湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高一下学期第一次月考数学试题(附答案)

衡阳市第一中学2019高一（下）第一次月考
数学
命题人： 审核人：
时量:120分钟 总分:150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、若–π/2<<0，则点)cos ,(tan αα位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2、函数)6
2sin(2π
+=x y 的最小正周期是（ ）
A ．π4
B ．π2
C ．π
D ．
2
π 3、若5
4
cos =α，),0(πα∈则tan 的值是（ ） A ．
3
4 B ．43 C ． 34± D ．4
3
±
4、如果α在第三象限，则
2
α
必定在第（ ）象限
A ．一、二
B ．一、三
C ．三、四
D ．二、四 5、给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关； ④若sin α=sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角. 其中正确命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
6、设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π
3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )
A. 23
B.43
C.3
2 D ．
3 7、要得到2sin(2)3
y x π
=-
的图像, 需要将函数sin 2y x =的图像( )
A.向左平移23π个单位
B.向右平移23π个单位
C.向左平移3π个单位
D.向右平移3
π个单位
8、已知函数y =tan ωx 在 (-，内是减函数，则( ) A.0<ω≤1
B.-1≤ω<0
C.ω≥1
D.ω≤-1
9、已知x ∈(0，π]，关于x 的方程2sin =a 有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围为( )
A.[-，2]
B.[
，2] C.(
，2]
D.(
，2)
10、已知函数()sin()(0,)f x x x R ωφω=+>∈,对定义域内任意的x ，都满足条件(6)()f x f x +=,若
sin(3),sin(3)A x B x ωφωωφω=++=+-,则有 ( )
A. A>B
B. A=B
C.A<B
D. A ≥B 11、同时具有性质“(1)最小正周期是π.(2)图象关于直线x=对称.(3)在上是增函数”的一个函
数是( ) A.y=sin
B.y=cos
C.y=sin
D.y=cos
12、函数lg(2cos 3)y x =的单调递增区间为 ( ) A ．(2,22)()k k k Z ππππ++∈ B ．11
(2,2)()6
k k k Z ππππ++
∈ C ．(2,2)()6
k k k Z π
ππ-
∈
D ．(2,2)()6
k k k Z π
ππ+∈
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知扇形的圆心角为1200，半径为3，则扇形的面积是
14、已知直线y=b(0<b<1)与函数f(x)=sin ωx(ω>0)在y 轴右侧依次的三个交点的横坐标为 x 1=,x 2=
,x 3=
,则ω的值为
15、已知函数2sin sin 1()y x x x =-+∈R ，若当y 取最大值时，x α=；当y 取最小值时，x β=， 且,[,]22ππ
αβ∈-，则sin()βα-=
16、给出下列五个命题： ①函数2sin(2)3
y x π
=-
的一条对称轴是512
x π=
；
②函数tan y x =的图象关于点(
2
π
,0)对称； ③正弦函数在第一象限为增函数； ④若12sin(2)sin(2)44
x x π
π
-
=-，则12x x k π-=，其中k Z ∈ 以上四个命题中正确的有 （填写正确命题前面的序号）
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17、（本题满分10分）如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们的终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为(－35，4
5)．
（1）求 的值
（2）若OP ⊥OQ ，求3sin -4cos 的值
18、（本题满分12分）已知α为第三象限角，()3sin()cos()tan()
22tan()sin()
f ππ
ααπαααπαπ-+-=
----． （１）化简()f
α
（２）若31
cos()25
πα-=，求()f α的值
19、（本题满分12分）已知函数)
||,0,0)(sin()(π
ϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图象如下图2所示：
(1)求函数)(x f 的解析式；
(2)若)(x g 的图象是将)(x f 的图象向右平移1个 单位得到的，求)(x g 的单调递增区间．
20、（本题满分12分）某港口的水深y （米）是时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：
经过长期观测， ()y f t =可近似的看成是函数sin y A t b ω=+ （1）根据以上数据，求出()y f t =的解析式
（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？
21、（本题满分12分）已知函数f (x)=Asin(ωx+φ),x ∈R(其中A>0,ω>0,0<φ<)的图象与x 轴的交点中,
相邻两条对称轴之间的距离为,且图象上一个最低点为M .
(1)求ω,φ的值；
(2)求f (x )的图像的对称中心； (3)当x ∈时,求f(x)的值域.
x
图2
22、（本题满分12分）已知关于x 的方程0)13(22=++-m x x 的两根为θsin 和θcos ，θ∈（0，π）.
求：
（I ）m 的值； （II ）
θ
θ
θθθtan 1cos 1tan sin tan -+-的值；
（III ）方程的两根及此时θ的值.
参考答案
1.B
2.C
3.5.A6.C7.D8.B9.D10.B11.C12.C 13.3π
16.①② 17、cos = sin = (1)
(2)
,cos
原式=
18、（1）()3sin()cos()tan()22tan()sin()f ππ
ααπαααπαπ-+-=
----(cos )(sin )(tan )(tan )sin cos αααααα
--=
-=- （2）∵31cos()25πα-
= ∴ 1sin 5α-= 从而1sin 5
α=- 又α为第三象限角∴226cos 1sin αα=--=即()f α的值为26
19、解(1)由图象知20
2,,8422
A ωϕππωϕπωϕ-+=⎧⎪
=⇒==⎨+=⎪⎩ ()2sin()84f x x ππ∴+
(2) ()2(21)2(1)2sin()8
888
g x x x x π
π
ππ
+-++ ()g x ∴的单调递增区间为]165,163()k k k Z ⎡-+∈⎣．
20、（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，137102h +=
=，137
32
A -== 且相隔9小时达到一次最大值说明周期为9，因此29T πω==，29
πω=， 故2()3sin 109
f t t π
=+ (024)t ≤≤ （2）要想船舶安全，必须深度()11.5f t ≥，即23sin 1011.59
t π
+≥ ∴21sin 92t π≥ 2522696k t k πππππ+≤≤+ 解得：3159944
k t k +≤≤+ k Z ∈ 又 024t ≤≤ 当0k =时，33344t ≤≤；当1k =时，33
91244
t ≤≤；
当2k =时，33
182144
t ≤≤
故船舶安全进港的时间段为(0:453:45)-，(9:4512:45)-，(18:4521:45)- 21、(1)由最低点为M
得A=2.
由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为得=,即T=π,ω==
=2,
由点M
在图象上得2sin
=-2,
即sin =-1,故+φ=2k π-,k ∈Z,所以φ=2k π-,k ∈Z,
又φ∈
,所以φ=,故f(x)=2sin
.
(2)因为x ∈
,所以2x+∈
.
当2x+=,即x=时,f(x)取得最大值2; 当2x+=
,即x=时,f(x)取得最小值-1,
故f(x)的值域为[-1,2].
22、（I ）由韦达定理得：213cos sin +=
+θθ∴4432cos sin 21+=+θθ ∴2
3
cos sin 2=θθ 由韦达定理得2cos sin m =
⋅θθ=43
∴2
3=m （II ）∵2)231(
cos sin 21-=-θθ ∴2
1
3cos sin -±
=-θθ ∵θθθθθtan 1cos 1tan sin tan -+-=θ
θθ
θθθsin cos cos cos sin sin 22-+
- =θθθθθθcos sin cos sin cos sin 22+=-- ∴原式=2
13cos sin +=+θθ （III ）2
3
cos sin 2=
θθ>0 ∵θsin 与θcos 同号，又∵θθcos sin +>0∴θsin 与θcos 同正号 ∵θ∈（0，π） ∴θ∈（0，
2
π
） ∵2
13cos sin +=
+θθ ，且21
3cos sin -±=-θθ
∴θsin =
23
，θcos =21；或θsin =21，θcos =2
3
∴θ=
6π
或θ=3
π.。