人工智能原理-消解法
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不相同
13
公式与子句集的等价
• 实现消解法的基础是把参与推理的每个公式 都转化为子句集 / 通过逐步对消子句集合 中互补的文字(即L和﹁L)而最终得到一个空 子句□，证明原来的公式是不可满足的
• 反证法定理：给定公式A及相应的子句集S， 则A是不可满足的当且仅当S是不可满足的
• 使用子句集进行消解法推理，其过程是完备 的—即如果公式X是子句集S的逻辑推论， 则X可以从S中推出
• 对于有限完备语义树来说，如果N是一个 叶节点，则I(N)便是S的一个解释 / 这样， S的不可满足性就与完备语义树路径的真 值计算联系起来
26
语义树定义(5)
[定义]基例：如果S的某个子句C中所有变量符 号均以S的H域的元素(常量)代入时，所得 的子句C’称为C的一个基例
[定义]否节点：如果语义树节点N的从根节点 到N的路径I(N)使S的某个子句的某个基例 为假，而其父辈节点不能判断此事实(即I(N) 是使基例为假的最小路径)，则称N为否节 点(或失败节点)
• 有定理—公式A(无 前束范式)是不可满 足的，当且仅当A在所有Herbrand赋值下 都取假值
6
基本思想(2)
• 这样，在证假(不可满足)的意义上使公式 与子句集的语义解释等价、并与H解释等 价，作为消解法的开端
• 但如何找到H解释？引入语义树，让所有 解释都展现在语义树上
• 最后在改进寻找解释算法的复杂性中发 现了消解式，从而构成了消解法的完整 理论基础
P
Q Q
Q,R
Q R
R R Q Q
R
P
P
Q Q Q Q
25
语义树定义(4)
• 因为一般H基是个无穷集合，所以其对应 的语义树也是无限的
• 因为在完备语义树的每一条路径上都有S 的全部原子(或负原子)，所以对这些原子 公式的真值判定就能决定S的一个解释
……
H∞={a, f(a), f(f(a))…}
★
例2：S={P(x), Q(f(a))∨﹁R(g(b))}
H0={a, b} / H1={a, b, f(a), f(b), g(a), g(b)}
H2={a, b, f(a), f(b), g(a), g(b), f(f(a)), f(g(a)),…} ……
● N2/4
P(f(a))
● N3/5 ★N3/6● N3/7 ★ N3/8
Q(f(a))
★
★★
★
N4/1
N4/2
N4/9
N4/10 N4/13
N4/14
29
封闭语义树例子(3)
• 封闭语义树中每个否节点用★表示 • 在上图中，每个否节点的路径为：
– I(N2/2)={P(a),﹁Q(a)}，使(﹁P(a)∨Q(a))=F； – I(N3/2)={P(a),Q(a),﹁P(f(a))}，使P(f(a))=F； – I(N4/9)={﹁P(a),Q(a),P(f(a)),Q(f(a))}，使
这样，一旦给出~H1或~H2，则H解释就完全 确定了，通常是给出~H1
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H解释例子
• 例子：
– 在例2中设含有常量a的谓词都为T，含有 常量b的谓词都为F，则S的H解释={P(a), Q(a), R(a), P(f(a)), Q(f(a)), R(f(a)), P(f(f(a))…}★
• 显然，如果子句集S的H基(原子集)有n个元素 (谓词)，则谓词取不同真值的组合有2n种，也 即2n不同种解释
[定义]封闭语义树：如果一棵完全语义树的每
个分枝上都有一个否节点，则称为封闭语义
树
27
封闭语义树例子(1)
• 例：设子句集S={﹁P(x)∨Q(x),P(f(x)), ﹁Q(f(x))} 则H∞={a, f(a), f(f(a)), …}={P(a), Q(a), P(f(a)), Q(f(a)), …}
(2)若存在量词在k个全称量词之后，则公式中 被存在量词量化的变量用被前k个全称量词量 化的变量x1～xk的某个函数f(x1～xk)的形式代 替，f的名字不同于公式中任何其他函数的名 字，但对函数形式没有要求；然后消去存在 量词 / 函数f称为Skolem函数
11
公式转化为子句集的步骤(1)
• 公式A化为子句集S，其实现步骤共9步， 如下： (1)消去等价和蕴含符号：蕴含转化为析取 (2)将否定符号转移到每个谓词之前：应用 狄摩根定律 (3)变量标准化：约束变量各不相同 (4)消去存在量词：存在量词不受全称量词 约束，则变量用常量替换/如果存在量词 受全称量词约束，则使用Skolem函数替 换相应变量——得到Skolem标准形
– 通常形式：证明﹁(A→B)为假即A∧﹁B为假， 也即对应子句集归结为空子句
• 首先介绍基本 公式到子句集的转换
• 首先复习几个定义：
– 文字(literal)：正原子公式和负原子公式称 为文字，同一原子公式的正和负称为互补的。
– 子句(clause)：文字的析取称为子句。 – 合取范式：形如A1∧A2∧…∧An的公式，其
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2.2 Herbrand论域和解释
• Herbrand论域定义
– Herbrand论域(H论域)：设S为子句集，H0是S
中子句所含的全体常量集，若S中子句不含常量，则 任选一常量a令H0={a}。 对i≥1令Hi=Hi-1∪{f(t1,…tn)| n≥1
f 是S中的任一函数符号，t1,…tn是Hi-1中的元素
• 因为是二值逻辑，研究每个基原子(即S的原 子公式)的取值可以通过原子及其否定(即文 字)来观察 / 构造如下二叉形式的语义树
21
语义树示例
• 通常用I(Ni)表示从根节点到节点Ni分枝上所标
记的所有文字的并集。如：
I(N22)={P, Q}，I(N35)={ P, Q, R}
N0
P
P
N11
12
公式转化为子句集的步骤(2)
(5)公式化为前束型：全部全称量词移到公 式的最前面/得到的两部分称为前缀和母 式
(6)母式化为合取范式：外层连接符全部是 合取，里层连接符全部为析取
(7)去掉所有全称量词 (8)母式化为子句集：每个合取项间的合取
符号(∧)用逗号代替，即得子句集 (9)子句变量标准化：每个子句中的变量各
– Herbrand解释：子句集S的H解释由下列基 本部分组成：
(1)基本区域H∞(H论域对应U) (2)S的每个常量c对应H域中的同一c (3)S的每个变量在H域中取值 (4)S中每个函数fn对应于一个映射 H∞×H∞×…×H∞(n个)→H∞，使得对于
(t1,t2,…tn) H∞则f(t1,t2,…tn) H∞
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2.3 语义树
• 语义树的表示：要寻找S的H解释的不可满 足性质，可以把所有H解释展现在一棵语义 树上，然后观察S对应的各个原子公式的真 假值。这是一种很直观的研究方式，称为语 义树方法
• 设S={P, Q, R}，则H∞={a}，~H={P(a), Q(a), R(a)} (只有一个常量a，在语义树中可 省略)
• [定义]完备语义树：如果一棵语义树从 根节点到任一叶节点的路径上所有边标 记的并集中包含子句集中每个原子或其 负原子，则该语义树称为完备的(完全的)
24
语义树定义(3)
• 对于给定的S，其语义树一般都不唯一。 下图中语义树和前图中的语义树对应于 同一个H基。这两个图的语义树都是完 备的
P,R
• 从有效性和可满足性的关系可知，有效 性等价于其否命题的不可满足性
4
消解法基本思想:反证法
• 这样就引出了消解法，其基本思想就是 反证法
• 即：要证命题(理解为经典逻辑的公式)A 恒为真，等价于证﹁A恒为假
• 从语义上解释，恒为假就是不存在一个 论域上的一个赋值(可称为解释)，使﹁A 为真，即对所有的论域上的所有赋值， ﹁A均为假
18
Herbrand解释(2)
(5)S中的每个谓词Pn对应于一个映射 H∞×H∞×…×H∞(n个)→{T, F}
• 该定义表明，一旦给定一个子句集，其H 解释基本就确定了 / 唯一留下的自由度是 由谓词P代表的映射即~H到{T, F}的映射。
– ~H可以分解如下：~H=~H1∪~H2 h ~H1，v(h)=T； h ~H2，v(h)=F
• 但是，论域本身和解释有无穷多个，不 可能一一验证
5
基本思想(1)
• Herbrand提出：从所有解释当中选出一 种有代表性的解释，并严格证明一旦命 题在代表性解释中为假，则在所有解释 中为假
• Herbrand定义了这样的论域和代表性解 释，称为Herbrand论域(H论域)和 Herbrand解释(H解释)
– 包括3个子句: ﹁P(x)∨Q(x), P(f(x), ﹁ Q(f(x))
• 其封闭语义树如下图所示
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封闭语义树例子(2)
P(a)
● N0
﹁P(a)
Q(a)
● N1/1 ﹁Q(a)
● N1/2
Q(a)
﹁Q(a)
●N2/1
P(f(a))
●N3/1 ★N3/2
Q(f(a))
★
★
★N2/2
● N2/3
H∞={a, b}∪{f(c), g(d)|c, d H∞}
★
f(f(b)),
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Herbrand原子集
• Herbrand原子集定义
– Herbrand基(原子集)：设S为子句集，H∞是 其H论域，则
H {P(t1tn) | n 1, ti H}
称为S的H基，~H中元素称为基原子 / 此为S 中所有原子公式取H论域上所有可能值的集 合
• 消解也叫归结，本章混用这两个称呼
7
2 Herbrand定理
2.1 公式到子句集的转换 2.2 Herbrand论域和解释
2.3 语义树 2.4 Herbrand定理 2.5 不可满足基子句集
证明的步骤
• 证明一个公式A在给定论域下恒为真，也 就是要证明﹁A恒为假
– 将﹁A转化为一个子句集，集合中元素为原 子公式或其析取 / 通过其中正负原子公式的 合并(此时恒为真，对证假不起作用，因此 消去) / 最后集合为空，说明是不可满足的， 即恒为假
• 对于例1，其~H={P(a), P(f(a)), P(f(f(a))), …}
对 于 例 2 ， 其 ~H={P(a), Q(a), R(a), P(b),
Q(b), R(b), P(f(a)), Q(f(a)), R(f(a)), P(f(b))…}
★
17
Herbrand解释(1)
• Herbrand解释是一种语义结构
Q
Q
N12
Q
Q
N21
N22
R R
N23
N24
N31
N32 N33 N34 N35 N36 N37
N38
22
语义树定义(1)
• 子句集S语义树的定义
– [定义]设子句集S，对应H基为~H，S的语义树ST 定义如下：
(1)ST是一棵树； (2)ST的节点均不带标记，而边的标记是基原子且
中A1～An均为子句。 – 前束范式：形如(Q1x1…Qn xn)M(x1…xn)的公
式，M中不再含有量词。 – Skolem标准形：在前束范式中消去存在量
词后得到的公式
10
消去存在量词
• 消去存在量词的步骤：
(1)若存在量词不在任何全称量词之后，则公式 中被存在量词量化的变量以某个不同于公式 中任何其他常量名字的常量c代替，并消去存 在量词；
H Hi
i0
则Hi 称为S的i阶常量集，H∞称为S的Herbrand论域， 其元素称为基项。
15
H论域例子
例1：S={P(a), ﹁P(a)∨P(f(x))}
根据定义有
H0={a} / H1={a}∪{f(a)}={a, f(a)} H2={a, f(a)}∪{f(a), f(f(a))}={a, f(a), f(f(a))}
不包含其中的变量(边的标记可能不止一个，用逗 号分割)； (3)从每个非叶节点只生成有限个边L1 Ln，令Qi是 每个Li的标记的合取，则Q1 Q2 … Qn为永真； (4)从根节点到任一叶子节点的路径上，所有边的标 记的并集中不含重复的基原子，也不含互补的基 原子
23
语义树定义(2)
• [定义]规范语义树：如果一棵语义树的 每条边的标记均为一个原子公式
人工智能原理
消解法
本章内容
1 消解法的基本思想 2 Herbrand定理 3 消解法 4 消解策略
参考书目
1 消解法的基本思想
消解法的基本思想
• 从第3章逻辑系统中可知，逻辑推理必须 考虑其有效性(即∑|=A)，即对论域中的 任何赋值都能保证公式为真
• 由可靠性定理知：逻辑系统中任何正确 的推理，都要具有“如果∑|—A则∑|=A” 的性质，即证明推理的有效性
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公式与子句集的等价
• 实现消解法的基础是把参与推理的每个公式 都转化为子句集 / 通过逐步对消子句集合 中互补的文字(即L和﹁L)而最终得到一个空 子句□，证明原来的公式是不可满足的
• 反证法定理：给定公式A及相应的子句集S， 则A是不可满足的当且仅当S是不可满足的
• 使用子句集进行消解法推理，其过程是完备 的—即如果公式X是子句集S的逻辑推论， 则X可以从S中推出
• 对于有限完备语义树来说，如果N是一个 叶节点，则I(N)便是S的一个解释 / 这样， S的不可满足性就与完备语义树路径的真 值计算联系起来
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语义树定义(5)
[定义]基例：如果S的某个子句C中所有变量符 号均以S的H域的元素(常量)代入时，所得 的子句C’称为C的一个基例
[定义]否节点：如果语义树节点N的从根节点 到N的路径I(N)使S的某个子句的某个基例 为假，而其父辈节点不能判断此事实(即I(N) 是使基例为假的最小路径)，则称N为否节 点(或失败节点)
• 有定理—公式A(无 前束范式)是不可满 足的，当且仅当A在所有Herbrand赋值下 都取假值
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基本思想(2)
• 这样，在证假(不可满足)的意义上使公式 与子句集的语义解释等价、并与H解释等 价，作为消解法的开端
• 但如何找到H解释？引入语义树，让所有 解释都展现在语义树上
• 最后在改进寻找解释算法的复杂性中发 现了消解式，从而构成了消解法的完整 理论基础
P
Q Q
Q,R
Q R
R R Q Q
R
P
P
Q Q Q Q
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语义树定义(4)
• 因为一般H基是个无穷集合，所以其对应 的语义树也是无限的
• 因为在完备语义树的每一条路径上都有S 的全部原子(或负原子)，所以对这些原子 公式的真值判定就能决定S的一个解释
……
H∞={a, f(a), f(f(a))…}
★
例2：S={P(x), Q(f(a))∨﹁R(g(b))}
H0={a, b} / H1={a, b, f(a), f(b), g(a), g(b)}
H2={a, b, f(a), f(b), g(a), g(b), f(f(a)), f(g(a)),…} ……
● N2/4
P(f(a))
● N3/5 ★N3/6● N3/7 ★ N3/8
Q(f(a))
★
★★
★
N4/1
N4/2
N4/9
N4/10 N4/13
N4/14
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封闭语义树例子(3)
• 封闭语义树中每个否节点用★表示 • 在上图中，每个否节点的路径为：
– I(N2/2)={P(a),﹁Q(a)}，使(﹁P(a)∨Q(a))=F； – I(N3/2)={P(a),Q(a),﹁P(f(a))}，使P(f(a))=F； – I(N4/9)={﹁P(a),Q(a),P(f(a)),Q(f(a))}，使
这样，一旦给出~H1或~H2，则H解释就完全 确定了，通常是给出~H1
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H解释例子
• 例子：
– 在例2中设含有常量a的谓词都为T，含有 常量b的谓词都为F，则S的H解释={P(a), Q(a), R(a), P(f(a)), Q(f(a)), R(f(a)), P(f(f(a))…}★
• 显然，如果子句集S的H基(原子集)有n个元素 (谓词)，则谓词取不同真值的组合有2n种，也 即2n不同种解释
[定义]封闭语义树：如果一棵完全语义树的每
个分枝上都有一个否节点，则称为封闭语义
树
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封闭语义树例子(1)
• 例：设子句集S={﹁P(x)∨Q(x),P(f(x)), ﹁Q(f(x))} 则H∞={a, f(a), f(f(a)), …}={P(a), Q(a), P(f(a)), Q(f(a)), …}
(2)若存在量词在k个全称量词之后，则公式中 被存在量词量化的变量用被前k个全称量词量 化的变量x1～xk的某个函数f(x1～xk)的形式代 替，f的名字不同于公式中任何其他函数的名 字，但对函数形式没有要求；然后消去存在 量词 / 函数f称为Skolem函数
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公式转化为子句集的步骤(1)
• 公式A化为子句集S，其实现步骤共9步， 如下： (1)消去等价和蕴含符号：蕴含转化为析取 (2)将否定符号转移到每个谓词之前：应用 狄摩根定律 (3)变量标准化：约束变量各不相同 (4)消去存在量词：存在量词不受全称量词 约束，则变量用常量替换/如果存在量词 受全称量词约束，则使用Skolem函数替 换相应变量——得到Skolem标准形
– 通常形式：证明﹁(A→B)为假即A∧﹁B为假， 也即对应子句集归结为空子句
• 首先介绍基本 公式到子句集的转换
• 首先复习几个定义：
– 文字(literal)：正原子公式和负原子公式称 为文字，同一原子公式的正和负称为互补的。
– 子句(clause)：文字的析取称为子句。 – 合取范式：形如A1∧A2∧…∧An的公式，其
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2.2 Herbrand论域和解释
• Herbrand论域定义
– Herbrand论域(H论域)：设S为子句集，H0是S
中子句所含的全体常量集，若S中子句不含常量，则 任选一常量a令H0={a}。 对i≥1令Hi=Hi-1∪{f(t1,…tn)| n≥1
f 是S中的任一函数符号，t1,…tn是Hi-1中的元素
• 因为是二值逻辑，研究每个基原子(即S的原 子公式)的取值可以通过原子及其否定(即文 字)来观察 / 构造如下二叉形式的语义树
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语义树示例
• 通常用I(Ni)表示从根节点到节点Ni分枝上所标
记的所有文字的并集。如：
I(N22)={P, Q}，I(N35)={ P, Q, R}
N0
P
P
N11
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公式转化为子句集的步骤(2)
(5)公式化为前束型：全部全称量词移到公 式的最前面/得到的两部分称为前缀和母 式
(6)母式化为合取范式：外层连接符全部是 合取，里层连接符全部为析取
(7)去掉所有全称量词 (8)母式化为子句集：每个合取项间的合取
符号(∧)用逗号代替，即得子句集 (9)子句变量标准化：每个子句中的变量各
– Herbrand解释：子句集S的H解释由下列基 本部分组成：
(1)基本区域H∞(H论域对应U) (2)S的每个常量c对应H域中的同一c (3)S的每个变量在H域中取值 (4)S中每个函数fn对应于一个映射 H∞×H∞×…×H∞(n个)→H∞，使得对于
(t1,t2,…tn) H∞则f(t1,t2,…tn) H∞
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2.3 语义树
• 语义树的表示：要寻找S的H解释的不可满 足性质，可以把所有H解释展现在一棵语义 树上，然后观察S对应的各个原子公式的真 假值。这是一种很直观的研究方式，称为语 义树方法
• 设S={P, Q, R}，则H∞={a}，~H={P(a), Q(a), R(a)} (只有一个常量a，在语义树中可 省略)
• [定义]完备语义树：如果一棵语义树从 根节点到任一叶节点的路径上所有边标 记的并集中包含子句集中每个原子或其 负原子，则该语义树称为完备的(完全的)
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语义树定义(3)
• 对于给定的S，其语义树一般都不唯一。 下图中语义树和前图中的语义树对应于 同一个H基。这两个图的语义树都是完 备的
P,R
• 从有效性和可满足性的关系可知，有效 性等价于其否命题的不可满足性
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消解法基本思想:反证法
• 这样就引出了消解法，其基本思想就是 反证法
• 即：要证命题(理解为经典逻辑的公式)A 恒为真，等价于证﹁A恒为假
• 从语义上解释，恒为假就是不存在一个 论域上的一个赋值(可称为解释)，使﹁A 为真，即对所有的论域上的所有赋值， ﹁A均为假
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Herbrand解释(2)
(5)S中的每个谓词Pn对应于一个映射 H∞×H∞×…×H∞(n个)→{T, F}
• 该定义表明，一旦给定一个子句集，其H 解释基本就确定了 / 唯一留下的自由度是 由谓词P代表的映射即~H到{T, F}的映射。
– ~H可以分解如下：~H=~H1∪~H2 h ~H1，v(h)=T； h ~H2，v(h)=F
• 但是，论域本身和解释有无穷多个，不 可能一一验证
5
基本思想(1)
• Herbrand提出：从所有解释当中选出一 种有代表性的解释，并严格证明一旦命 题在代表性解释中为假，则在所有解释 中为假
• Herbrand定义了这样的论域和代表性解 释，称为Herbrand论域(H论域)和 Herbrand解释(H解释)
– 包括3个子句: ﹁P(x)∨Q(x), P(f(x), ﹁ Q(f(x))
• 其封闭语义树如下图所示
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封闭语义树例子(2)
P(a)
● N0
﹁P(a)
Q(a)
● N1/1 ﹁Q(a)
● N1/2
Q(a)
﹁Q(a)
●N2/1
P(f(a))
●N3/1 ★N3/2
Q(f(a))
★
★
★N2/2
● N2/3
H∞={a, b}∪{f(c), g(d)|c, d H∞}
★
f(f(b)),
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Herbrand原子集
• Herbrand原子集定义
– Herbrand基(原子集)：设S为子句集，H∞是 其H论域，则
H {P(t1tn) | n 1, ti H}
称为S的H基，~H中元素称为基原子 / 此为S 中所有原子公式取H论域上所有可能值的集 合
• 消解也叫归结，本章混用这两个称呼
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2 Herbrand定理
2.1 公式到子句集的转换 2.2 Herbrand论域和解释
2.3 语义树 2.4 Herbrand定理 2.5 不可满足基子句集
证明的步骤
• 证明一个公式A在给定论域下恒为真，也 就是要证明﹁A恒为假
– 将﹁A转化为一个子句集，集合中元素为原 子公式或其析取 / 通过其中正负原子公式的 合并(此时恒为真，对证假不起作用，因此 消去) / 最后集合为空，说明是不可满足的， 即恒为假
• 对于例1，其~H={P(a), P(f(a)), P(f(f(a))), …}
对 于 例 2 ， 其 ~H={P(a), Q(a), R(a), P(b),
Q(b), R(b), P(f(a)), Q(f(a)), R(f(a)), P(f(b))…}
★
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Herbrand解释(1)
• Herbrand解释是一种语义结构
Q
Q
N12
Q
Q
N21
N22
R R
N23
N24
N31
N32 N33 N34 N35 N36 N37
N38
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语义树定义(1)
• 子句集S语义树的定义
– [定义]设子句集S，对应H基为~H，S的语义树ST 定义如下：
(1)ST是一棵树； (2)ST的节点均不带标记，而边的标记是基原子且
中A1～An均为子句。 – 前束范式：形如(Q1x1…Qn xn)M(x1…xn)的公
式，M中不再含有量词。 – Skolem标准形：在前束范式中消去存在量
词后得到的公式
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消去存在量词
• 消去存在量词的步骤：
(1)若存在量词不在任何全称量词之后，则公式 中被存在量词量化的变量以某个不同于公式 中任何其他常量名字的常量c代替，并消去存 在量词；
H Hi
i0
则Hi 称为S的i阶常量集，H∞称为S的Herbrand论域， 其元素称为基项。
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H论域例子
例1：S={P(a), ﹁P(a)∨P(f(x))}
根据定义有
H0={a} / H1={a}∪{f(a)}={a, f(a)} H2={a, f(a)}∪{f(a), f(f(a))}={a, f(a), f(f(a))}
不包含其中的变量(边的标记可能不止一个，用逗 号分割)； (3)从每个非叶节点只生成有限个边L1 Ln，令Qi是 每个Li的标记的合取，则Q1 Q2 … Qn为永真； (4)从根节点到任一叶子节点的路径上，所有边的标 记的并集中不含重复的基原子，也不含互补的基 原子
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语义树定义(2)
• [定义]规范语义树：如果一棵语义树的 每条边的标记均为一个原子公式
人工智能原理
消解法
本章内容
1 消解法的基本思想 2 Herbrand定理 3 消解法 4 消解策略
参考书目
1 消解法的基本思想
消解法的基本思想
• 从第3章逻辑系统中可知，逻辑推理必须 考虑其有效性(即∑|=A)，即对论域中的 任何赋值都能保证公式为真
• 由可靠性定理知：逻辑系统中任何正确 的推理，都要具有“如果∑|—A则∑|=A” 的性质，即证明推理的有效性