【精选】人教版数学八年级上册 整式的乘法与因式分解易错题(Word版 含答案)

一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）
1．观察下列各式:
()()2111,x x x -+=-
()()23 111,x x x x -++=-
()()324 111,x x x x x -+++=-
()()4325 1 11,x x x x x x -++++=-
······
()1根据规律()()122 1 ...1n n x x x x x ---+++++=
(其中n 为正整数) ;
()()3029282(51)5555251-+++++
()3计算：201920182017321(2)(2)(2)(2)(2)(2)1-+-+-+
+-+--++ 【答案】（1）1n x -；（2）311-5；（3）2020213
-- 【解析】
【分析】
（1）归纳总结得到一般性规律，即可得到结果；
（2）根据一般性结果，将n=31，x=5代入（1）中即可；
（3）将代数式适当变形为（1）的形式，根据前面总结的规律即可计算出结果.
【详解】
（1）根据上述规律可得()()122 1 ...1n n x x x x x ---+++++=1n x -，故填：1n x -；
（2）由（1）可知()3029282(51)555551-+++++=311-5
()3 201920182017321(2)(2)(2)(2)(2)(2)1-+-+-+
⋅+-+-+-+ =201920182011732[(2)1](2)(2)(2)(2)(2)(2)13⎡⎤---+-+-+⋯+-+--+⎣⎦
-+ =2020(2)13
--- =2020213
-- 【点睛】
本题考查整式的乘法，能根据题例归纳总结出一般性规律是解题关键，（3）中能对整式适当变形是解题关键，但需注意变形时要为等量变形.
2．观察下列等式：
22()()a b a b a b -=-+
3322()()a b a b a ab b -=-++
443223()()a b a b a a b ab b -=-+++
55432234()()a b a b a a b a b ab b -=-++++
完成下列问题：
（1）n n a b -=___________
（2）636261322222221+++⋯⋯++++= （结果用幂表示）.
（3）已知4,1a b ab -==，求33a b -.
【答案】（1）（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1）；（2）264-1；（3）76.
【解析】
【分析】
（1）根据规律可得结果（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1）；
（2）利用（1）得出的规律先计算（2-1）63626132(2222221+++⋯⋯++++)即可得
出结果；
（3）利用（1）得出的规律变形，再用完全平方公式进行变形，变成只含a-b 及ab 的形式，整体代入计算即可得到结果．
【详解】
解：（1）()()22a b a b a b -=-+，
()()3322a b a b a ab b -=-++，
()()44
3223a b a b a a b ab b -=-+++， ()()
55432234a b a b a a b a b ab b -=-++++， 由此规律可得：
a n -
b n =（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1），
故答案是：（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1）；
（2）由（1）的规律可得
（2-1）()
636261322222221+++⋯⋯++++=264-1， ∴636261322222221+++⋯⋯++++=264-1.
故答案是：264-1.
（3）已知4,1a b ab -==，求33a b -.
()()
3322a b a b a ab b -=-++=()() [a b a b --2+3 a b ]
∴33a b -=24431⨯+⨯（）
=76. 故答案是：76.
【点睛】
此题考查了多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．
3．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例如：若代数式M ＝a 2﹣2ab +2b 2﹣2b +2，利用配方法求M 的最小值：a 2﹣2ab +2b 2﹣2b +2＝a 2﹣2ab +b 2+b 2﹣2b +1+1＝（a ﹣b ）2+（b ﹣1）2+1．
∵（a ﹣b ）2≥0，（b ﹣1）2≥0，
∴当a ＝b ＝1时，代数式M 有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a 2+4a + ；
（2）若代数式M ＝214
a +2a +1，求M 的最小值； （3）已知a 2+2
b 2+4
c 2﹣2ab ﹣2b ﹣4c +2＝0，求代数式a +b +c 的值． 【答案】（1）4；（2）M 的最小值为﹣3；（3）a +b +c=12
2. 【解析】
【分析】
（1）根据常数项等于一次项系数的一半进行配方即可；
（2）先提取14
，将二次项系数化为1，再配成完全平方，即可得答案； （3）将等式左边进行配方，利用偶次方的非负性可得a ，b ，c 的值，从而问题得解．
【详解】
（1）∵a 2+4a+4＝（a+2）2
故答案为：4；
（2）M ＝
21a 4+2a+1 ＝
14（a 2+8a+16）﹣3 ＝14
（a+4）2﹣3 ∴M 的最小值为﹣3
（3）∵a 2+2b 2+4c 2﹣2ab ﹣2b ﹣4c+2＝0，
∴（a ﹣b ）2+（b ﹣1）2+（2c ﹣1）2＝0，
∴a ﹣b ＝0，b ﹣1＝0，2c ﹣1＝0
∴a ＝b ＝1，1c=
2 ， ∴a+b+c=12
2
.． 【点睛】
本题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
4．（1）填空：()()a b a b -+= ；
22()()a b a ab b -++= ；
3223()()a b a a b ab b -+++= ．
（2）猜想：1221()(...)n n n n a b a a b ab b -----++++= （其中n 为正整数，且
2n ≥）．
（3）利用（2）猜想的结论计算：98732222...222-+-+-+．
【答案】（1）22a b -，33a b -，44a b -；（2）n n a b -；（3）342．
【解析】
试题分析：（1）根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可；
（2）根据（1）的规律可得结果；
（3）原式变形后，利用（2）得出的规律计算即可得到结果．
试题解析：（1）()()a b a b -+=22a b -；
3223()()a b a a b ab b -+++=33a b -；
3223()()a b a a b ab b -+++=44a b -；
故答案为22a b -，33a b -，44a b -；
（2）由（1）的规律可得：原式=n n a b -，故答案为n n a b -；
（3）令98732222...222S =-+-+-+，
∴987321222...2221S -=-+-+-+-
=98732[2(1)](222...2221)3---+-+-+-÷=10(21)3(10241)3341-÷=-÷=，∴S=342．
考点：1．平方差公式；2．规律型．
5．阅读下列解题过程，再解答后面的题目.
例题：已知22
4250x y y x ++-+=，求x y +的值. 解：由已知得22(21)(44)0x x y y -++++=
即22(1)(2)0x y -++=
∵2(1)0x -≥，2(2)0y +≥
∴有1020x y -=⎧⎨+=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩
∴1x y +=-. 题目：已知22464100x y x y +-++=，求xy 的值.
【答案】-
32
【解析】
【分析】 先将左边的式子写成两个完全平方的和的形式，根据非负数的性质求出x 、y 的值，再代入求出xy 的值．
【详解】
解：将22464100x y x y +-++=，
化简得22694410x x y y -++++=，
即()()223210x y -++=．
∵()230x -≥，()2210y +≥，且它们的和为0，
∴3x = ，12y
， ∴12233xy ⎛⎫=⨯-
=- ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查的是完全平方公式的应用，解题的关键是将左边的式子写成两个完全平方的和的形式．
6．请你观察下列式子：
2(1)(1)1x x x -+=-
()()23111x x x x -++=-
()()324111x x x x x -+++=-
()()4325111x x x x x x -++++=-
……
根据上面的规律，解答下列问题：
（1）当3x =时，
计算201720162015(31)(333-+++…323331)++++=_________；
（2）设201720162015222a =+++…322221++++，则a 的个位数字为 ；
（3）求式子201720162015555+++…32555+++的和．
【答案】（1）20183
1-；（2）3；（3）2018554
- 【解析】
【分析】
（1）根据已知的等式发现规律即可求解；
（2）先根据x=2,求出a=20182-1，再发现2的幂个位数字的规律，即可求出a 的个位数字；
（3）利用已知的等式运算规律构造（5-1）×（2016201520142555...551++++++）即可求解.
【详解】
（1）∵2(1)(1)1x x x -+=-
()()23111x x x x -++=-
()()324111x x x x x -+++=-
()()4325111x x x x x x -++++=-
……
∴()()1122.1..11n n n n x x x x x x x --+-+++++=-+
故x=3时，201720162015(31)(3
33-+++…323331)++++=201831-
故填：201831-； （2）201720162015222a =+++…322221++++
=（2-1）201720162015(222+++…322221)++++=201821-
∵21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64
∴2n 的个位数按2,4,8,6,依次循环排列，
∵2018÷4=504…2，
∴20182的个位数为4，
∴201821-的个位数为3，
故填：3；
（3）201720162015555+++…32555+++ =
1(51)54-⨯⨯（201620152014555+++…2551+++） =
54×（5-1）（201620152014555+++…2551+++） =54
×（201751-） =2018554
- 【点睛】
此题主要考查等式的规律探索及应用，解题的关键是根据已知等式找到规律.
7．阅读下列因式分解的过程，解答下列问题：
1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＝(1＋x )[1＋x ＋x (x ＋1)]＝(1＋x )2(1＋x )＝(1＋x )3.
(1)上述分解因式的方法是____________，共应用了________次；
(2)若分解因式1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＋…＋x (x ＋1)2019，则需要应用上述方法________次，结果是________；
(3)分解因式：1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＋…＋x (x ＋1)n (n 为正整数).
【答案】(1)提取公因式法，2；(2)2019，(1＋x)2020；(3) (1＋x)n ＋1.
【解析】
【分析】
（1）根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可；
（2）根据已知分解因式的方法可以得出答案；
（3）由（1）中计算发现规律进而得出答案．
【详解】
(1)提取公因式法，2（因式分解的方法是提公因式法，共应用了2次）
(2)2019，(1＋x)2020（分解因式1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2019，则需应用上述方法2019次，结果是(1＋x)2020）
(3)原式＝(1＋x)[1＋x ＋x(x ＋1)＋x(x ＋1)2＋…＋x(x ＋1)n －1]
＝(1＋x)2[1＋x ＋x(x ＋1)＋x(x ＋1)2＋…＋x(x ＋1)n －2]
＝(1＋x)3[1＋x ＋x(x ＋1)＋x(x ＋1)2＋…＋x(x ＋1)n －3]
＝(1＋x)n (1＋x)
＝(1＋x)n ＋1.
【点睛】
本题考查的知识点是因式分解-提公因式法，解题的关键是熟练的掌握因式分解-提公因式法.
8．对于任意两个数a 、b 的大小比较，有下面的方法：当0a b ->时，一定有a b >；当0a b -=时，一定有a b =；当0a b -<时，一定有a b <．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．请根据以上材料完成下面的题目：
（1）已知：228A x y y =+，8B xy =，且A B >，试判断y 的符号；
（2）已知：a 、b 、c 为三角形的三边，比较222a c b +-和2ac 的大小．
【答案】（1）y ＞0；（2）222a c b +-＜2ac
【解析】
【分析】
（1）根据题意得到22880x y y xy +->，因式分解得到22(2)0y x ->，进而得到y 的符
号即可；
（2）将222a c b +-和2ac 作差，结合已知及三角形的两边之和大于第三边可求．
【详解】
解：（1）因为A ＞B ，
所以A-B ＞0，
即2
2880x y y xy +->，
∴222(44)2(2)0y x x y x +-=->，
因为2(2)0x -≥，
∴y ＞0
（2）因为a 2−b 2＋c 2−2ac ＝a 2＋c 2−2ac−b 2＝（a−c ）2−b 2＝（a−c−b ）（a−c ＋b ）， ∵a ＋b ＞c ，a ＜b ＋c ，
所以（a−c−b ）（a−c ＋b ）＜0，
所以a 2−b 2＋c 2−2ac 的符号为负．
∴222a c b +-＜2ac
【点睛】
本题考查了作差法比较两个式子的大小以及因式分解，解题的关键是理解题中的“求差法”比较两个数的大小，并熟练掌握因式分解的方法．
9．阅读材料：要把多项式am+an+bm+bn 因式分解，可以先把它进行分组再因式分解：am+an+bm+bn=（am +an ）+（bm +bn ）=a （m +n ）+b （m +n ）=（a +b ）（m +n ），这种因式分解的方法叫做分组分解法．
（1）请用上述方法因式分解：x 2-y 2+x-y
（2）已知四个实数a 、b 、c 、d 同时满足a 2+ac=12k ，b 2+bc=12k ．c 2+ac=24k ，d 2+ad=24k ，且a≠b ，c≠d ，k≠0
①求a+b+c 的值；
②请用含a 的代数式分别表示b 、c 、d
【答案】（1）（x −y ）（x +y +1）；（2）①0a b c ++=；②3b a =-，2c a =，3d a =-
【解析】
【分析】
（1）将x 2 - y 2分为一组，x-y 分为一组，前一组利用平方差公式化为(x+y)(x-y)，再提取公因式即可求解．
（2）①已知22a ac b bc +=+=12k ，可得220a b ac bc -+-=，将等号左边参照（1）因式分解，即可求解．
②由a 2+ac=12k ，c 2+ac=24k 可得2(a 2+ac)= c 2+ac ，即可得出c=2a ，同理得出3b a =-，3d a =-
【详解】
（1）x 2-y 2+x-y = (x 2 -y 2)+(x-y)=(x+y)(x-y)+(x-y)=(x-y)(x+y+1)
故答案为：(x-y)(x+y+1)
（2）①22a ac b bc +=+=12k
220a b ac bc -+-=
()()0a b a b c -++=
∵a b
∴0a b c ++=
②∵a 2+ac=12k ，c 2+ac=24k
2(a 2+ac)= c 2+ac
∴2a 2+ac- c 2=0
得(2a-c)(a+c)=0
∵a 2+ac=12k ≠0即a(a+c)≠0
∴c=2a ，a 2=4k
∵b 2+bc=12k
∴b 2+2ba=3a 2
则（a −b ）（3a +b ）=0
∵a ≠b
∴3b a =-
同理可得d 2+ad=24k ，c 2+ac=24k
d 2+ad=c 2+ac
（d −c ）（a +d +c ）=0
∵c d ≠
∴0a d c ++=
∴3d a =-
故答案为：0a b c ++=；3b a =-，2c a =，3d a =-
【点睛】
本题考查了用提取公因式法、运用公式法、分组分解法进行因式分解．
10．在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的6位数密码就很有必要了．有一种用“因式分解法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x 3+2x 2﹣x ﹣2因式分解的结果为（x ﹣1）（x +1）（x +2），当x ＝18时，x ﹣1＝17，x +1＝19，x +2＝20，此时可以得到数字密码171920．
（1）根据上述方法，当x ＝21，y ＝7时，对于多项式x 3﹣xy 2分解因式后可以形成哪些数字密码？（写出两个）
（2）若多项式x 3+（m ﹣3n ）x 2﹣nx ﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x ＝27时可以得到其中一个密码为242834，求m 、n 的值．
【答案】（1）可以形成的数字密码是：212814、211428；（2）m 的值是56，n 的值是17．
【解析】
【分析】
（1）先将多项式进行因式分解，然后再根据数字密码方法形成数字密码即可；（2）设x 3+（m ﹣3n ）x 2﹣nx ﹣21＝（x +p ）（x +q ）（x +r ），当x ＝27时可以得到其中一个密码为242834，得到方程解出p 、q 、r ，然后回代入原多项式即可求得m 、n
【详解】
（1）x 3﹣xy 2＝x （x 2﹣y 2）＝x （x +y ）（x ﹣y ），
当x ＝21，y ＝7时，x +y ＝28，x ﹣y ＝14，
∴可以形成的数字密码是：212814、211428；
（2）设x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝（x+p）（x+q）（x+r），∵当x＝27时可以得到其中一个密码为242834，
∴27+p＝24，27+q＝28，27+r＝34，
解得，p＝﹣3，q＝1，r＝7，
∴x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝（x﹣3）（x+1）（x+7），
∴x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝x3+5x2﹣17x﹣21，
∴
35
17
m n
n
-=
⎧
⎨
-=-
⎩
得，
56
17
m
n
=
⎧
⎨
=
⎩
即m的值是56，n的值是17．
【点睛】
本题属于阅读理解题型，考查知识点以因式分解为主，本题第一问关键在于理解题目中给到的数字密码的运算规则，第二问的关键在于能够将原多项式设成（x+p）（x+q）
（x+r），解出p、q、r。