浙教版2022年九年级(上)相似三角形单元测试卷(教师版)

浙教版2022年九年级（上）相似三角形单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．若，则等于（）
A．﹣5 B．5 C．D．
【分析】由，得x＝y，再代入所求的式子化简即可．
【解答】解：∵，
∴x＝y，
∴＝＝﹣5．
故选：A．
【点评】此题考查了比例的性质，找出x、y的关系，代入所求式进行约分．
2．下列四条线段成比例的是（）
A．4，2，1，3 B．1，2，2，4 C．3，4，5，6 D．1，2，3，5
【分析】对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，我们就说这四条线段是成比例线段，根据定义判断即可．
【解答】解：A、∵，故选项不符合题意；
B、∵，故选项符合题意；
C、∵，故选项不符合题意；
D、∵，故选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了比例线段，判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
3．点D，E是△ABC边AB，AC边上的两个点，请你再添加一个条件，使得△ABC∽△AED，则下列选项不成立的是（）
A．B．C．∠C＝∠ADE D．∠B＝∠AED
【分析】根据相似三角形的判定可得出答案．
【解答】解：A．∵，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED，
故A选项不符合题意；
B．由，∠A＝∠A不能判定△ABC∽△AED，故B选项符合题意；
C．∵∠C＝∠ADE，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED，
故C选项不符合题意；
D．∵∠B＝∠AED，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED．
故D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的判定的理解及运用，熟练应用相似三角形的判定是解题关键．4．如图，已知直线a∥b∥c，若AB＝2，BC＝3，EF＝2.5，则DE＝（）
A．B．C．D．
【分析】根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例列出比例式解答即可．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴，
∵AB＝2，BC＝3，EF＝2.5，
∴，
解得DE＝．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握定理及其推论并灵活运用．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
5．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为8cm，那么AP的长度是（）
A．（4﹣4）cm B．（4﹣2）cm C．（4+4）cm D．（4﹣4）cm
【分析】根据黄金分割的定义，可得AP＝AB，然后进行计算即可解答．
【解答】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝8cm，
∴AP＝AB＝×8＝（4﹣4）cm，
故选：A．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
6．已知两个相似三角形的相似比为4：9，那么它们的面积比为（）
A．2：3 B．8：18 C．4：9 D．16：81
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出结果．
【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是4：9，
∴它们的面积为16：81．
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
7．如图，E是▱ABCD的边DA的延长线上的一点，连接CE，交边AB于点P．若，则△AEP 与△BCP的周长之比为（）
A．B．C．D．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得AB＝CD，则＝＝，可推导出＝，由AE ∥BC，得△AEP∽△BCP，则＝＝．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∵AE∥BC，
∴△AEP∽△BCP，
∴＝＝，
故选：A．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，根据“平行于三角形一边的直线和其它两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似”证明△AEP∽△BCP是解题的关键．
8．如图，在▱ABCD中，E为AB延长线上一点，F为AD上一点，∠DEF＝∠C．若DE＝4，AF＝，则BC的长是（）
A．B．C．6 D．
【分析】由平行四边形的性质得出AD＝BC，∠A＝∠C，结合已知得出△DFE∽△DEA，利用相似三角形的性质结合题意求出AD的长度，即可得出BC的长度．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，
∵∠DEF＝∠C，
∴∠DEF＝∠A，
∵∠EDF＝∠ADE，
∴△DFE∽△DEA，
∴，
∵DE＝4，AF＝，
∴DF＝AD﹣AF＝AD﹣，
∴，
∴42＝（AD一）•AD，
∴AD＝或AD＝﹣3（舍去），
∴BC的长是，
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
9．如图，在△ABC中，点E在BC上，且BE＝3EC．D是AC的中点，AE、BD交于点F，则AF：EF的值为（）
A．3：2 B．4：3 C．5：3 D．5：4
【分析】过E点作EH∥AC交BD于H，如图，根据平行线分线段成比例定理，由EH∥CD得到，由于AD＝CD，则，然后利用EH∥AD，根据平行线分线段成比例定理得的值．【解答】解：过E点作EH∥AC交BD于H，如图，
∵EH∥CD，
∴，
∵BE＝3EC，
∴，
∵D是AC的中点，
∴AD＝CD，
∴，
∴＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．10．如图，矩形ABCD中，点E在BC边上，且AE＝AD，作DF⊥AE于点F，连接DE，BF，BF的延长线交DE于点O，交CD于点G．以下结论：
①AF＝BE；
②DE为∠FDC的角平分线；
③若AD＝AB，则OF：BF＝CE：CG；
④若AE平分∠BAD，DE＝2，则矩形ABCD的面积为2+．
则正确结论的个数是（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【分析】①根据AAS证明△ADF≌△AEB便可判断①的正误；
②根据HL证明Rt△DEF≌Rt△DEC，便可判断②的正误；
③连接CF，由AD＝AB，得∠DAF＝∠BAE＝∠AEB＝45°，进而证明BF＝FG，再证明△OEF
∽△FCG，由相似三角形的性质得OF：BF＝CE：CG，便可判断③的正误；
④设AB＝BE＝CD＝x，得BC＝AD＝AE＝AB＝，在Rt△CDE中由勾股定理列出方程求
得x，再根据矩形面积公式求得矩形的面积便可判断④的正误．
【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，DF⊥AE，
∴AD∥BC，∠AFD＝∠ABE＝90°，
∴∠DAF＝∠AEB，
∵AD＝AE，
∴△ADF≌△AEB（AAS），
∴AF＝BE，
故①正确，符合题意；
②∵△ADF≌△AEB，
∴DF＝AB＝DC，∠AFD＝∠ABE＝90°，
∴∠DFE＝90°＝∠DCF，
∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），
∴∠EDF＝∠EDC，
∴DE为∠FDC的角平分线，
故②正确，符合题意；
③连接CF，
∵AD＝AB，AB＝DF，
∴AD＝DF，
∴∠ADF＝45°，
∴∠DAF＝∠BAE＝∠AEB＝45°，AF＝AB＝BE，
∴∠CEF＝135°，∠ABF＝∠AFB＝67.5°，
∴∠CBF＝22.5°
∵△DEC≌△DEF，
∴CE＝EF，∠OEF＝∠OEC＝67.5°，
∴∠CEF＝∠EFC＝22.5°，
∴∠CBF＝∠ECF，∠CFG＝∠CBF+∠BCF＝45°，∠FCG＝90°﹣22，5＝67.5°，∴BF＝CF，∠CGF＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，
∴∠FCG＝∠CGF，
∴CF＝FG＝BF，
∵∠OFE＝∠OFC+∠EFC＝67.5°＝∠OEF＝∠FCG＝∠FGC，
∴△OEF∽△FCG，
∴，
∴，
故③正确，符合题意；
④∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴AB＝BE，
设AB＝BE＝CD＝x，
∴BC＝AD＝AE＝AB＝，
∴CE＝BC﹣BE＝（﹣1）x，
∵CE2+CD2＝DE2，DE＝2，
∴，
解得x2＝2+，
∴矩形ABCD的面积为：，
故④正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，关键是综合应用这些知识解题．
二．填空题（共6小题）
11．在1：200000的地图上，两地在地图上的距离是3.5厘米，那么这两地的实际距离为7千米．【分析】直接利用比例尺进而计算得出答案．
【解答】解：∵在1：200000的地图上，两地在地图上的距离是3.5厘米，
∴这两地的实际距离是：3.5×200000cm＝700000cm＝7km．
故答案为：7．
【点评】此题主要考查了比例线段，正确应用比例尺是解题关键，注意单位的换算问题．
12．如图，若AC是BC与AB的比例中项，AB＝4，求AC＝2﹣2．
【分析】若AC是BC与AB的比例中项，则AC2＝BC•AB，设AC＝x，则BC＝4﹣x，代入等式计算即可．
【解答】解：∵AC是BC与AB的比例中项，
∴AC2＝BC•AB，
设AC＝x，则BC＝4﹣x，
∴x2＝4（4﹣x），
解得x＝2﹣2（负值舍去），
即AC＝2﹣2．
故答案为：2﹣2．
【点评】本题考查了比例线段，解题的关键是根据比例中项的概念列出等式．
13．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），如果，那么AB＝2．【分析】由黄金分割的定义得AP＝AB，即可得出结论．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），，
∴AP＝AB＝﹣1，
∴AB＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，比值叫做黄金比．
14．如图，点F在平行四边形ABCD的边上，延长BF交CD的延长线于点E，交AC于点O，若＝，则＝2．
【分析】根据平行四边形ABCD中，AB∥CD可得，△AOB∽△COE，再根据＝，得出，从而得出，再利用△ABF∽△DEF，求出的值．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，
∵AB＝CD，AB∥CD．
∴∠ABO＝∠E，∠BAO＝∠ECO，
∴△ABO∽△CEO，
∴，
∴，
∵CE＝CD+DE＝AB+DE，
∴＝2，
∵∠AFB＝∠EFD，
∴△AFB∽△DFE，
∴，
故答案为：2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．15．如图，一个由8个正方形组成“C”型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M，N，O，P，Q都在矩形ABCD的边上，若8个小正方形的面积均是1，则边AB的长为．
【分析】如解答图所示，连接EG，则∠OEP＝90°，由题意得，小正方形的边长为1，根据勾股定理得出OP，根据矩形的性质可判定△OEP∽△QBM，得到＝＝＝，进而得出BM，QB，最后利用AAS证明△QBM≌△MAN，根据全等三角形的性质及线段的和差即可得解．【解答】解：如图所示，连接EG，则∠OEP＝90°，
由题意得，小正方形的边长为1，
∴OP＝＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠A＝90°，∠MQP＝90°，
∴∠BMQ＝∠CQP＝90°﹣∠MQP，
同理∠EPO＝∠CQP＝90°﹣∠QPC，
∴∠BMQ＝∠EPO，
又∠OEP＝∠B＝90°，
∴△OEP∽△QBM，
∴＝＝＝，
∴BM＝＝＝，QB＝＝＝，
∵∠B＝∠A＝90°，∠NMQ＝90°，
∴∠BMQ＝∠ANM＝90°﹣∠AMN，
在△QBM和△MAN中，
，
∴△QBM≌△MAN（AAS），
∴AM＝QB＝，
∴AB＝BM+AM＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形及正方形的性质，根据矩形及正方形的性质作出合理的辅助线构建相似三角形是解题的关键．
16．如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AMAF，H为AD的中点，连接FH分别与AB、AM交于点N、K．则下列结论：①△ANH≌△GNF；②FK＝3NK；③∠AFN＝∠HFG；④S△AFN：S△ADM＝1：4．其中正确的结论有①②④．
【分析】①由正方形的性质得到FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，AD＝4，AH＝2，∠BAD＝90°，求得∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，根据全等三角形的定理定理得到△ANH≌△GNF（AAS），故①正确；
②根据全等三角形的性质得到AN＝AG＝1，根据相似三角形的性质得到∠AHN＝∠AMG，根据
平行线的性质得到∠HAK＝∠AMG，根据直角三角形的性质得到FN＝2NK；故②正确；
③根据全等三角形的性质得到∠AHN＝∠HFG，推出∠AFH≠∠AHF，得到∠AFN≠∠HFG，故
③错误；
④根据矩形的性质得到DM＝AG＝2，根据三角形的面积公式即可得到结论是否正确．
【解答】解：∵四边形EFGB是正方形，EB＝2，
∴FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，H为AD的中点，
∴AD＝4，AH＝2，
∠BAD＝90°，
∴∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，
∵∠ANH＝∠GNF，
∴△ANH≌△GNF（AAS），故①正确；
∴∠AHN＝∠HFG，
∵AG＝FG＝2＝AH，
∴AF＝FG＝AH，
∴∠AFH≠∠AHF，
∴∠AFN≠∠HFG，故③错误；
∵△ANH≌△GNF，
∴AN＝AG＝1，
∵GM＝BC＝4，
∴＝＝2，
∵∠HAN＝∠AGM＝90°，
∴△AHN∽△GMA，
∴∠AHN＝∠AMG，∠MAG＝∠HNA，
∴AK＝NK，
∵AD∥GM，
∴∠HAK＝∠AMG，
∴∠AHK＝∠HAK，
∴AK＝HK，
∴AK＝HK＝NK，
∵FN＝HN，
∴FN＝2NK，
∴FK＝3NK，故②正确；
方法二：可得N也是中点，结合已知H是中点，连接GD交AM于点P，则根据勾股定理GD＝2，∵点P为对称中心，
∴GP＝，
又∵NK也是△AGP的中位线，
∴NK＝，
在Rt△FGN中，FN＝，
∴FN＝2NK，
∴FK＝3NK，故②正确；
∵延长FG交DC于M，
∴四边形ADMG是矩形，
∴DM＝AG＝2，
∵S△AFN＝AN•FG＝×2×1＝1，S△ADM＝AD•DM＝×4×2＝4，
∴S△AFN：S△ADM＝1：4，故④正确，
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
17．如图，在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，1），B（1，3），C（4，2）（网格中每个小正方形的边长为1），以点O为位似中心，画出△ABC的位似图形△A'B'C'，相似比为2．
（1）请在第一象限内画出△A'B'C'；
（2）若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点D的坐标．
【分析】（1）把A、B、C点的横纵坐标都乘以2得到点A′、B′、C′的坐标，然后描点即可；
（2）把AB平移使A点与C点重合，则B点的对应点为D点；把AC平移使A点与B点重合，则C点的对应点为D点；把CB平移使C点与A点重合，则B点的对应点为D点．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'为所作；
（2）点D的坐标为（3，4）或（5，0）或（﹣1，2）．
【点评】本题考查了作图﹣位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．也考查了平行四边形的判定．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，F是边AB上一点，且CB＝CF，过点A作CF的垂线，交CF的延长线于点D，求证：△ADF∽△ACB．
【分析】根据CB＝CF证得∠B＝∠CFB，根据对顶角相等∠CFB＝∠AFD，再根据∠D＝∠BCA 可证得△ADF∽△ACB．
【解答】解：∵CB＝CF，
∴∠B＝∠CFB，
∴∠CFB＝∠AFD，
∵AD⊥CD，∠ACB＝90°，
∴∠D＝∠BCA，
∴△ADF∽△ACB．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，点P为BC边上一动点（不与点B，C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM＝∠B．
（1）求证：△ABP∽△PCM
（2）当BP＝2cm时，求CM的值；
（3）当MP⊥BC时，求BP的值．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，由三角形内角和定理可得∠BAP＝∠CPM，可得结论；
（2）由相似三角形的判定和性质可得，可求解；
（3）通过证明△BAP∽△BDA，可得，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠APM＝∠B，
∴∠BAP＝180°﹣∠B﹣∠APB＝180°﹣∠APM﹣∠APB＝∠CPM，
∴△ABP∽△PCM；
（2）解：∵AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，BP＝2cm，
∴CP＝6cm，
∵△ABP∽△PCM，
∴，
∴，
∴CM＝（cm）；
（3）解：如图，作AD⊥BC于点D，
则BD＝CD＝BC＝4cm，
由（1）得∠BAP＝∠CPM，
∵∠CPM＝90°，
∴∠BAP＝∠BDA＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△BAP∽△BDA，
∴，
∴BP＝＝（cm）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，点F在⊙O上．
（1）求证：∠ACD＝∠BCO；
（2）若OC⊥AF，CD＝BE＝8，求CF的长．
【分析】（1）根据垂径定理得出＝，根据圆周角定理得出∠ABC＝∠ACD，根据圆的性质结合等腰三角形的性质得出∠BCO＝∠ABC，等量代换即可得解；
（2）根据垂径定理得出CE＝DE＝CD＝4，根据勾股定理得出BC＝4，根据直角三角形的性质得出∠CAE＝∠BCE，∠AEC＝∠BEC＝90°，即可判定△ACE∽△CBE，根据相似三角形的性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴＝，
∴∠ABC＝∠ACD，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠ABC，
∴∠ACD＝∠BCO；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD＝BE＝8，
∴CE＝DE＝CD＝4，
∴BC＝＝＝4，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCE＝90°，
∵∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠BCE，
又∵∠AEC＝∠BEC＝90°，
∴△ACE∽△CBE，
∴＝，
∴AC＝＝＝2，
∵OC⊥AF，
∴CF＝AC＝2．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理是解题的关键．
21．如图，在矩形ABCD中，AB＝，点E是BC的中点，AE⊥BD于点F．（1）求BE的长；
（2）延长FE交DC的延长线于点G，求证：．
【分析】（1）根据四边形ABCD是矩形，得到∠ABE＝∠BAD＝90°，根据余角的性质得到∠BAE ＝∠ADB，根据相似三角形的性质得到BE＝1；
（2）通过证明△ADF∽△EBF，△ABF∽△GDF，可得＝＝．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE＝∠BAD＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AFB＝90°，
∴∠BAF+∠ABD＝∠ABD+∠ADB＝90°，
∴∠BAE＝∠ADB，
∴△ABE∽△ADB，
∴＝，
∵E是BC的中点，
∴BC＝AD＝2BE，
∴2BE2＝AB2＝2，
∴BE＝1；
（2）证明：∵AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴＝，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△GDF，
∴，
∴＝＝，
∴＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
22．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°，延长EF交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△EGB；
（2）若AB＝8，求CG的长．
【分析】（1）由正方形的性质与已知得出∠A＝∠BEG，证出∠ABE＝∠G，即可得出结论；
（2）由AB＝AD＝8，E为AD的中点，得出AE＝DE＝4，由勾股定理得出BE＝4，由△ABE ∽△EGB，得出＝，可求得BG的长度，进而可以解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，且∠BEG＝90°，
∴∠A＝∠BEG，
∵∠ABE+∠EBG＝90°，∠G+∠EBG＝90°，
∴∠ABE＝∠G，
∴△ABE∽△EGB；
（2）解：∵AB＝AD＝BC＝8，E为AD的中点，
∴AE＝DE＝4．
在Rt△ABE中，BE＝＝＝4，
由（1）知，△ABE∽△EGB，
∴＝，
∴＝，
∴BG＝20，
∴CG＝BG﹣BC＝20﹣8＝12．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定得出比例式是解题的关键．
23．矩形ABCD中，BC＝2AB，M为AD边的中点，点P为对角线BD的中点，以点P为顶点作∠EPF＝90°，PE交AB边于点E，PF交AD边于点F．
（1）如图，则＝2．
（2）求证：BE﹣2MF＝AB．
（3）作射线EF与射线BD交于点G，若BE：AF＝3：4，EF＝，求DG的长．
【分析】（1）取AB的中点N，连接PN，PM．只要证明△PMF∽△PNE，可得＝＝＝2；
（2）利用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）延长CD交EG与H．由BE：AF＝3：4，EN＝2MF，设BE＝3x，AF＝4x，FM＝a，EN＝2a，由AM＝2BN，可得4x﹣a＝2（3x﹣2a），推出a＝x，可得AB＝AM＝x，AD＝x，DF＝x，AE＝x，在Rt△AEF中，根据勾股定理可得（）2+（4x）2＝29，解得x＝，推出AB＝2，AD＝4，BD＝＝10，根据DH∥AE，＝，可得DH＝x，设DG＝y，根据DH∥BE，可得＝，由此构建方程即可；
【解答】（1）解：取AB的中点N，连接PN，PM．
∵AM＝MD，PB＝PD，AN＝NB，
∴PM＝AB，PN＝AD，PM∥AB，PN∥AD，
∴四边形ANPM是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴四边形ANPM是矩形，
∴∠MPN＝∠EPF＝90°，
∴∠EPN＝∠EPM，∵∠PMF＝∠PNE＝90°，
∴△PMF∽△PNE，
∴＝＝＝2，
故答案为2．
（2）证明：∵△PNE∽△PMF，
∴＝＝，
∴NE＝2MF．
∵BE﹣NE＝BN，
∴BE﹣2MF＝BN，
∵N是AB的中点，
∴BN＝AB，
∴BE﹣2MF＝AB．
（3）延长CD交EG与H．
∵BE：AF＝3：4，EN＝2MF，
设BE＝3x，AF＝4x，FM＝a，EN＝2a，
∵AM＝2BN，
∴4x﹣a＝2（3x﹣2a），
∴a＝x，
∴AB＝AM＝x，AD＝x，DF＝x，AE＝x，
在Rt△AEF中，∵（）2+（4x）2＝29，
解得x＝，
∴AB＝2，AD＝4，BD＝＝10，∵DH∥AE，
∴＝，可得DH＝x，设DG＝y，
∵DH∥BE，
∴＝，
∴＝，
∴y＝．
∴DG＝．
【点评】本题考查相似三角形的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．。