高考数学二轮复习 第1部分 专题一 集合、常用逻辑用语

专题一集合、常用逻辑用语、平面向量、复数、算法、合情推理、
不等式
必考点一集合、常用逻辑用语
[高考预测]——运筹帷幄
1．以函数的定义域、值域、不等式的解集等为背景考查集合之间的交集、并集及补集的基本运算．
2．利用集合之间的关系求解参数的值或取值范围．
3．考查全称命题、特称命题的否定，以及全称命题与特称命题的真假判断．
4．考查充分必要条件与集合、函数、方程、数列、三角函数、不等式、平面向量、立体几何中的线面位置关系等相交汇的问题．
[速解必备]——决胜千里
1．设有限集合A，card(A)＝n(n∈N*)，则
(1)A的子集个数是2n；(2)A的真子集个数是2n－1；
(3)A的非空子集个数是2n－1；(4)A的非空真子集个数是2n－2.
2．(1)(∁R A)∩B＝B⇔B⊆∁R A；
(2)A∪B＝B⇔A⊆B⇔A∩B＝A；
(3)∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；
(4)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．
3．若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可叙述为：
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；
(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件．
[速解方略]——不拘一格
类型一集合的概念及运算
[例1] (1)已知集合A＝{－2，－1，0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B＝( ) A．{－1,0} B．{0,1}
C．{－1,0,1} D．{0,1,2}
解析：基本法：化简集合B，利用交集的定义求解．
由题意知B＝{x|－2<x<1}，所以A∩B＝{－1,0}．故选A.
速解法：验证排除法：
∵－1∈B，故排除B、D.
∵1∉B，∴1∉A∩B，排除C.
答案：A
(2)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3
C．5 D．9
解析：基本法：用列举法把集合B中的元素一一列举出来．
当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；
当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；
当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；
当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；
当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共
5个．故选C.
速解法一：排除法：估算x－y值的可能性，排除不可能的结果．
∵x∈A，y∈A，∴x－y＝±1，x－y＝±2.
B中至少有四个元素，排除A、B，而D选项是9个元素．
即3×3更不可能．故选C.
速解法二：当x＝y时，x－y＝0；
当x≠y时，x与y可以相差1，也可以相差2，即x－y＝±1，x－y＝±2.
故B中共有5个元素，B＝{0，±1，±2}．故选C.
答案：C
方略点评：对于集合问题，可根据元素的特征采用排除法快速求解，注意数轴、Venn图的应用.
1．(2016·河南郑州市高三质检)设全集U＝{x∈N*|x≤4}，集合A＝{1,4}，B＝{2,4}，则
∁U(A∩B)＝( )
A．{1,2,3} B．{1,2,4}
C．{1,3,4} D．{2,3,4}
解析：基本法：本题主要考查集合的基本运算．
因为U＝{1,2,3,4}，A∩B＝{4}，所以∁U(A∩B)＝{1,2,3}，故选A.
速解法：∵A∩B＝{4}．∴4∉∁U(A∩B)，排除B、C、D只能选A.
答案：A
2．(2016·高考全国甲卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2<9}，则A∩B＝( )
A．{－2，－1,0,1,2,3} B．{－2，－1,0,1,2}
C．{1,2,3} D．{1,2}
解析：基本法：(直接法)先化简集合B，再利用交集定义求解．
∵x2<9，∴－3<x<3，∴B＝{x|－3<x<3}．
又A ＝{1,2,3}，
∴A ∩B ＝{1,2,3}∩{x |－3<x <3}＝{1,2}，故选D. 速解法：(代入检验法)12
＜9,22
＜9,32
＝9，且A ∩B ⊆A . 故A ∩B ＝{1,2}，选D. 答案：D
类型二 充分、必要条件
[例2] (1) 函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( )
A ．p 是q 的充分必要条件
B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件
C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件
D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件
解析：基本法：利用命题和逆命题的真假来判断充要条件，注意判断为假命题时，可以采用反例法．
当f ′(x 0)＝0时，x ＝x 0不一定是f (x )的极值点，
比如，y ＝x 3
在x ＝0时，f ′(0)＝0，但在x ＝0的左右两侧f ′(x )的符号相同，因而x ＝0不是y ＝x 3的极值点．
由极值的定义知，x ＝x 0是f (x )的极值点必有f ′(x 0)＝0. 综上知，p 是q 的必要条件，但不是充分条件． 答案：C
(2)“x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4”是“函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4为单调递增函数”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：基本法：若函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4为单调递增函数，则－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，
k ∈Z ，
即－3π4＋2k π≤x ≤π
4
＋2k π，k ∈Z .
从而函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )．
因此若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，则函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4为单调递增函数； 若函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4为单调递增函数⇒/ x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4
，π4.
所以“x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4”是“函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4为单调递增函数”的充分不必要条件．故
选A.
速解法：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4时⇒x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2⇒y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4为增函数，
但y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4为增函数――→周期性⇒/ x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2⇒/ x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4.
答案：A
方略点评：1.此类问题实质是判断命题真假或条件与结论的推导关系．第(1)题采用了特例(y ＝x 3
)验证，第(2)题采用了“⇒”形式进行简单推理．
2．先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .
3．准确转化：若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则p 是q 的充分不必要条件；若綈p 是綈
q 的充要条件，那么p 是q 的充要条件．
1．已知x ∈R ，则“x 2
－3x >0”是“x －4>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
解析：基本法：判断x 2
－3x >0⇒x －4>0还是x －4>0⇒x 2
－3x >0.
注意到x 2
－3x >0⇔x <0或x >3，x －4>0⇔x >4.由x 2
－3x >0不能得出x －4>0；反过来，由x －4>0可得出x 2
－3x >0，因此“x 2
－3x >0”是“x －4>0”的必要不充分条件．故选B. 答案：B
速解法：利用反例和实数的运算符号寻找推导关系．如x ＝4时，满足x 2
－3x >0，但不满足
x －4>0，即不充分．
若x －4>0，则x (x －3)>0，即必要．故选B. 答案：B
2．(2016·高考山东卷)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
解析：根据直线、平面的位置关系及充分、必要条件的定义进行判断．由题意知a ⊂α，b ⊂β，若a ，b 相交，则a ，b 有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a ，b 的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件． 答案：A
类型三 命题判定及否定
[例3] (1)设命题p ：∃n ∈N ，n 2
＞2n
，则綈p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2
＞2n B ．∃n ∈N ，n 2≤2n
C ．∀n ∈N ，n 2≤2n
D ．∃n ∈N ，n 2＝2n
解析：基本法：因为“∃x ∈M ，p (x )”的否定是“∀x ∈M ，綈p (x )”，所以命题“∃n ∈N ，
n 2＞2n ”的否定是“∀n ∈N ，n 2≤2n ”．故选C.
答案：C
(2)已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2
，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(綈p )∧q
C ．p ∧(綈q )
D ．(綈p )∧(綈q )
解析：基本法：当x ＝0时，有2x ＝3x ，不满足2x <3x ，∴p ：∀x ∈R,2x <3x
是假命题． 如图，函数y ＝x 3
与y ＝1－x 2
有交点，即方程x 3
＝1－x 2
有解，
∴q ：∃x ∈R ，x 3
＝1－x 2
是真命题． ∴p ∧q 为假命题，排除A.
∵綈p 为真命题，∴(綈p )∧q 是真命题．选B.
速解法：当x ＝0时，不满足2x
＜3x
，∴p 为假，排除A 、C.利用图象可知，q 为真，排除D ，必选B. 答案：B
方略点评：1基本法是具体判断p ，綈p ，q ，綈q 的真假.
速解法是利用“当p 、q 全真时，p ∧q 为真”的道理，利用逻辑关系排除. 2要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x 验证p x 成立，
要判定其为假命题，只需举出一个反例即可.
3要判定一个特称存在性命题为真命题，只要在限定集合M 中至少能找到一个元素
x 0，使得p x 0成立即可；否则，这一特称存在性命题就是假命题.特别注意：命题的
否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论；而命题的否定是只否定命题的结论.
1．(2016·山西四校联考)已知命题p ：∃x ∈R,2x ＞3x
；命题q ：∀x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x ＞sin
x ，则下列是真命题的是( )
A ．(綈p )∧q
B ．(綈p )∨(綈q )
C ．p ∧(綈q )
D ．p ∨(綈q )
解析：基本法：先判断命题p 、q 的真假，然后根据选项得出正确结论． 当x ＝－1时，2
－1
＞3
－1
，所以p 为真命题；当x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2时，tan x －sin x ＝
sin x 1－cos x
cos x ＞0，所以q 为真命题，所以p ∨(綈q )是真命题，其他选项都不正确，
故选D.
速解法：p 为真时，p 或任何命题为真，故选D. 答案：D
2．(2016·陕西西安市高三质检)已知命题p ：∃x ∈R ，log 2(3x
＋1)≤0，则( ) A ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x
＋1)≤0 B ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)＞0 C ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 D ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)＞0
解析：基本法：本题主要考查命题的真假判断、命题的否定．
∵3x
＞0，∴3x
＋1＞1，则log 2(3x
＋1)＞0，∴p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x
＋1)＞0.故应选B. 答案：B
[终极提升]——登高博见 选择题、填空题的解法——直接法
方法诠释
直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则，通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，然
后对照题目所给出的选项“对号入座”作出相应的选择，从而确定正确选项的方法．
适用范围 涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．
解题规律 基本法，单刀直入
限时速解训练一 集合、常用逻辑用语
(建议用时40分钟)
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A ＝{1,3,5,6}，则∁U A ＝( )
A ．{1,3,5,6}
B ．{2,3,7}
C ．{2,4,7}
D ．{2,5,7}
解析：选C.由补集的定义，得∁U A ＝{2,4,7}．故选C.
2．已知集合A ＝{y |y ＝|x |－1，x ∈R }，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A ．－3∈A B ．3∉B C ．A ∩B ＝B D ．A ∪B ＝B
解析：选C.由题知A ＝{y |y ≥－1}，因此A ∩B ＝{x |x ≥2}＝B ，故选C. 3．设集合M ＝{x |x 2
＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝( ) A ．[0,1] B ．(0,1] C ．[0,1) D ．(－∞，1]
解析：选A.M ＝{x |x 2＝x }＝{0,1}，N ＝{x |lg x ≤0}＝ {x |0<x ≤1}，M ∪N ＝[0,1]，故选A.
4．(2016·山东聊城模拟)集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2
}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4
解析：选D.因为A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2
}，
A ∪
B ＝{0,1,2,4,16}，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 2
＝16，a ＝4，则a ＝4.
5．(2016·湖北八校模拟)已知a ∈R ，则“a ＞2”是“a 2
＞2a ”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A.因为a ＞2，则a 2
＞2a 成立，反之不成立，所以“a ＞2”是“a 2
＞2a ”成立的充分不必要条件．
6．已知集合A ＝{z ∈C |z ＝1－2a i ，a ∈R }，B ＝{z ∈C ||z |＝2}，则A ∩B 等于( ) A ．{1＋3i,1－3i} B ．{3－i} C ．{1＋23i,1－23i} D ．{1－3i}
解析：选A.问题等价于|1－2a i|＝2，a ∈R ，解得a ＝±
3
2
.故选A. 7．已知命题p ：对任意x ＞0，总有e x
≥1，则綈p 为( ) A ．存在x 0≤0，使得e x 0＜1
B ．存在x 0＞0，使得e x 0＜1
C ．对任意x ＞0，总有e x
＜1 D ．对任意x ≤0，总有e x
＜1
解析：选B.因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p ：对任意x ＞0，总有e x
≥1的否定綈p 为：存在x 0＞0，使得e x 0＜1.故选B.
8．已知命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝1，命题q ：∀x ∈R ，x 2
＞0.下面结论正确的是( ) A ．命题“p ∧q ”是真命题 B ．命题“p ∧(綈q )”是假命题 C ．命题“(綈p )∨q ”是真命题 D ．命题“(綈p )∧(綈q )”是假命题
解析：选D.取x 0＝π4，有tan π4＝1，故命题p 是真命题；当x ＝0时，x 2
＝0，故命题q 是
假命题．再根据复合命题的真值表，知选项D 是正确的． 9．给出下列命题：
①∀x ∈R ，不等式x 2
＋2x ＞4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x ＞1；
③“若a ＞b ＞0且c ＜0，则c a ＞c b
”的逆否命题； ④若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题． 其中真命题是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④
解析：选A.①中不等式可表示为(x －1)2
＋2＞0，恒成立； ②中不等式可变为log 2x ＋1
log 2x
≥2，得x ＞1；
③中由a ＞b ＞0，得1a ＜1
b
，而c ＜0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；
④由p 且q 为假只能得出p ，q 中至少有一个为假，④不正确．
10．(2016·山东济南模拟)设A ，B 是两个非空集合，定义运算A ×B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ∉
A ∩
B }．已知A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ＞0}，则A ×B ＝( )
A ．[0,1]∪(2，＋∞) B．[0,1)∪[2，＋∞) C ．[0,1] D ．[0,2]
解析：选A.由题意得A ＝{x |2x －x 2
≥0}＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ＞1}，所以A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝(1,2]，所以A ×B ＝[0,1]或(2，＋∞)．
11．“直线y ＝x ＋b 与圆x 2
＋y 2
＝1相交”是“0＜b ＜1”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B.若“直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2
＝1相交”，则圆心到直线的距离为d ＝|b |2＜1，
即|b |＜2，不能得到0＜b ＜1；反过来，若0＜b ＜1，则圆心到直线的距离为d ＝|b |2＜
1
2＜1，所以直线y ＝x ＋b 与圆x 2
＋y 2
＝1相交，故选B. 12．(2016·陕西五校二模)下列命题正确的个数是( )
①命题“∃x 0∈R ，x 2
0＋1＞3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2
＋1≤3x ”；
②“函数f (x )＝cos 2
ax －sin 2
ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的必要不充分条件； ③x 2
＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立⇔(x 2
＋2x )min ≥(ax )max 在x ∈[1,2]上恒成立； ④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件是“a·b ＜0”． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
解析：选B.易知①正确；因为f (x )＝cos 2ax ，所以
2π
|2a |
＝π，即a ＝±1，因此②正确；因为x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立⇒a ≤x ＋2在x ∈[1,2]上恒成立⇒a ≤(x ＋2)min ，x ∈[1,2]，因此③不正确；因为钝角不包含180°，而由a·b ＜0得向量夹角包含180°，因此“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件是“a·b ＜0且a 与b 不反向”，故④不正确． 二、填空题(把答案填在题中横线上)
13．若关于x 的不等式|x －m |<2成立的充分不必要条件是2≤x ≤3，则实数m 的取值范围是________．
解析：由|x －m |<2得－2<x －m <2，即m －2<x <m ＋2.依题意有集合{x |2≤x ≤3}是{x |m －2<x <m ＋2}的真子集，于是有⎩⎪⎨⎪⎧
m －2<2m ＋2>3
，由此解得1<m <4，即实数m 的取值范围是(1,4)．
答案：(1,4)
14．若命题“∃x 0∈R ，x 2
0－2x 0＋m ≤0”是假命题，则m 的取值范围是________．
解析：由题意，命题“∀x ∈R ，x 2
－2x ＋m ＞0”是真命题，故Δ＝(－2)2
－4m ＜0，即m ＞1. 答案：(1，＋∞)
15．已知p ：∃x 0∈R ，mx 2
0＋2≤0，q ：∀x ∈R ，x 2
－2mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数
m 的取值范围是________．
解析：因为p ∨q 是假命题， 所以p 和q 都是假命题．
由p ：∃x 0∈R ，mx 2
0＋2≤0为假命题知， 綈p ：∀x ∈R ，mx 2
＋2＞0为真命题， 所以m ≥0.①
由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0为假命题知， 綈q ：∃x 0∈R ，x 20－2mx 0＋1≤0为真命题，
所以Δ＝(－2m )2
－4≥0⇒m 2
≥1⇒m ≤－1或m ≥1.②由①和②得m ≥1. 答案：[1，＋∞)
16．下列四个命题中，真命题有________．(写出所有真命题的序号)
①若a ，b ，c ∈R ，则“ac 2
＞bc 2
”是“a ＞b ”成立的充分不必要条件；②命题“∃x 0∈R ，x 2
0＋x 0＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2
＋x ＋1≥0”；③命题“若|x |≥2，则x ≥2或x ≤－2”的否命题是“若|x |＜2，则－2＜x ＜2”；④函数f (x )＝ln x ＋x －3
2在区间(1,2)上有且仅
有一个零点．
解析：①若c ＝0，则不论a ，b 的大小关系如何，都有ac 2
＝bc 2
，而若ac 2
＞bc 2
，则有a ＞b ，故“ac 2
＞bc 2
”是“a ＞b ”成立的充分不必要条件，故①为真命题；②特称命题的否定是全称命题，故命题“∃x 0∈R ，x 2
0＋x 0＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2
＋x ＋1≥0”，故②为真命题；③命题“若p ，则q ”形式的命题的否命题是“若綈p ，则綈q ”，故命题“若|x |≥2，则x ≥2或x ≤－2”的否命题是“若|x |＜2，则－2＜x ＜2”，故③为真命题；④由于f (1)f (2)＝⎝
⎛⎭⎪⎫ln 1＋1－32⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋2－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋12＜0，则函数f (x )＝ln x ＋x －32在区间
(1,2)上存在零点，又函数f (x )＝ln x ＋x －3
2在区间(1,2)上为增函数，所以函数f (x )＝ln x
＋x －3
2在区间(1,2)上有且仅有一个零点，故④为真命题．
答案：①②③④
必考点二 平面向量、复数运算
[高考预测]——运筹帷幄
1．用平面向量的几何运算、坐标运算进行线性运算和数量积的运算． 2．复数的代数形式的四则运算及几何意义． [速解必备]——决胜千里
1．向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则A ，B ，P 三点共线的充要条件是OP →＝λ1OA →
＋
λ2OB →
(其中λ1＋λ2＝1)．
2．三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量OP →与向量OA →、OB →的关系是OP →
＝12
(OA →＋OB →)．
3．三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心⇔GA →＋GB →＋GC →＝0⇔G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ＋x B ＋x C 3，y A ＋y B ＋y C 3.
OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →
⇔O 为△ABC 垂心． 4．a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)． 5．i 4n
＝1，i
4n ＋1
＝i ，i
4n ＋2
＝－1，i
4n ＋3
＝－i.
6．z ·z ＝|z |2，(1＋i)2＝2i ，(1－i)2
＝－2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i.
[速解方略]——不拘一格
类型一 平面向量的概念及线性运算
[例1] (1)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →
＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4) D ．(1,4)
解析：基本法：设C (x ，y )，则AC →
＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－4，y ＝－2，从而BC →
＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.
速解法：∵AB →
＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)， BC →＝AC →－AB →
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． 答案：A
方略点评：1.基本法是设出点C 坐标，并利用AC →＝(－4，－3)求出点C 坐标，然后计算BC →
的坐标．
速解法是利用向量减法的意义：BC →＝AC →－AB →
.
2．向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”；平行四边形法则要保证两向量“共起点”，结合几何法、代数法(坐标)求解．
(2)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →
＝( ) A.AD →
B.12AD →
C.BC →
D.12
BC →
解析：基本法一：设AB →＝a ，AC →＝b ，则EB →＝－12b ＋a ，FC →＝－12a ＋b ，从而EB →＋FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12b ＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋b ＝1
2
(a ＋b )＝AD →，故选A.
基本法二：如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →
)
＝12·2AD →＝AD →. 答案：A
方略点评：基本法一是利用了基本定理运算.基本法二是利用了三角形法则进行运算.
1．(2016·河北唐山市高三统考)在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →
＝( )
A.12AB →＋12AD →
B.34AB →＋12AD →
C.34AB →＋14AD →
D.12AB →＋34
AD → 解析：基本法：由于M 为BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)
＝34AB →＋12AD →
，故选B. 答案：B
2．(2016·高考全国甲卷)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 解析：基本法：∵a ∥b ，∴a ＝λb 即(m,4)＝λ(3，－2)＝(3λ，－2λ)
∴⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝3λ，4＝－2λ，
故m ＝－6.
速解法：根据向量平行的坐标运算求解： ∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ∴m ×(－2)－4×3＝0 ∴－2m －12＝0，∴m ＝－6. 答案：－6
类型二 平面向量数量积的计算与应用
[例2] (1)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2
解析：基本法：因为2a ＋b ＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，所以(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1.故选C. 速解法：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴a 2
＝2，a·b ＝－3， 从而(2a ＋b )·a ＝2a 2
＋a·b ＝4－3＝1.故选C. 答案：C
方略点评：1.基本法是把2a ＋b 看作一个向量，求其坐标，最终用坐标法求数量积．速解法是通过展开(2a ＋b )·b ，分别计算a 2
及a ·b ，较简单．
2．当向量以几何图形的形式(有向线段)出现时，其数量积的计算可利用定义法；当向量以坐标形式出现时，其数量积的计算用坐标法；如果建立坐标系，表示向量的有向线段可用坐标表示，计算向量较简单．
(2)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →
＝________. 解析：基本法：以AB →、AD →为基底表示AE →和BD →
后直接计算数量积． AE →＝AD →＋12AB →，BD →＝AD →－AB →，
∴AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →·(AD →－AB →)
＝|AD →|2－12|AB →|2＝22
－12
×22＝2.
速解法：(坐标法)先建立平面直角坐标系，结合向量数量积的坐标运算求解．
如图，以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，D (0,2)，E (1,2)，
∴AE →＝(1,2)，BD →
＝(－2,2)， ∴AE →·BD →
＝1×(－2)＋2×2＝2. 答案：2
方略点评：1.向量的模的求法一是根据向量的定义，二是将向量的模转化为三角形的某条边求其长．
2．求非零向量a ，b 的夹角一般利用公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b
|a ||b |
先求出夹角的余弦值，然后
求夹角．也可以构造三角形，将所求夹角转化为三角形的内角求解，更为直观形象．
1．(2016·高考全国丙卷)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )
A ．30° B．45° C ．60° D ．120°
解析：基本法：根据向量的夹角公式求解．
∵BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，∴|BA →|＝1，|BC →|＝1，BA →·BC →＝1
2×32＋32×12＝32，
∴cos ∠ABC ＝cos 〈BA →，BC →
〉＝BA →·BC →
|BA →|·|BC →|
＝32.
∵0°≤〈BA →，BC →〉≤180°，∴∠ABC ＝〈BA →，BC →
〉＝30°.
速解法：如图，B 为原点，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，32
∴∠ABx ＝60°，C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，12∠CBx ＝30°，∴∠ABC ＝30°. 答案：A
2．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b·c ＝0，则t ＝________. 解析：基本法：∵b ·c ＝0，
∴b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0，t a·b ＋(1－t )·b 2
＝0， 又∵|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°， ∴1
2
t ＋1－t ＝0，t ＝2. 速解法：由t ＋(1－t )＝1知向量a 、b 、c 的终点A 、B 、C 共线，在平面直角坐标系中设a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2，－32.
把a 、b 、c 的坐标代入c ＝t a ＋(1－t )b ，得t ＝2.
答案：2
类型三 复数的代数运算及几何意义
[例3] (1)设复数z 满足1＋z
1－z ＝i ，则|z |＝( )
A ．1 B. 2 C. 3 D ．2
解析：基本法：由已知1＋z
1－z ＝i ，可得
z ＝i －1i ＋1
＝i －1
2
i ＋1i －1
＝－2i
－2＝i ，∴|z |＝|i|＝1，故选A. 速解法：∵1＋i
1－i ＝i ，∴z ＝i ，∴|z |＝1.
答案：A
方略点评：1.基本法是利用解方程思想求出未知数z . 速解法是利用了一个常用特殊运算结果直接得出z .
2．复数的代数形式的运算，类比于多项式的乘除法与合并同类项，只是利用z z ＝|z |2
，把i 2
换为－1，复数除法的关键是将分母实数化．
3．与复数的模、共轭复数、复数相等有关的问题，可设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用待定系数法求解．
(2)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2
解析：基本法：∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ⇒4a ＋(a 2
－4)i ＝－4i ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
4a ＝0，a 2
－4＝－4，
解得a ＝0.
速解法：检验法：将a ＝0代入适合题意，故选B. 答案：B
方略点评：1.基本法是利用复数相等的条件求解，速解法是代入检验排除法，较简单．
2．利用复数相等转化为实数运算是复数实数化思想的具体应用，是解决复数问题的常用方法．
1．(2016·高考全国乙卷)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3
解析：基本法：先化简复数，再根据实部与虚部相等列方程求解．
(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(1＋2a )i ，由题意知a －2＝1＋2a ，解得a ＝－3，故选A. 答案：A
2．若a 为实数，且2＋a i 1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )
A ．－4
B ．－3
C ．3
D ．4
解析：基本法：由已知得2＋a i ＝(1＋i)(3＋i)＝2＋4i ，所以a ＝4，故选D. 答案：D
[终极提升]——登高博见 速解选择题方法——排除法
方法诠释
排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提条件是答案唯一，具体的做法是采用简
捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确结论．
适用范围
这种方法适用于直接法解决问题很困难或者
计算较烦琐的情况．
解题规律
(1)对于干扰项易于淘汰的选择题，可采用排除法，能剔除几个就先剔除几个． (2)允许使用题干中的部分条件淘汰选项． (3)如果选项中存在等效命题，那么根据规定
——答案唯一，等效命题应该同时排除． (4)如果选项中存在两个相反的或互不相容的判断，那么其中至少有一个是假的． (5)如果选项之间存在包含关系，要根据题意才能判断.
限时速解训练二 平面向量、复数运算
(建议用时40分钟)
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．2－3i B ．2＋3i C ．3＋2i D ．3－2i
解析：选A.∵z ＝i(3－2i)＝3i －2i 2
＝2＋3i ，所以z ＝2－3i ，故选A. 2．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2
，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形
解析：选C.由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2得(BC →＋BA →－AC →)·AC →＝0，则2BA →·AC →
＝0，即BA ⊥AC ，故选C. 3．已知
1－i
2
z
＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )
A ．1＋i
B ．1－i
C ．－1＋i
D ．－1－i
解析：选D.z ＝
1－i
2
1＋i
＝－2i 1＋i ＝－2i 1－i 1＋i 1－i
＝－1－i. 4．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →
＝( ) A ．－32a 2 B ．－34a 2
C.34a 2
D.32
a 2
解析：选D.BD →·CD →＝(BC →＋CD →)·CD →＝BC →·CD →＋CD →2＝12a 2＋a 2＝32
a 2.
5．(2016·广西南宁适应性测试)已知i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若(1－i)z ＝2，则z 为( ) A ．1＋i B ．1－i C ．2＋i D ．2－i 解析：选B.依题意得z ＝
21－i ＝21＋i
1－i 1＋i
＝1＋i ，∴z ＝1－i ，选B. 6．若向量AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BC →
＝( ) A ．(1,1) B ．(－1，－1) C ．(3,7) D ．(－3，－7)
解析：选B.因为AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，所以BC →＝AC →－AB →
＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，故选B.
7．i 为虚数单位，则⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋i 1－i 2 018＝( )
A ．－i
B ．－1
C ．i
D ．1 解析：选B.因为⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋i 1－i 2 018＝(i 2)1 009＝(－1)1 009＝－1.
8．已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →
方向上的投影为( ) A.322 B.3152
C ．－322
D ．－3152
解析：选A.AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，|CD →
|＝52， 故AB →在CD →
上的投影为AB →·CD →
|CD →|
＝1552＝32 2.
9．(2016·陕西西安质检)设复数z 1和z 2在复平面内的对应点关于坐标原点对称，且z 1＝3－2i ，则z 1·z 2＝( ) A ．－5＋12i B ．－5－12i C ．－13＋12i D ．－13－12i
解析：选A.z 1＝3－2i ，由题意知z 2＝－3＋2i ， ∴z 1·z 2＝(3－2i)·(－3＋2i)＝－5＋12i ，故选A.
10．(2016·辽宁沈阳质检)在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →
|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →
＝( ) A.89 B.109 C.259 D.269
解析：选B.由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB →与AC →
垂直，所以△ABC 为直角三角形．以AC 所在直线为x 轴，以AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)．不妨
令E 为BC 的靠近C 的三等分点，则E ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，23， F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43，所以AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，AF →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，43，所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109
.
11．(2016·辽宁五校联考)已知复数z ＝1＋i ，则z 2－2z
z －1
＝( )
A ．－2i
B ．2i
C ．－2
D ．2
解析：选B.z 2－2z z －1
＝
1＋i
2
－21＋i i ＝－2
i
＝2i ，故选B.
12．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10
解析：选B.由⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ⊥c ，
b ∥
c ⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x －4＝0，
2y ＋4＝0⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
y ＝－2，
∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，a ＋b ＝(3，－1)， ∴|a ＋b |＝10，故选B.
二、填空题(把答案填在题中横线上)
13．已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________. 解析：∵λa ＋b ＝0，即λa ＝－b ，∴|λ||a |＝|b |. ∵|a |＝1，|b |＝5，∴|λ|＝ 5. 答案： 5
14．设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝__________.
解析：复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为a 2
＋b 2
＝3，则a 2
＋b 2
＝3，则(a ＋b i)(a －b i)＝a 2
－(b i)2
＝a 2
－b 2
·i 2
＝a 2
＋b 2
＝3. 答案：3
15．已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →
＝__________. 解析：∵OA →⊥AB →，∴OA →·AB →
＝0， 即OA →·(OB →－OA →
)＝0， ∴OA →·OB →＝OA →2
＝9. 答案：9
16．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：∵(1－2i)(a ＋i)＝2＋a ＋(1－2a )i 为纯虚数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
1－2a ≠0，2＋a ＝0，
解得a ＝－2.
答案：－2
必考点三 算法、框图与推理
[高考预测]——运筹帷幄
1．根据框图的程序进行结果的求解，判断条件的补写、完善过程． 2．以数表、数阵、图形、代数式为背景进行归纳推理与类比推理． [速解必备]——决胜千里 1．程序框图中有S ＝S ＋
1
2i －1
2i ＋1
，i ＝i ＋1时，表示数列裂项求和．
2．程序中有“S ＝S ＋2n
＋n ，n ＝n ＋1”表示等比数列与等差数列求和． 3．三角形数N (n,3)＝12n 2＋1
2
n (第n 个三角形数)
四边形数N (n,4)＝n 2
(第n 个四边形数) 五边形数N (n,5)＝32n 2＋－1
2
n (第n 个五边形数)
k 边形数N (n ，k )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫k 2
－1n 2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫k 2
－2n (k ≥3)(第n 个k 边形数)
4．类比推理常见的类比内容 平面几何中的点↔空间几何中的线 平面几何中的线↔空间几何中的面 平面几何中的三角形↔空间几何中的三棱锥 平面几何中的圆↔空间几何中的球 [速解方略]——不拘一格
类型一 求算法与框图的输入或输出值
[例1] (1)执行下面的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
解析：基本法：逐次运行程序，直至输出n . 运行第一次：S ＝1－12＝1
2
＝0.5，m ＝0.25，n ＝1，
S ＞0.01；
运行第二次：S ＝0.5－0.25＝0.25，m ＝0.125，n ＝2，
S ＞0.01；
运行第三次：S ＝0.25－0.125＝0.125，m ＝0.062 5，n ＝3，S ＞0.01； 运行第四次：S ＝0.125－0.062 5＝0.062 5，m ＝0.031 25，n ＝4，S ＞0.01； 运行第五次：S ＝0.031 25，m ＝0.015 625，n ＝5，S ＞0.01； 运行第六次：S ＝0.015 625，m ＝0.007 812 5，n ＝6，
S ＞0.01；
运行第七次：S＝0.007 812 5，m＝0.003 906 25，n＝7，S＜0.01.
输出n＝7.故选C.
速解法：由框图可知S＝1－1
21
－
1
2
2
－
1
23
－
1
24
－…－
1
2n
＝1－
1
2⎝
⎛⎭⎪⎫
1－
1
2n
1－
1
2
＝
1
2n
≤0.01输出n，
∴2n≥100，∴n的最小值为7.
答案：C
方略点评：1.基本法是按程序一次次循环计算，当不满足条件时跳出循环得出结果．2．速解法是归纳S＝S－m的运算规律利用数列求和进行估算，稍简单一点．
(2)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a＝( )
A．0 B．2
C．4 D．14
解析：基本法：逐次运行程序，直至程序结束得出a值．
a＝14，b＝18.
第一次循环：14≠18且14＜18，b＝18－14＝4；
第二次循环：14≠4且14＞4，a＝14－4＝10；
第三次循环：10≠4且10＞4，a＝10－4＝6；
第四次循环：6≠4且6＞4，a＝6－4＝2；
第五次循环：2≠4且2＜4，b＝4－2＝2；
第六次循环：a＝b＝2，跳出循环，输出a＝2，故选B.
速解法：“更相减损术”是求两个正整数的最大公约数，本题求14,18的最大公约数，结合选项知为2，选B.
答案：B
方略点评：1.基本法是按更相减损术的运算过程逐步求解．速解法是利用更相减损术的作用
和公约数的定义直接得答案，显然简单．
2．求输出结果的题目，要认清输出变量是什么，有的是求函数值，有的是求和、差、积、商的运算结果，有的是计数变量等．
1．(2016·高考全国甲卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝( )
A．7 B．12
C．17 D．34
解析：基本法：逐次运行程序，直到满足条件时输出s值终止程序．
输入x＝2，n＝2.第一次，a＝2，s＝2，k＝1，不满足k>n；
第二次，a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2，不满足k>n；
第三次，a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3，满足k>n，输出s＝17.
答案：C
2．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．如果输入某个正整数n后，输出的S∈(10,20)，那么n的值为( )
A．3 B．4
C ．5
D ．6
解析：基本法：依据初始条件，逐步求出S 的值，判断n 的值． 由S ＝0，k ＝1得S ＝1，k ＝2，应该为否，即2≤n ⇒S ＝1＋2×1＝3，k ＝3为否，即3≤n ⇒S ＝1＋2×3＝7，k ＝4为否，即4≤n ⇒S ＝1＋2×7＝15，k ＝5为是，即5>n 综上，4≤n <5，∴n ＝4.故选B.
速解法：先读出框图的计算功能，再结合等比数列求和公式求解． 框图功能为求和，即S ＝1＋21
＋22
＋…＋2n －1
.
由于S ＝
1×1－2
n
1－2
＝2n
－1∈(10,20)，
∴10<2n
－1<20，∴11<2n
<21， ∴n ＝4，即求前4项和．
∴判断框内的条件为k >4，即n ＝4.故选B. 答案：B
类型二 补写、完善程序框图
[例2] (1)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( )
A ．s ≤34？
B ．s ≤56？
C ．s ≤1112？
D ．s ≤2524
？
解析：基本法：由s ＝0，k ＝0满足条件，则k ＝2，s ＝12，满足条件；k ＝4，s ＝12＋14＝34，
满足条件；k ＝6，s ＝34＋16＝1112，满足条件；k ＝8，s ＝1112＋18＝25
24，不满足条件，输出k ＝8，
所以应填s ≤11
12
.
速解法：由题意可知S ＝12＋14＋16＋18＝25
24，此时输出8，是不满足条件，故选C.
答案：C
方略点评：基本法是按程序过程逐步判断是否满足条件速解法是归纳了s ＝s ＋1
k
的作用
求和直接验算.
(2)阅读如下程序框图，如果输出i ＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )
解析：基本法：当i ＝2时，S ＝2×2＋1＝5<10；当i ＝3时，仍然循环，排除D ；当i ＝4时，S ＝2×4＋1＝9<10；当i ＝5时，不满足S <10，即此时S ≥10，输出i .此时A 项求得S ＝2×5－2＝8，B 项求得S ＝2×5－1＝9，C 项求得S ＝2×5＝10，故只有C 项满足条件．故选C.
答案：C
方略点评：1.基本法是根据框图的程序对i 的取值验证，速解法是根据当s ≥10时，输出的
i 值验证答案．
2．循环结构有当型循环和直到型循环．当型循环是当满足条件时执行循环体．直到型循环是直到满足条件时才跳出循环．
3．首先看懂每个图形符号的意义和作用，其次试走几步循环体，体会循环体的内容和功能，最后利用判断框中的条件确定循环的次数．
1．给出30个数：1,2,4,7,11,16，…，要计算这30个数的和．下图给出了该问题的程序框图，那么框图中判断框①处和执行框②处可以分别填入( )
A．i≤30？和p＝p＋i－1
B．i≤31？和p＝p＋i＋1
C．i≤31？和p＝p＋i
D．i≤30？和p＝p＋i
解析：基本法：由题可知，程序要执行30次．所以①处应填i≤30？，②处应填p＝p＋i. 答案：D
2．如图，给出的是计算1
2
＋
1
4
＋
1
6
＋…＋
1
2 016
的值的程序框图，其中判断框内应填入的是
( )
A．i≤2 021? B．i≤2 019?
C．i≤2 017? D．i≤2 015?
解析：基本法：由题知，判断框内可填“i≤2016？”或“i≤2017？”或“i<2017？”或“i<2018？”，故选C.
答案：C
类型三合情推理、演绎推理
[例3] (1)(2016·高考全国甲卷)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．
解析：基本法：根据丙的说法及乙看了丙的卡片后的说法进行推理．
由丙说“我的卡片上的数字之和不是5”，可推知丙的卡片上的数字是1和2或1和3.又根
据乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”可知，乙的卡片不含1，所以乙的卡片上的数字为2和3.再根据甲的说法“我与乙的卡片上相同的数字不是2”可知，甲的卡片上的数字是1和3. 答案：1和3 (2)观察下列等式： 12
＝1， 12
－22
＝－3， 12
－22
＋32
＝6， 12
－22
＋32
－42
＝－10， …，
照此规律， 第n 个等式可为________. 解析：基本法：12
＝1， 12
－22
＝－(1＋2)， 12
－22
＋32
＝1＋2＋3，
12
－22
＋32
－42
＝－(1＋2＋3＋4)， …，
12
－22
＋32
－42
＋…＋(－1)n ＋1n 2
＝(－1)n ＋1
(1＋2＋…＋n )
＝(－1)
n ＋1
n n ＋1
2
.
速解法：设a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10 即a 1＝1×1＋12，a 2＝2×2＋12
，
a 3＝
3×
3＋12，a 4＝4×4＋1
2
， 其符号规律为(－1)n ＋1
∴第n 个等式右侧为(－1)
n ＋1
n n ＋1
2
.
答案：12
－22
＋32
－42
＋…＋(－1)
n ＋1n 2
＝(－1)n ＋1n n ＋1
2
方略点评：1.基本法是分析式子的特点归纳出运算方法，利用数列求和． 速解法是直接归纳“＝”右侧的数字规律，较为简单．
2．在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．
3．在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比。