八年级(下)学期 第一次 自主检测数学试卷含解析

八年级(下)学期 第一次 自主检测数学试卷含解析
一、选择题
1．下列计算正确的是（ ） A ．()2
22a b a b -=- B ．()3
22x x 8x ÷=+ C ．1a a a a
÷⋅
= D ．
()
2
44-=-
2．若01x <<，则2
2
1144x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭( ). A ．
2
x
B ．2x
-
C ．2x -
D ．2x
3．下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A ． 1.5
B ．
13
C ．10
D ．27
4．计算()
21
273632
÷+⨯--的结果正确的是( ) A ．3
B ．3
C ．6
D ．33-
5．下列运算正确的是（ ）
A ．52223-=y y
B ．428x x x ⋅=
C ．（-a-b ）2=a 2-2ab+b 2
D ．27123-=
6．设等式()()a x a a y a x a a y -+-=
---在实数范围内成立，其中a 、x 、y 是
两两不同的实数，则22
22
3x xy y x xy y +--+的值是( )
A ．3
B ．
13
C ．2
D ．
53
7．如图直线a ，b 都与直线m 垂直，垂足分别为M 、N ，MN ＝1，等腰直角△ABC 的斜边，AB 在直线m 上，AB ＝2，且点B 位于点M 处，将等腰直角△ABC 沿直线m 向右平移，直到点A 与点N 重合为止，记点B 平移平移的距离为x ，等腰直角△ABC 的边位于直线a ，b 之间部分的长度和为y ，则y 关于x 的函数图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简﹣+b 的结果是
（ ）
A ．1
B ．b+1
C ．2a
D ．1﹣2a
9．12的下列说法中错误的是（ ） A 1212的算术平方根 B ．3124<< C 12不能化简 D 12是无理数
10．使式子2
1
24
x x +-x 的取值范围是（ ） A ．x≥﹣2
B ．x ＞﹣2
C ．x ＞﹣2，且x ≠2
D ．x≥﹣2，且x ≠2
11．下列运算中正确的是（ ） A ．27?3767=
B ()
2442323
3333
=== C 331
3939
===
D 155315151==
12．下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 1-B 4x C 24a -D 2a 二、填空题
13．已知
112a b +=，求535a ab b a ab b
++=-+_____． 14．设a ﹣b=23b ﹣c=23a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣ac ﹣bc=_____． 15．已知a ，b 是正整数，若有序数对（a ，b ）使得11
)a b
的值也是整数，则称（a ，b ）是11)a b 的一个“理想数对”，如（1，4）使得11
2(a b
=3，所以
（1，4）是
11
2()
a b
+的一个“理想数对”
．请写出
11
2()
a b
+其他所有的“理想数对”： __________．
16．已知m=1+ 2，n=1﹣2，则代数式22
m n mn
+-的值________．
17．对于任意实数a，b，定义一种运算“◇”如下：a◇b＝a(a－b)＋b(a＋b)，如：
3◇2＝3×(3－2)＋2×(3＋2)＝13，那么3◇2＝_____.
18．将一组数2，2，6，22，10，…，251按图中的方法排列：
若2的位置记为（2，3），7的位置记为（3，2），则这组数中最大数的位置记为______．
19．2m1
-1343m
--mn＝________．
20．21
21
=-
+
32
32
=
+
43
43
=
+
20202
324320202019
++
+++
……=___________．
三、解答题
21．计算及解方程组：
（1
1
324-2-1-2
6
（）
（2)2
62-153-2
+
（3）解方程组：
2510
32
x y
x y x y
-=
⎧
⎪
+-
⎨
=
⎪⎩
【答案】（1）
7
2
10
2）-3107；（3）
10
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
．
【分析】
（1）首先化简绝对值，然后根据二次根式乘法、加减法法则运算即可；
（2）首先根据完全平方公式化简，然后根据二次根式加减法法则运算即可；
（3）首先将第二个方程化简，然后利用加减消元法即可求解．
【详解】
（1
1-
1+（
1
1
=1
（2
2
+）
=34-
=7-
=7-
（3）2510
32x y x y x y
-=⎧⎪
⎨+-=⎪⎩
①②
由②得：50x y -= ③ ②-③得： 10x = 把x=10代入①得：y=2
∴原方程组的解是：10
2x y =⎧⎨=⎩
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，加减消元法解二元一次方程，熟练掌握二次根式的运算法则是本题的关键．
22．先阅读材料，再回答问题：
因为
)
1
11=
1=
；因为
1=
，所以
=
1=
= （1
=
，
= ； （2
⋅⋅⋅+的值． 【答案】（1
2）9 【分析】
（1）仿照例子，由
(
)(
)
54
541-+=可得
54
+的值；由
(
)(
)
111n n
n n ++-+=可得
1
1n n
++的值；
（2）根据（1）中的规律可将每个二次根式分母有理化，可转化为实数的加减法运算，再寻求规律可得答案． 【详解】 解：（1）因为
(
)(
)
54
541-+=，所以
54
+=54-； 因为
(
)(
)
111n n
n n ++-+=，所以
1
1n n
++=1n n +-；
故答案为：54-；1n n +-；
（2）213210099
++⋅⋅⋅++++ 213243999810099=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- 1001=-
1019=-=．
【点睛】
本题考查了分母有理化，分子分母都乘以分母这两个数的差进行分母有理化是解题关键．
23．先化简，再求值：a+212a a -+，其中a ＝1007． 如图是小亮和小芳的解答过程．
（1） 的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； （3）先化简，再求值：269a a -+a ＝﹣2018． 【答案】（1）小亮（22a （a ＜0）（3）2013. 【解析】
试题分析：（12a ，判断出小亮的计算是错误的； （22a 的应用错误；
（3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据正确的性质化简，再代入计算即可. 试题解析：（1）小亮
（2（a＜0）
（3）原式＝a+2（3-a）＝6-a=6-（-2007）＝2013. 24．计算
(2)2
；
(4)
【答案】（1）2）9-；（3）1；（4）
【分析】
（1）根据二次根式的性质和绝对值的代数意义进行化简后合并即可；
（2）根据完全平方公式进行计算即可；
（3）根据二次根式的乘除法法则进行计算即可；
（4）先进行乘法运算，再合并即可得到答案．
【详解】
解：
=
=
(2)
2
=22
-
=63
-
=9-
=1；
(4)
=
=
=
【点睛】
此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
25．计算：
（1)
1
1
（233
÷
【答案】（12+；（2）【分析】
（1）根据二次根式的加减法法则和乘除法法则进行计算，注意运算顺序与实数的混合运算顺序相同；
（2）根据二次根式的加减法法则和乘除法法则进行计算，注意运算顺序与实数的混合运算顺序相同． 【详解】
解：)
1
1
31-＝
2
33
÷
3＝
＝【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号时要先算括号里的或先去括号．
26．计算（11)1)⨯； （2）
【答案】（12+；（2）. 【解析】
分析：先将二次根式化为最简，然后再进行二次根式的乘法运算.
详解：（1)
1
1+；
＝()31-
2 ；
（2）原式＝(2,
＝
＝3⨯
＝
＝
点睛：此题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．
27．先化简，再求值：222
2212⎛⎫----÷ ⎪-+⎝⎭x y x y x x x xy y
，其中x y =
=． 【答案】原式x y
x
-=-
，把x y ==
代入得，原式1=-. 【详解】
试题分析：先将括号里面进行通分，再将能分解因式的分解因式，约分化简即可． 试题解析：
222
2212⎛⎫----÷ ⎪-+⎝⎭
x y x y x x x xy y ()()()2
22=x y x y x x x
x x x y x y -⎛⎫---⋅ ⎪+-⎝⎭
=
y x x y x x y ---⋅+ x y
x
-=-
把x y =
=代入得：
原式1==-+考点：分式的化简求值．
28．计算：（1
）- （2
） 【答案】（1
）2
1 【分析】
（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）先利用二次根式的乘除法则运算，再合并即可． 【详解】
解：（1
）原式==
（2）原式3+21==．
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质．
29．已知长方形的长a =
b =. (1)求长方形的周长；
(2)求与长方形等面积的正方形的周长，并比较其与长方形周长的大小关系．
【答案】（1）2）长方形的周长大. 【解析】
试题分析：（1）代入周长计算公式解决问题；
（2）求得长方形的面积，开方得出正方形的边长，进一步求得周长比较即可． 试题解析：
(1)()11222223a b ⎛+=⨯=⨯⨯⨯=⨯= ⎝
∴长方形的周长为 .
(2)11
4.23
=⨯⨯=
正方形的面积也为4. 2.= 周长为：428.⨯=
8.>
∴长方形的周长大于正方形的周长．
30．计算：
（1）13⎛+-⨯ ⎝
⎭
（2）
)()
2
2
21+．
【答案】（1）6-；（2）12-【分析】
（1）原式化简后，利用二次根式乘法法则计算即可求出值； （2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式计算即可求出值． 【详解】
解：（1）原式＝1(23⨯⨯
＝3
-⨯
＝⨯⎭
＝6-；
（2）原式＝3﹣4+12﹣
＝12﹣． 【点睛】
此题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式、完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
根据完全平方公式，整式的除法，分式的乘除法，二次根式的性质和化简运算法则逐一计算作出判断． 【详解】
解： A ．()2
22a b a 2ab b -=-+，选项错误； B ．()3
322x x 8x x 8x ÷=÷=，选项正确； C ．111
a a 1a a a
÷⋅=⋅=，选项错误；
D 44=-=，选项错误．
故选：B ．
2．D
解析：D 【分析】
根据二次根式的意义先化简各项，再进行分式的加减运算可得出解. 【详解】 解：∵0＜x ＜1，
∴0＜x ＜1＜
1x ， ∴10x x +>，10x x
-<．
原式=11x x x x +
-- =11x x x x
++- =2x ．
故选D ．
点睛：本题考查了二次根式的性质和绝对值化简，也考查了分式的加减.
3．C
解析：C
【分析】
化简得到结果，即可做出判断．
【详解】
解：A 2
，不是最简二次根式；
B ，不是最简二次根式；
C 是最简二次根式；
D
故选：C ．
【点睛】
本题考查最简二次根式，熟练掌握二次根式的化简公式是解题关键．
4．A
解析：A
【分析】
分别根据二次根式的除法和乘法法则以及二次根式的平方计算每一项，再合并即可．
【详解】
解：原式333=+=
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的混合运算，属于基础题型，熟练掌握二次根式的乘除法则是解题的关键．
解析：D
【分析】
由合并同类项、同底数幂乘法、完全平方公式、以及二次根式的加减运算，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：A 、222523y y y -=，故A 错误；
B 、426x x x ⋅=，故B 错误；
C 、222()2a b a ab b --=++，故C 错误；
D
==D 正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了合并同类项、同底数幂乘法、完全平方公式、以及二次根式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
6．B
解析：B
【分析】
根据根号下的数要是非负数，得到a （x-a ）≥0，a （y-a ）≥0，x-a≥0，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x ，把y=-x 代入原式即可求出答案．
【详解】
由于根号下的数要是非负数，
∴a （x-a ）≥0，a （y-a ）≥0，x-a≥0，a-y≥0，
a （x-a ）≥0和x-a≥0可以得到a≥0，
a （y-a ）≥0和a-y≥0可以得到a≤0，
所以a 只能等于0，代入等式得
，
所以有x=-y ，
即：y=-x ，
由于x ，y ，a 是两两不同的实数，
∴x ＞0，y ＜0．
将x=-y 代入原式得：
原式=()()()()2222313
x x x x x x x x +---=--+-． 故选B ．
【点睛】
本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据算术平方根的非负性求出a 、x 、y 的值和代入求分式的值是解此题的关
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据等腰直角△ABC被直线a和b所截的图形分为三种情况讨论：①当0≤x≤1时，y是BM+BD；②当1＜x≤2时，y是CP+CQ+MN；当2＜x≤3时，y＝AN+AF，分别用x表示出这三种情况下y的函数式，然后对照选项进行选择．
【详解】
①当0≤x≤1时，如图1所示．
此时BM＝x，则DM＝x，在Rt△BMD中，利用勾股定理得BD＝2x，
所以等腰直角△ABC的边位于直线a，b之间部分的长度和为y＝BM+BD＝（2+1）x，是一次函数，当x＝1时，B点到达N点，y＝2+1；
②当1＜x≤2时，如图2所示，
△CPQ是直角三角形，
此时y＝CP+CQ+MN＝2+1．
即当1＜x≤2时，y的值不变是2+1．
③当2＜x≤3时，如图3所示，
此时△AFN是等腰直角三角形，AN＝3﹣x，则AF2（3﹣x），y＝AN+AF＝（﹣1﹣2）x2，是一次函数，当x＝3时，y＝0．
综上所述只有D 答案符合要求．
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查动点问题的函数图象，解题的方法是动中找静，在不同的情况下找到y 与x 的函数式．
8．A
解析：A
【解析】 ﹣+b=111a a b b a a b b ---+=-+-+= ，故选A.
9．C
解析：C
【分析】
根据算术平方根的定义，无理数的定义及估值，二次根式的化简依次判断.
【详解】
A 1212的算术平方根，故该项正确；
B 、3124<<，故该项正确；
C 1223=
D 1223=12是无理数，故该项正确；
故选：C .
【点睛】
此题考查算术平方根的定义，无理数的定义及估值，二次根式的化简，熟练掌握各知识点并运用解题是关键.
10．C
解析：C
【分析】
根据分式和二次根式有意义的条件（分式的分母不为零，二次根式的被开方数为非负数）即可得到结果.
【详解】
解：由题意得：2x -40≠,
2x ∴≠±,
x+≥,
又∵20
∴x≥-2.
x≠.
∴x的取值范围是：x>-2且2
故选C.
【点睛】
本题考查了分式和二次根式有意义的条件，解不等式，是基础题.
11．B
解析：B
【分析】
根据二次根式的乘除法则求出每个式子的值，再判断即可．
【详解】
=⨯=＝42，故本选项不符合题意；
解: A. 67
===，故本选项，符合题意；
===，故本选项不符合题意；
D. ==3，故本选项不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题考查二次根式的性质和二次根式的乘除法则，能灵活运用二次根式的乘除法则进行计算是解题关键．
12．D
解析：D
【分析】
根据二次根式的意义,如果一定是二次根式,则不论字母取何值,被开方数一定是非负数,逐一判断即可得．
【详解】
解:A,不是二次根式；
B x＜0时无意义,不一定是二次根式；
C在-2＜a＜2时,无意义,不一定是二次根式；
D a2≥0,一定是二次根式；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查二次根式的定义,一般地,a≥0）的式子叫做二次根式．二、填空题
13．13
【解析】
【分析】
由得a+b=2ab，然后再变形，最后代入求解即可.
【详解】
解：∵
∴a+b=2ab
∴
故答案为13.
【点睛】
本题考查了已知等式求代数式的值，解答的关键是通过变形找解析：13
【解析】
【分析】
由11
2
a b
+=得a+b=2ab，然后再变形
535
a a
b b
a a
b b
++
-+
，最后代入求解即可.
【详解】
解：∵11
2 a b
+=
∴a+b=2ab
∴
()
53
53510ab3
===13
2ab
a b ab
a a
b b ab
a a
b b a b ab ab
++
+++
-++--
故答案为13.
【点睛】
本题考查了已知等式求代数式的值，解答的关键是通过变形找到等式和代数式的联系. 14．15
【解析】
根据题意，由a﹣b=2+，b﹣c=2﹣，两式相加得，得到a﹣c=4，然后根据配方法，把式子各项变为：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=====15.
故答案为：15.
解析：15
【解析】
根据题意，由a﹣b﹣c=2，两式相加得，得到a﹣c=4，然后根据配方法，把式子各项变为：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣
ac=
222
222222
2
a b c ab ac bc
++﹣﹣﹣
=
222222
222
2
a a
b b b b
c c a ac c
+++++
﹣﹣﹣
=
222()()()2a b b c a c -+-+-=222
(2(242
++=15. 故答案为：15.
15．（1，1）、（4，1）、（4，4）、（9，36）、（16，16）、（36，9）
【解析】
试题解析：当a=1，=1，要使为整数，=1或时，分别为4和3，得出（1，4）和（1，1）是的“理想数对”，
解析：（1，1）、（4，1）、（4，4）、（9，36）、（16，16）、（36，9）
【解析】
试题解析：当a =1，要使或12时，分
别为4和3，得出（1，4）和（1，1）是的“理想数对”，
当a =412，要使+或12时，分别为3和2，
得出（4，1）和（4，4）是的“理想数对”，
当a =913，要使16时，=1，
得出（9，36）是的“理想数对”，
当a =1614，要使14时，=1，
得出（16，16）是的“理想数对”，
当a =3616，要使13时，=1，
得出（36，9）是的“理想数对”， 即其他所有的“理想数对”：（1，1）、（4，1）、（4，4）、（9，36）、（16，16）、（36，9）．
故答案为：（1，1）、（4，1）、（4，4）、（9，36）、（16，16）、（36，9）． 16．【解析】
根据题意，把被开方数配方为完全平方，然后代入求解，可得====． 故答案是：．
【解析】
根据题意，把被开方数配方为完全平方，然后代入求解，可得
．
17．5
【解析】
◇==5.
故本题应填5.
点睛：理解新定义运算的运算规则，其实就是一个对应关系，a 对应，b 对应，即将a=，b=，代入到代数式a(a －b)＋b(a ＋b)中，再根据二次根式的混合运算法则
解析：5
【解析】
32==5. 故本题应填5.
点睛：理解新定义运算的运算规则，其实就是一个对应关系，a ，b ，即
将，代入到代数式a(a －b)＋b(a ＋b)中，再根据二次根式的混合运算法则进行计算，注意最终的结果一定要化为最简二次根式.
18．（17,6）
【解析】
观察、分析这组数据可发现：第一个数是的积；第二个数是的积；第三个数是的积，的积.
∵这组数据中最大的数：，
∴是这组数据中的第102个数.
∵每一行排列了6个数，而
∴是第1
解析：（17,6）
【解析】
的积，.
∵这组数据中最大的数：
∴102个数.
∵每一行排列了6个数，而1026=17÷ ∴17行第6个数，
∴这组数据中最大的一个数应记为（17，6）.
点睛：（1）这组数据组中的第n 2）该组数据是按从左到右，从小到
大，每行6个数进行排列的；（3）6n ÷6n ÷的余数是
所在的列数.
19．21
【分析】
根据二次根式及同类二次根式的定义列出方程组即可求出答案.
【详解】
∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴ ，
解得，，
∴
故答案为21.
解析：21
【分析】
根据二次根式及同类二次根式的定义列出方程组即可求出答案.
【详解】
∴1221343n m m -=⎧⎨-=-⎩
， 解得，73m n =⎧⎨=⎩
， ∴7321.mn =⨯=
故答案为21.
20．2018
【分析】
先根据已知等式归纳类推出一般规律，再根据二次根式的加减法与乘法运算法则即可得．
【详解】
第1个等式为：，
第2个等式为：，
第3个等式为：，
归纳类推得：第n 个等式为：（其中，
解析：2018
【分析】
先根据已知等式归纳类推出一般规律，再根据二次根式的加减法与乘法运算法则即可得．
【详解】
=，
第11
=，
第2
=
第3
=-n为正整数），
归纳类推得：第n
++，
则
=+，
2020
=，
=-，
20202
=，
2018
故答案为：2018．
【点睛】
本题考查了二次根式的加减法与乘法运算，依据已知等式，正确归纳出一般规律是解题关键．
三、解答题
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无
26．无
27．无
28．无29．无30．无。