2019年福建省宁德市第三中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2019年福建省宁德市第三中学高三数学理上学期期末
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若集合，，则为（）
A． B. C. D.
参考答案：
D
2. 设直线y=t与曲线C: y=x(x-3)2的三个交点分别为A(a,t),B(b,t),C(c,t),且a＜b＜c，现给出如下结论:
①的取值范围是(0,4)；②为定值；③c-a有最小值无最大值；其中正确结论的个数为
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
参考答案：
C
3. 现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（）
A．0.852 B．0.8192 C．0.75 D．0.8
参考答案：
C
【考点】模拟方法估计概率．
【分析】由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示种射击4次至少击中3次的有多少组，可以通过列举得到共多少组随机数，根据概率公式，得到结果．
【解答】解：由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，
在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：
7527 0293 9857 0347 4373 8636 9647 4698
6233 2616 8045 3661 9597 7424 4281，共15组随机数，
∴所求概率为0.75．
故选：C．
4. 若复数（α∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数α的值为（）
A．﹣6 B．﹣4 C．4 D．6
参考答案：
A
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】把已知复数利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0且虚部不等于0求得a的值．
【解答】解：∵=为纯虚数，
∴，解得：a=﹣6．
故选：A．
5. 设函数若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝( )
A．－3 B．±3 C．－1 D．±1
参考答案：
D
略
6. 已知某四棱锥的三视图，如右图。

则此四棱锥的体积为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
参考答案：
B
略
7. 某程序框图如图所示，若使输出的结果不大于 37，则输入的整数i的最大值为（）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
参考答案：
B
略
8. 已知椭圆的焦点为F1，F2，P为C上一点，若PF1⊥PF2，
，则C的离心率为
A．B．C．D．
参考答案：
D
9. 已知平面向量，且，则
(A) (B) (C)(D)
参考答案：
答案：C
10. 若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是（）
A. B. C.或 D. 以上答案均不对参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数f（x）=是奇函数，那么实数a= ．
参考答案：
1
【考点】奇函数．
【分析】利用奇函数定义中的特殊值f（0）=0解决问题．
【解答】解：因为f（x）是奇函数，
所以f（0）==0，
解得a=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查奇函数定义中的特殊值．
12. 双曲线一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为_______________.
参考答案：
13. 直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点P的轨迹方程是__________。

参考答案：
答案：
14. 已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P是右支上的一
点，Q是PF2的延长线上一点，且，若，则的离心率的取值范围是．
参考答案：
15. 已知，则的值为
参考答案：
略
16. 在中，若，则
参考答案：
略
17. 给出下面的3个命题：（1）函数的最小正周期是；（2）函数
在区间上单调递增；（3）是函数
的
图象的一条对称轴.其中正确命题的序号
是．
参考答案：
①②
①②正确，③中是的对称中心．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若对一切恒成立，求正实数的取值范围.
参考答案：
（Ⅰ），…………………2分
当时，；
当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.………5分（Ⅱ）由已知条件可知，原不等式等价于，
当时，
，，
而，此时不等式显然成立；………………………7分
当时，. ………………8分设，………………9分
得或，…………………………10分
当时，，单调递减，…………11分
当时，，单调递增，……………12分
故当时，有最小值，………………………13分
即得. …………………15分
19. 已知函数,为常数），
且，．
（Ⅰ）求的单调递增区间；
（Ⅱ）当时，求函数的最大值与最小值．
参考答案：
（Ⅰ）由题得：，
由，，得故，……4分
，
当时,的单调递增,
可得，
的单调递增区间为；…………………………8分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
由得：.，
故在上的最大值为，最小值为．…………………………14分20. （2015秋?大理州校级月考）设a，b，c为正实数，求证：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
参考答案：
【考点】不等式的证明．
【专题】推理和证明．
【分析】（Ⅰ）利用综合法以及基本不等式直接证明；
（Ⅱ）通过a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，结合基本不等式证明
．
【解答】证明：（Ⅰ）∵a，b，c为正实数∴，当且仅当a=b=c时取等号．
∵，
∴，当且仅当a=b=c时取等号…（5分）
（Ⅱ）∵a，b，c为正实数
∴a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac，
同理，
∴，
当且仅当a=b=c时取等号．…（10分）
【点评】本题考查综合法以及基本不等式的应用，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力．
21. 定义在R上的函数，对任意的，有
，且。

（1）求证：；（2）求证：是偶函数。

参考答案：
（1）证明：取，，
∵∴
（2）证明：取，，
∵，∴，即
∴是偶函数。

22. 已知.若函数的最小值为2.
（1）求的值;
（2）证明:
参考答案：
（1）.∵
当且仅当时,等号成立, 3分
∴的最小值为,∴. 5分
（2）.由1可知, ,且都是正数,
所以
9分
当且仅当时,取等号,所以得证10分。