「精品」普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题四 理

（衡水金卷）2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题四 理
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知i 虚数单位，复数
533
i
i ++对应的点在复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2.已知集合{|}A x x a =≤，2
122
1{|log (4)log }5
B x x x =-≥，若A
B =∅，则实数a 的取值范围为
（ ）
A ．(1,5)-
B ．[0,4]
C ．(,1]-∞-
D ．(,1)-∞-
3.设a ，b ，c ，d ，x 为实数，且0b a >>，c d >，下列不等式正确的是（ ） A ．d a c d -<- B ．
b b x a a x
+≥
+ C ．c d
b a > D ． ||||a a x b b x +≤+ 4.设随机变量2(,)N ξμσ，则使得(3)(3)1P m P ξξ≤+>=成立的一个必要不充分条件为（ ）
A ．1m =或2m =
B ．1m = C.1m =- D ．2
3
m =-
或2m = 5.执行如图所示的程序框图，若输出的结果3S =，则判断框内实数M 应填入的整数值为（ ）
A ．998
B ．999 C.1000 D ．1001
6.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22
97a a =，则下列选项中结果为0的是（ ）
A ．9a
B ．7a C.15S D ．16S
7.设1A ，2A 分别为双曲线22
22:1x y C a b
-=（0a >，0b >）的左、右顶点，过左顶点1A 的直线l 交双曲
线右支于点P ，连接2A P ，设直线l 与直线2A P 的斜率分别为1k ，2k ，若1k ，2k 互为倒数，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．
1
2
B
．8.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．816π-
B ．8π C.16 D ．8π+9.已知曲线3
3y x x =-和直线y x =所围成图形的面积是m ，则5
()y x m ++的展开式中3
x 项的系数为
（ ）
A ．480
B ．160 C.1280 D ．640
10.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，(0,4)A ，(2,0)AB =，(2,0)AB =，(1,1)BC BA -=-，设
(,)P x y ，AP mAB nAC =+，若0m ≥，0n ≥，且1m n +≤，则2x y +的最大值为（ ）
A ．7
B ．10 C.8 D ．12
11.如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C 的方程为2
2
44x y +=，其左、右焦点分别
是1F ，2F ，直线l 与椭圆C 切于点P ，且1||1PF =，过点P 且与直线l 垂直的直线'l 与椭圆长轴交于点M ，
则12||:||F M F M =（ ）
A ．1:1:3 D ．1:12.将给定的一个数列{}n a ：1a ，2a ，3a ，…按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列.如在上述数列中，我们将1a 作为第一组，将2a ，3a 作为第二组，将4a ，5a ，6a 作为第三组，…，依次类推，第n 组有n 个元素（*
n N ∈），即可得到以组为单位的序列：1()a ，23(,)a a ，456(,,)a a a ，…，我们通常称此数列为分群数列.其中第1个括号称为第1群，第2个括号称为第2群，第3个数列称为第3群，…，第n 个括号称为第n 群，从而数列{}n a 称为这个分群数列的原数列.如果某一个元素在分群数列
的第m 个群众，且从第m 个括号的左端起是第k 个，则称这个元素为第m 群众的第k 个元素.已知数列1,1,3,1,3,9,1,3,9,27，…，将数列分群，其中，第1群为（1），第2群为（1,3），第3群为（1,3，2
3），…，以此类推.设该数列前n 项和12n N a a a =++
+，若使得14900N >成立的最小n a 位于第m 个群，则
m =（ ）
A ．11
B ．10 C.9 D ．8
第Ⅱ卷
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若函数3()log (19)x
f x kx =++为偶函数，则k = ．
14.已知993sin()cos cos()sin 1471475x x ππππ-
+-=，3(,)2
x π
π∈，则tan 2x = ． 15.中华民族具有五千多年连绵不断的文明历史，创造了博大精深的中华文化，为人类文明进步作出了不可磨灭的贡献.为弘扬传统文化，某校组织了国学知识大赛，该校最终有四名选手A 、B 、C 、D 参加了总决赛，总决赛设置了一、二、三等奖各一个，无并列.比赛结束后，C 对B 说：“你没有获得一等奖”，B 对C 说：“你获得了二等奖”；A 对大家说：“我未获得三等奖”，D 对A 、B 、C 说：“你妈三人中有一人未获奖”，四位选手中仅有一人撒谎，则选手获奖情形共计 种．（用数字作答） 16.已知G 为ABC ∆的重心，点P 、Q 分别在边AB ，AC 上，且存在实数t ，使得PG t PQ =.若
AP AB λ=AQ AC μ=，则
1
1
λ
μ
+
= ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2a B c b =-. （1）求角A 的大小；
（2）若ABC ∆的面积2S =
，D 为BC 边的中点，2
AD =，求b c +. 18. 市场份额又称市场占有率，它在很大程度上反映了企业的竞争地位和盈利能力，是企业非常重视的一个指标.近年来，服务机器人与工业机器人以迅猛的增速占据了中国机器人领域庞大的市场份额，随着“一带一路”的积极推动，包括机器人产业在内的众多行业得到了更广阔的的发展空间，某市场研究人员为了了解某机器人制造企业的经营状况，对该机器人制造企业2017年1月至6月的市场份额进行了调查，得到如下资料:
(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程，并预测该企业2017年7月份的市场份额；
(2)如图是该机器人制造企业记录的2017年6月1日至6月30日之间的产品销售频数(单位:天)统计图.设销售产品数量为s ，经统计，当0200s ≤≤时，企业每天亏损约为200万元，当200400s <≤时，企业平均每天收人约为400万元;当400s >时，企业平均每天收人约为700万元。

①设该企业在六月份每天收人为X ,求X 的数学期望;
②如果将频率视为概率，求该企业在未来连续三天总收入不低于1200万元的概率。

附:回归直线的方程是y bx a =+,
1
2
1
(
)()
()
n
i
i
i n
i
i x x y y b x x ==--=
-∑
∑,a y bx =-,6
1
()()35
i
i
i x x y y =--=∑.
19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为矩形，1AB =
，1AA =D 为棱
1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，CO ⊥侧面11ABB A ，E 为1B C 的中点.
（1）证明：DE 平面ABC ；
（2）若OC OA =，求直线1C D 与平面ABC 所成角的正弦值.
20. 已知焦点为F 的的抛物线C ：2
2y px =（0p >）与圆心在坐标原点O ，半径为r 的O 交于A ，B
两点，且(2,)A m ，5
||2
AF =
，其中p ，r ，m 均为正实数.
（1）求抛物线C 及O 的方程；
（2）设点P 为劣弧AB 上任意一点，过P 作
O 的切线交抛物线C 于Q ，R 两点，过Q ，的直线1l ，2
l 均于抛物线C 相切，且两直线交于点M ，求点M 的轨迹方程. 21. 已知函数()ln f x x k =+，()x
g x e =，其中k 为常数， 2.71828
e =是自然对数的底数.
（1）设()()()F x f x g x =，若函数()F x 在区间1[,]e e
上有极值点，求实数k 的取值范围；
（2）证明：当1k =时，()[1(2)]
1()1
g x g xf x x +--<+恒成立.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C
的参数方程为2sin x y θ
θ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数），直线l
的参数方程为
2,
x t y kt
=+⎧⎪⎨
=⎪⎩（t 为参数，k 为实数），直线l 与曲线C 交于A B 两点. （1
）若k =
||AB 的长度；
（2）当AOB ∆面积取得最大值时（O 为原点），求k 的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2||4|f x x x =-+. （1）求不等式()61f x x ≥+的解集；
（2）若246,0,()21,0,a a g a a
a a a ⎧
++<⎪
=⎨⎪-++≥⎩
证明：不等式()()f x g a ≥恒成立.
试卷答案
一、选择题
1-5:DDDAA 6-10:CBADB 11、12：CB 二、填空题
13.-1 14.24
7
- 15.12 16.3 三、解答题
17.解：（1）因为2cos 2a B c b =-，由正弦定理，得2sin cos 2sin sin A B C B =-. 又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=-， 所以2sin cos 2sin 2cos sin sin A B AcisB A B B =+-， 即2cos sin sin A B B =. 因为sin B o ≠，故1cos 2
A =. 所以3
A π
=
.
（2）由ABC ∆的面积1sin 2S bc A =
==，得6bc =. 又D 为BC 边的中点，故1
()2
AD AB AC =+， 因此222
119||()44
AD c b bc =++=，
故22
19c b bc ++=， 即2
()19c b bc +-=， 故2()1925c b bc +=+=. 所以5b c +=.
18.解：（1）由题意，123456
3.56
x +++++=
=，
111316152021166
y +++++==，
故
6
2
1
()
17.5i
i x x =-=∑，2b =，
由a y bx =-得162 3.59a =-⨯=， 则29y x =+.
当7x =时，27923y =⨯+=，
所以预测该企业2017年7月的市场份额为23%.
（2）①设该企业每天亏损约为200万元为事件A ，平均每天收入约达到400万元为事件B ，平均每天收入约达到700万元为事件C ，
则()0.1P A =，()0.2P B =，()0.7P C =. 故X 的分布列为
所以()2000.14000.27000.7550E X =-⨯+⨯+⨯=（万元）. ②由①知，未来连续三天该企业收入不低于1200万元包含五种情况.
则32222223
3330.20.70.10.70.20.20.70.70.876P C C C =+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+=.
所以该企业在未来三天总收入不低于1200万元的概率为0.876. 19.解：（1）取BC 中点为F ，连接EF ，DE ，FA ， 由112EF BB =，11
2
AD BB =，1EF BB ，1AD BB ， 得EF
DA ，且EF DA =，
所以四边形ADEF 为平行四边形. 所以DE
AF ，
又因为AF ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ，所以DE 平面ABC . （2）由已知1()(2)0BD AB BA DA AD AB OA OD =++=⇒⊥. 又CO ⊥平面11ABB A ，
所以OD ，OA ，OC 两两垂直.
以O 为坐标原点，OD ，1OB ，OC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则经计算得(0,A
，(B
，C
，D ， 因为12CC AD =，
所以1C ，
所以(33AB =-
，(0,33
AC =，
6(
633
DC =. 设平面ABC 一个法向量为(,,)n x y z =
，
由60,30,AB n x y AC
n y z ⎧=
-
=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩
令1x =，得n =.
设直线1C D 与平面ABC 所成的角为α， 则11||355
sin 55||||
DC n DC n α=
=.
20.解：（1）由题意，5
||222
p AF =+
=，故1p =。

所以抛物线C 的方程为2
2y x =.
将(2,)A m 代入抛物线方程，解得2m =，
因此(2,2)A ，
故2
2
2
2
||228r OA ==+=，
O 的方程为228x y +=.
（2）设(,)M x y ，2
11(,)2
y Q y ，222(,)2y R y ，00(,)P x y ，
设1l ：2
11()2
y y y k x -=-，
则由2112(),22,y y y k x y x ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩
得22
11220ky y y ky -+-=，
令22
11(2)4(2)0k y ky ∆=---=，解得1
1k y =
， 故1l ：111
2y y x y =
+， 同理2l ： 221
2
y y x y =
+. 则由11221
,21
,2
y y x y y y x y ⎧
=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩
解得1212,2,2
y y x y y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩
因直线:QR 008x x y y +=
，0x ∈.
则由0028,2,
x x y y y x +=⎧⎨=⎩
得2
002160x y y y +-=，
则01
20
1202,16.y y y x y y x ⎧
+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 因此00
0,8,y y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
21.（1）由题意，()()()(ln )x
F x f x g x x k e ==+，则1'()(ln )x
F x x k e x
=++，
由题意，若()F x 在1[,]e e
上有极值点， 则'()F x 在1[,]e e
上有变号零点.
令'()0F x =，即
1
ln 02
x k ++=， 设1()ln 2h x x k =++，1
[,]x e e ∈，
故22111
'()x h x x x x -=-+=，
则1
[,1)x e ∈，'()0h x <，(1,]x e ∈，'()0h x >，
又1()1h e k e =-+，1
()1h e k e =++，
11
()()20h h e e e e -=-->， 即1
()()h h e e
>.
故若函数()F x 在1
[,]e e
上有极值点，
只需1
()10,(1)10,
h e k e h k ⎧=-+>⎪⎨⎪=+<⎩
则11e k -<<-，
所以k 的取值范围为(1,1)e --.
（2）由题意，知要证2
1ln (1)1
x
e x x x e x ---<-+成立.
设()1ln m x x x x =--，(0,)x ∈+∞， 则'()(ln 2)m x x =-+，
当2(0,)x e -∈时，'()0m x >，
当2(,)x e -∈+∞时，'()0m x <，
所以当2x e -=时，()m x 取得最大值22()1m e e --=+.
所以2()1m x e -≤+.
设()(1)x n x e x =+，(0,)x ∈+∞，
则'()1x n x e =-，
因为0x >，则'()10x n x e =->，
故()n x 在区间(0,)+∞内单调递增，
故()(0)0n x n >=，即1x e x >+. 所以11x
e x >+， 故22(1)11x
e e e x --+>++.
综上，当1k =时，21ln (1)1x
e x x x e x ---<++.
命题得证.
22.解：（1
）由,
2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩
（θ为参数）， 可得曲线C 的普通方程为2
2
184x y +=.
由直线l
的参数方程为2,
,x t y =+⎧⎪⎨=
⎪⎩（t 为参数）， 可知直线l
的普通方程为y =-
由221,84y x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得25840x x --=，1285x x +=，124
5x x =-.
故1212|||3()AB x x x x =-=+=，
所以||AB
.
（2）由直线l
的参数方程为2,
,x t y
kt =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，k 为实数）， 可知直线l
过定点，
经验证该点在椭圆上，
不妨设为点A ，则直线OA
的方程为2y x =.
设,2sin )B θθ，点B 到直线OA 的距离为d ，
则sin()|4d π
θ==-.
若要AOB ∆面积取得最大值， 则|sin()|14π
θ-=， 得42k ππ
θπ-=+，k Z ∈，34k π
θπ=+，k Z ∈.
此时(B -
或(2,B .
将(B -代入直线l
的参数方程为22,,
t kt -=+⎧⎪=，解得0k =.
将(B -代入直线l
的参数方程为22,
,t kt =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得k 不存在. 所以0k =.
23.解：（1）25,0,
()|2||4|23,02,52,2,
x x f x x x x x x x -≤⎧⎪=-+=+<<⎨⎪-≥⎩
()61f x x ≥+，
即2561,0x x x -≥+⎧⎨≤⎩或2361,02,x x x +≥+⎧⎨<<⎩或
5261,2,
x x
x -≥+⎧⎨≥⎩ 解得1
{|}3x x ≤.
（2）25,0,
()|2||4|23,02,52,2,
x x f x x x x x x x -≤⎧⎪=-+=+<<⎨⎪-≥⎩
当0x ≤时，()f x 单调递减，
当0x >时，()f x 单调递增，
故0x =时， ()f x 取最小值(0)2f =.
当0a <时，44
()()4a a a a -+=-+-≥恒成立， 即4
62a a ++≤，故()()f x g a ≥，
当0a ≥时，2()21g a a a =-++在1a =时取最大值(1)2g =， 所以不等式()()f x g a ≥恒成立.
综上，不等式()()f x g a ≥恒成立.。