2019版数学人教A版必修4课件：1.2.1 第2课时 三角函数线

D典例透析
IANLI TOUXI
过点P作x轴的垂线PM,垂足为M,过点A作单位圆的切线交OP的延长
线(或反向延长线)于点T,这样就有sin α=MP ,cos α=OM ,tan α=AT.单位
圆中的有向线段MP,OM,AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线,统
称为三角函数线.
第四页，编辑于星期日：点 四十四分。
第2课时
三角函数线
第一页，编辑于星期日：点 四十四分。
-1-
第2课时
三角函数线
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
1.了解三角函数线的定义和意义.
2.会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型三
(3)
(4)
-11-
第十一页，编辑于星期日：点 四十四分。
第2课时
题型一
三角函数线
题型二
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
【做一做2】 不论角α的终边位置如何,在单位圆中作三角函数线时,下
列说法正确的是(
)
A.总能分别作出正弦线、余弦线、正切线
B.总能分别作出正弦线、余弦线、正切线,但可能不只一条
C.正弦线、余弦线、正切线都可能不存在
D.正弦线、余弦线总存在,但正切线不一定存在
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型三
题型三
易错点
Z 知识梳理
UBIAODAOHANG
易错辨析
错解函数的定义域
【例 3】 求函数 y= 1 + 2cos + lg(2sin + 3)的定义域.
错解:要使函数有意义,则应满足 1+2cos x≥0,且 2sin x+ 3 > 0,
-4-
第2课时
三角函数线
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
名师点拨1.三角函数线的位置:在三条有向线段中,正弦线和余弦线
在单位圆内,正切线在单位圆外.
2.三角函数线的方向:正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点;余
D典例透析
IANLI TOUXI
题型三
题型一
三角函数线及其作法
【例1】 分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线.
π
2π
3π
11π
4
3
4
6
(1) ;(2) ;(3)- ;(4)
.
分析:在单位圆中先找出以上各角的终边,再根据三角函数线的定义作
正弦线、余弦线、正切线.
第九页，编辑于星期日：点 四十四分。
题型三
π
4π
3
3
【变式训练 1】 (1)作出- 的正弦线;(2)作出 的正切线.
π
解:(1)- 3 的正弦线 MP 如图所示.
-13-
第十三页，编辑于星期日：点 四十四分。
第2课时
题型一
三角函数线
题型二
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
-19-
第十九页，编辑于星期日：点 四十四分。
D典例透析
IANLI TOUXI
题型三
4π
(2) 3 的正切线 AT 如图所示.
-14-
第十四页，编辑于星期日：点 四十四分。
第2课时
题型一
三角函数线
M 目标导航
Z 知识梳理
UBIAODAOHANG
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型三
-9-
第2课时
题型一
三角函数线
题型二
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型三
解:如图所示.
(1)
(2)
-10-
第十页，编辑于星期日：点 四十四分。
第2课时
题型一
三角函数线
题型二
M 目标导航
题型二
题型二
解简单的三角不等式
1
2
【例 2】 解不等式 sin α≥− .
1
2
解:如图,作直线 y=− 交单位圆于A,B 两点,则∠xOA=
π
6
7π
,∠
6
xOB=− .
1
2
又 sin α≥− , 所以α 的终边不能与直
线 AB 下方的圆弧有交点,则有
π
6
2kπ− ≤α≤2kπ+
7π
(∈Z).
6
即原不等式的解集是
π
7π
2π- ≤ ≤ 2π +
,∈Z .
6
6
-15-
第十五页，编辑于星期日：点 四十四分。
第2课时
题型一
三角函数线
题型二
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型三
反思解简单的三角不等式时,常借助于三角函数线,转化为求终边在某区
函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值.
第五页，编辑于星期日：点 四十四分。
-5-
第2课时
三角函数线
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
【做一做1】 如图,P是角α的终边与单位圆的交点,PM⊥x轴于M,AT
限角)或α的终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)于点T,即可得到正
切线AT.
-12-
第十二页，编辑于星期日：点 四十四分。
第2课时
题型一
三角函数线
题型二
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
1
3
.
2
2
4π
8π
π
所以 2kπ+ ≤x≤2kπ+ , 且2kπ− <
3
3
3
4π
2π + , 其中k∈Z.其交集为空集,
3
即 cos x≥− , 且sin x>−
<
故无定义域.
错因分析:由于两个不等式中的 k 各自独立,因此上述两个集合
是有公共部分的,如图.
-18-
第十八页，编辑于星期日：点 四十四分。
数值的绝对值的大小.三角函数线的主要作用是解三角方程和不等式、证
明三角不等式、求函数的定义域及其比较大小,同时它也是以后画三角函
数图象的基础.
第八页，编辑于星期日：点 四十四分。
-8-
第2课时
题型一
三角函数线
题型二
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
域内的角的范围.
-16-
第十六页，编辑于星期日：点 四十四分。
第2课时
题型一
三角函数线
题型二
M 目标导航
Z 知识梳理
UBIAODAOHANG
Z 重难聚焦
HISHI SHULI
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型三
1
【变式训练2】 已知cos α≥ ,试求出角
α的集合.
2
3.掌握三角函数线的简单应用.
第二页，编辑于星期日：点 四十四分。
-2-
第2课时
三角函数线
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
三角函数线
(1)有向线段:带有方向的线段叫做有向线段.
规定:方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值,反之为负值.
和A'T'均是单位圆的切线,则角α的(
)
A.正弦线是PM,正切线是A'T'
B.正弦线是MP,正切线是A'T'
C.正弦线是MP,正切线是AT
D.正弦线是PM,正切线是AT
答案:C
第六页，编辑于星期日：点 四十四分。
-6-
第2课时
三角函数线
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
弦线由原点指向垂足;正切线由切点指向切线与α的终边(或反向延长
线)的交点.
3.三角函数线的正负:三条有向线段凡与x轴的正方向或y轴的正方
向同向的为正值,与x轴的正方向或y轴的正方向反向的为负值.
4.三角函数线的书写:有向线段的起点字母在前,终点字母在后.
5.三角函数线的意义:三角函数线的方向表示三角函数值的符号;三角
第2课时
题型一
三角函数线
题型二
M 目标导航
UBIAODБайду номын сангаасOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型三
正解:要使函数有意义,则应同时满足 1+2cos x≥0,且 2sin
x+ 3 > 0,
1
3
.
2
2
1
2π
2π
cos x≥− , 知2kπ− ≤x≤2kπ+ , ∈Z.
答案:D
第七页，编辑于星期日：点 四十四分。
-7-
第2课时
三角函数线
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
三角函数线的应用
剖析:三角函数线是三角函数值的直观表达形式,从三角函数线的方
向可以看出三角函数值的符号,从三角函数线的长度可以看出三角函
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型三
图(1)(2)(3)(4)中的MP,OM,AT分别表示各个角的正弦线、余弦线、正切
线.
反思1.作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后
过此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得正弦线和余弦线.
2.作正切线时,应从点A(1,0)引x轴的垂线,交α的终边(α为第一或第四象
1
解:如图,在平面直角坐标系内作直线 x=2交单位圆于 A,B 两点,当
1
π
2
3
α 的终边落在阴影部分时,cos α≥ ,所以角 α 的集合为 2π- ≤
π
≤ 2π + 3 ,∈Z .
-17-
第十七页，编辑于星期日：点 四十四分。
第2课时
题型一
三角函数线
题型二
M 目标导航
HISHI SHULI
2
3
3
3
π
4π
sin x>− , 知2nπ− < < 2π + , ∈Z,
2
3
3
π
2π
x 的取值范围是 2π- < ≤2kπ+ , ∈
3
3
即 cos x≥− , 且sin x>−
由
由
故
.
反思解三角不等式组时,先解每个三角不等式,再取它们的交集.取交
集时,要注意各自解集中k的独立性.
(2)定义:如图,设单位圆与x轴的正半轴交于点A,与角α的终边交于点
P(角α的顶点与原点重合,角α的始边与x轴的非负半轴重合).
第三页，编辑于星期日：点 四十四分。
-3-
第2课时
三角函数线
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO