时采用根据需要，逐步点击的呈现策略。

七、教学过程设计：
（一）创设情境，提出问题
打开PPT课件让学生看故事《棋盘上的奖赏》：
传说国际象棋是古印度舍罕王的宰相西萨.班.达依尔发明的。

他把这个有趣的娱乐品进贡给国王。

舍罕王对于这一奇妙的发明
异常喜爱，准备奖赏达依尔，问他想得到什么样的奖赏，达依尔
并没有要求任何金银财宝，他只是指着面前的棋盘奏道：“陛下，
就请您赏给我一些麦子吧，请在棋盘的第一格上放一粒麦子，第
二格上放两粒麦子，第三格上放4粒麦子，往后每一格都是前一
格的两倍，一直放到第64格。

圣明的王啊，只要把摆满棋盘上全
部六十四格的麦粒都赏给我，我就心满意足了。

舍罕王听了，心中暗暗欣喜，便同意了他的请求。

你觉得宰相这一请求国王能满足吗？
【设计意图】：故事内容紧扣本节课的主题，设计这个情境的目的是在激发学生兴趣的同时引入课题，调动学习的积极性。

此时教师问：同学们，如果按照达依尔的算法，摆满整个国际象棋的棋盘需要多少米呢？引导学生写出麦粒总数：。

带着这样的问题，学生会自己动手计算起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和。

这时教师对学生的这种思路给予肯定。

【设计意图】：在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”，急急忙忙地抛出“错位相减法”，这样做有悖学生的认知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，但是教师为什么不是马上相加而是相减呢？这是学生学习时要突破的一个关键障碍，因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围。

同时有趣的故事情境激起了学生的求知欲望，使得学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔。

（二）师生互动，探究问题
在肯定他们的思路后，点击PPT课件出示：是什么数列？这个数列有何特征？应归结为什么样的数学问题呢？
【学情预设】：探讨1：设，记为（1）式，
注意观察每一项的特征，有何联系？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）
探讨2：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，因此在（1）式两边同乘以2则有，记为（2）式。

比较（1）(2）两式，你有什么发现？
【设计意图】：留出时间让学生充分地观察比较，等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为“减”。

在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机。

经过观察、比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同的项，如果用（2）式减去（1）式，相同的项就消去了，从而得到。

点击PPT演示错位相减的过程：（1）式在上，（2）式在下，并向后错开一个位置，使得两个式子中指数相同的项上下对齐，直观的体现出“错位”，教师指出：这就是“错位相减法”求和，
【设计意图】：经过大量的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：“真是太给力了！”让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心。

然后要求学生纵观全过程（点击PPT课件出示），并反思为什么（1）式两边要同乘以2呢？假如是针对数列的前n项求和呢？
【设计意图】：进一步巩固错位相减法，体会错位相减法的奥妙之处。

让学生自主尝试求和，叫一位学生上黑板，观察学生的尝试情况，并对个别学生进行指导。

待学生尝试过后，再继续点击PPT课件出示：数列的求和过程。

（三）类比联想，解决问题
点击PPT课件出示：设等比数列，首项为，公比为，如何求其前n 项和？这里让学生自主完成，叫一位学生上黑板，观察学生的尝试情况，对个别学生进行指导。

【设计意图】：顺势引导学生将结论一般化。

让学生从特殊到一般，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。

【学情预设】：在学生推导完成后，再继续点击PPT课件出示求和过程。

追问：由得对不对？这里的能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？当时是什么数列？此时？（这里引导学生对进行分类讨论得出公式。

）
再次追问：（继续点击PPT课件）结合等比数列的通项公式,如何
把用、、表示出来？（引导学生得出公式的另一形式）【设计意图】：通过追问，一方面使学生加深对知识的认识；另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认知，从而进一步提高学生分析和解决问题的能力。

（四）例题讲解，深化认知
点击PPT课件出示例1：在等比数列中，（1）已知，，求；
（2）已知，，，求。

首先让学生独立思考，自主尝试解题，再请两位学生上黑板来解答，然后师生共同进行评价总结。

【设计意图】：两个例题分别对应两种求和公式形式，进一步熟悉公式的特点，深化学生对公式的认识和理解。

点击PPT课件出示练习1：根据下列条件，求等比数列的前项和
①，，②，，
③④，，
点击PPT课件出示例2：在等比数列中，已知，，求；
【设计意图】：在等比数列的通项公式与前项和公式中，共含有，，，，五个量，只要知道其中的三个量，就可以求出其余的两个量。

这里
将公式看作一个方程，运用方程思想来解决问题。

点击PPT课件出示：在上题中继续求出，并观察，，，看看它们之间有何关系？点击PPT课件出示练习2：在等比数列中，记其前项和为，若 , ,求
点击PPT课件出示例3：求数列……的前项和。

【设计意图】：该数列既不是等差数列，也不是等比数列，不能直接用公式求和，但是通过观察该数列中的各项，可以发现每一项均有两部
分组成，整数部分构成等差数列，分数部分构成等比数列，因此
可以对该数列实施分组求和。

推广：若是等差数列，是等比数列，则求数列的前项和可以采用分组求和，即，这体现了转化和化归的思想。

点击PPT课件出示练习3：求和
（五）总结归纳，加深理解
以问题（点击PPT课件出示）的形式引导学生回顾公式及其推导方法，鼓励学生积极回答，然后教师再从知识点和数学思想方法两方面进行总结。

【设计意图】：培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。

（六）故事结束，首尾呼应
最后我们回到故事中的问题（点击PPT课件出示），我们可以计算出国王奖赏的小麦约为粒，大约7000亿吨，是当时全世界2000多年生产的粮食之和，显然国王无法满足宰相的这一要求。

【设计意图】：把引入课题时的悬念给予释疑，有助于学生克服疲倦、继续积极思维。

点击PPT课件出示（选作）思考：
（1）求和：…
（2）回答我国古代用诗歌形式提出的一个数列问题：“远望巍巍塔七层，红光向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？
【设计意图】：出选作题的目的是注意分层教学，让学有余力的学生有思考的空间。

八、教学反思
本节课开始通过一个有趣的故事情境激起了学生的求知欲望，在教学中采用“问题探究”的教学模式，通过对公式的推导，学生经历了观察、分析、猜想、概括、类比等发现和探索过程，明白了公式的来龙去脉，这对学生理解与掌握公式很有帮助，并培养了学生自主性学习能力。