嵊州市高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学

嵊州市高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学
一、选择题
1．
若(z a ai =-+为纯虚数，其中∈a R ，则
7
i 1i
a a +=+（ ） A ．i B ．1 C ．i - D ．1-
2． 复数Z=
（i 为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（ ）
A ．（1，3）
B ．（﹣1，3）
C ．（3，﹣1）
D ．（2，4）
3． 已知实数x ，y
满足，则z=2x+y 的最大值为（ ）
A ．﹣2
B ．﹣1
C ．0
D ．4
4．
如图
，三行三列的方阵中有9个数a ij （i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至
少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
5． 某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽 车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘 坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（ ）种. A ．24 B ．18 C ．48 D ．36
【命题意图】本题考查排列与组合的基础知识，考查学生分类讨论，运算能力以及逻辑推理能力．
6． 若f （x ）为定义在区间G 上的任意两点x 1，x 2和任意实数λ（0，1），总有f （λx 1+（1﹣λ）x 2）≤λf （x 1）+（1﹣λ）f （x 2），则称这个函数为“上进”函数，下列函数是“上进”函数的个数是（ ） ①f （x ）
=，②f （x ）
=
，③f （x ）
=，④f （x ）
=
．
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
7． 已知集合{}
ln(12)A x y x ==-，{}
2
B x x x =≤，全集U A
B =，则()U
C A B =（ ）
（A ） (),0-∞ （ B ） 1,12⎛⎤-
⎥⎝⎦ （C ） ()1,0,12⎡⎤-∞⋃⎢⎥⎣⎦ （D ） 1,02⎛⎤
- ⎥⎝⎦
8． 已知实数[1,1]x ∈-，[0,2]y ∈，则点(,)P x y 落在区域20210220x y x y x y +-⎧⎪
-+⎨⎪-+⎩
……… 内的概率为（ ）
A.34
B.38
C. 1
4
D. 18
【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力.
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
9．函数y=f（x）在[1，3]上单调递减，且函数f（x+3）是偶函数，则下列结论成立的是（）
A．f（2）＜f（π）＜f（5）B．f（π）＜f（2）＜f（5）C．f（2）＜f（5）＜f（π）D．f（5）＜f（π）＜f（2）
10．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（）
A．1：2：3 B．2：3：4 C．3：2：4 D．3：1：2
11．从单词“equation”选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相连且顺序不变）的不同排列共有（）
A．120个B．480个C．720个D．840个
12．特称命题“∃x∈R，使x2+1＜0”的否定可以写成（）
A．若x∉R，则x2+1≥0 B．∃x∉R，x2+1≥0
C．∀x∈R，x2+1＜0 D．∀x∈R，x2+1≥0
二、填空题
13．已知实数a＞b，当a、b满足条件时，不等式＜成立．
14．
17．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称．
15．设全集U=R，集合M={x|2a﹣1＜x＜4a，a∈R}，N={x|1＜x＜2}，若N⊆M，则实数a的取值范围是．16．设f（x）为奇函数，且在（﹣∞，0）上递减，f（﹣2）=0，则xf（x）＜0的解集为．
17．某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂),要求此患者每天早、晚间隔小时各服一次药，每次一片，每片毫克．假设该患者的肾脏每小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过毫克时无明显副作用．若该患者第一天上午点第一次
服药，则第二天上午点服完药时，药在其体内的残留量是毫克，若该患者坚持长期服用此药明显副作用（此空填“有”或“无”）
18．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y=（）t﹣a（a为常数），
如图所示，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室．
三、解答题
19．如图，摩天轮的半径OA为50m，它的最低点A距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m的景观带MN，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM=60m．点P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B处，记∠AOP=θ，θ∈（0，π）．
（1）当θ= 时，求点P 距地面的高度PQ ；
（2）试确定θ 的值，使得∠MPN 取得最大值．
20．已知f （x ）=x 3+3ax 2+bx 在x=﹣1时有极值为0． （1）求常数 a ，b 的值；
（2）求f （x ）在[﹣2，﹣]的最值．
21．某小组共有A 、B 、C 、D 、E 五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米2）如下
（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率．
22．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D 中．
（1）求11A C 与1B C 所成角的大小；
（2）若E 、F 分别为AB 、AD 的中点，求11A C 与EF 所成角的大小．
23．如图，已知AC ，BD 为圆O 的任意两条直径，直线AE ，CF 是圆O 所在平面的两条垂线，且线段AE=CF=，
AC=2．
（Ⅰ）证明AD ⊥BE ；
（Ⅱ）求多面体EF ﹣ABCD 体积的最大值．
24．已知全集U=R ，集合A={x|x 2﹣4x ﹣5≤0}，B={x|x ＜4}，C={x|x ≥a}．
（Ⅰ）求A ∩（∁U B ）； （Ⅱ）若A ⊆C ，求a 的取值范围．
25．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114
n n n n
a a a a ++-=+.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列11n n a a +⎧
⎫
⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和n S ．
26．已知函数()2
1ln ,2
f x x ax x a R =-
+∈． （1）令()()()1g x f x ax =--，讨论()g x 的单调区间；
（2）若2a =-，正实数12,x x 满足()()12120f x f x x x ++=
，证明12x x +≥．
嵊州市高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C
【解析】∵z 为纯虚数，∴a =
∴7i 3i i
1i 3
a a +-====-+． 2． 【答案】A 【解析】解：复数Z==
=（1+2i ）（1﹣i ）=3+i 在复平面内对应点的坐标是（3，1）．
故选：A ．
【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．
3． 【答案】D
【解析】解：画出满足条件的平面区域， 如图示：
，
将z=2x+y 转化为：y=﹣2x+z ，
由图象得：y=﹣2x+z 过（1，2）时，z 最大， Z 最大值=4， 故选：D ．
【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合思想，是一道基础题．
4． 【答案】
D
【解析】
古典概型及其概率计算公式． 【专题】计算题；概率与统计．
【分析】利用间接法，先求从9个数中任取3个数的取法，再求三个数分别位于三行或三列的情况，即可求得
结论．
【解答】解：从9个数中任取3个数共有C 93
=84种取法，三个数分别位于三行或三列的情况有6种；
∴所求的概率为=
故选D ．
【点评】本题考查计数原理和组合数公式的应用，考查概率的计算公式，直接解法较复杂，采用间接解法比较
简单． 5． 【答案】A
【解析】分类讨论，有2种情形.孪生姐妹乘坐甲车，则有121
21223=C C C 种. 孪生姐妹不乘坐甲车，则有12121213=C C C 种. 共有24种. 选A.
6． 【答案】C
【解析】解：由区间G 上的任意两点x 1，x 2和任意实数λ（0，1）， 总有f （λx 1+（1﹣λ）x 2）≤λf （x 1）+（1﹣λ）f （x 2），
等价为对任意x ∈G ，有f ″（x ）＞0成立（f ″（x ）是函数f （x ）导函数的导函数），
①f （x ）=的导数f ′（x ）=，f ″（x ）=，故在（2，3）上大于0恒成立，故①为“上进”函数；
②f （x ）=的导数f ′（x ）=
，f ″（x ）=﹣•
＜0恒成立，故②不为“上进”函数；
③f （x ）=的导数f ′（x ）=
，f ″（x ）=
＜0恒成立，
故③不为“上进”函数；
④f （x ）=
的导数f ′（x ）=
，f ″（x ）=
，当x ∈（2，3）时，f ″（x ）＞0恒成立．
故④为“上进”函数． 故选C ．
【点评】本题考查新定义的理解和运用，同时考查导数的运用，以及不等式恒成立问题，属于中档题．
7． 【答案】C
【解析】
[]11,,0,1,0,22A B A B ⎛⎫⎡⎫
=-∞== ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭
,(],1U =-∞,故选C ．
8． 【答案】B 【
解
析
】
9．【答案】B
【解析】解：∵函数y=f（x）在[1，3]上单调递减，且函数f（x+3）是偶函数，
∴f（π）=f（6﹣π），f（5）=f（1），
∵f（6﹣π）＜f（2）＜f（1），
∴f（π）＜f（2）＜f（5）
故选：B
【点评】本题考查的知识点是抽象函数的应用，函数的单调性和函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．
10．【答案】D
【解析】解：设球的半径为R，则圆柱、圆锥的底面半径也为R，高为2R，
则球的体积V球=
圆柱的体积V圆柱=2πR3
圆锥的体积V圆锥=
故圆柱、圆锥、球的体积的比为2πR3：：=3：1：2
故选D
【点评】本题考查的知识点是旋转体，球的体积，圆柱的体积和圆锥的体积，其中设出球的半径，并根据圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，依次求出圆柱、圆锥和球的体积是解答本题的关键．
11．【答案】B
【解析】解：要选取5个字母时首先从其它6个字母中选3个有C63种结果，
再与“qu“组成的一个元素进行全排列共有C63A44=480，
故选B．
12．【答案】D
【解析】解：∵命题“∃x∈R，使x2+1＜0”是特称命题
∴否定命题为：∀x∈R，都有x2+1≥0．
故选D．
二、填空题
13．【答案】ab＞0
【解析】解，当ab＞0时，∵a＞b，
∴＞，即＞，
当ab＜0时，∵a＞b，
∴＜，即＜，
综上所述，当a、b满足ab＞0时，不等式＜成立．
故答案为：ab＞0，．
【点评】本题考查二类不等式饿性质，属于基础题．
14．【答案】
【解析】解：∵f（x）=a x g（x）（a＞0且a≠1），
∴=a x，
又∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），
∴（）′=＞0，
∴=a x是增函数，
∴a＞1，
∵+=．
∴a1+a﹣1=，解得a=或a=2．
综上得a=2．
∴数列{}为{2n}．
∵数列{}的前n项和大于62，
∴2+22+23+…+2n==2n+1﹣2＞62，
即2n+1＞64=26，
∴n+1＞6，解得n＞5．
∴n的最小值为6．
故答案为：6．
【点评】本题考查等比数列的前n项和公式的应用，巧妙地把指数函数、导数、数列融合在一起，是一道好题．
15．【答案】[，1]．
【解析】解：∵全集U=R，集合M={x|2a﹣1＜x＜4a，a∈R}，N={x|1＜x＜2}，N⊆M，
∴2a﹣1≤1 且4a≥2，解得2≥a≥，故实数a的取值范围是[，1]，
故答案为[，1]．
16．【答案】（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
【解析】解：∵f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（﹣∞，0）上递减，
∴f（x）在（0，+∞）上递减，
由f（﹣2）=0，得f（﹣2）=﹣f（2）=0，
即f（2）=0，
由f（﹣0）=﹣f（0），得f（0）=0，
作出f（x）的草图，如图所示：
由图象，得xf（x）＜0⇔或，
解得x＜﹣2或x＞2，
∴xf（x）＜0的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
17．【答案】, 无．
【解析】【知识点】等比数列
【试题解析】设该病人第n次服药后，药在体内的残留量为毫克，
所以）=300，=350．
由，
所以是一个等比数列，
所以
所以若该患者坚持长期服用此药无明显副作用。

故答案为：, 无．
18．【答案】0.6
【解析】解：当t＞0.1时，可得1=（）0.1﹣a
∴0.1﹣a=0
a=0.1
由题意可得y≤0.25=，
即（）t﹣0.1≤，
即t﹣0.1≥
解得t≥0.6，
由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．
故答案为：0.6
【点评】本题考查函数、不等式的实际应用，以及识图和理解能力．易错点：只单纯解不等式，而忽略题意，得到其他错误答案．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由题意得PQ=50﹣50cosθ，
从而当时，PQ=50﹣50cos=75．
即点P距地面的高度为75米．
（2）由题意得，AQ=50sinθ，从而MQ=60﹣50sinθ，NQ=300﹣50sinθ．
又PQ=50﹣50cosθ，所以tan，tan．
从而tan∠MPN=tan（∠NPQ﹣∠MPQ）=
=．
令g（θ）=．θ∈（0，π）
则，θ∈（0，π）．
由g′（θ）=0，得sinθ+cosθ﹣1=0，解得．
当时，g′（θ）＞0，g（θ）为增函数；当x时，g′（θ）＜0，g（θ）为减函数．
所以当θ=时，g（θ）有极大值，也是最大值．
因为．所以．
从而当g（θ）=tan∠MNP取得最大值时，∠MPN取得最大值．
即当时，∠MPN取得最大值．
【点评】本题考查了与三角函数有关的最值问题，主要还是利用导数研究函数的单调性，进一步求其极值、最值．
20．【答案】
【解析】解：（1）∵f（x）=x3+3ax2+bx，
∴f'（x）=3x2+6ax+b，
又∵f（x）在x=﹣1时有极值0，
∴f'（﹣1）=0且f（﹣1）=0，
即3﹣6a+b=0且﹣1+3a﹣b=0，
解得：a=，b=1 经检验，合题意．
（2）由（1）得f'（x）=3x2+4x+1，
令f'（x）=0得x=﹣或x=﹣1，
又∵f（﹣2）=﹣2，f（﹣）=﹣，f（﹣1）=0，f（﹣）=﹣，
∴f（x）max=0，f（x）min=﹣2．
21．【答案】
【解析】（Ⅰ）从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共6个．
由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
选到的2人身高都在1.78以下的事件有：（A，B），（A，C），（B，C）共3个．
因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为p=；
（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共10个．
由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的事件有：
（C，D）（C，E），（D，E）共3个．
因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率p=．
【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键在于列举基本事件时做到不重不漏，是基础题．
22．【答案】（1）60︒；（2）90︒． 【解析】
试
题解析：（1）连接AC ，1AB ，由1111ABCD A B C D -是正方体，知11AAC C 为平行四边形， 所以11//AC A C ，从而1B C 与AC 所成的角就是11A C 与1B C 所成的角． 由11AB AC B C ==可知160B CA ∠=︒， 即11A C 与BC 所成的角为60︒．
考点：异面直线的所成的角．
【方法点晴】本题主要考查了异面直线所成的角的求解，其中解答中涉及到异面直线所成角的概念、三角形中位线与正方形的性质、正方体的结构特征等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，本题的解答中根据异面直线所成角的概念确定异面直线所成的角是解答的关键，属于中档试题． 23．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵BD 为圆O 的直径，∴AB ⊥AD ， ∵直线AE 是圆O 所在平面的垂线， ∴AD ⊥AE ，
∵AB ∩AE=A ， ∴AD ⊥平面ABE ， ∴AD ⊥BE ；
（Ⅱ）解：多面体EF ﹣ABCD 体积V=V B ﹣AEFC +V D ﹣AEFC =2V B ﹣AEFC ． ∵直线AE ，CF 是圆O 所在平面的两条垂线， ∴AE ∥CF ，∥AE ⊥AC ，AF ⊥AC ． ∵
AE=CF=，∴AEFC 为矩形，
∵AC=2， ∴S AEFC
=2
，
作BM ⊥AC 交AC 于点M ，则BM ⊥平面AEFC ， ∴V=2V B ﹣AEFC =2
×
≤
=．
∴多面体EF ﹣ABCD
体积的最大值为
．
【点评】本题考查线面垂直，线线垂直，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵全集U=R ，B={x|x ＜4}， ∴∁U B={x|x ≥4}，
又∵A={x|x 2
﹣4x ﹣5≤0}={x|﹣1≤x ≤5}，
∴A ∩（∁U B ）={x|4≤x ≤5}； （Ⅱ）∵A={x|﹣1≤x ≤5}，C={x|x ≥a}，且A ⊆C ，
∴a 的范围为a ≤﹣1．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握各自的定义是解本
题的关键．
25．【答案】（本小题满分12分） 解： （Ⅰ）由114n n n n
a a a a ++-=
+得2214n n a a +-=，∴{}2
n a 是等差数列，公差为4，首项为4， （3分）
∴2
44(1)4n a n n =+-=，由0n a >
得n a = （6分）
（Ⅱ）∵
111
2
n n a a +==+， （9分）
∴数列11n n a a +⎧
⎫
⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和为
1111
1)(1)2222
n +++=． （12分） 26．【答案】（1）当0a ≤时，函数单调递增区间为()0,+∞，无递减区间，当0
a >时，函数单调递增区间
为10,
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
；（2）证明见解析.
【解析】
试
题解析：
（2）当2a =-时，()2
ln ,0f x x x x x =++>，
由()()12120f x f x x x ++=可得22
121122ln 0x x x x x x ++++=，
即()()2
12121212ln x x x x x x x x +++=-，
令()12,ln t x x t t t ϕ==-，则()11
1t t t t
ϕ-'=-=
，
则()t ϕ在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增，
所以()()11t ϕϕ≥=，所以()()2
12121x x x x +++≥，
又120x x +>，故121
2
x x +≥， 由120,0x x >>可知120x x +>．1
考点：函数导数与不等式．
【方法点晴】解答此类求单调区间问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错. 解决含
参数问题及不等式问题注意两个转化：（1）利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．（2）将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．
请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.。