(优辅资源)辽宁省大连市高二数学上学期期末考试试题 文

2015-2016学年度上学期期末考试
高二数学（文科）试卷
考试时间：120分钟 试题分数：150分
卷Ⅰ
一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的. 1. 对于常数m 、n ，“0mn <”是“方程2
2
1mx ny +=的曲线是双曲线”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 2. 命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是 A ．所有不能被2整除的数都是偶数 B ．所有能被2整除的数都不是偶数 C ．存在一个不能被2整除的数是偶数 D ．存在一个能被2整除的数不是偶数
3. 已知椭圆
116
252
2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为7，则P 到另一焦点距离为 A ．2 B ．3 C ．5 D ．7
4 . 在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A ．()()p q ⌝∨⌝ B ．()p q ∨⌝ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．p q ∨
5. 若双曲线22
221x y a b
-=
A ．2± B. 1
2
± C. 6. 曲线sin 1
sin cos 2x y x x =
-+在点(,0)4
M π处的切线的斜率为
B. C. 12
D. 12-
7．已知椭圆
)0(1222222>>=+b a b y a x 的焦点与双曲线122
22=-b
x a y 的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，则抛物线2
bx ay =的焦点坐标为 A. )0,4
3
(
B. )0,12
3
(
C. )123,
0( D.)4
3,0(
8．设12,z z 是复数, 则下列命题中的假命题是 A ．若12||||z z =, 则2122z z =
B ．若12z z =, 则12z z =
C ．若||||21z z =, 则2112·
·z z z z = D ．若12||0z z -=, 则12z z = 9. 已知命题“若函数()x
f x e mx =-在(0,)+∞上是增函数，则1m ≤”，则下列结论正确的是
A ．否命题“若函数()x
f x e mx =-在(0,)+∞上是减函数，则1m >”是真命题 B ．逆否命题“若1m >，则函数()x
f x e mx =-在(0,)+∞上不是增函数”是真命题 C ．逆否命题“若1m >，则函数()x f x e mx =-在(0,)+∞上是减函数”是真命题 D ．逆否命题“若1m ≤，则函数()x f x e mx =-在(0,)+∞上是增函数”是假命题 10. 马云常说“便宜没好货”,他这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的
A ．充分条件
B ．必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
11. 设0>a ，c bx ax x f ++=2
)(，曲线)(x f y =在点P （)(,00x f x ）处切线的倾斜
角的取值范围是]4
,
0[π
，则P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为
A. ]1
,0[a
B. ]21,
0[a b - C. ]2,0[a b D. ]21
,0[a
12. 已知函数3
2
()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程2
3(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为
A.2
B.3
C. 4
D. 5
卷Ⅱ
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 设复数z =
z z ⋅等于________． 14. 函数32
()32f x x x =-+在区间[1,1]x ∈-上的最大值是________．
15. 已知函数2
()ln '(1)54f x x f x x =-+-，则(1)f ＝________．
16. 过抛物线2
2(0)x py p =>的焦点F 作倾斜角为
45的直线，与抛物线分别交于A 、B
两点（A 在y 轴左侧），则
AF
FB
= ． 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分) 已知z 是复数，2z i +和2z
i
-均为实数(i 为虚数单位). （Ⅰ）求复数z ； （Ⅱ）求
1z
i
+的模．
18.(本小题满分12分)
已知集合{}|(1)(2)0A x ax ax =-+≤，集合{}|24.B x x =-≤≤ 若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.
19．(本小题满分12分)
设椭圆的方程为22
221(0),x y a b a b
+=>>点O 为坐标原点，点A ，B 分别为椭圆的右顶点
和上顶点,点M 在线段AB 上且满足||2||BM MA =，直线OM . （Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设点C 为椭圆的下顶点,N 为线段AC 的中点，证明：MN AB ⊥. 20. (本小题满分12分) 设函数32
3()(1)132
a f x x x a x =
-+++（其中常数a R ∈）. （Ⅰ）已知函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；
（Ⅱ）已知不等式2
'()1f x x x a >--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围．
21. (本小题满分12分)
已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为2，且椭圆上点到椭圆1C 左焦点距离的
1.
（Ⅰ）求1C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2
2:4C y x =相切，求直线l 的方程.
22. (本小题满分12分)
已知函数2
()ln (1)(1)f x x a x x =----（其中常数a R ∈）. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）当(0,1)x ∈时，()0f x <，求实数a 的取值范围.
2015-2016学年度上学期期末考试高二数学（文科）参考答案
一．选择题 CDBAC CDABB DB 二．填空题
1 2 1- 3-
三．解答题 17. 解：（Ⅰ）设z a bi =+，所以2(2)z i a b i +=++为实数，可得2b =-，
又因为222(4)25a i a a i
i -++-=
-为实数，所以4a =，即42z i =-.┅┅┅┅┅┅┅5分
（Ⅱ）421311z i
i i i
-==-++10分
18.解：（1）0a >时，21
[,]A a a
=-，若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，所以
212,4a a -≥-≤，
104
a <≤，检验1
4a =符合题意；┅┅┅┅┅┅┅4分
（2）0a =时，A R =，符合题意；┅┅┅┅┅┅┅8分
（3）0a <时，12[,]A a a =-，若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，所以12
2,4a a
-≥≤-，
102
a -≤<，检验1
2a =-不符合题意.
综上11
(,]24
a ∈-.┅┅┅┅┅┅┅12分
19.解（Ⅰ）已知A )0,(a ，B ),0(b ，由||2||B M M A =，可得)3
,32(b
a M ，
┅┅┅┅┅┅┅3分 所以
55=a b ，所以椭圆离心率5
52=a c ；┅┅┅┅┅┅┅6分 （Ⅱ）因为C ),0(b -，所以N )2,2(b a
-，MN 斜率为a
b
5，┅┅┅┅┅┅┅9分 又AB 斜率为a b -
，所以
a b 5⨯（a
b
-）1-=，所以MN AB ⊥.┅┅┅┅┅┅┅12分 20.解：（Ⅰ）13)('2
++-=a x ax x f ，因为()f x 在1x =处取得极值，所以
013)1('=++-=a a f ，解得1=a ，┅┅┅┅┅┅┅3分
此时)2)(1(23)('2
--=+-=x x x x x f ，
1<x 时，0)('>x f ，()f x 为增函数；21<<x 时，0)('<x f ，()f x 为减函数；
所以()f x 在1x =处取得极大值，所以1=a 符合题意；┅┅┅┅┅┅┅6分
（Ⅱ）113)('2
2
+-->++-=a x x a x ax x f ，所以2
222++>x x
x a 对任意(0,)a ∈+∞都
成立，所以022
≤+x x ，所以02≤≤-x .┅┅┅┅┅┅┅12分
21.解：（Ⅰ）设左右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，椭圆上点P 满足
,2||||2,2||||2121c PF PF c a PF PF ≤-≤-=+所以,||1c a PF c a +≤≤-P 在左顶点时
||1PF 取到最小值12-=-c a ，又
2
1=a c ，解得1,1,2===b c a ，所以1C 的方程为
1222=+y x .(或者利用设),(y x P 解出x a
c
a PF +=||1得出||1PF 取到最小值12-=-c a ，对于直接说明P 在左顶点时||1PF 取到最小值的，酌情扣分)；
┅┅┅┅┅┅┅4分
（Ⅱ）由题显然直线l 存在斜率，所以设其方程为m kx y +=，┅┅┅┅┅┅┅5分
联立其与12
22
=+y x ，得到 0224)21(222=-+++m kmx x k ，0=∆，化简得01222=--k m ┅┅┅┅┅┅┅8
分
联立其与2
2:4C y x =，得到
04
2
=+-m y y k ，0=∆，化简得01=-km ，┅┅┅┅┅┅┅10分 解得2,22==
m k 或2,2
2-=-=m k 所以直线l 的方程为222+=x y 或22
2
--=x y ┅┅┅┅┅┅┅12分
22．（Ⅰ）212(21)1
'()2(1)1ax a x f x a x x x
-+-+=---=，
设2
()2(21)1(0)g x ax a x x =-+-+>，该函数恒过(1,0)点. 当0a ≥时，()f x 在(0,1)增，(1,)+∞减；┅┅┅┅┅┅┅2分
当
1
2
a<-时，()
f x在
1
(0,),(1,)
2a
-+∞增，
1
(,1)
2a
-减；┅┅┅┅┅┅┅4分
当
1
2
a
>>-时，()
f x在
1
(0,1),(,)
2a
-+∞增，
1
(1,)
2a
-减；┅┅┅┅┅┅┅6分
当
1
2
a=-时，()
f x在(0,1),(1,)
+∞增. ┅┅┅┅┅┅┅8分
（Ⅱ）原函数恒过(1,0)点，由（Ⅰ）可得
1
2
a≥-时符合题意. ┅┅┅┅┅┅┅10分
当
1
2
a<-时，()
f x在
1
(0,),(1,)
2a
-+∞增，
1
(,1)
2a
-减，所以
1
()0
2
f
a
->，不符合题意.
┅┅┅┅┅┅┅12分。