江西省九江市流芳初级中学高三数学理联考试卷含解析

江西省九江市流芳初级中学高三数学理联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图，点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个结论：
①三棱锥的体积不变；
②平面；
③；
④平面平面．
其中正确的结论的个数是
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
参考答案：
C
【分析】
利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
【详解】
对于①，由题意知，从而平面，
故BC上任意一点到平面的距离均相等，所以以P为顶点，平面为底面，则三棱锥的体积不变，故正确；
对于②，连接，，且相等，由于①知：，
所以面，从而由线面平行的定义可得，故②正确；
对于③，由于平面，所以，
若，则平面DCP，
，则P为中点，与P为动点矛盾，故③错误；
对于④，连接，由且，
可得面，从而由面面垂直的判定知，故正确．
故选C．
【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．
2. 已知则的最小值是( )
A． B．C．2 D．1
参考答案：
A
3. 定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x)，当x [0,2]时，f(x)=x2- 2x，则当x [-4，-2]时, f(x)的最小值是
A． B． C． D．
参考答案：
答案：A
4. 若曲线有唯一的公共点，则实数m的取值集合中元素的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
5. 阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣1，2] D．[2，+∞）
参考答案：
B
【考点】选择结构．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．根据函数的解析式，结合输出的函数值
在区间内，即可得到答案．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．
又∵输出的函数值在区间内，
∴x∈[﹣2，﹣1]
故选B
6. 已知函数，且实数>>>0满足，若实数是函数=的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
D
7. 如图，四边形ABCD为矩形，AB=，BC=1，以A为圆心，1为半径画圆，交线段AB于E，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率为( )
A．B．C．D．
参考答案：
C
考点：几何概型．
专题：概率与统计．
分析：由题意知本题是一个几何概型，由题意，试验包含的所有事件是∠BAD，而满足条件的事件是直线AP在∠CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点，根据几何概型公式得到结果．
解答：解：由题意知本题是一个几何概型，
试验包含的所有事件是∠BAD，
如图，连接AC交弧DE于P，
则tan∠CAB=，
∴∠CAB=30°，
满足条件的事件是直线AP在∠CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点
∴概率P==，
故选：C．
点评：本题考查了几何摡型知识，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到．
8. 复数(是虚数单位)的值是（）
A．－B．C．D．
参考答案：
B
9. 已知，复数（为复数单位）在复平面内对应的点在虚轴上，则的值为（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
10. 已知函数y=f（x）的图象如图所示，则y=f（x）的解析式可能是（）
A．y=2x﹣x2﹣x B．y=C．y=（x2﹣2x）e x D．y=
参考答案：
C
【考点】函数的图象．
【分析】从函数的定义域排除B，D，从x=0时，y=1排除A，结合函数零点定理可得C符合．【解答】解：对于A：y=2x﹣x2﹣x，当x=0时，y=1，故不符合，
对于B：y=，函数的定义域为{x|x≠﹣}，故不符合，
对于C：y=（x2﹣2x）e x，函数零点为x=0和x=2，故符合
对于D，函数的定义域为（0，+∞），故不符合，
故选：C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11.
已知向量，且与的夹角为钝角，则
的取值范围是．参考答案：
答案：
12. 设，，，则、、从小到大的顺序是 .
参考答案：
因为，，，即，所以。

13. 在面积为S的矩形ABCD内随机取一点P，则△PBC的面积小于的概率是．参考答案：
略
14. 已知
的展开式中含
的项的系数为30，则
________.
参考答案：
.
，
，
15. 给出下列不等式：， ，
，… ，则按此规律可猜想第n
个不等式为
．
参考答案：
16. 函数
的定义域是 ．
参考答案：
[－3,1]
要使函数f （x ）有意义，则，
即
，
解得﹣3≤x≤1，
故函数的定义域为[﹣3，1]，
17. 给出下列命题中
① 非零向量满足，则的夹角为；
②
＞0，是
的夹角为锐角的充要条件；
③ 将函数y =的图象按向量=(－1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y
=
；
④ 在中，若，则为等腰三角形；
以上命题正确的是 （注：把你认为正确的命题的序号都填上） 参考答案：
①③④
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知，且．
（1）求
的最大值；
（2）证明：．
参考答案：
（1），（2）
（1）
．当且仅当
取“＝”．
所以，
的最大值为
．
（2）
．
当且仅当取“＝”． 10分
19. 已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为
（t 为参数），以坐标原点为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ=0． （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离d的取值范围．
参考答案：
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【专题】计算题；坐标系和参数方程．
【分析】（Ⅰ）应用代入法，将t=x+3代入y=t，即可得到直线l的普通方程；将x=ρcosθ，
y=ρsinθ，ρ2=x2+y2代入曲线C的极坐标方程，即得曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）由圆的参数方程设出点P（2+2cosθ，2sinθ），θ∈R，根据点到直线的距离公式得到d的式子，并应用三角函数的两角和的余弦公式，以及三角函数的值域化简，即可得到d的范围．
【解答】解：（ I）直线l的参数方程为（t为参数），
将t=x+3代入y=t，得直线l的普通方程为x﹣y=0；
曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ=0，
将x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2代入即得曲线C的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4；
（ II）设点P（2+2cosθ，2sinθ），θ∈R，则
d==，
∴d的取值范围是：[，]．
【点评】本题考查参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，同时考查圆上一点到直线的距离的最值，本题也可利用圆上一点到直线的距离的最大（最小）是圆心到直线的距离加半径（减半径）．
20. 设函数，，其中，将的最小值记为．（I）求的表达式；（II）讨论在区间内的单调性并求极值．
参考答案：
（I）
．
由于，，故当时，达到其最小值，即
．
（II）我们有．列表如下：
极大值极小值
由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为
，极大值为．
21. （12分）学校食堂定期向精英米业以每吨1500元的价格购买大米，每次购买大米需支付运输费用100元，已知食堂每天需食用大米1吨，储存大米的费用为每吨每天2元，假设食堂每次均在用完大米的当天购买．
（I）问食堂每隔多少天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少？
（II）若购买量大，精英米业推出价格优惠措施，一次购买量不少于20吨时可享受九五折优惠，问食堂能否接受此优惠措施？请说明理由．（考点：不等式应用）
参考答案：
22. （本小题满分14分）
已知首项为，公比不等于的等比数列的前项和为，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；
（2）令，数列的前项和为，求证：.
参考答案：
（1）；（2）证明见解析．
试题分析：（1）由，，成等差数列，得，转化可得，即可得数列的通项公式；（2）先用错位相减法求出，再算出，即可比较与的大小关系．试题解析：（1）解：由题意得， (1)
分
即，
即
. …………………………………………2分
∴
. …………………………………………3分
∴ 公比
. …………………………………………4分
∴
. …………………………………………5分
另解：由题意得，
，…………………………………………1分
∴. …………………………………………2分
化简得，解得， (4)
分
∴. …………………………………………5分
（2）解：
，…………………………………………6分∴ ，① ……………………………7分
，②…………………………………………8分
①②得， (10)
分
∴
. …………………………………………12分
∴
. …………………………………………14分
考点：1、等比数列的通项公式；2、等差数列的性质；3、数列求和.。