2018-2019学年广西南宁市第三中学高二上学期第一次月考数学试题(解析版)

2018-2019学年广西南宁市第三中学高二上学期第一次月考
数学试题
★祝你考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、本科目考试结束后，请将答题卡依序排列上交。

7、本科目考试结束后，请将试题卷自己保管好，以供相关教师讲评试卷时使用。

8、本科目考试结束后，任课教师要做好试卷讲评和质量分析。

一、单选题
1．已知数据x1，x2，x3，…，x100是某市100个普通职工2018年8月份的收入(均不超过0.8万元)，设这100个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上某人2018年8月份的收入x101(约100万元)，则相对于x，y，z，这101个数据() A．平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
B．平均数变大，中位数可能不变，方差也不变
C．平均数变大，中位数一定变大，方差可能不变
D．平均数变大，中位数可能不变，方差变大
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平均数、中位数以及方差的含义分析数据变化趋势.
【详解】
因为数据x1，x2，x3，…，x100是杭州市100个普通职工2016年10月份的收入，而x101大于x1，x2，x3，…，x100很多，所以这101个数据中，平均数变大，但中位数可能不变，也可能变大，由于数据的集中程度受到x101比较大的影响，变得更加离散，所以方
差变大．故选D. 【点睛】
本题考查平均数、中位数以及方差等知识点，考查分析处理数据能力. 2．下列有关命题的说法错误的是（ ） A ． 若“p q ∨”为假命题，则p 与q 均为假命题 B ． “1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件
C ． 若命题2
00R 0p x x ∃∈≥：，，则命题2R 0p x x ⌝∀∈<：，
D ． “1sin 2x =”的必要不充分条件是“6
x π
=” 【答案】D
【解析】由题可知： 6
x π
=
时， 1sin 2x =
成立，所以满足充分条件，但1
sin 2
x =时， 6
x π
不一定为
，所以必要条件不成立，故D 错
3．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】C
【解析】试题分析：从这4张卡片中随机抽取2张共有６种抽取方法，其中2张卡片上的数字之和为奇数有12,14,32,34共4种抽法，因此所求概率为．故选Ｃ．
【考点】古典概型． 4．与命题“若，则
”等价的命题是 ( ) A ． 若，则
B ． 若，则
C ． 若，则
D ． 若
，则
【答案】C 【解析】 【分析】
根据原命题与其逆否命题为等价命题，转化求逆否命题即可. 【详解】
其等价的命题为其逆否命题：若x 2-2x-3≠0，则x≠3. 【点睛】
本题考查原命题与其逆否命题等价性以及会写逆否命题，考查基本应用能力.
5．将八进制数135(8)化为二进制数为( )
A ． 1110101(2)
B ． 1011101(2)
C ． 1010101(2)
D ． 1111001(2) 【答案】B 【解析】 【分析】
先将八进制数135(8)化为十进制数93，再化为二进制数． 【详解】
,选B.
【点睛】
本题考查不同进制之间转化，考查基本求解能力.
6．分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为（ ）
A ． 42π-
B ． 2
2π- C ． 44π- D ． 24
π-
【答案】B
【解析】试题分析：设正方形的边长为2，那么图中阴影的面积应为
11
18244
2s ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，而正方形的面积是24s =，所以若向该正方形内随机投一
点，则该点落在阴影区域的概率为242
42
p ππ--==，故选B. 【考点】几何概型．
7．对于下列表格中的五对数据，已求得的线性回归方程为＝，则实数m 的
值为( )
A ． 8
B ． 8.2
C ． 8.4
D ． 8.5 【答案】A 【解析】 【分析】
先求平均数得样本点的中心坐标，再根据回归直线必经过样本点的中心求实数m 的值. 【详解】
依题意得
， ,
回归直线必经过样本点的中心，于是有＝0.8×200－155，由此解得m ＝8，选A.
【点睛】
函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求
，写出回归方程，回归直线方程恒过点
.
8．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是
9
5
，则a 的可能值为 （ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 【答案】A
【解析】由已知可得该程序的功能是 计算并输出()11111 (11212111)
S a a a a =+
++=+-=-⨯+++，若该程序运行后输出的值是
95，则 19
215
a -
=+．∴4a =，故选A ． 【考点】程序框图. 9．设p:
,q:
,若q 是p 的必要不充分条件,则实数的取
值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先解一元二次不等式得p，q,再根据逆否命题与原命题等价得p是q的必要不充分条件，最后根据集合之间包含关系求实数a的取值范围.
【详解】
由2x2-x-1≤0,得≤x≤1.由x2-(2a-1)x+a(a-1)≤0,得a-1≤x≤a.因为q是p的必要不充分条件,
所以q是p的充分不必要条件（或p是q的必要不充分条件）,所以a-1≥且a≤1(等号
不能同时取得),得≤a≤1.
【点睛】
对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法，即利用⇒与非⇒非，⇒与非
⇒非，⇔与非⇔非的等价关系解题.
10．已知双曲线
22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
-=>>的左右焦点分别为
12
,
F F，以
12
F F为直径
的圆与双曲线渐近线的一个交点为()
1,2，则此双曲线为（）
A．
2
21
4
x
y
-=B．
2
21
4
y
x-=C．
2
21
2
x
y
-=D．
2
21
2
y
x-=
【答案】B
【解析】∵双曲线
22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
-=>>的左右焦点分别为
12
,
F F，
以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（1，2），
∴由题意知
∴a2+b2=5，①
又点（1，2）在y=b
a
x上，∴2
b
a
=，②
由①②解得a=1，b=2，
∴双曲线的方程为
2
21
4
y
x-=．
故选：B．
11．设分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为( )
A．B．1 C．2 D．不确定
【答案】C
【解析】
【分析】
根据椭圆、双曲线的定义以及勾股定理可得离心率之间关系,即得结果.
【详解】
由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，
设P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2m ①
由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a ②
又∵∴，可得∠F1PF2=900，
故|PF1|2+|PF2|2=4c2③
①平方+②平方，得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④
将④代入③，化简得a2+m2=2c2，即，可得，
因此，.
故答案为：C
【点睛】
本题考查椭圆、双曲线的定义以及离心率，考查基本分析化简求解能力.
12．已知椭圆C:()的右焦点为F，短轴的一个端点为M,直线l:
交椭圆C于A、B两点,若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆C的离心率的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据椭圆定义求a，再根据点到直线距离公式结合条件列不等式，解得b≥1，最后根据离心率定义求取值范围.
【详解】
如图所示,设F'为椭圆的左焦点,连接AF',BF',则四边形AFBF'是平行四边形,
∴4=|AF|+|BF|=|AF'|+|AF|=2a,∴a=2.不妨取M(0,b),
∵点M到直线l的距离不小于,∴≥,解得b≥1,
∴e==≤=,
∴椭圆E的离心率的取值范围是.
【点睛】
解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
二、填空题
13．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为_________.
【答案】400
【解析】
【分析】
根据概率等于频数与总数的比值求单位总人数，再根据比例关系确定青年职员的人数.【详解】
设青年、中年、老年职员的人数分别为10k，8k，7k，其中k>0.由＝0.2，得k＝40，所以该单位青年职员共有40×10＝400(人)．
【点睛】
在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i∶N i＝n∶N.
14．有下列命题:
①“”是“”的充要条件;
②“”是“一元二次不等式的解集为R”的充要条件;
③“”是“直线平行于直线”的充分不必要条件;
④“”是“”的必要不充分条件.
其中真命题的序号为____________.
【答案】④
【解析】
【分析】
举反例说明①为假命题;分别求一元二次不等式的解集为R，直线
平行于直线以及的充要条件，再根据集合包含关系确定真假.
【详解】
①当x>2且y>3时,x+y>5成立,反之不一定,所以“x>2且y>3”是“x+y>5”的充分不必要条件,故①为假命题;
②不等式的解集为R的充要条件是a<0且b2-4ac<0,故②为假命题;
③当a=2时,两直线平行,反之,若两直线平行,则=,所以a=2,因此,“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的充要条件,故③为假命题;
④lg x+lg y=lg(xy)=0,所以xy=1且x>0,y>0,所以xy=1必成立,
反之不然,因此“xy=1”是“lg x+lg y=0”的必要不充分条件,故④为真命题.
综上可知,真命题是④.
【点睛】
充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．
2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
15．已知命题p：“至少存在一个实数，使不等式成立”为真，则参数的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
先研究¬p为真时参数的取值范围，再根据补集得¬p为假时参数的取值范围，即为结果.
【详解】
由已知得¬p：∀x∈[1，2]，x2＋2ax＋2－a≤0成立．
所以设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，
则所以
解得a≤－3，
因为¬p为假，所以a＞－3，
即a的取值范围是(－3，＋∞)．
【点睛】
求为真时参数取值范围，往往先求p为真时参数取值范围，再求补集得结果
16．已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则．
【答案】20
【解析】试题分析：如图，设的中点为，由题意可知，，分别为，
的中位线，
∴．
【考点】椭圆的性质．
三、解答题
17．在中，内角所对的边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求的值.
【答案】（1）;（2）
【解析】
【分析】
(1)先根据正弦定理将边化为角，化简得，即得结果，(2)根据三角形内角关系以及两角和正弦公式化简得结果.
【详解】
（1）在中，由，可得，
又由，得，
∴，得
（2）由，可得，则
【点睛】
解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
18．已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()
*
n S n N ∈， {}n b 是首项为2的等比数列，
且公比大于0， 2312b b +=,3412b a a =-， 11411S b =. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()
*
n N ∈.
【答案】（I ）32n a n =-， 2n n b =.（II ）
1328
433
n n +-⨯+. 【解析】试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前n 项和公式列方程求出等差数列首项1a 和公差d 及等比数列的公比q ，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确.
试题解析：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .
由已知2312b b +=，得()
2112b q q +=，而12b =，所以2
60q q +-=.
又因为0q >，解得2q =.所以， 2n n b =. 由3412b a a =-，可得138d a -= ①. 由114=11S b ，可得1516a d += ②，
联立①②，解得11a =， 3d =，由此可得32n a n =-.
所以，数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}n b 的通项公式为2n n b =. （II ）解：设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ，
由262n a n =-， 12124n n b --=⨯，有()221314n
n n a b n -=-⨯，
故()23
245484314n n T n =⨯+⨯+⨯+
+-⨯，
()()23414245484344314n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+
+-⨯+-⨯，
上述两式相减，得()2
3
1324343434314n n n T n +-=⨯+⨯+⨯+
+⨯--⨯
(
)()()1
112144314
14
3248.n
n n n n ++⨯-=
---⨯-=--⨯-
得1328
433
n n n T +-=
⨯+. 所以，数列221{}n n a b -的前n 项和为
1328
433
n n +-⨯+. 【考点】等差数列、等比数列、数列求和
【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前n 项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前n 项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法和分组求和法等，本题考查错位相减法求和.
19．交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T ．其
范围为[0，10]，分别有五个级别：T ∈[0，2）畅通;T ∈[2，4)基本畅通; T ∈[4，6）轻度拥堵; T ∈[6，8)中度拥堵；T ∈[8，10]严重拥堵，晚高峰时段(T≥2)，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的部分直方图如图所示．
(1)请补全直方图，并求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段各有多少个？
(2)用分层抽样的方法从交通指数在[4，6），[6，8），[8，l0]的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；
(3)从(2)中抽出的6个路段中任取2个，求至少一个路段为轻度拥堵的概率．
【答案】(1)轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段各有６个，９个，３个；(2)依次抽取的三个级别路段的个数为２，３，１；(3)
5
3
．
【解析】试题分析：(1)由频率分布直方图可知底⨯高=频率，频率⨯20=个数，由频率分布直方图很容易知道轻度拥堵 ，中度拥堵，严重拥堵的频率分别是0.3,0.45,0.15；(2)此问考察分层抽样，交通指数在[)10,4的路段共18个， 抽取6个，则抽取的比值为
31186=，个段抽取的个数=3
1
⨯路段个数；(3)考察古典概型，记选出的２个轻度拥堵路段为21,A A ，选出的３个中度拥堵路段为321,,B B B ，选出的１个严重拥堵路段为
1C ，任选两个，列举所有的基本事件的个数N ，同时还要列举出其中至少一个轻度拥
堵的基本事件n ,然后利用N
n
p =
算出概率．本题主要考察基础知识，属于基础题型. 试题解析：(1)补全直方图如图，
由直方图：
()6
2012.01.0=⨯⨯+个，
()9
2012.025.0=⨯⨯+个，
()320105.01.0=⨯⨯+个
∴这２０个路段中，轻度拥堵，中度拥堵，严重拥堵的路段分别是６个，９个，３个． (2)由(1)知拥堵路段共有６＋９＋３＝１８个，按分层抽样，从１８个路段选出６个，每种情况为：26186=⨯，39186=⨯，1318
6
=⨯，即这三段中分别抽取的个数为２，３，１．
(3)记选出的２个轻度拥堵路段为21,A A ，选出的３个中度拥堵路段为321,,B B B ，选出的１个严重拥堵路段为1C ，则从６个路段选取２个路段的可能情况如下：
()()()()()()()()()()()()()()()
131232113121123222121131211121,,,,,,
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,C B C B B B C B B B B B C A B A B A B A C A B A B A B A A A
共１５种情况．其中至少有一个轻度拥堵的有：
()()()()()()()()()123222121131211121,,,,,,,,,,,,,,,,,C A B A B A B A C A B A B A B A A A 共９种
可能．
∴所选２个路段中至少一个轻度拥堵的概率是
5
3159=． 【考点】１．频率分布直方图的应用；２．分层抽样；３．古典概型．
20．如图，四边形是矩形，沿对角线
将
折起，使得点 在平面
上的射
影恰好落在边
上．
（1）求证：平面
平面
；
（2）（理科做）当 时，求二面角 的余弦值．
（2）（文科做）当AB=2,AD=1时，求点B 到平面ADC 的距离.
【答案】（1）见解析；（2）（理科做）．（2）（文科做）
【解析】 【分析】
(1) 根据射影得线面垂直，再根据线面垂直判定定理与性质定理得，最后根据线
面垂直判定定理得以及面面垂直判定定理得结论，（2）（理科做）建立空间直角坐标系，设立点坐标，列方程组解得各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系求结果，（2）（文科做）作，利用线面垂直判定定理与
性质定理得平面ADC ，即为点B 到平面ADC 的距离.最后利用相似三角形求结果.
【详解】 （1）设点在平面
上的射影为点，连接
，
则
平面
，所以
．
因为四边形是矩形，所以
，
所以平面，
所以．
又，,所以平面，
而平面，所以平面平面．
（理科）（2）以点为原点，线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
设，则，所以．
由（1）知，又，所以，，
那么，，
，
所以，所以，
设平面的一个法向量为，则，即．
取，则所以
因为平面的一个法向量为，
所以
所求二面角的余弦值为．
（文科）（2）作交于F，由（1）知平面BCD,
平面ADC
又由（1）知平面ABD,
点B到平面ADC的距离为
【点睛】
垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
21．已知双曲线：的离心率为，且
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线交于不同的两点且线段的中点在圆
上，求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）由题意得解得，计算，则双曲线的方程可求；
（2）设两点坐标分别为，联立直线方程与双曲线方程得到
，由线段
代入圆的方程可得的
值
试题解析：（1）由题意得
解得
所以双曲线方程为
（2）设
两点坐标分别为
，由线段
得（判别式）
上，
，故
22．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()222210x y a b a b
+=>>的离心率为1
2，过椭圆右
焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ，当直线AB 的斜率为0时，7AB CD +=. （1）求椭圆的方程；
（2）求AB CD +的取值范围．
【答案】（1）22:143x y C +=；（2）48,77⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
． 【解析】试题分析：（1）由题意知，12e =
，72CD a =-，在由点74(,
)2
c
c -在椭圆上，能求出椭圆的方程；（2）当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，依题知7AB CD +=；②当两条弦斜率均存在且不为0时，设()()1122,,,A x y B x y ，且
设直线AB 的方程为()1y k x =-，则直线CD 的方程为()1
1y x k
=-
-，由此求出AB CD +，从而能求出AB CD +的取值范围．
试题解析：（1）22
:
143
x y C +=； （2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，依题知7AB CD +=；②当两条弦斜率均存在且不为0时，设()()1122,,,A x y B x y ，且设直线AB 的方程为
()1y k x =-，则直线CD 的方程为()1
1y x k
=--，则
()
22
13412y k x x y ⎧=-⎨+=⎩
，∴()2
2
223484120k x
k x k +-+-=，
∴21222122083441234k x x k k x x k ⎧
⎪∆>⎪
⎪
+=⎨+⎪
⎪-=
⎪+⎩
，∴()2212134k AB k +=+，同理()22
12134k CD k +=+， ∴()
()()
2
2
2
2
8413434k AB CD k k
++=
++，
设2
1t k =+，则1t >，∴()()28484
1149
413124
t AB CD t t t +==
-+⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， 48,77AB CD ⎡⎫
+∈⎪⎢⎣⎭
，综上，AB CD +的取值范围为48,77⎡⎤⎢⎥⎣⎦．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，同时考查了分类讨论思想，此类问题的解答时，把直线的方程代入圆锥曲线方程，利用根与系数的关系是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．。