高考数学压轴专题(易错题)备战高考《函数与导数》图文解析

【高中数学】数学《函数与导数》复习知识要点
一、选择题
1．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，x R ∀∈有()()22f x f x x +-=，在()0+∞，
上()2f x x '<，若()()4168f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．[)2+∞，
B ．[)0+∞，
C ．[]22-，
D ．(][)22-∞-⋃+∞，
， 【答案】A
【解析】
【分析】 通过x R ∀∈有()()22f x f x x +-=，构造新函数()()2
g x f x x =-，可得()g x 为奇函数；利用()2f x x '<，求()g x 的导函数得出()g x 的单调性，再将不等式
()()4168f m f m m --≥-转化，可求实数m 的取值范围.
【详解】
设()()2
g x f x x =-， ∵()()()()22
0g x g x f x x f x x +-=-+--=， ∴函数()g x 为奇函数，
∵在()0,x ∈+∞上，()2f x x '<，即()20f x x '-<，
∴()()20g x f x x ''=-<，
∴函数()g x 在()0,x ∈+∞上是减函数，
∴函数()g x 在(),0x ∈-∞上也是减函数，
且()00g =，
∴函数()g x 在x ∈R 上是减函数，
∵()()4168f m f m m --≥-，
∴()()()2244168g m m g m m m ⎡⎤⎡⎤-+--+≥-⎣
⎦⎣⎦， ∴()()4g m g m -≥，
∴4m m -≤，
即2m ≥.
故选：A.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，考查运算求解能力、转化与化归的数学思想，是中档题.
2．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()242f x f x x +-=+，设()()22g x f x x =-，若()g x 的最大值和最小值分别为M 和m ，则M m +=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】
∵()()242f x f x x +-=+，()()22g x f x x =- ∴2222
()()()2()24242g x g x f x x f x x x x +-=-+--=+-=
∴函数()g x 关于点(0,1)对称
∵()g x 的最大值和最小值分别为M 和m
∴122M m +=⨯=
故选B.
3．函数22()41x x x f x ⋅=-的图像大致为( ) A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】
∵函数()2
2?41x x x f x =-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ∴22
2()2()()4114x x x x
x x f x f x --⋅-⋅-===--- ∴函数()f x 为奇函数，故排除B ，C.
∵2(1)03
f =
>，故排除D. 故选A.
点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
4．已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，且当2x >时，
()()2()x f x f x f x ''⋅+>，若(1)1f =.则不等式1()2f x x <
-的解集是（ ） A ．(2,3)
B ．(,1)-∞
C ．()(1,2)2,3⋃
D ．()(,1)3,-∞⋃+∞ 【答案】C
【解析】
【分析】 令()|2|()F x x f x =-，当2x >时，则()(2)()F x x f x =-，利用导数可得当2x >时，()F x 单调递增，根据题意可得()F x 的图象关于2x =对称，不等式1()|2|
f x x <-等价于|2|()1(2)x f x x -<≠，从而()(1)F x F <，利用对称性可得|2||12|x -<-，解不等式即可.
【详解】
当2x >时，()()2()x f x f x f x ''⋅+>，∴(2)()()0x f x f x '-+>，
令()|2|()F x x f x =-.
当2x >时，则()(2)()F x x f x =-，()(2)()()0F x x f x f x ''=-+>，
即当2x >时，()F x 单调递增.
函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，
所以(2)(2)F x F x +=-，即()F x 的图象关于2x =对称， 不等式1()|2|
f x x <-等价于|2|()1(2)x f x x -<≠， (1)|12|(1)(1)1F f f =-==，即()(1)F x F <，
所以|2||12|x -<-，解得13x <<且2x ≠，解集为(1,2)(2,3)U .
故选：C
【点睛】
本题考查了导数在解不等式中的应用、函数的对称性的应用以及绝对值不等式的解法，属于中档题.
5．函数()x
e f x x
=的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】
函数()x
e f x x
=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，排除选项A ； 当0x >时，()0f x >，且()2(1)'x
x e f x x
-= ，故当()0,1x ∈时，函数单调递减，当()1,x ∈+∞时，函数单调递增，排除选项C ；
当0x <时，函数()0x
e f x x
=<，排除选项D ，选项B 正确．选B ． 点睛：函数图象的识别可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；
(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
6．在平面直角坐标系中，若P ，Q 满足条件：（1）P ,Q 都在函数f （x ）的图象上；（2）P ,Q 两点关于直线y=x 对称，则称点对{P ,Q}是函数f(x)的一对“可交换点对”.（{P ,Q}与{Q,P}看作同一“可交换点”.试问函数2232(0)(){
log (0)x x x f x x x ++≤=>的“可交换点对有（ ） A ．0对 B ．1对 C ．2对 D ．3对
【答案】C
【解析】
试题分析：设p （x ，y ）是满足条件的“可交换点”,则对应的关于直线y=x 的对称点Q 是（y ，x ），所以232x x ++=2x ,由于函数y=232x x ++和y=2x 的图象由两个交点，因此满足条件的“可交换点对”有两个，故选C.
考点：函数的性质
7．函数()||()a f x x a R x =-∈的图象不可能是( ) A ． B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】
【分析】
变成分段函数后分段求导，通过对a 分类讨论，得到函数的单调性，根据单调性结合四个选项可得答案.
【详解】
,0(),0a x x x f x a x x x ⎧->⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩,∴221,0()1,0a x x f x a x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪-+<⎩
'⎪. (1)当0a =时,,0(),0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩
,图象为A; (2)当0a >时,210a x
+>,∴()f x 在(0,)+∞上单调递增, 令210a x
-+=得x a = ∴当x a <,210a x
-+<, 当0a x <<时,210a x
-+>,
∴()f x 在(,-∞上单调递减,在(上单调递增,图象为D;
(3)当0a <时,210a x -+
<,∴()f x 在(,0)-∞上单调递减,
令210a x
+=得x =
∴当x >时,210a x
+>,
当0x <<,210a x
+<,
∴()f x 在上单调递减,在)+∞上单调递增,图象为B;
故选：C.
【点睛】
本题考查了分段函数的图像的识别，考查了分类讨论思想，考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题.
8．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ）
A ．a c b >>
B ．a b c >>
C ．b a c >>
D ．c a b >> 【答案】B
【解析】
试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，故正确答案为选项B ．
考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．
9．已知函数()f x 的导函数为()f x '且满足()()21ln f x x f x '=⋅+，则1f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ） A ．12e - B ．2e - C ．1- D ．e
【答案】B
【解析】
【分析】
对函数求导得到导函数，代入1x =可求得()11f '=-，从而得到()f x '，代入1x e =求得结果.
【详解】
由题意得：()()121f x f x
''=+ 令1x =得：()()1211f f ''=+，解得：()11f '=-
()12f x x '∴=-+ 12f e e ⎛⎫'∴=- ⎪⎝⎭
本题正确选项：B
【点睛】
本题考查导数值的求解，关键是能够通过赋值的方式求得()1f '，易错点是忽略()1f '为常数，导致求导错误.
10．已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足()()80f x f x ++=，且()55f =，则()()20192024f f +=（ ）
A ．-5
B ．5
C ．0
D ．4043
【答案】B
【解析】
【分析】
根据(8)()0f x f x ++=得函数的周期为16，结合()55f =，(0)0f =即可求解.
【详解】
由(8)()0f x f x ++=，得(8)()f x f x +=-，
所以(16)(8)()f x f x f x +=-+=.故函数()y f x =是以16为周期的周期函数. 又在(8)()0f x f x ++=中，令0x =，得(8)(0)0f f +=，
且奇函数()y f x =是定义在R 上的函数，
所以(0)0f =.故(8)0f =.故(2024)(161268)(8)0f f f =⨯+==.
又在(8)()0f x f x ++=中，令3x =-，得(5)(3)0f f +-=.
得(5)(3)(3)5f f f =--==，则(2019)(161263)(3)5f f f =⨯+==.
所以(2019)(2024)5f f +=.
故选：B.
【点睛】
此题考查根据函数的周期性求抽象函数的函数值，关键在于根据函数关系准确得出函数周期，结合定义在R 上的奇函数的特征求值.
11．已知函数()f x 为偶函数，当x ＜0时，2()ln()f x x x =--，则曲线()y f x =在x ＝1处的切线方程为（ ）
A ．x -y ＝0
B ．x -y -2＝0
C ．x +y -2＝0
D ．3x -y -2＝0
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出当0x >时，()f x 的解析式，再利用导数的几何意义计算即可得到答案.
【详解】
当0x >时，0x -<，2()ln f x x x -=-，又函数()f x 为偶函数，所以
2()ln f x x x =-，
(1)1f =，所以'1()2f x x x
=-，'(1)1f =，故切线方程为11y x -=-，即y x =. 故选：A ．
【点睛】
本题考查导数的几何意义，涉及到函数的奇偶性求对称区间的解析式，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
12．[]()x a,b ,f x m ∀∈≥恒成立，等价于[]
()x a,b ,[f x ]m min ∈≥
13．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x ≥时,2()4f x x x =-,则不等式(2)5f x +<的解集为（ ）
A ．(3,7)-
B ．()4,5-
C ．(7,3)-
D ．()2,6- 【答案】C
【解析】
【分析】
首先求出当0x ≥时不等式的解集，在根据偶函数的对称性求出当0x <时不等式的解集，从而求出()5f x <的解集，则525x -<+<，即可得解.
【详解】
当0x ≥时,2()45f x x x =-<的解为05x <≤；
当0x <时，根据偶函数图像的对称性知不等式()5f x <的解为5x 0-<<， 所以不等式()5f x <的解集为{}55x x -<<，
所以不等式(2)5f x +<的解集为{}{}
52573x x x x -<+<=-<<.
故选：C
【点睛】
本题考查偶函数的性质，涉及一元二次不等式，属于基础题.
14．下列求导运算正确的是（ ）
A ．()cos sin x x '=
B ．()1ln 2x x '=
C ．()333log x x e '=
D ．()22x x x e xe '
= 【答案】B
【解析】
分析：利用基本初等函数的导数公式、导数的运算法则对给出的四种运算逐一验证，即可得到正确答案.
详解：()'cos sin x x =-，A 不正确；()'11ln222x x x =
⨯= ，B 正确；()'33ln3x x =,C 不正确；()'222x x x x e xe x e =+，D 不正确，故选B.
点睛：本题主要考查基本初等函数的导数公式、导数的运算法以及简单的复合函数求导法则，属于基础题.
15．设函数()x
f x x e =⋅，则（ ） A ．()f x 有极大值1e B ．()f x 有极小值1e
- C ．()f x 有极大值e
D ．()f x 有极小值e -
【答案】B
【解析】
【分析】 利用导数求出函数()y f x =的极值点，分析导数符号的变化，即可得出结论.
【详解】
()x f x x e =⋅Q ，定义域为R ，()()1x f x x e '∴=+，令()0f x '=，可得1x =-. 当1x <-时，()0f x '<；当1x >-时，()0f x '>.
所以，函数()x f x x e =⋅在1x =-处取得极小值()11f e
-=-， 故选：B.
【点睛】
本题考查利用导数求函数的极值，在求出极值点后，还应分析出导数符号的变化，考查计算能力，属于中等题.
16．若函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '．若()3f x '<恒成立，
()20f -=，则()36f x x <+ 解集为（ ）
A ．(),2-∞-
B ．()2,2-
C ．(),2-∞
D ．()2,-+∞
【答案】D
【解析】
【分析】
设()()36g x f x x =--，求导后可得()g x 在R 上单调递减，再结合()20g -=即可得解.
【详解】
设()()36g x f x x =--，
Q ()3f x '<，∴()()30g x f x ''=-<，∴()g x 在R 上单调递减， 又()()22660g f -=-+-=，不等式()36f x x <+即()0g x <， ∴2x >-，∴不等式()36f x x <+的解集为()2,-+∞. 故选：D.
【点睛】
本题考查了导数的应用，关键是由题意构造出新函数，属于中档题.
17．对于任意性和存在性问题的处理，遵循以下规则：
18．函数2ln x x
y x =的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数为偶函数排除B ,当0x >时,利用导数得()f x 在1(0,)e
上递减,在1(,)e +∞上递增,根据单调性分析,A C 不正确,故只能选D .
【详解】
令2ln ||()||x x f x x =,则2()ln ||()()||
x x f x f x x ---==-, 所以函数()f x 为偶函数,其图像关于y 轴对称,故B 不正确,
当0x >时,2ln ()ln x x f x x x x
==,()1ln f x x '=+, 由()0f x '>,得1x e >,由()0f x '<,得10x e <<,
所以()f x 在1(0,)e
上递减,在1
(,)e +∞上递增,
结合图像分析,,A C 不正确.
故选:D
【点睛】 本题考查了利用函数的奇偶性判断函数的图象,考查了利用导数研究函数的单调性,利用单调性判断函数的图象,属于中档题.
19．已知函数()2ln 2x
x f x e x =+-的极值点为1x ，函数()2x g x e x =+-的零点为2x ，函数()ln 2x h x x
=的最大值为3x ，则（ ） A ．123x x x >>
B ．213x x x >>
C ．312x x x >>
D ．321x x x >> 【答案】A
【解析】
【分析】
根据()f x '在()0,∞+上单调递增，且11024f f ⎛⎫⎛⎫''⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知导函数零点在区间11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内，即()f x 的极值点111,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；根据()g x 单调递增且11024g g ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知211,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
；通过判断()()12g x g x >，结合()g x 单调性可得12x x >；利用导数可求得()max 1124h x e =
<，即314
x <，从而可得三者的大小关系. 【详解】 ()1x f x e x x
'=+-Q 在()0,∞+上单调递增 且1213022f e ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，14115044f e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭ 111,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭且11110x e x x +-= Q 函数()2x g x e x =+-在()0,∞+上单调递增 且1213022g e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，14112044g e ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭ 211,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ 又()()11111211112220x g x e x x x g x x x ⎛⎫=+-=-+-=->= ⎪⎝⎭
且()g x 单调递增 12x x ∴>
由()2
1ln 2x h x x -'=可得：()()max 12h x h e e ==，即31124x e =<
123x x x ∴>>
本题正确选项：A
【点睛】
本题考查函数极值点、零点、最值的判断和求解问题，涉及到零点存在定理的应用，易错点是判断12,x x 大小关系时，未结合()g x 单调性判断出()()12g x g x >，造成求解困难.
20．
设11
3000
,,a b xdx c x dx ===⎰⎰，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b c a >>
B ．b a c >>
C ．a c b >>
D ．a b c >>
【答案】D
【解析】
根据微积分定理，3120022|33a x ⎛⎫=
== ⎪⎝⎭，1210011|22b xdx x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰，134100
11|44c x dx x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰，所以a b c >>，故选择D 。